Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
4.1.2. Волновая функция как векторсостояния В разных разделах математики в слово «вектор» может вкладываться различный смысл, но обычно векторы — элементы некоторого линейного 70 Г ЛАВА 4 пространства, т. е. объекты, для которых определено сложение (ψ + φ, т. е. суперпозиция состояний) и умножение на число (cψ). Очевидно, что для волновых функций эти операции определены, прич¨ем поскольку сами вол- новые функции комплекснозначны, то естественно считать, что простран- ство волновых функций — комплексное векторное пространство. Рис. 4.1. Давид Гильберт 1886 г. (1862–1943). W Принято считать, что волновая функция определена с точностью до произвольного ненулевого комплексного множителя, т. е. вол- новые функции ψ и cψ (где c = 0 — произволь- ная комплексная константа) описывают одина- ковые состояния квантовой системы. Пространство волновых функций мы бу- дем называть пространством чистых состоя- ний системы, или просто пространством сос- тояний. Сама волновая функция будет назы- ваться вектором состояния, или просто со- стоянием (точнее чистым состоянием, см. сноску 2). Значения волновой функции при разных значениях аргументов при этом можно рас- сматривать как комплексные значения компо- нент вектора из пространства H. Если рассматривать вектор как набор компонент, то можно сказать, что вектор определяет функцию, которая по номеру компоненты вектора воз- вращает значение этой компоненты. Для привычных нам конечномерных векторов компоненты нумеруются дискретным числом, которое пробега- ет конечный набор допустимых значений, а для волновых функций число компонент как правило бесконечно, прич¨ем переменная, нумерующая ком- поненты (аргумент волновой функции), может быть как дискретной, так и непрерывной (а также непрерывной на некоторых интервалах и дискрет- ной на других). На пространстве волновых функций нам нужно скалярное произведе- ние, поскольку для единичных векторов оно имеет хороший физический смысл амплитуды вероятности (3.13) при измерении. Для обычных векторов в комплексном n-мерном пространстве у мате- матиков принято определять скалярное произведение следующим образом: (a, b) = n k=1 a k b ∗ k (4.6) 4.1. П РОСТРАНСТВО ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ 71 Компоненты одного из сомножителей комплексно сопрягаются для того, чтобы скалярный квадрат любого ненулевого вектора был вещественным положительным числом (a, a) = n k=1 a k a ∗ k = n k=1 Re 2 a k + Im 2 a k (4.7) Эту формулу легко обобщить на случай, когда компоненты вектора нумеруются неограниченной дискретной переменной, а для непрерывной переменной мы заменяем сумму на интеграл φ |ψ = φ ∗ (x) ψ(x) dx, или φ |ψ = k φ ∗ (k) ψ(k). (4.8) Обратите внимание! У физиков принято комплексно сопрягать компонен- ты первого аргумента скалярного произведения, тогда как у математиков сопрягают компоненты второго аргумента. Но физики для скалярного про- изведения волновых функций используют угловые скобки вместо круглых и черту вместо запятой, что позволяет сразу различать, какой из традиций придерживается тот или иной автор. В этих выражениях можно легко узнать скалярные произведения в про- странствах L 2 (пространство квадратично интегрируемых функций) и l 2 (пространство квадратично суммируемых последовательностей). Эти про- странства мы обычно и бер¨ем в качестве пространства волновых функ- ций H. В некоторых задачах могут возникать и конечномерные простран- ства состояний C n (*) Линейные полные пространства со скалярным произведением из- вестны в математике как гильбертовы пространства. Прич¨ем все беско- нечномерные сепарабельные 5 гильбертовы пространства изоморфны, т. е. одинаковы с точностью до сохраняющей скалярное произведение (унитар- ной) замены координат. В частности, бесконечномерные пространства L 2 и l 2 отличаются друг от друга только выбором базиса. Если переменная x пробегает непрерывные значения из области U и дискретные из множества W , то φ |ψ = U φ ∗ (x) ψ(x) dx + k ∈W φ ∗ (k) ψ(k). (4.9) Через скалярный квадрат вектора определяется норма (длина вектора): ψ 2 = ψ |ψ . 