Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
М. Г. Иванов Как понимать квантовую механику Москва Ижевск 2012 УДК 530.145.6 ББК 22.314 И 204 Интернет-магазин http://shop.rcd.ru • ф и з и к а • м а т е м а т и к а • б и о л о г и я • н е ф т е г а з о в ы е т е х н о л о г и и Иванов М. Г. Как понимать квантовую механику. — М.–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хао- тическая динамика», 2012. — 516 с. Данная книга посвящена обсуждению вопросов, которые, с точки зрения ав- тора, способствуют пониманию квантовой механики и выработке квантовой интуи- ции. Цель книги — не просто дать сводку основных формул, но и научить читателя понимать, что эти формулы означают. Особое внимание уделено обсуждению места квантовой механики в современной научной картине мира, е¨е смыслу (физическому, математическому, философскому) и интерпретациям. Книга полностью включает материал первого семестра стандартного годового курса квантовой механики и может быть использована студентами, как введение в предмет. Для начинающего читателя должны быть полезны обсуждения физиче- ского и математического смысла вводимых понятий, однако многие тонкости теории и е¨е интерпретаций могут оказаться излишними и даже запутывающими, а потому должны быть опущены при первом чтении. ISBN 978-5-93972-944-4 ББК 22.314 c М. Г. Иванов, 2012 c НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2012 http://shop.rcd.ru Оглавление Как читать эту книгу и откуда она взялась . . . . . . . . . . . . . xv 1. Благодарности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii 2. О распространении данной книги . . . . . . . . . . . . . . . . xviii Г ЛАВА 1. Место квантовой теории в современной картине ми- ра (фф) 1 1.1. Вглубь вещества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Частицы и поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2. Как устроены взаимодействия . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3. Статистическая физика и квантовая теория . . . . . . . 5 1.1.4. Фундаментальные фермионы . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.5. Фундаментальные взаимодействия 7 1.1.6. Адроны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.7. Лептоны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.8. Поле Хиггса и бозон Хиггса (*) . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.9. Вакуум (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2. Откуда пошла квантовая теория . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3. Квантовая механика и сложные системы . . . . . . . . . . . . 21 1.3.1. Феноменология и квантовая теория . . . . . . . . . . . 21 1.3.2. Макроскопические квантовые явления . . . . . . . . . 22 1.3.3. Вымораживание степеней свободы . . . . . . . . . . . 24 Г ЛАВА 2. От классики к квантовой физике . . . . . . . . . . . . 27 2.1. «Здравый смысл» и квантовая механика 27 2.2. Квантовая механика — теория превращений . . . . . . . . . . 28 2.3. Две ипостаси квантовой теории . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.1. Когда наблюдатель отвернулся . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.2. На наших глазах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4. Принцип соответствия (ф) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.5. Несколько слов о классической механике (ф) . . . . . . . . . . 34 2.5.1. Вероятностная природа классической механики (ф) . . 35 iv О ГЛАВЛЕНИЕ 2.5.2. Ересь аналитического детерминизма и теория возму- щений (ф) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.6. Теоретическая механика классическая и квантовая (ф) . . . . 37 2.7. Несколько слов об оптике (ф) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.7.1. Механика и оптика геометрическая и волновая (ф) . . 39 2.7.2. Комплексная амплитуда в оптике и число фотонов (ф*) 42 2.7.3. Преобразование Фурье и соотношения неопредел¨ен- ностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.7.4. Микроскоп Гайзенберга и соотношение неопредел¨ен- ностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Г ЛАВА 3. Понятийные основы квантовой теории . . . . . . . . . 47 3.1. Вероятности и амплитуды вероятности . . . . . . . . . . . . . 47 3.1.1. Сложение вероятностей и амплитуд . . . . . . . . . . . 49 3.1.2. Умножение вероятностей и амплитуд . . . . . . . . . . 51 3.1.3. Объединение независимых подсистем . . . . . . . . . . 51 3.1.4. Распределения вероятностей и волновые функции при измерении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.1.5. Амплитуда при измерении и скалярное произведение . 56 3.2. Возможно вс¨е, ч то может произойти (ф*) . . . . . . . . . . . . 58 3.2.1. Большое в малом (ф*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Г ЛАВА 4. Математические понятия квантовой теории . . . . . . 66 4.1. Пространство волновых функций . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.1.1. Функцией каких переменных является волновая функ- ция? