Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
4.7. Операторы Операторы в квантовой теории во многом аналогичны матрицам. В случае, когда пространство волновых функций конечномерно, операторы оказываются обычными матрицами. Можно сказать, что операторы — это и есть матрицы. Не случайно, например, описывающий смешанные кван- товые состояния оператор называется матрицей плотности. Здесь мы постараемся сформулировать основные свойства операторов в таком виде, чтобы описание не зависело от того, конечна или бесконечна размерность пространства волновых функций. Линейный оператор действует на вектор состояния и превращает его в другой вектор состояния, прич¨ем полученное состояние линейно зависит от исходного 12 : ˆ A : D → V, D, V ⊂ H, ˆ Aψ = φ, ψ, φ ∈ H — чистые состояния, ˆ A(αψ) = α( ˆ Aψ), α ∈ C, ˆ A(ψ + φ) = ˆ Aψ + ˆ Aφ. Операторы можно задавать различными способами. Например, опера- тор частной производной по координате x, если волновая функция задана просто, как функция от координат, можно задать как дифференциальный оператор ∂ ∂x : ψ → ∂ψ ∂x . Другие операторы может быть удобнее задать через их действие на все векторы некоторого базиса, или в виде матрицы. 4.7.1. Ядро оператора* По аналогии с обычной формулой умножения матрицы на столбец (Aa) m = n A mn a n мы можем представить действие оператора ˆ A : D → V 12 Область определения D оператора ˆ A может не совпадать с пространством H. Прич¨ем та- кое несовпадение имеет место для очень многих физически осмысленных операторов. Обычно физики не обращают внимание на такие «мелочи», однако иногда такие «чисто математичес- кие» тонкости имеют интересный физический смысл. 100 Г ЛАВА 4 на кет-вектор следующим образом: ˆ Aψ(x) = y ∈W A xy ψ(y) + y ∈U A xy ψ(y) dy. (4.41) Здесь W — дискретный спектр, по которому бер¨ется сумма, как для обыч- ных матриц, а U — непрерывный спектр, по которому бер¨ется интеграл. Функция A xy — обобщ¨енная функция от x и y. Если волновая функция — функция от одного набора переменных x, то ядро оператора — функция от двух наборов переменных (x, y). Е¨е можно представить как линейный функционал на пространстве D × H ∗ , который ставит в соответствие объ- екту вида |ψ φ| ∈ D × H ∗ число φ | ˆ A |ψ . В следующей формуле, чтобы не загромождать запись, мы ограничились случаем, когда базис содержит векторы только непрерывного спектра: A : D × H ∗ → C, ψ ∈ D, φ ∈ H = L 2 (U ), A : |ψ φ| = ψ × φ † → φ| ˆ A |ψ = x,y ∈U φ ∗ (x)A xy ψ(y) dx dy. (4.42) Интеграл здесь следует понимать как линейный функционал от ψ × φ † (Сравните с разделом 4.6.3 «Замена базиса».) 4.7.2. Матричный элемент оператора Ядро оператора может быть записано через действие оператора на ба- зисные векторы A xy = φ x | ˆ A |φ y (4.43) В этом можно легко убедиться, подставив в формулу (4.41) компоненты базисных волновых функций (4.31), для дискретного спектра, и (4.34), для непрерывного. Аналогичную формулу (4.13) мы уже писали для элемента обычной матрицы. Формулы (4.42) и (4.43) позволяют записывать матричные элемен- ты по одному базису через компоненты операторов/матриц и состоя- ний/векторов в другом базисе. В соответствии со сложившейся в квантовой механике традицией мы будем называть матричным элементом также значение билинейной фор- мы, соответствующей данному оператору на паре произвольных состояний, 4.7. О ПЕРАТОРЫ 101 и будем использовать соответствующие обозначения: A φψ = φ | ˆ A |ψ . (4.44) Если один или оба состояния в формуле (4.44) относятся к непрерывному спектру, то понимать данную формулу следует в соответствии с раздела- ми 4.6.2 «Природа состояний непрерывного спектра*», 4.7.1 «Ядро опера- тора*». 4.7.3. Базис собственных состояний Подобно эрмитовой (унитарной) матрице эрмитов (унитарный) опе- ратор ˆ A можно диагонализовать: подобрать базис собственных состояний |φ xy (x — собственное число, y нумерует векторы с одинаковыми собствен- ными числами): |ψ = ⎛ ⎝ x ∈W + U dx ⎞ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ y ∈W y (x) + U y (x) dy ⎞ ⎟ ⎠ ψ(x, y)|φ xy , ˆ A |φ xy = x |φ xy (4.45) В таком представлении действие оператора можно представить как ˆ Aψ(x, y) = x ψ(x, y). Таком образом, зная спектр (набор собственных чисел) эрмитового (унитарного) оператора и базис собственных состояний этого оператора, можно описать действие этого оператора на произвольное состояние. 