5 Сепарабельное пространство содержит всюду плотное сч¨етное подмножество. 72 Г ЛАВА 4 4.2. Матрицы (л) Несколько прискорбно, что теорию линейных алгебр снова и снова приходится излагать с самого начала, поскольку фундаментальные понятия этой ветви математики широко используются в математике и физике и их знание должно быть так же широко распространено, как знание элементов дифференциального исчисления. Г. Вейль, «Теория групп и квантовая механика», «Введение» Коротко напомним некоторые понятия и факты из линейной алгебры, обобщение которых понадобится нам далее. Матрица — прямоугольная таблица из чисел, элементы которой нуме- руются двумя индексами как A ij . Первый индекс нумерует строки, а вто- рой — столбцы. Столбец (матрица-столбец) — матрица, состоящая из одного столбца, элементы которой нумеруются одним индексом как A i • . Первый индекс нумерует строки, а отсутствующий второй индекс мы заменили точкой « •». Строка (матрица-строка) — матрица, состоящая из одной строки, эле- менты которой нумеруются одним индексом как A •i . Отсутствующий пер- вый индекс мы заменили точкой « •», а второй индекс нумерует столбцы. Умножение строки на столбец той же длины да¨ет число: ua = i u •i a i • Умножение столбца на строку да¨ет матрицу — таблицу умножения элементов строки на элементы столбца: (au) ij = a i • u •j Произведение матриц да¨ет матрицу — таблицу умножения строк пер- вой матрицы на столбцы второй: (AB) ik = j A ij B jk Умножение определяется для такой пары матриц, что число столбцов пер- вой совпадает с числом строк второй. Умножение матриц ассоциативно, т. е. скобки в произведении можно ставить произвольным образом: ((AB)C) il = k ( j A ij B jk )C kl = jk A ij B jk C kl = 4.2. М АТРИЦЫ ( Л ) 73 = j A ij k (B jk C kl ) = (A(BC)) il Однако, в общем случае, умножение матриц некоммутативно ∃A, B : AB = BA, более того, произведение двух матриц в обратном порядке может быть вов- се не определено, так квадратную матрицу можно умножить на матрицу- столбец, но не наоборот. След матрицы — сумма диагональных элементов, определяется только для квадратных матриц, у которых число строк и столбцов совпадает: tr A = i A ii Квадратная матрица (в квантовой механике — оператор) может дей- ствовать (умножением) слева на столбец и превращать его в другой столбец, той же высоты, линейно зависящий от исходного: (Aa) i • = j A ij a j • , A(αa + βb) = α(Aa) + β(Ab) (4.10) (здесь α и β — ч исла). Квадратная матрица может действовать (умножением) справа на стро- ку и превращать е¨е в другую строку, той же высоты, линейно зависящую от исходной: (uA) •j = i u •i A ij , (αu + βw)A = α(uA) + β(wA). (4.11) Если заключить квадратную матрицу A между строкой u и столб- цом a, то получится число, соответствующее произведению строки u на столбец Aa, или произведению строки uA на столбец a: uAa = u(Aa) = (uA)a. (4.12) Если строка и столбец имеют следующие компоненты: u = (0, . . . , 0, 1 i , 0, . . . 0), a = (0, . . . , 0, 1 j , 0, . . . 0) T , 74 Г ЛАВА 4 т. е. если мы взяли i-ю базисную строку и j-й базисный столбец, то произ- ведение да¨ет соответствующий матричный элемент матрицы A: uAa = A ij (4.13) Эрмитово сопряжение: 6 (A † ) ij = A ∗ ji Эрмитова матрица: A † = A. Единичная матрица: ˆ 1 ij = δ ij = 1, i = j, 0, i = j. Унитарная матрица: U † U = ˆ 1. Умножение строки a † на столбец b да¨ет число, в частности, таким образом можно определить скалярное произведение столбца на столбец: a |b = a † b = i a ∗ i • b i • (4.14) Умножение столбца b на строку a † да¨ет матрицу: (ba † ) ij = b i • a ∗ j • (4.15) Собственный вектор: a матрицы (или оператора) A удовлетворяет условию Aa = αa, где число α ∈ C называется собственным числом. Для эрмитовой матрицы (или эрмитового оператора) все собственные числа вещественны. Для эрмитовой матрицы (или эрмитового оператора) можно построить базис, состоящий из собственных векторов данного оператора. Если для двух эрмитовых (или двух унитарных, или одной эрмитовой и одной унитарной) матриц (операторов) A и B коммутатор равен нулю: [A, B] = AB − BA = 0, тогда и только тогда существует базис, элементы которого являются соб- ственными векторами для матриц (операторов) A и B одновременно. 