Скворцов Ю. В. Анализ. Интерактивное мультимедийное пособие в системе дистанционного обучения Moodle самара 2012

• Название: Интерактивное мультимедийное пособие в системе дистанционного обучения Moodle самара 2012
• Дата: 24.05.2022
• Размер: 6.86 Mb.
• Имя файла: Скворцов Ю. В. Анализ.pdf
• Тип: Анализ; #547218
• страница: 25 из 34

Расчет
частот
и
форм
собственных
колебаний
Собственные (или свободные) колебания совершаются при отсутствии внешних сил. Это наиболее естественные движения конструкции. Они явля- ются важнейшей характеристикой линейных систем. Любые колебания сис- темы являются некоторой комбинацией собственных колебаний. Обычно ин- терес представляет лишь небольшое число (как правило, не более 10) наи- меньших частот и соответствующих им форм собственных колебаний. На- пример, в строительстве проектирование сооружений в сейсмоопасных ре- гионах выполняют таким образом, чтобы среди первых трех форм собствен- ных колебаний не было крутильной, поскольку при землетрясении в первую очередь возбуждаются именно такие колебания.
Расчет частот и форм собственных колебаний (или модальный анализ) проводится только для линейных моделей. При этом нелинейные эффекты
(если таковые определены) игнорируются.
С точки зрения математики модальный анализ сводится к решению обобщенной проблемы собственных значений:
(
)
2
[ ]
[
] [
]
0
i
i
K
M
ω
−
Φ =
,
(20.2) где
2
i
ω
– собственное значение с
номером
i (
в данном случае
i
ω
является круговой частотой собственных колебаний
); [
]
i
Φ
– соответствующий ему собственный вектор
(
характеризующий форму собственных колебаний
).
Следует отметить
, что собственные векторы вычисляются лишь с
точ
- ность до произвольного множителя
Поэтому для определенности их обычно нормируют
Например
, нормирование можно проводить по матрице масс
, так чтобы выполнялось равенство т
[
] [
][
] 1
i
i
M
Φ
Φ =
(20.3)

20-3
Для решения проблемы собственных значений разработано достаточно большое количество различных методов
, эффективных в
тех или иных случа
- ях
В
программе
MSC.Nastran по умолчанию выбирается метод
Ланцоша
(Lanczos), обладающий высокой скоростью сходимости
20.3
Расчет
вынужденных
установившихся
колебаний
Любая циклически изменяющаяся внешняя нагрузка порождает цикли
- чески изменяющийся отклик системы
(
гармонический отклик
).
Расчет выну
- жденных колебаний дает возможность предсказания поведения периодически возбуждаемой динамической системы
, позволяя
, таким образом
, проверять модель конструкции на наличие резонанса
, усталость и
т п
Гармонический анализ применим только для вынужденных устано
- вившихся колебаний
Переходные динамические процессы
, которые проис
- ходят в
начале процесса возбуждения
, собственно вынужденными колеба
- ниями не описываются
(
рисунок
20.1).
Рисунок
20.1 – Вынужденные колебания в модели
При расчете вынужденных установившихся колебаний вводятся сле
- дующие ограничения
:
•
все нагрузки считаются зависящими от времени по синусоидально
- му
(
гармоническому
) закону
;
•
все нагрузки изменяются с
равной частотой
;
•
нелинейности не допускаются
;
•
переходные эффекты не учитываются
Цель данного расчета заключается в
вычислении отклика на несколь
- ких частотах гармонического возбуждения
(
в циклах на единицу времени
) и
получении функции некоторой выходной величины
(
обычно амплитуды пе
-
t
Отклик системы
Гармонический отклик
Переходный процесс