4.7.4. Векторы и их компоненты** Внимательный читатель может обратить внимание на некоторую дву- смысленность введ¨енных нами обозначений. Если, например, мы пишем разложение вектора по базису собственных состояний |ψ = k ψ(k) |φ k , ˆ A |φ k = k |φ k , ˆ A |ψ = k ψ(k) |φ k , то ψ(k) зада¨ет компоненту номер k вектора |ψ . 102 Г ЛАВА 4 А если мы пишем ˆ Aψ(k) = k ψ(k), то тогда ψ(k) зада¨ет уже не компоненту вектора, а весь вектор, заданный как функция переменной, обозначенной буквой k. Формально последнюю формулу было бы более правильно записать так: вектор ( ˆ A ψ вектор )(k) компонента = k ψ(k), но обычно мы не будем столь педантичны. Как правило, определить, что именно обозначает ψ(k) или другое по- добное, обозначение можно исходя из контекста. В частности, если по пе- ременной k бер¨ется сумма или интеграл, то имеется в виду заведомо ком- понента вектора. Впрочем, подобная путаница между обозначением функции и е¨е зна- чения в некоторой точке — обычное дело в разных областях физики и ма- тематики. 4.7.5. Среднее от оператора Диагональные матричные элементы от эрмитовых операторов играют особую роль: они задают средние значения соответствующих наблюдаемых (т. е. наблюдаемых величин) по выбранному состоянию: ˆ A ψ = ψ н | ˆ A |ψ н = ψ | ˆ A |ψ ψ |ψ , |ψ н = |ψ ψ |ψ (4.46) Это соотношение легко выводится, если записать вектор |ψ н в базисе собственных функций оператора ˆ A (далее для простоты формулы пишутся для невырожденного спектра — на каждое собственное число приходится ровно один базисный вектор). С уч¨етом того, что состояния дискретного спектра нормированы на δ-символ, а состояния непрерывного спектра — на δ-функцию φ k |φ l = δ kl , k, l ∈ W, φ x |φ y = δ(x − y), x, y ∈ U, φ k |φ x = 0, x ∈ U, k ∈ W, 4.7. О ПЕРАТОРЫ 103 получаем среднее от x ∈ U ∪ W с весом (вероятностью для дискретного спектра и плотностью вероятности для непрерывного) |ψ(x)| 2 : ψ н | ˆ A |ψ н = ⎛ ⎝ x ∈W + U dx ⎞ ⎠ x · |ψ(x)| 2 4.7.6. Разложение оператора по базису Если у нас есть базис в пространстве состояний, то мы можем ввести базис в пространстве операторов H × H ∗ , состоящий из операторов вида |φ x φ y |. Произведение кет-вектора на бра-вектор следует понимать в смысле (4.16), (4.17). Теперь матричный элемент оператора оказывается коэффициентом раз- ложения оператора по базису. Для базиса, содержащего только векторы непрерывного спектра, можно записать: ˆ A = x,y ∈U |φ x A xy φ y | dx dy. Если базис содержит и непрерывный и дискретный спектры, то получается более громоздкая формула ˆ A = x,y ∈U |φ x A xy φ y | dx dy + x,y ∈W |φ x A xy φ y | + + x ∈U y∈W |φ x A xy φ y | dx + x ∈W y ∈U |φ x A xy φ y | dy, которую можно написать более коротко следующим образом: ˆ A = ⎛ ⎝ x ∈W + x ∈U dx ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ y ∈W + y ∈U dy ⎞ ⎠ |φ x A xy φ y |. (4.47) Разложение единичного оператора по произвольному ортонормированному базису можно записать так: ˆ 1 = ⎛ ⎝ x ∈W + x ∈U dx ⎞ ⎠ |φ x φ x |. (4.48) 104 Г ЛАВА 4 4.7.7. Области определения операторов в бесконечномерии* Сколь велико различие между конечномерными и бесконечномерны- ми пространствами и матрицами/операторами, действующими на них? На первый взгляд различие сводится к замене диапазона, который пробега- ет индекс при суммировании. Если диапазон изменения индекса содержит непрерывные куски, то по этим кускам вместо суммирования надо интег- рировать. И это вс¨е? Нет, не вс¨е! Когда мы считаем скалярное произведе- ние или скалярный квадрат, то сумма конечного числа членов определена всегда. При вычислении бесконечной суммы (ряда) или интеграла выра- жение может оказаться расходящимся. Конечно, мы оставляем в гильбер- товом пространстве H только такие векторы, квадрат которых определ¨ен. Это гарантирует что скалярное произведение определено для любой пары векторов: φ |ψ = 1 4 ψ + φ 2 − ψ − φ 