Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
2.6. Теоретическая механика классическая и квантовая (ф) После того как Ньютон сформулировал законы Ньютона и создал на их основе классическую механику, считавшуюся незыблемой вплоть до со- здания специальной теории относительности (СТО), развитие механики не прекратилось. 38 Г ЛАВА 2 Выдающимися математиками и механиками был разработан принцип экстремального действия (2.7.1 «Механика и оптика геометрическая и вол- новая (ф)»), на основе которого был дан ряд исключительно изящных формулировок классической механики, в которых характер механической системы полностью описывался заданием некоторой функции (лагранжиан или гамильтониан 6 ), а конкретное состояние системы описывалось как точ- ка некоторого абстрактного фазового пространства (или как распределение в этом пространстве). По существу был разработан специальный математический язык для описания механических теорий (моделей) с конечным числом степеней сво- боды. Этот язык оказался настолько удачным, что появившаяся в начале XX века специальная теория относительности также была описана на этом языке. Модификации теоретической механики для систем с бесконечным чис- лом степеней свободы столь же изящно описывают механику сплошной среды и классические теории поля (первой из которых была электродина- мика Максвелла). Мощный математический аппарат классической теоретической меха- ники не пригоден для описания квантовой механики. Однако он может быть модифицирован для квантового случая. Существенная часть данной книги — изложение теоретической кванто- вой механики для систем с конечным числом степеней свободы. Подобно классической теоретической механике, это специальный язык для описания физических теорий, который содержит квантовый гамильтониан (описыва- ет характер физической системы) и квантовые состояния. Между гамиль- тонианами соответствующих систем в классической и квантовой механике будет установлено соответствие, хотя и не однозначное 7 Как и в классическом случае, обобщение квантовой механики на бес- конечное число степеней свободы даст квантовую теорию поля (КТП). Пе- реход к релятивистскому случаю потребует не только замены гамильтониа- нов, но и одновременно перехода к квантовой теории поля, поскольку при больших энергиях становятся существенными процессы рождения частиц, а значит число степеней свободы оказывается переменным (потенциально бесконечным). 6 Лагранжиан (функция Лагранжа) — разность кинетической и потенциальной энергий, вы- раженная как функция от обобщ¨енных координат и скоростей. Гамильтониан (функция Га- мильтона) — суммарная энергия, выраженная как функция обобщ¨енных координат и импуль- сов. 7 Квантовая (теоретическая) механика систем с конечным числом степеней свободы оказы- вается похожа на классическую теорию поля (классическую механику с бесконечным числом степеней свободы). В частности, это позволит вывести уравнение Шр¨едингера из вариацион- ного принципа, как классические уравнения поля (4.11 «Вариационный принцип»). 2.7. Н ЕСКОЛЬКО СЛОВ ОБ ОПТИКЕ ( Ф ) 39 2.7. Несколько слов об оптике (ф) В классической оптике можно выделить три эпохи: • Геометрическая оптика, • Волновая оптика, • Волновая оптика как раздел классической электродинамики. Геометрическая оптика похожа на классическую механику, а волно- вая оптика обладает многими существенными чертами квантовой теории. Благодаря этому мы сможем многое понять в квантовой механике, просто по-новому взглянув на оптику и е¨е историю в сравнении с механикой клас- сической и квантовой. Позднее, в разделе 12.11 «Квантованные поля» (ф*) мы обсудим связь между классической и квантованной теориями поля на более детальном (хотя и не исчерпывающем) уровне. 2.7.1. Механика и оптика геометрическая и волновая (ф) Как известно, классическая механика была создана Ньютоном («Philo- sophiae Naturalis Principia Mathematica», 1687) по образу и подобию геомет- рии. В своих «Математических началах натуральной философии» Ньютон не писал формул, а в подражание «Началам» Евклида (1-е печатное изда- ние: «Elementa geometriae», 1482) описывал все законы на геометрическом языке. x w x ( ) Рис. 2.6. Прохождение света через 2 щели в геометрической оптике. 