20-4
ремещения
) от частоты
Эти зависимости часто называют амплитудно
- частотными характеристиками
Для исследования вынужденных колебаний в
программе
MSC.Nastran применяются два метода
: Direct – метод прямого интегрирования уравнений движения
; Modal – метод суперпозиций
, или разложения по формам собст
- венных колебаний
Первый метод является более простым
, но самым затратным по време
- ни
Для решения задачи вторым методом необходимо предварительно про
- вести расчет частот и
форм собственных колебаний
Для полного определения гармонической нагрузки требуется задать амплитуду
, фазовый угол и
частоту
(
или диапазон изменения частот
).
Фазо
- вый угол является мерой времени отставания или упреждения
В
комплекс
- ной плоскости он представляет собой угол
, отсчитываемым от действитель
- ной оси
(
рисунок
20.2).
Фазовый угол требуется только в
случае
, когда при
- кладываемые нагрузки
(
сосредоточенные силы
, перемещения
) не совпадают по фазе возбуждения
Отметим
, что поверхностные
(
например
, давление
) и
объемные нагрузки задаются лишь для нулевой фазы
Рисунок
20.2 – Действительная и мнимая компоненты нагрузки
Следует отметить
, что при решении динамических задач для получения корректных в
отношении поведения реальной конструкции результатов не
- обходимо правильно учитывать демпфирование
Сделать это достаточно сложно
, поскольку механизм его образования включает множество факторов и
причин
, причем в
ряде случаев неизвестных точно
Демпфирование часто оценивается на основе данных динамических испытаний
В
большинстве случаев демпфирование
, как правило
, мало
, и
поэтому простая математическая модель дает вполне удовлетворительные результаты
t
Действ. ось
F
Мнимая ось
real
F
0
F
imag
F
ψ
0
cos
real
F
F
ψ
=
0
sin
imag
F
F
ψ
=
2 2
0
real
imag
F
F
F
=
+
(
)
arctg
imag
real
F
F
ψ
=
– амплитуда
– фазовый угол
0
F

20-5
Так
, в
программе
MSC.Nastran математическая модель учитывает два типа демпфирования
: вязкое и
конструкционное
(
обусловленное силами внутрен
- него трения
).
В
первом случае демпфирующие силы пропорциональны ско
- рости
, а
во втором
– перемещению
Другими словами
, силы конструкционно
- го демпфирования
(
в отличие от вязкого
) не зависят от частоты колебаний
Уравнение движения
(20.1) не позволяет напрямую учесть силы конст
- рукционного демпфирования
Однако это можно сделать в
гармоническом анализе
, если искать решение в
комплексном виде
Коэффициент конструк
- ционного демпфирования
G учитывается здесь не в
матрице вязкого демп
- фирования
[ ]
C , а
при формировании комплексной матрицы жесткости
[ ]
(1
)[ ]
K
iG K
= +
,
(20.4) где
i – мнимая единица
, определяющая сдвиг по фазе на угол
2
π
При расчете вынужденных колебаний нельзя определять функцию от
- клика на одновременное действие нескольких возбуждающих сил
, изменяю
- щихся с
разной частотой
Однако средства постпроцессора позволяют нало
- жить несколько откликов на различные нагрузки для получения суммарной реакции системы
20.4
Исследование
переходных
неустановившихся
процессов
Переходные неустановившиеся процессы
(
иногда называемые процес
- сами с
историй нагружения
) – это
, как правило
, кратковременные процессы
, происходящие в
начале возбуждения колебаний
, например в
случае ударного воздействия
При этом нагрузка может произвольно изменяться во времени и
возможен учет различных нелинейных эффектов
Напомним
, что в
программе
MSC.Patran задать кривую
«
нагрузка
–
время
» можно с
помощью зависящего от времени поля
, которое является ча
- стным случаем так называемого непространственного поля
(Non Spatial).
Расчет переходных динамических процессов требует определения двух групп начальных условий
(
поскольку система уравнений имеет второй поря
- док
): начальные перемещения и
начальные скорости
Если они равны нулю
, то ничего особо указывать не требуется
Точность расчета переходного динамического процесса зависит от вы
- бранного шага интегрирования по времени
t
∆
Отметим
, что динамический отклик системы можно представить в
виде комбинации форм ее собственных колебаний
При этом размер шага
t
∆
должен быть таким
, чтобы с
достаточ
-