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.1.2. Волновая функция как вектор состояния . . . . . . . . 69 4.2. Матрицы (л) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.3. Дираковские обознач ения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.3.1. Основные «строительные блоки» дираковских обоз- нач ений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.3.2. Комбинации основных блоков и их значение . . . . . . 77 4.3.3. Эрмитово сопряжение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.4. Умножение справа, слева, . . . сверху, снизу и наискосок** . . 80 4.4.1. Диаграммные обозначения* . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.4.2. Тензорные обозначения в квантовой механике* . . . . 82 4.4.3. Дираковские обозначения для сложных систем* . . . . 83 4.4.4. Сравнение разных обозначений* . . . . . . . . . . . . . 84 4.5. Смысл скалярного произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.5.1. Нормировка волновых функций на единицу . . . . . . 86 О ГЛАВЛЕНИЕ v 4.5.2. Физический смысл скалярного квадрата. Нормировка на вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.5.3. Физический смысл скалярного произведения . . . . . . 89 4.6. Базисы в пространстве состояний . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.6.1. Разложение по базису в пространстве состояний, нор- мировка базисных векторов 90 4.6.2. Природа состояний непрерывного спектра* 92 4.6.3. Замена базиса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.7. Операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.7.1. Ядро оператора* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.7.2. Матричный элемент оператора . . . . . . . . . . . . . . 100 4.7.3. Базис собственных состояний . . . . . . . . . . . . . . 101 4.7.4. Векторы и их компоненты** . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.7.5. Среднее от оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.7.6. Разложение оператора по базису . . . . . . . . . . . . . 103 4.7.7. Области определения операторов в бесконечномерии* 104 4.7.8. След оператора* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.8. Матрица плотности* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.8.1. Роль и смысл матрицы плотности* . . . . . . . . . . . 110 4.8.2. Матрица плотности для подсистемы* . . . . . . . . . . 111 4.9. Наблюдаемые* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.9.1. Квантовые наблюдаемые* . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.9.2. Классические наблюдаемые** . . . . . . . . . . . . . . 115 4.9.3. Вещественность наблюдаемых*** . . . . . . . . . . . . 116 4.10. Операторы координаты и импульса . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.11. Вариационный принцип . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.11.1. Вариационный принцип и уравнения Шр¨едингера** . 121 4.11.2. Вариационный принцип и основное состояние . . . . . 123 4.11.3. Вариационный принцип и возбужд¨енные состояния* . 124 Г ЛАВА 5. Принципы квантовой механики . . . . . . . . . . . . . 125 5.1. Квантовая механика замкнутой системы . . . . . . . . . . . . 125 5.1.1. Унитарная эволюция и сохранение вероятности . . . . 125 5.1.2. Унитарная эволюция матрицы плотности* . . . . . . . 128 5.1.3. (Не)унитарная эволюция***** . . . . . . . . . . . . . . 128 5.1.4. Уравнение Шр¨едингера и гамильтониан . . . . . . . . . 130 5.1.5. Уравнения Шр¨едингера, временн ´ ые и стационарные . 131 5.2. Разные представления временной (унитарной) эволюции квантовой системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.2.1. Унитарная эволюция: активная или пассивная* . . . . 133 vi О ГЛАВЛЕНИЕ 5.2.2. Пространство состояний в разные моменты времени* 134 5.2.3. Представления Шр¨едингера, Гайзенберга и взаимо- действия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.2.4. Функции от операторов в разных представлениях . . . 136 5.2.5. Гамильтониан в представлении Гайзенберга . . . . . . 137 5.2.6. Уравнение Гайзенберга . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.2.7. Скобка Пуассона и коммутатор* . . . . . . . . . . . . . 141 5.2.8. Чистые и смешанные состояния в теоретической ме- ханике* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.2.9. Представления Гамильтона и Лиувилля в теоретичес- кой механике** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5.2.10. Уравнения в представлении взаимодействия* . . . . . 146 5.3. Измерение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.3.1. Проекционный постулат . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.3.2. Селективное и неселективное измерение* . . . . . . . 154 5.3.3. Приготовление состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Г ЛАВА 6. Одномерные квантовые системы . . . . . . . . . . . . 157 6.1. Структура спектра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.1.1. Откуда бер¨ется спектр? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.1.2. Вещественность собственных функций . . . . . . . . . 