40 Г ЛАВА 2 x w x ( ) exp( ) i t w 1 exp( ) i t w 2 exp( ) i t w 1®f exp( ) i t w 2®f Рис. 2.7. Интерференция на 2 щелях. Мопертюи («Essay de Cosmologie», 1750), Эйлер («Reflexions sur quelques loix generales de la nature», 1748), Лагранж («M´ecanique analytique», Париж, 1788) и Гамильтон («On a general method in Dynamics», Philosophical Transactions, 1834, 1835) переформулировали классическую ньютоновскую (геометрическую) механику по образу и подобию геометрической опти- ки. Согласно принципу Ферма (ок. 1660), свет распространяется по тра- екториям с экстремальным (часто минимальным) временем прохождения. Аналогично, согласно принципу экстремального действия, движение ме- ханической системы происходит таким образом, чтобы функционал дей- ствия S[x(t)] вдоль траектории x 0 (t) был экстремален. Но если в геомет- рической оптике траектория луча света была кривой в тр¨ехмерном физи- ческом пространстве, то в теоретической механике траектория системы — кривая в конфигурационном пространстве, точки в котором задаются сово- купностью обобщ¨енных координат всех частей системы. Однако вскоре выяснилось, что распространение света более правиль- но описывается волновой оптикой. Вместо отдельных лучей в том же фи- зическом пространстве следует рассматривать волну. Согласно принципу Гюйгенса – Френеля (1816 г.), каждая точка фронта световой волны может рассматриваться как источник вторичных волн, интерференция которых, с уч¨етом фазы, зада¨ет дальнейшее распространение света. При этом фа- за волны определяется как e iωt , где t — время распространения. То самое время, которое входило в принцип Ферма. Если многократно повторять построение вторичных волн, каждый раз разбивая волновые фронты на много мелких участков, то нам прид¨ется 2.7. Н ЕСКОЛЬКО СЛОВ ОБ ОПТИКЕ ( Ф ) 41 x w x ( ) Рис. 2.8. Интерференция на бесконечном числе щелей в бесконечном числе ширм. Экраны «состоят из щелей», т. е. в действительности никаких ширм нет, зато есть интерференция света, идущего по всем возможным путям из источника в данную точку на экране. вычислять время распространения вдоль всевозможных траекторий луча света, после чего суммировать фазы тех траекторий, которые встречают- ся в нужной точке. Т. е. в волновой оптике свет распространяется по всем траекториям одновременно, постоянно интерферируя сам с собой (см. раз- дел 3.2). Рис. 2.9. Луи Виктор Пьер Раймон, 7-й герцог Брольи (Луи де Бройль), 1929 г. (1892–1987). W Волновая (квантовая) механика в той части, в которой она описывает свободную эволюцию замкнутой системы, относится к теоретической механике так же, как волновая оптика относит- ся к геометрической. В квантовой механике вмес- то отдельных траекторий в том же конфигураци- онном пространстве следует рассматривать волну (волновую функцию). И тот же функционал дей- ствия S[x(t)], экстремальное значение которого определяло разреш¨енные траектории x 0 (t) в клас- сической механике, в квантовой определяет фа- зу e i ¯ h S[x(t)] волновой функции. Поскольку действие — размерная величина, в показателе экспоненты она делится на постоян- ную ¯ h с размерностью действия — постоянную 42 Г ЛАВА 2 Планка. Постоянную Планка можно положить равной 1 и рассматривать как естественную единицу действия. «Размерность действия» = «расстояние» × «импульс» = «время» × × «энергия». Рис. 2.10. Макс Планк (1858–1947) вручает Альберту Эйнштейну (1879–1955) медаль Макса Планка, 1929 г. W Положив постоянную Планка единицей, мы тем самым выбираем в качестве единицы им- пульса обратную единицу длины, а в качестве единицы энергии — обратную единицу времени. Таким образом, размерность импульса совпадает с размерностью волнового вектора, а размерность энергии — с размерностью частоты. Из специаль- ной теории относительности мы знаем, что кру- говая частота ω вместе с волновым вектором k образуют четыр¨ехмерный волновой вектор k i = = (ω, k). Аналогично энергия E и импульс p образуют четыр¨ехмерный импульс p i = (E, p). Как было показано Планком, на примере излу- чения ч¨ерного тела, и Эйнштейном, на приме- ре фотоэффекта, четыр¨ехмерный импульс кванта электромагнитного излучения (фотона) и волно- вой вектор соответствующей волны являются од- ним и тем же объектом, выраженным в разных единицах: p i = ¯ hk i ⇔ E = ¯hω, p = ¯hk. (2.1) Де Бройль догадался, что любой частице с определ¨енным 4-импульсом со- ответствует некоторая волна, чей волновой 4-вектор выражается той же формулой. 