6 Мы определили эрмитово сопряжение, но специально не стали определять комплекс- ное сопряжение матрицы (A ∗ ) ij = A ∗ ij и транспонирование (A T ) ij = A ji . Дело в том, что по отдельности нам эти операции не понадобятся. Более того, операции транспониро- вания и комплексного сопряжения матриц зависят от выбора базиса при хороших (унитар- ных=сохраняющих скалярное произведение) преобразованиях координат. Такие операции на- рушают независимость формул от базиса и они нам не нужны! 4.3. Д ИРАКОВСКИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ 75 Для всякой матрицы (оператора) можно определить вещественную (эр- митову) часть и мнимую (антиэрмитову) часть: ReA = A + A † 2 , ImA = A − A † 2i , (ReA) † = ReA, (ImA) † = ImA, A = ReA + i ImA. Поскольку для эрмитовой матрицы (оператора) все собственные числа ве- щественны, для произвольной матрицы (оператора) собственный вектор A должен быть собственным одновременно для ReA и ImA: Aa = αa ⇔ (ReA)a = (Reα)a, (ImA)a = (Imα)a. Матрицы (операторы) ReA и ImA эрмитовы, так что для произвольной мат- рицы (оператора) A базис собственных векторов существует тогда и только тогда, когда [ReA, ImA] = 0 ⇔ [A, A † ] = 0. Матрицы (операторы), удовлетворяющие этому условию, называются нор- мальными. В частности, это условие выполняется для произвольной уни- тарной матрицы (оператора), поскольку из U † = U −1 следует, что [U, U † ] = = U U −1 − U −1 U = 0. Мы можем составить следующую классификацию матриц (операто- ров), которые могут быть диагонализованы при помощи унитарных преоб- разований базиса (см. рис. 4.2): Тип Собственные числа ∈ Связь с эрмитовыми нормальные C ˆ A + i ˆ B при [ ˆ A, ˆ B] = 0 эрмитовые R ˆ A антиэрмитовые i R i ˆ B унитарные e i R = {e iϕ |ϕ ∈ R} e i ˆ A Эрмитовы операторы в квантовой механике соответствуют наблюдае- мым величинам (или, попросту, наблюдаемым). Унитарные операторы со- ответствуют симметриям. В число симметрий попадает также сдвиг по вре- мени — временная эволюция системы. 4.3. Дираковские обозначения Дираковские обозначения в квантовой механике во многом аналогичны матричным обозначениям, поэтому читателю полезно внимательно срав- 76 Г ЛАВА 4 Рис. 4.2 нить этот раздел с разделом 4.2. Как и для матриц, для дираковских симво- лов нет коммутативности (сомножители нельзя произвольно переставлять), но есть ассоциативность (т. е. при умножении можно свободно расставлять скобки). Рис. 4.3. Поль Адриен Морис Дирак (1902–1984). W В рассматриваемом формализме волновая функция c компонента- ми ψ(x) рассматривается как аналог матрицы-столбца и называется кет- вектором, а комплексно-сопряж¨енная волновая функция с компонента- ми ψ ∗ (x) — как аналог матрицы-строки и называется бра-вектором. 4.3.1. Основные «строительные блоки» дираковских обозначений • Комплексное число (или просто — число). На числа можно множить все прочие, используемые нами объекты, прич¨ем комплексные числа мож- но свободно переставлять с множителями любого сорта, на результат такие перестановки не влияют; 4.3. Д ИРАКОВСКИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ 77 • |ψ — кет-вектор (может обозначаться просто как ψ), рассматривается как матрица-столбец, его компоненты — ψ(x); • ψ| — бра-вектор (может обозначаться просто как ψ † ), получается из кет-вектора эрмитовым сопряжением ψ | = (|ψ ) † , рассматривается как матрица-строка, его компоненты — ψ ∗ (x); • ˆ A — оператор (аналог квадратной матрицы), обычно обозначается бук- вой в «шляпке». Эти четыре типа объектов образуют различные линейные простран- ства: • C — пространство комплексных чисел. • H — пространство кет-векторов. С точки зрения математики гильбер- тово пространство (бесконечномерное комплексное пространство со скалярным произведением и определяемой с помощью этого произ- ведения метрикой, в котором сходятся все фундаментальные после- довательности). Кет-векторы можно складывать между собой (если они описывают состояния одинаковых физических систем) и умно- жать на комплексные числа, при этих операциях снова получаются кет-векторы. Элементы H превращаются в элементы