Скворцов Ю. В. Анализ. Интерактивное мультимедийное пособие в системе дистанционного обучения Moodle самара 2012
 Скачать 6.86 Mb.
|
|
Рисунок 24.3 – Кривая равновесных состояний с точкой бифуркации 24.3 Исследование закритического деформирования . Метод длины дуги На рисунке 24.4 показано поведение тонкой оболочки ( арки ) при раз - личных значениях отношения H L . В последнем случае ( когда H L – вели - ко ) критическая нагрузка 0 кр P , найденная на базе линеаризованного подхода , обычно оказывается в несколько раз больше верхней критической нагрузки в кр P , определяемой из нелинейного анализа Для нахождения нижней крити - ческой нагрузки н кр P необходимо исследовать закритическое поведение Здесь возникает ряд вычислительных проблем , связанных с сингулярностью мат - рицы тангенциальной жесткости в предельных точках Рисунок 24.4 – Различные виды деформирования тонкой оболочки (арки) P v кр P Устойчивые формы равновесия Неустойчивые формы равновесия Точка бифуркации P v H L δ P v P v 0 H L = 4 δ P v H L − мало P v H L − велико в кр P н кр P 0 кр P Перескок Закритическое деформирование ( ) det [ ] 0 t K < 24-10 Для перехода через предельные точки необходимо воспользоваться специальными приемами Рассмотрим типичную для оболочек кривую рав - новесных состояний ( рисунок 24.5). Как правило , она является не однознач - ной по нагрузке и однозначной по перемещению , т е одной и той же нагруз - ке может соответствовать несколько равновесных конфигураций , а одному и тому же перемещению – только одно состояние равновесия Это обстоятель - ство указывает на необходимость в таких ситуациях смены управляющего параметра , когда вместо приращений нагрузки задаются приращения пере - мещений и вычисляются соответствующие реакции , характеризующие внеш - нюю нагрузку Однако такой подход применим лишь в случае действия со - средоточенной нагрузки Кроме того , он не позволяет определять участки кривой равновесных состояний , не однозначные по перемещению , где одно - временно происходит уменьшение нагрузки и перемещения ( рисунок 24.6). Рисунок 24.5 – Типичная для оболочек кривая равновесных состояний Рисунок 24.6 – Кривая равновесных состояний, не однозначная по перемещению P v 1 P 1 v P v 1 2 3 1 – задание приращений нагрузки; 2 – задание приращений перемещений; 3 – метод длины дуги 24-11 Отметим , что одним из универсальных приемов перехода через пре - дельные точки является метод длины дуги (arc-length method), который в на - стоящее время чаще других используется в МКЭ - пакетах для исследования закритического деформирования тонкостенных конструкций Он является , по сути дела , методом автоматического выбора шага по нагрузке на основе пе - ремещений Здесь в процессе выполнения итераций нагрузка и перемещения изменяются одновременно В данном методе вводятся дополнительные урав - нения связей , чтобы ограничить длину дуги кривой равновесных состояний ( в пространстве нагрузка – перемещение ) некоторым предписанным значени - ем , как показано на рисунке 24.7. На первом шаге длина дуги определяется исходя из полной нагрузки и заданного числа шагов На каждом последую - щем шаге новая длина дуги вычисляется на основе длины дуги предыдущего шага и поведения решения ( т е в зависимости от степени нелинейности ). Рисунок 24.7 – Геометрическая интерпретация метода длины дуги P v t t P +∆ t t v +∆ t P t v P ∆ r l ∆ r l ≈ ∆ Кривая равновесных состояний Ограничивающая окружность Вопросы по теме 24 1) Какие допущения используются в линейном анализе конструкций? 1. Перемещения малы по сравнению с размерами тела. 2. Материал является линейно-упругим. 3. Граничные условия сохраняются неизменными в процессе приложения нагрузки. 4. Нагрузка не меняется во времени. 5. Отсутствуют силы инерции. 6. Демпфирующие силы полагаются равными нулю. 2) В каком случае необходимо учитывать геометрическую нелинейность? 1. Когда перемещения являются большими. 2. Если связь между напряжениями и деформациями нелинейная. 3. Если в процессе нагружения меняются граничные условия. 4. При изменении нагрузки во времени. 5. Когда возникают силы инерции. 6. Если имеются демпфирующие силы. 3) В каком случае необходимо учитывать физическую нелинейность? 1. Когда перемещения являются большими. 2. Если связь между напряжениями и деформациями нелинейная. 3. Если в процессе нагружения меняются граничные условия. 4. При изменении нагрузки во времени. 5. Когда возникают силы инерции. 6. Если имеются демпфирующие силы. 4) В каком случае необходимо решать контактную задачу? 