158 6.1.3. Структура спектра и асимптотика потенциала . . . . . 158 6.1.4. Прямоугольная яма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.1.5. δ-яма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.1.6. Существование уровня в мелкой яме . . . . . . . . . . 168 6.2. Осцилляторная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 6.2.1. Об области применимости теоремы* . . . . . . . . . . 170 6.2.2. Нули основного состояния* . . . . . . . . . . . . . . . 171 6.2.3. Вронскиан (л*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 6.2.4. Рост числа нулей с номером уровня* . . . . . . . . . . 173 6.2.5. Сокращение ч исла нулей* . . . . . . . . . . . . . . . . 174 6.2.6. Завершение доказательства* . . . . . . . . . . . . . . . 176 6.3. Одномерная задач а рассеяния . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 6.3.1. Постановка задач и . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 6.3.2. Пример: рассеяние на ступеньке . . . . . . . . . . . . . 178 6.3.3. Пример: рассеяние на δ-яме . . . . . . . . . . . . . . . 179 6.3.4. Общие свойства одномерного рассеяния . . . . . . . . 180 6.3.5. Рассеяние слева направо и справа налево** . . . . . . 182 6.3.6. Волновые пакеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 6.3.7. Резонансное рассеяние* . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 О ГЛАВЛЕНИЕ vii Г ЛАВА 7. Эффекты теории измерений . . . . . . . . . . . . . . . 194 7.1. Классическая (колмогоровская) вероятность (л*) . . . . . . . 194 7.1.1. Определение вероятностного пространства** . . . . . 195 7.1.2. Смысл вероятностного пространства* . . . . . . . . . . 195 7.1.3. Усреднение (интегрирование) по мере* . . . . . . . . . 196 7.1.4. Вероятностные пространства в квантовой механике (ф*)196 7.2. Соотношения неопредел¨енностей . . . . . . . . . . . . . . . . 197 7.2.1. Соотношения неопредел¨енностей и (анти)коммутаторы 197 7.2.2. Так ч то же мы посч итали? (ф) . . . . . . . . . . . . . . 199 7.2.3. Когерентные состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 7.2.4. Соотношения неопредел¨енности время-энергия . . . . 202 7.3. Измерение без взаимодействия* . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 7.3.1. Эксперимент Пенроуза с бомбами (ф*) . . . . . . . . . 209 7.4. Квантовый эффект Зенона (парадокс незакипающего чайни- ка)** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 7.4.1. При ч¨ем здесь Зенон? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 7.4.2. Теорема Халфина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 7.5. Квантовая (не)локальность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 7.5.1. Запутанные состояния (ф*) . . . . . . . . . . . . . . . . 218 7.5.2. Зацепленные состояния при селективном измерении (ф*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 7.5.3. Зацепленные состояния при неселективном измере- нии (ф*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 7.5.4. Классические измерения (ф*) . . . . . . . . . . . . . . 222 7.5.5. Относительные состояния (ф*) . . . . . . . . . . . . . . 224 7.5.6. Неравенство Белла и его нарушение (ф**) . . . . . . . 226 7.6. Теорема о невозможности клонирования квантового состоя- ния** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 7.6.1. Смысл невозможности клонирования (ф*) . . . . . . . 235 7.7. Квантовая телепортация** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Г ЛАВА 8. Место теории измерений . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 8.1. Структура квантовой теории (ф) . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 8.1.1. Понятие классического селективного измерения (ф) . . 243 8.1.2. Квантовая теория крупными блоками . . . . . . . . . . 244 8.1.3. Квантовая локальность (ф) . . . . . . . . . . . . . . . . 245 8.1.4. Вопросы о самосогласованности квантовой теории (ф) 245 8.2. Моделирование измерительного прибора* . . . . . . . . . . . 246 8.2.1. Измерительный прибор по фон Нейману** . . . . . . . 246 8.3. Возможна ли иная теория измерений? (фф) . . . . . . . . . . . 250 viii О ГЛАВЛЕНИЕ 8.3.1. Эвереттовский «вывод» теории измерений (фф*) . . . 251 8.3.2. «Ж¨есткость» формулы для вероятностей (фф) . . . . . 253 8.3.3. Теорема о квантовой телепатии (фф*) . . . . . . . . . . 254 8.3.4. «Мягкость» проекционного постулата (фф) . . . . . . . 256 8.4. Декогеренция (фф) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 Г ЛАВА 9. На грани физики и философии (фф*) . . . . . . . . . . 259 9.1. Загадки и парадоксы квантовой механики (ф*) . . . . . . . . . 259 9.1.1. Мышь Эйнштейна (ф*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 9.1.2. Кот Шр¨едингера (ф*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 9.1.3. Друг Вигнера (ф*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 9.2. Как неправильно понимать квантовую механику? (фф) . . . . 267 9.2.1. Частица как волновой пакет (фф) . . . . . . . . . . . . 268 9.2.2. «Теория» квантового заговора (фф) . . . . . . . . . . . 