сопряж¨енного пространства при помощи эрмитова сопряжения. • H ∗ — пространство бра-векторов. Бра-векторы можно складывать меж- ду собой (если они описывают состояния одинаковых физических сис- тем) и умножать на комплексные числа, при этих операциях снова по- лучаются бра-векторы. Пространство H ∗ сопряжено к H — его элемен- ты линейно отображают элементы H на C с помощью произведения строки на столбец. • H ⊗ H ∗ — пространство операторов из H в H. Операторы можно скла- дывать между собой (если они действуют на состояния одинаковых физических систем) и умножать на комплексные числа, при этих опе- рациях снова получаются операторы. • Нельзя складывать между собой объекты разных типов (кет-векторы с бра-векторами, и те и другие с операторами, а также волновые функ- ции/операторы, соответствующие различным физическим системам). 4.3.2. Комбинации основных блоков и их значение • φ||ψ = φ|ψ = (|φ ) † |ψ — брекет = бра·кет — умножение строки на столбец — скалярное произведение φ на ψ (обе волновых функции 78 Г ЛАВА 4 должны описывать одинаковые физические системы) (см. (4.8), срав- ните с (4.14)) является числом и может свободно переставляться со всеми другими множителями; • ˆ A |ψ — действие оператора слева на кет-вектор да¨ет снова кет- вектор (может обозначаться просто как ˆ Aψ). Данная операция линейна: ˆ A(α |ψ + β|φ ) = α ˆ A |ψ + β ˆ A |φ (сравните с (4.10)); • ψ| ˆ A — действие оператора справа на бра-вектор да¨ет снова бра- вектор (может обозначаться просто как ψ † ˆ A). Данная операция линей- на: (α ψ | + β φ|) ˆ A = α ψ | ˆ A + β φ | ˆ A (сравните с (4.11)); • φ| ˆ A |ψ = φ| ˆ Aψ = A φψ — матричный элемент оператора представ- ляет собой число (сравните с (4.13)). Матричный элемент можно рас- сматривать как: – произведение бра-вектора φ | ˆ A на кет-вектор |ψ , – произведение бра-вектора φ | на кет-вектор ˆ A |ψ , – скалярное произведение φ на ˆ Aψ; • ψ| ˆ A |ψ , когда ˆ A = ˆ A † (про эрмитово сопряжение в дираковских обо- значениях см. ниже), ψ |ψ = 1 — среднее значение наблюдаемой A по состоянию ψ; • |ψ φ| — кет-бра произведение представляет собой оператор (сравните с 4.15). – Оператор |ψ φ| может действовать слева направо на кет-век- тор |χ : ( |ψ φ|)|χ = |ψ φ|χ число = φ |χ |ψ . (4.16) – Оператор |ψ φ| может действовать справа налево на бра-век- тор λ |: λ |(|ψ φ|) = λ|ψ число φ |; (4.17) • |ψ |φ = |ψ ⊗ |φ — произведение кет-кет соответствует тензорному произведению ψ ⊗ φ и представляет собой кет-вектор, описывающий систему, состоящую из двух подсистем: 1-я находится в состоянии |ψ , а 2-я в состоянии |φ (см. (4.1), (4.2)); 4.3. Д ИРАКОВСКИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ 79 • φ| ψ| = φ| ⊗ ψ| = (|ψ |φ ) † — произведение бра-бра соответствует тензорному произведению сопряж¨енных волновых функций (бра-век- торов) и представляет собой бра-вектор, описывающий систему, сос- тоящую из двух подсистем, при этом порядок сомножителей бер¨ется обратным по отношению к произведению кет-кет, описывающим ту же составную систему (см. ниже правило для эрмитового сопряжения). 4.3.3. Эрмитово сопряжение Эрмитово сопряжение обозначается значком « †» и выполняется по сле- дующим правилам (здесь a, b, c — комплексные числа, бра-векторы, кет- векторы, операторы и их всевозможные разреш¨енные комбинации): • (a † ) † = a, • α † = α ∗ , α ∈ C — эрмитово сопряжение числа совпадает с комплекс- ным сопряжением, • (a + b) † = a † + b † — сумма сопрягается поэлементно, • (abc . . . ) † = . . . c † b † a † — при сопряжении произведения надо сопрячь каждый множитель и изменить их порядок на противоположный, • (|ψ ) † = ψ |, • ( ψ|) † = |ψ . Привед¨ем некоторые примеры: • φ| ˆ A |ψ † = φ | ˆ A |ψ ∗ = A ∗ φψ = A † ψφ = ψ | ˆ A † |φ — это тождество выполняется для любых пар волновых функций ψ и φ, при этом верно обратное, если φ | ˆ A |ψ ∗ = A ∗ φψ = B ψφ = ψ | ˆ B |φ , для всех пар ψ, φ (достаточно проверить это для базисных волновых функций), то B = = A † (сравните с эрмитовым сопряжением из раздела 4.2), • (|ψ φ|) † = |φ ψ|, • ( φ|ψ число ) † = ( φ |ψ ) ∗ = ψ |φ , • ( ˆ A |ψ ) † = ψ | ˆ A † = ˆ Aψ |, • ( ψ| ˆ A) † = ˆ A † |ψ , |