1. Когда перемещения являются большими. 2. Если связь между напряжениями и деформациями нелинейная. 3. Если в процессе нагружения меняются граничные условия. 4. При изменении нагрузки во времени. 5. Когда возникают силы инерции. 6. Если имеются демпфирующие силы. 5) При каких прогибах пластин и оболочек справедливо линейное решение? 1. Меньше двух толщин. 2. Меньше толщины. 3. Меньше половины толщины. 4. Меньше трети толщины. 5. Меньше четверти толщины. 2 6) Какой метод необходим для анализа нелинейного поведения неконсервативных систем? 1. Пошаговый метод последовательных нагружений. 2. Итерационный метод. 3. Метод длины дуги. 4. Метод линейного поиска. 5. Метод бисекции. 7) Каково назначение метода Ньютона-Рафсона? 1. Решение системы нелинейных уравнений. 2. Решение системы линейных алгебраических уравнений. 3. Пошаговое решение уравнений равновесия МКЭ. 4. Решение задачи начальной устойчивости. 8) В каком представлении могут быть записаны нелинейные соотношения? 1. Лагранжевом. 2. Эйлеровом. 3. Декартовом. 4. Ньютоновском. 9) В чем суть лагранжевой (материальной) формулировки? 1. Внимание фокусируется на движении фиксированных частиц. 2. Наблюдается протекание во времени процесса в данном месте. 3. В качестве отсчетной выбирается начальная конфигурация тела. 4. В качестве отсчетной выбирается конфигурация тела, найденная на предыдущем шаге. 10) В чем суть эйлеровой (пространственной) формулировки? 1. Внимание фокусируется на движении фиксированных частиц. 2. Наблюдается протекание во времени процесса в данном месте. 3. В качестве отсчетной выбирается начальная конфигурация тела. 4. В качестве отсчетной выбирается конфигурация тела, найденная на предыдущем шаге. 11) Какая формулировка является наиболее эффективной при решении задач механики деформируемого твердого тела? 1. Лагранжа. 2. Эйлера. 3. Декарта. 3 4. Ньютона. 5. Якоби. 12) Какая формулировка является наиболее эффективной при решении задач механики жидкости и газа? 1. Лагранжа. 2. Эйлера. 3. Декарта. 4. Ньютона. 5. Якоби. 13) Что называется критической нагрузкой по Эйлеру? 1. Нагрузка, при которой исходная форма равновесия перестает быть устойчивой. 2. Нагрузка, вызывающая появление пластического шарнира. 3. Нагрузка, при которой конструкция теряет несущую способность. 4. Нагрузка, приводящая к разрушению конструкции. 5. Нагрузка, при которой исчезают какие-либо формы статического равновесия. 14) Как решается задача начальной устойчивости? 1. С помощью статического критерия Эйлера. 2. Путем линеаризации исходных нелинейных соотношений. 3. С использованием соотношений линейной теории. 4. С помощью динамического критерия. 5. Пошаговым методом последовательных нагружений. 15) В чем заключается задача начальной устойчивости? 1. В отыскании состояния нейтрального равновесия. 2. В отыскании состояния устойчивого равновесия. 3. В отыскании состояния неустойчивого равновесия. 4. В отыскании состояния движения или колебания с монотонно возрастающей или ограниченной амплитудой. 16) К чему сводится задача начальной устойчивости? 1. К решению обобщенной проблемы собственных значений. 2. К решению системы линейных алгебраических уравнений. 3. К решению системы нелинейных уравнений. 4. К решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. 4 17) Что показывает наименьшее собственное значение, найденное при решении задачи начальной устойчивости? 1. Во сколько раз критическая нагрузка больше заданной. 2. Во сколько раз критическая нагрузка меньше заданной. 3. Критическую нагрузку. 4. Форму потери устойчивости. 5. Частоту собственных колебаний. 18) В каком случае задача начальной устойчивости дает физически правильное решение? 1. Когда возможна бифуркация и малы докритические перемещения. 2. Для консервативных систем. 3. Для неконсервативных систем. 4. Если нагрузка не меняет своего направления. 5. При общей форме потери устойчивости. 6. При местной форме потери устойчивости. 19) Что такое бифуркация? 1. Разветвление форм равновесия. 2. Потеря устойчивости с перескоком. 3. Критическая нагрузка. 4. Предельная точка на кривой равновесных состояний. 5. Неоднозначность кривой равновесных состояний. 20) Как определяется верхняя критическая нагрузка? 1. Из геометрически нелинейного анализа. 2. Из физически нелинейного анализа. 3. Путем исследования закритического деформирования. 4. Методом начальной устойчивости. 5. Из анализа переходного процесса. 21) Как определяется нижняя критическая нагрузка? 1. Из геометрически нелинейного анализа. 2. Из физически нелинейного анализа. 