2 + i ψ + iφ 2 − i ψ − iφ 2 Такое определение скалярного произведения через норму называют проце- дурой поляризации 13 Однако действие некоторых операторов может выводить некоторые векторы из гильбертова пространства. Например, возможно, что функция квадратично интегрируема ψ 2 = ψ |ψ = R |ψ(x)| 2 dx < ∞, ⇒ ψ ∈ H, но под действием оператора ˆ x (после умножения на x) интеграл уже расхо- дится ˆ xψ 2 = ˆ xψ |ˆxψ = R x 2 |ψ(x)| 2 dx → ∞, ⇒ ˆ xψ ∈ H. В этом случае результат действия оператора на вектор ˆ x |ψ не определ¨ен в пространстве H. Таким образом, оказывается, что область определения 13 Чтобы процедура поляризации определяла скалярное произведение через норму, надо, чтобы норма удовлетворяла правилу параллелограмма ψ + φ 2 + ψ − φ 2 = 2 ψ 2 + 2 φ 2 В этой формуле легко узнать геометрическое тождество для обычной двумерной плоскости, натянутой на векторы ψ и φ. 4.7. О ПЕРАТОРЫ 105 и область значения какого-либо оператора могут не совпадать с простран- ством чистых состояний H. Мы иногда можем формально записать компо- ненты такого неопредел¨енного вектора, но такой квадратично неинтегри- руемый вектор не только не попадает в пространство H, но и не имеет физического смысла. Часто ли такое случается с физически осмысленными операторами? Очень часто. Всегда, когда спектр оператора не ограничен, т. е. существуют собственные числа сколь угодно большие по абсолютной величине, неко- торые состояния из H не попадают в его область определения, но при этом область определения может быть плотна в пространстве H. К числу неогра- ниченных с плотной в H областью определения относятся операторы им- пульса, координаты (в бесконечном пространстве), энергии и др. 14 Впрочем, когда подобные неограниченные эрмитовы операторы ˆ A с плотной областью определения используются как генераторы, для по- строения соответствующих унитарных операторов e iα ˆ A (α ∈ R), унитарные операторы оказываются определены всюду. Благодаря ограниченности соб- ственных чисел ( |u| ≡ 1) для всех унитарных операторов область определе- ния совпадает с областью значений и совпадает со всем пространством H. Когда при определении неограниченного эрмитового оператора мы пи- шем ˆ A = ˆ A † , то это означает также совпадение всюду плотных областей определения для операторов ˆ A и ˆ A † . Именно для таких операторов доказы- вается теорема о диагонализации (полноте базиса собственных функций). Так что если мы доказали, что некоторый оператор является симметрич- ным, т. е. что φ | ˆ Aψ = ˆ Aφ |ψ для всякой пары φ, ψ, для которой определена левая часть равенства, то это ещ¨е не эрмитовость. (*) Требование совпадения областей определения ˆ A и ˆ A † можно рас- сматривать по аналогии с конечномерным пространством как требование квадратности матрицы. Эрмитову матрицу мы можем диагонализовать, а для этого она должна быть квадратной. В конечномерном случае усло- вие квадратности матрицы ˆ A означает, что области определения для не¨е и сопряж¨енной матрицы ˆ A † совпадают. Аналогично мы требуем совпаде- ния областей определения операторов ˆ A и ˆ A † в бесконечномерном случае. Часто, когда говорят об эрмитовости какого-либо оператора, на самом деле имеют в виду эрмитовость другого оператора, который получается из 14 В общем случае ограниченным называется оператор ˆ A, для которого конечна норма A = sup ψ ˆ Aψ ψ < ∞. 106 Г ЛАВА 4 исходного доопределением (продолжением) на большую область определе- ния. Например, оператор импульса на прямой можно определить как эр- митов оператор, продолжив оператор −i¯h ∂ ∂x . Оператор импульса на по- лупрямой является симметричным для функций, обращающихся в ноль на границе, но он не может быть продолжен до эрмитового оператора. По этой причине импульс на полупрямой не имеет собственных функций. Для отличия эрмитовых (или продолжаемых до эрмитовых) операто- ров от просто симметричных мы можем использовать следующий простой критерий: эрмитов оператор всегда диагонализуется (имеет полный базис собственных векторов). Именно эрмитовы операторы в квантовой механике сопоставляются наблюдаемым величинам, так что «чисто математическое» различие между симметричными и эрмитовыми операторами на самом деле имеет физичес- кий смысл. 