2.7.2. Комплексная амплитуда в оптике и число фотонов (ф*) Рассмотрим поле плоской монохроматической электромагнитной вол- ны. Электрическое поле в какой-то точке пространства может быть задано как E = Re (A exp( −iωt)) = Re (A) cos(ωt) + Im (A) sin(ωt). Здесь A — комплексная амплитуда электромагнитной волны. Векторы E и A перпендикулярны волновому вектору электромагнитной волны, т. е. мы можем рассматривать A как двумерный комплексный вектор, например, в плоскости (x, y), если волна бежит по z. На этой плоскости мы можем вводить различные ортонормальные базисные векторы, которым соответ- ствуют разные взаимоисключающие поляризации, например, базис (1, 0), 2.7. Н ЕСКОЛЬКО СЛОВ ОБ ОПТИКЕ ( Ф ) 43 (0, 1) соответствует линейным поляризациям по x и по y, а базис 1 √ 2 (1, i), 1 √ 2 (1, −i) — круговым поляризациям по и против часовой стрелки. Средняя по периоду плотность энергии в электромагнитной волне про- порциональна |A| 2 = (A, A ∗ ) = (Re A) 2 + (Im A) 2 Здесь и далее зв¨ездочка ∗ обозначает комплексное сопряжение: z ∗ = = (Re z + i Im z) ∗ = Re z − i Im z. Однако в квантовой теории электромагнитная волна состоит из от- дельных частиц-фотонов, энергией по ¯ hω каждый. Таким образом, средняя плотность энергии в электромагнитной волне теперь соответствует сред- ней плотности фотонов или, если фотонов мало, вероятности обнаружить фотон в единице объ¨ема. Электродинамика — теория линейная по электромагнитному полю, а значит линейная и по амплитуде электромагнитной волны. Это означает, что мы можем умножать амплитуды на комплексные числа, складывать их между собой и снова получать амплитуды (т. е. в линейной теории допус- тима линейная суперпозиция решений). Как в любой линейной теории, по- лезным инструментом исследования электромагнитных волн является раз- ложение их по базису. Комплексные амплитуды (но уже в пространстве разных размерностей) сохраняются и в квантовой теории, прич¨ем их линейность (принцип супер- позиции) оказывается основополагающим принципом. Если мы разложим A по какому-то ортонормированному базису, то каждому базисному вектору e i соответствует своя поляризация A = A 1 e 1 + A 2 e 2 , |A| 2 = |A 1 | 2 + |A 2 | 2 При этом |A| 2 — суммарная плотность фотонов, а |A i | 2 — плотность фото- нов с поляризацией i. Например, если у нас есть всего один фотон с поля- ризацией по часовой стрелке (далее мы нормируем амплитуды на 1 фотон), т. е. A = 1 √ 2 (1, i), то мы с вероятностью 1 2 обнаружим фотон, поляризован- ный по x (прошедший через ориентированный по x поляризатор), т. е. об- наружим A = (1, 0); с вероятностью 1 2 обнаружим фотон поляризованный по y, т. е. обнаружим A = (0, 1), но с вероятностью 0 обнаружим фотон, поляризованный против часовой стрелки, т. е. A = 1 √ 2 (1, −i). В общем случае, фотон с поляризацией A обнаруживается в состоя- нии B с вероятностью |(A, B ∗ ) | 2 = |A 1 B ∗ 1 + A 2 B ∗ 2 | 2 . Эта формула может быть легко проверена для плотности энергии произвольно (эллиптически) поляризованного света, проходящего через поляризатор. 44 Г ЛАВА 2 Если в одной области пространства накладываются две электромагнит- ные волны, то можно выделить два случая. Если частоты волн совпадают, а их фазы достаточно устойчивы, то происходит когерентная интерферен- ция, т. е. складываются не плотности энергии (плотности вероятности най- ти фотон), а комплексные амплитуды. Если же волны некогерентные, т. е. если частоты различаются, или фазы скачут, то интерференционная картина усредняется по случайному сдвигу фазы, и складывать следует плотности энергии (плотности вероятности найти фотон). 