3. Путем исследования закритического деформирования. 4. Методом начальной устойчивости. 5. Из анализа переходного процесса. 22) Какие специальные приемы используются для перехода через предельные точки? 5 1. Смена управляющего параметра. 2. Метод длины дуги. 3. Метод Ньютона-Рафсона. 4. Метод линейного поиска. 5. Пошаговый метод последовательных нагружений. 23) Что такое закритическое деформирование? 1. Поведение системы после потери устойчивости. 2. Форма потери устойчивости. 3. Потеря несущей способности. 4. Движение с монотонно возрастающей амплитудой. 5. Колебания с ограниченной амплитудой. 24) Какой из перечисленных ниже методов является универсальным для исследования закритического деформирования? 1. Смена управляющего параметра. 2. Метод длины дуги. 3. Метод Ньютона-Рафсона. 4. Метод линейного поиска. 5. Пошаговый метод последовательных нагружений. 25-1 25 ОСОБЕННОСТИ ПРОВЕДЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО АНАЛИЗА В СРЕДЕ MSC.PATRAN-NASTRAN 25.1 Задание параметров нелинейного анализа Следует отметить, что для выполнения нелинейного статического ана- лиза необходимо в приложении «Analysis» в качестве типа решения (кнопка Solution Type) выбрать пункт Nonlinear Static. В МКЭ-пакетах решение нелинейных задач, как правило, проводится шагово-итерационным методом последовательных нагружений. В программе MSC.Patran стратегия итерационного решения определяется параметрами расчетного случая. Для их задания следует воспользоваться кнопкой Subcase Parameters диалоговой панели «Subcases». При этом появляется дополни- тельное окно, показанное на рисунке 25.1. Рисунок 25.1 – Задание параметров расчетного случая для нелинейного статического анализа Здесь в разделе «Static Nonlinear Iterations» (итерации нелинейного ста- тического анализа) имеются следующие поля ввода: • Number of Load Increments – число шагов по нагрузке, или ступеней нагружения, которое должно использоваться для приложения полной нагруз- ки (можно задать максимум 999 шагов); 25-2 • Total Time – общее время приложения полной нагрузки (по умолча- нию равное единице); • Matrix Update Method – метод, в соответствии с которым производит- ся обновление (пересчет) матрицы тангенциальной жесткости (МТЖ). Здесь из выпадающего меню доступны следующие значения: Automatic – автома- тический метод обновления МТЖ, основанный на оценке сходимости реше- ния при использовании различных численных методов (квазиньютоновского, линейного поиска, половинного деления) и выборе наилучшего из них с наи- меньшим числом обновлений МТЖ (задается по умолчанию); Semi-Automatic – полуавтоматический метод, отличающийся от предыдущего лишь тем, что в нем обязательно производится обновление МТЖ на первой итерации каж- дого шага по нагрузке; Controlled Iters. – производит обновление МТЖ после числа итераций, указанного в следующем поле. Последний метод может ока- заться полезным в ряде задач с резким изменением расчетных параметров системы; • Number of Iterations per Update – число итераций, после которого должно выполняться обновление МТЖ при использовании метода Controlled Iters. (по умолчанию принимается равным пяти). Если данный параметр по- ложить равным единице, то МТЖ будет пересчитываться на каждой итера- ции, что соответствует классическому (т.е. полному) методу Ньютона- Рафсона. Для перехода к модифицированному методу Ньютона-Рафсона эту величину следует положить равной максимально допустимому числу итера- ций на шаге, указанному в следующем поле; • Allowable Iterations per Increment – максимально допустимое число итераций на каждом шаге по нагрузке (по умолчанию принимается равным 25). Если решение не сходится за указанное здесь число итераций, то прира- щение нагрузки делится пополам и анализ повторяется. При достижении максимального числа бисекций (по умолчанию равного пяти) в зависимости от погрешности решения анализ переходит к следующему шагу или прекра- щается. Следует отметить, что на каждом шаге нагружения выполняется итера- ционное уточнение решения до обеспечения условий сходимости, задавае- мых в разделе «Convergence Criteria» (критерии сходимости): • Displacement Error – флаг, указывающий, должен ли использоваться критерий сходимости по перемещениям; 25-3 • Displacement Tolerance – допустимая величина погрешности для при- ращений узловых перемещений (по умолчанию принимается равной 10 -3 ). Это поле становится активным лишь при включении предыдущей опции; • Load Error – флаг, указывающий, должен ли использоваться критерий сходимости по нагрузке; • Load Tolerance – допустимая величина погрешности для «невязки» нагрузки (по умолчанию принимается равной 10 -3 ). Это поле становится ак- тивным лишь при включении предыдущей опции; • Work Error – флаг, указывающий, должен ли использоваться крите- рий сходимости по работе; • Work Tolerance – допустимая величина погрешности для работы «не- вязки» нагрузки на приращениях узловых перемещений (по умолчанию при- нимается равной 10 -7 ). Это поле становится активным лишь при включении предыдущей опции. Отметим, что итерационный процесс завершается только при удовле- творении всех активизированных в данном разделе критериев сходимости. Известно, что сходимость решения нелинейных уравнений МКЭ во многом определяется особенностями модели и внутренними ограничениями, присущими применяемым численным методам. Дать универсальные реко- мендации по настройке параметров, определяющих стратегию итерационно- го решения, в общем случае затруднительно. Варьирование данных парамет- ров имеет смысл, если возникают проблемы с решением конкретной задачи. Кроме перечисленных выше параметров диалоговая панель «Subcase Parameters» содержит следующие элементы управления (см. рисунок 25.1): • Arc-Length Method – кнопка, открывающая дополнительное окно для активизации метода длины дуги, который по умолчанию отключен. Данный метод используется для исследования закритического деформирования кон- струкции; • Normal Modes – флаг, активизирующий расчет частот и форм собст- венных колебаний конструкции с учетом напряжений, найденных в конце данного расчетного случая. С помощью одноименной кнопки здесь можно указать число подлежащих определению наименьших частот и соответст- вующих им мод; 25-4 • Buckling – флаг, активизирующий анализ устойчивости конструкции в конце данного расчетного случая. С помощью одноименной кнопки здесь можно указать число подлежащих определению собственных значений. Следует отметить, что в программе MSC.Patran при нелинейном анали- зе величины нагрузок задаются в виде зависимости [ ] P t от некоторой пере - менной t , называемой Time ( время ) и изменяющейся по умолчанию при ста - тическом расчете от 0 до 1. Здесь [ ] P – совокупность нагрузок, определенная в наборе Load Case (случай нагружения), используемом для данного нели- нейного расчета. С целью повышения точности решения и улучшения его сходимости интервал изменения переменной t (процесс нагружения) делится на ступени (или шаги) нагружения. Число таких шагов задается в поле «Number of Load Increments» параметром NINC. Так, при числе шагов нагру- жения равном 20, переменная t последовательно принимает значения 0,05; 0,1; 0,15;…; 1. В этом случае при включении опции вывода промежуточных решений в результатах расчета будут представлены 20 наборов выходных ве- личин (Result Cases) с указанием текущего значения нагрузки соответствую- щей ступени нагружения в процентах от полной нагрузки [ ] P : 5%; 10%; 15% и т.д. Число таких наборов может оказаться меньше, чем задано параметром NINC, если на какой-то ступени нагружения решение не будет найдено. При этом по окончании счета появится сообщение о фатальной ошибке (Fatal Er- ror), и будут представлены результаты для всех предыдущих шагов нагруже- ния. Если же при некотором значении t наблюдается резкое изменение рас- четных величин, решатель MSC.Nastran производит автоматическое деление данного шага на более мелкие. В этом случае число наборов выходных вели- чин будет больше, чем установлено параметром NINC. В заключение отметим, что для вывода промежуточных решений необ- ходимо воспользоваться кнопкой Output Requests (запросы по выводу) диало- говой панели «Subcases». При этом появляется дополнительное окно, позво- ляющее выбирать выходные величины. Здесь, прежде всего, следует задать расширенный вид окна («Form Type»: Advanced), что позволит отобразить поле «Intermediate Output Option» (опция промежуточного вывода). Для этого параметра доступны следующие значения: No – не выводить результаты расчетов на промежуточных шагах на- гружения (задается по умолчанию). Здесь будут представлены результаты лишь для последнего шага, т.е. в общем случае для полной нагрузки; 25-5 Yes – выводить результаты для каждого вычисленного шага нагруже- ния; All – выводить результаты для каждого вычисленного и определенного пользователем шага нагружения. Данная опция позволяет пользователю при использовании метода длины дуги получать решения для интересующих его уровней нагрузки, поскольку в этом случае вычисленные шаги могут отли- чаться от заданных пользователем. |