4.7.8. След оператора* Данный раздел нужен в первую очередь для работы с матрицами плот- ности (4.8 «Матрица плотности*»). При первом чтении вс¨е, что касается матриц плотности, можно пропустить, включая этот раздел. По аналогии со следом матрицы можно ввести след оператора как сум- му (интеграл) диагональных матричных элементов: tr ˆ A = ⎛ ⎝ x ∈W + x ∈U dx ⎞ ⎠ A xx = ⎛ ⎝ x ∈W + x ∈U dx ⎞ ⎠ x|A|x . (4.49) В отличие от конечномерных матриц, для которых след определ¨ен всег- да, для операторов соответствующий интеграл (сумма) может расходиться. В частности, след единичного оператора равен размерности пространства и расходится для бесконечномерного пространства. Для оператора, записанного как произведение кет-вектора на бра-век- тор, след можно записать следующим образом: tr |ψ φ| = φ|ψ . (4.50) Если дополнить формулу (4.50) условием линейности следа: tr(α ˆ A + ˆ B) = α tr ˆ A + tr ˆ B, (4.51) то е¨е можно принять в качестве определения следа вместо (4.49). 4.7. О ПЕРАТОРЫ 107 То, что (4.47), (4.50), (4.51) ⇒ (4.49), очевидно. В свою очередь из определения (4.49) сразу следует линейность (4.51), а формула (4.50) легко выводится: tr |ψ φ| = ⎛ ⎝ x ∈W + x ∈U dx ⎞ ⎠ φ x |ψ φ|φ x = = ⎛ ⎝ x ∈W + x ∈U dx ⎞ ⎠ φ|(|φ x φ x |)|ψ = = φ | ⎡ ⎣ ⎛ ⎝ x ∈W + x ∈U dx ⎞ ⎠ |φ x φ x | ⎤ ⎦ |ψ = φ|ˆ1|ψ = φ|ψ . Формула (4.50) позволяет циклически переставлять под следом не только операторы (матрицы), но и бра- и кет-векторы (строки и столбцы): tr(ab . . . yz) = tr(zab . . . y) = tr(b . . . yza). (4.52) Здесь a, b, . . . , y, z — произвольный набор чисел, операторов, бра- и кет- векторов, записанных в виде произведения, для которого имеет смысл след, т. е. в виде оператора или числа (матрицы 1 × 1). Мы можем принять (4.52) вместе с условием линейности (4.51) в ка- честве ещ¨е одного определения следа, если ввести условие, что след числа равен самому числу: tr α = α, α ∈ C. (4.53) (!!!) Определив след от числа как само это число, мы определили это число как матрицу 1 × 1, однако мы можем понимать то же число как матрицу n × n вида αˆ1, где ˆ1 — единичная матрица n × n. Очевидно, что tr(αˆ 1) = nα = α = tr α. Частичный след оператора* Пусть пространство состояний представлено в виде тензорного произ- ведения: H = H 1 ⊗ H 2 Это означает, что волновая функция представляется как функция от двух наборов аргументов, отвечающих первому и второму пространствам: ψ(x, y) = y | x|ψ . 108 Г ЛАВА 4 |ψ = x,y ψ(x, y) |x |y . (Для упрощения формул мы пишем только суммы, как для дискретного спектра.) Здесь ( y | x|) † = |x |y — базисное состояние в пространстве H, записанное как произведение базисных состояний |x и |y в простран- ствах H 1 и H 2 Ядро оператора в пространстве H оказывается функцией (для непре- рывного спектра м. б. обобщ¨енной функцией) уже от двух двойных наборов аргументов: A(x, y; x , y ) = y | x| ˆ A |x |y . ˆ A = x,y;x ,y |x |y A(x, y; x , y ) y | x |. Для оператора на пространстве H = H 1 ⊗ H 2 мы можем определить частичный след по пространству H 2 : tr H 2 ˆ A = x,y;x |x A(x, y; x , y) x | = y y | ˆ A |y . (4.54) Получившийся объект является не числом, как обычный след, а операто- ром над пространством H 1 . Ядро следа зависит только от одного двойного набора переменных и зада¨ется соотношением tr H 2 ˆ A(x; x ) = y;y A(x, y; x , y). (4.55) Заметим, что при преобразовании базиса в пространстве H 2 векто- ры и операторы в пространстве H 1 не преобразуются (т. е. с точки зрения трансформационных свойств ведут себя как скаляры/числа, хотя и не ком- мутативные). Все привед¨енные выше способы вычисления следа относятся также и к частичному следу по H 2 с той оговоркой, что в качестве состояний, по которым бер¨ется след, рассматриваются только состояния на H 2 . В частнос- ти, по аналогии с (4.53) (и с теми же оговорками!) для любого операто- ра ˆ A 1 : H 1 → H 1 tr H 2 ˆ A 1 = ˆ A 1 (4.56) Между частичным и полным следом существует очевидное соотноше- ние: tr ˆ A = tr H 1 tr H 2 ˆ A = tr H 2 tr H 1 ˆ A. (4.57) |