20-6
ной точностью воспроизводились те колебания
, которые играют наиболее существенную роль в
динамическом поведении конструкции
, т
е колебания с
относительно низкими частотами
Известно
, что для хорошего отображения какой
- либо собственной формы требуется не менее
20 точек на период коле
- баний
Таким образом
, для оценки шага
t
∆
можно воспользоваться следую
- щей формулой
: min
20
T
t
∆ ≤
; min max
1
T
f
=
,
(20.5) где min
T
и max
f
– период и
частота той наивысшей формы собственных коле
- баний
, которую необходимо описать достаточно точно
, поскольку она еще вносит значительный вклад в
суммарный отклик системы
Для исследования переходных динамических процессов в
программе
MSC.Nastran используются те же два метода
, что и
в гармоническом анализе
В
отличие от гармонического анализа при исследовании переходного динамического процесса нельзя напрямую учесть силы конструкционного демпфирования
, пропорциональные перемещению
Для их приближенного учета в
MSC.Nastran конструкционное демпфирование приводится к
эквива
- лентному вязкому
:
3
[ ]
[ ]
G
C
K
W
=
,
(20.6) где
G – безразмерный общий коэффициент конструкционного демпфирова
- ния
;
3
W – значение частоты для преобразования конструкционного демпфи
- рования в
эквивалентное вязкое
В
качестве частоты преобразования
3
W обычно выбирается наимень
- шая частота собственных колебаний конструкции
Следует отметить
, что очень часто матрица
[ ]
C представляется в
виде линейной комбинации
[ ]
[
]
[ ]
C
M
K
α
β
=
+
,
(20.7) где
α
и
β
– определяемые экспериментально коэффициенты
, имеющие раз
- мерности с
-1
и с
соответственно
Во многих практических задачах демпфи
- рование
, связанное с
матрицей масс можно игнорировать
(
0
α
=
).
Таким образом
, если в
формуле
(20.6) положить
3 1
W
=
, то коэффициент конструкционного демпфирования
G будет совпадать с
множителем
β

Вопросы
по теме 20
1)
В каких случаях можно проводить статический анализ?
1.
При действии постоянных нагрузок.
2.
При действии не изменяющихся во времени инерционных сил.
3.
Когда силы инерции такие, что внутренние усилия успевают
«следить» за внешними силами.
4.
В случае установившихся гармонических колебаний.
5.
В случае неустановившихся колебаний.
6.
При ударном воздействии.
2)
В каких случаях следует проводить динамический анализ?
1.
При действии постоянных нагрузок.
2.
При действии не изменяющихся во времени инерционных сил.
3.
Когда силы инерции такие, что внутренние усилия успевают
«следить» за внешними силами.
4.
В случае установившихся гармонических колебаний.
5.
В случае неустановившихся колебаний.
6.
При ударном воздействии.
3)
В каком случае процесс можно считать квазистатическим?
1.
При действии постоянных нагрузок.
2.
При действии не изменяющихся во времени инерционных сил.
3.
Когда силы инерции такие, что внутренние усилия успевают
«следить» за внешними силами.
4.
В случае установившихся гармонических колебаний.
5.
В случае неустановившихся колебаний.
6.
При ударном воздействии.
4)
Какие силы характеризует матрица [K]?
1.
Силы упругости.
2.
Силы инерции.
3.
Демпфирующие силы.
4.
Сосредоточенные силы.
5.
Поверхностные силы.
6.
Объемные силы.
5)
Какие силы характеризует матрица [M]?
1.
Силы упругости.
2.
Силы инерции.
3.
Демпфирующие силы.
4.
Сосредоточенные силы.
5.
Поверхностные силы.
6.
Объемные силы.

2 6)
Какие силы характеризует матрица [C]?
1.
Силы упругости.
2.
Силы инерции.
3.
Демпфирующие силы.
4.
Сосредоточенные силы.
5.
Поверхностные силы.
6.
Объемные силы.
7)
При какой частоте возбуждения процесс можно считать квазистатическим?
1.
Меньше 1/3 низшей собственной частоты.
2.
Меньше 1/3 высшей собственной частоты.
3.
Меньше 1/2 низшей собственной частоты.
4.
Меньше 1/2 высшей собственной частоты.
5.
Меньше 3/4 низшей собственной частоты.
6.
Меньше 3/4 высшей собственной частоты.
8)
В чем суть модального анализа?
1.
Расчет свободных колебаний.
2.
Расчет вынужденных установившихся колебаний.
3.
Исследование неустановившихся процессов.
4.
Исследование квазистатических процессов.
5.
Исследование статических процессов.
9)
В чем суть гармонического анализа?
1.
Расчет свободных колебаний.
2.
Расчет вынужденных установившихся колебаний.
3.
Исследование неустановившихся процессов.
4.
Исследование квазистатических процессов.
5.
Исследование статических процессов.
10)
В чем суть переходного анализа?
1.
Расчет свободных колебаний.
2.
Расчет вынужденных установившихся колебаний.
3.
Исследование неустановившихся процессов.
4.
Исследование квазистатических процессов.
5.
Исследование статических процессов.
11)
Что такое собственные колебания?
1.
Свободные колебания.
2.
Вынужденные неустановившиеся колебания.
3.
Вынужденные установившиеся колебания.