269 9.2.3. «Смерть реальности» и парадокс ЭПР (фф) . . . . . . 271 9.3. Интерпретации квантовой механики (ф) . . . . . . . . . . . . 274 9.3.1. Статистические интерпретации (ф) . . . . . . . . . . . 274 9.3.2. Копенгагенская интерпретация. Разумное самоогра- нич ение (ф) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 9.3.3. Квантовые теории со скрытыми параметрами (фф) . . 278 9.3.4. Принцип дополнительности Бора (фф) . . . . . . . . . 280 9.3.5. За гранью копенгагенской интерпретации (фф) . . . . 282 9.3.6. «Абстрактное Я» фон Неймана (фф) . . . . . . . . . . . 284 9.3.7. Многомировая интерпретация Эверетта (фф) . . . . . . 285 9.3.8. Сознание и квантовая теория (фф) . . . . . . . . . . . . 289 9.3.9. Активное сознание (фф*) . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 Г ЛАВА 10. Квантовая информатика** . . . . . . . . . . . . . . . 294 10.1. Квантовая криптография** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 10.1.1. Зачем нужен ключ в классической криптографии (пример) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 10.1.2. Квантовая генерация ключ ей . . . . . . . . . . . . . . . 295 10.1.3. Квантовая линия связи . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 10.2. Квантовые компьютеры как аналоговые (ф) . . . . . . . . . . 297 10.3. Квантовые компьютеры как цифровые (ф) . . . . . . . . . . . 297 10.4. Понятие универсального квантового компьютера . . . . . . . 298 10.5. Квантовый параллелизм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 10.6. Логика и выч исления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 10.6.1. Логика классическая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 10.6.2. Вычисления и необратимость . . . . . . . . . . . . . . 301 О ГЛАВЛЕНИЕ ix 10.6.3. Обратимые классические вычисления . . . . . . . . . . 302 10.6.4. Обратимые выч исления . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 10.6.5. Вентили сугубо квантовые . . . . . . . . . . . . . . . . 303 10.6.6. Обратимость и уборка «мусора» . . . . . . . . . . . . . 304 Г ЛАВА 11. Симметр ии-1 (теор ема Н¨етер) . . . . . . . . . . . . . . 306 11.1. Что такое симметрия в квантовой механике . . . . . . . . . . 306 11.2. Преобразования операторов «вместе» и «вместо» . . . . . . . 308 11.2.1. Непрерывные преобразования операторов и коммута- торы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 11.3. Непрерывные симметрии и законы сохранения . . . . . . . . 309 11.3.1. Сохранение единичного оператора . . . . . . . . . . . . 311 11.3.2. Обобщ¨енный импульс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 11.3.3. Импульс как обобщ¨енная координата* . . . . . . . . . 314 11.4. Законы сохранения для ранее дискретных симметрий . . . . . 316 11.4.1. Зеркальная симметрия и не только . . . . . . . . . . . . 317 11.4.2. Ч¨етность* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 11.4.3. Квазиимпульс* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 11.5. Сдвиги в фазовом пространстве** . . . . . . . . . . . . . . . . 322 11.5.1. Групповой коммутатор сдвигов* . . . . . . . . . . . . . 322 11.5.2. Классические и квантовые наблюдаемые** . . . . . . . 324 11.5.3. Кривизна фазового пространства**** . . . . . . . . . . 326 Г ЛАВА 12. Гармонический осциллятор . . . . . . . . . . . . . . . 328 12.1. Обезразмеривание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 12.2. Представление ч исел заполнения . . . . . . . . . . . . . . . . 330 12.2.1. Лестничные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 12.2.2. Базис собственных функций . . . . . . . . . . . . . . . 335 12.3. Переход к координатному представлению . . . . . . . . . . . 337 12.4. Пример расч¨етов в представлении чисел заполнения* . . . . . 342 12.5. Симметрии гармонического осциллятора . . . . . . . . . . . . 343 12.5.1. Зеркальная симметрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 12.5.2. Фурье-симметрия и переход от координатного пред- ставления к импульсному и обратно** . . . . . . . . . 343 12.5.3. Вращение фазовой плоскости . . . . . . . . . . . . . . 347 12.6. Представление Гайзенберга для осциллятора . . . . . . . . . . 347 12.6.1. Интегрирование уравнения Гайзенберга . . . . . . . . 347 12.6.2. Роль эквидистантности уровней* . . . . . . . . . . . . 348 12.7. Когерентные состояния гармонического осциллятора* . . . . 349 12.7.1. Временная эволюция когерентного состояния* . . . . . 350 x О ГЛАВЛЕНИЕ 12.7.2. Когерентные состояния в представлении чисел запол- нения** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 12.8. Разложение по когерентным состояниям** . . . . . . . . . . . 353 12.9. Сжатые состояния** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 12.10.Классический предел* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 12.11.Квантованные поля (ф*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 12.11.1.Классический предел (фф*) . . . . . . . . . . . . . . . 361 Г ЛАВА 13. |