2.7.3. Преобразование Фурье и соотношения неопредел¨енностей Волновой вектор точно определ¨ен только для монохроматической вол- ны, заполняющей вс¨е пространство. Аналогично, частота точно определена только для бесконечно длительного гармонического колебания. Преобразо- вание Фурье позволяет раскладывать любые функции на плоские волны: f (t, r) = f (r i ) = dω dk a(ω, k) e i(kr −ωt) Для функции одной переменной: f (t) = dω a(ω) e −iωt Поскольку для линейных (подчиняющихся принципу суперпозиции) волн энергия квадратична по амплитуде, естественно выбирать квадратичный вес |a| 2 при усреднении по частоте (волновому вектору), а также |f| 2 при усреднении по координате (четыр¨ехмерному радиус-вектору r i = (t, r)). Средние координаты для волнового пакета f (t, r): r i 0 = 1 C dt dr r i |f(r i ) | 2 , C = dt dr |f(r i ) | 2 Средний 4-волновой вектор для волнового пакета f (t, r): k i 0 = 1 C dω dk k i |a(k i ) | 2 , C = dω dk |a(k i ) | 2 = C (2π) 4 Если a(ω, k) достаточно быстро спадает при выходе из достаточно ма- лой области, то волновой вектор и волновое число «почти определены». В качестве меры ширины волнового пакета удобно взять среднеквад- ратичные отклонения 8 , например, для ширины пакета по времени и частоте 8 На самом деле, возможны разные определения неопредел¨енностей координат и импульсов, которым соответствуют разные, не сводимые друг к другу, точные формулировки соотношения неопредел¨енностей Гайзенберга. 2.7. Н ЕСКОЛЬКО СЛОВ ОБ ОПТИКЕ ( Ф ) 45 мы имеем (далее рассуждения для одной координаты) (δt) 2 = 1 C dt dr (t − t 0 ) 2 |f(r i ) | 2 , (δω) 2 = 1 C dω dk (ω − ω 0 ) 2 |a(k i ) | 2 Если взять «почти монохроматическую волну» f (t) в виде волнового пакета со средним положением t 0 и шириной δt, «вырезанного» из волны с частотой ω 0 , то обрезание волнового пакета приводит к уширению спект- ральной линии. Обрезание описывается одним параметром δt с размернос- тью времени. После преобразования Фурье мы обнаружим волновой пакет a(ω) со (средней) частотой ω 0 и шириной δω. При δt → ∞ δω → 0. Таким образом, из соображений размерности δω ∼ 1 δt . Коэффициент пропорци- ональности зависит от способа вырезания волнового пакета, однако он не может быть сколь угодно мал, поскольку δω = 0 только для монохромати- ческой волны неограниченной длины. Таким образом, δt · δω const ∼ 1. Как мы выясним ниже, в разделе 7.2 константа в данном неравенстве рав- на 1 2 С уч¨етом того, что в квантовой механике круговая частота и волновой вектор представляют собой энергию и импульс, выраженные в других еди- ницах (2.1), мы получаем для времени и частоты (энергии) соотношение неопредел¨енностей δt · δω 1 2 ⇔ δt · δE ¯ h 2 (2.2) Аналогичное соотношение неопредел¨енностей для координаты и соответ- ствующей компоненты волнового вектора (импульса): δx · δk x 1 2 ⇔ δx · δp x ¯ h 2 Представленные в таком виде соотношения неопредел¨енностей не со- держат в себе ничего специфически квантового, а лишь демонстрируют некоторые свойства преобразований Фурье. В точности такие же соотно- шения между длиной волнового пакета и шириной спектральной линии мы можем использовать, например, в акустике или электродинамике. «Неопре- дел¨енность» здесь не связана с какой-либо процедурой измерения, а явля- ется свойством самой системы. 46 Г ЛАВА 2 2.7.4. Микроскоп Гайзенберга и соотношение неопредел¨енностей Мысленный эксперимент «микроскоп Гайзенберга» позволит нам вы- вести соотношение неопредел¨енностей. Это соотношение будет очень по- хоже на рассмотренные выше в разделе 2.7.3 «Преобразование Фурье и со- отношения неопредел¨енностей», но будет иметь другой физический смысл: будет оцен¨ен разброс при последовательном измерении координаты и им- пульса для одной и той же системы. Рис. 2.11. Вернер Гайзенберг (примерно 1926–1927 гг.) (1901–1976). W При измерении координаты частицы с по- мощью света длины волны λ ∼ 1 k наилуч- шая точность измерения координаты (наилуч- шая разрешающая способность микроскопа) δx ∼ 1 k ∼ λ. При этом на частице должен рассеяться по крайней мере один фотон, который пере- даст импульс порядка δp x ∼ ¯hk. Рассеяние на точечной частице даст сферическую волну, т. е. фотон может рассеяться в произвольном направлении. Если рассеянный фотон попад¨ет в объектив микроскопа, то, в какую бы сто- рону он не летел, микроскоп направит его на датчик. Определить конкретную траекторию фотона в микроскопе принципиально невоз- можно 9 . В предельном случае для попадания в объектив микроскопа фото- ну достаточно отлететь в нужное полупространство. Поскольку направле- ние рассеяния фотона неизвестно, переданный частице импульс не может быть определ¨ен, т. е. измерение координаты размывает значение импульса не менее чем на δp x Таким образом, для произведения неточностей получаем: δx · δp x c¯ h, c = const ∼ 1. 9 Условие интерференции, см. ниже раздел 3.1 «Вероятности и амплитуды вероятности». |