3 4.
Колебания, совершаемые при отсутствии внешних сил.
12)
Чему соответствует собственное значение при выполнении модального анализа?
1.
Круговой частоте собственных колебаний.
2.
Квадрату круговой частоты собственных колебаний.
3.
Корню квадратному от круговой частоты собственных колебаний.
4.
Частоте собственных колебаний (в циклах на единицу времени).
5.
Квадрату частоты собственных колебаний (в циклах на единицу времени).
6.
Корню квадратному от частоты собственных колебаний (в циклах на единицу времени).
13)
Что характеризует собственный вектор при выполнении модального анализа?
1.
Круговую частоту собственных колебаний.
2.
Частоту собственных колебаний (в циклах на единицу времени).
3.
Форму собственных колебаний.
4.
Бесконечную норму формы собственных колебаний.
5.
Эвклидову норму формы собственных колебаний.
14)
Как в системе MSC.Patran-Nastran по умолчанию выполняется нормирование собственных векторов?
1.
По матрице жесткости.
2.
По матрице масс.
3.
По матрице демпфирования.
4.
По единичной матрице.
5.
По вектору нагрузки.
15)
Какой метод решения проблемы собственных значений выбирается в системе MSC.Patran-Nastran по умолчанию?
1.
Lanczos.
2.
Subspace.
3.
Givens.
4.
Housenolder.
5.
Inverse Power.
16)
Какие ограничения вводятся в программе MSC.Nastran при расчете вынужденных установившихся колебаний?

4 1.
Все нагрузки считаются зависящими от времени по гармоническому закону.
2.
Все нагрузки изменяются с равной частотой.
3.
Нелинейности не допускаются.
4.
Переходные эффекты не учитываются.
5.
Инерционные силы считаются постоянными.
6.
Демпфирование не учитывается.
17)
Какие нагрузки в случае гармонического анализа позволяют при вводе задавать сдвиг по фазе?
1.
Перемещения.
2.
Сосредоточенные силы и моменты.
3.
Поверхностные нагрузки.
4.
Объемные нагрузки.
5.
Инерционные силы.
6.
Демпфирующие силы.
18)
Что требуется задать для полного определения гармонической нагрузки?
1.
Амплитуду.
2.
Фазовый угол.
3.
Частоту.
4.
Направляющие косинусы.
5.
Время.
19)
Какие методы имеются в программе
MSC.Nastran для исследования вынужденных установившихся колебаний?
1.
Direct.
2.
Reduced.
3.
Modal.
4.
Full.
5.
Lanczos.
6.
Powerdynamic.
20)
Какие методы имеются в программе
MSC.Nastran для исследования переходных динамических процессов?
1.
Direct.
2.
Reduced.
3.
Modal.
4.
Full.
5.
Lanczos.

5 6.
Powerdynamic.
21)
Что такое процесс с историей нагружения?
1.
Переходный неустановившийся процесс.
2.
Квазистатический процесс.
3.
Вынужденные установившиеся колебания.
4.
Статический процесс.
5.
Свободные колебания.
22)
Как задается зависимость «нагрузка-время» при проведении анализа переходных процессов?
1.
Путем определения нескольких шагов нагружения.
2.
Путем задания нескольких подшагов в пределах шага нагружения.
3.
При помощи пространственного поля.
4.
При помощи пространственного поля.
5.
Заданием нескольких нагрузок.
23)
Какие начальные условия требуются для интегрирования разрешающей системы уравнений при анализе переходных процессов?
1.
Начальные перемещения.
2.
Начальные скорости.
3.
Начальные ускорения.
4.
Начальные силы.
5.
Начальные напряжения.
6.
Начальные деформации.
24)
Сколько требуется точек на период колебаний для хорошего отображения формы собственных колебаний?
1.
Пять.
2.
Десять.
3.
Двадцать.
4.
Тридцать.
5.
Сорок.
6.
Пятьдесят.
25)
Чему пропорциональны силы вязкого демпфирования?
1.
Перемещению.
2.
Скорости.
3.
Ускорению.
4.
Внешней нагрузке.

6 26)
Чему пропорциональны силы конструкционного демпфирования?
1.
Перемещению.
2.
Скорости.
3.
Ускорению.
4.
Внешней нагрузке.

21-1