Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
6.3.3. Пример: рассеяние на δ-яме Рассмотрим одномерную задачу рассеяния на потенциале δ-ямы: U (x) = −¯h 2 m κ 0 δ(x). Как и для ступеньки, асимптотическое поведение волновой функции (6.15) начинается непосредственно от нуля: ψ(x) = e ikx + re −ikx , ψ (x) = ik e ikx − re −ikx , x 0, ψ(x) = de ikx , ψ (x) = ikde ikx , x 0, k = 1 ¯ h √ 2mE. Одно из условий сшивки по-прежнему условие непрерывности волновой функции, а второе изменяется на условие на скачок первой производной для δ-ямы: ψ( −0) = 1+r = ψ(+0) = d, ψ | +0 −0 = ikd −ik(1−r) = −2κ 0 ψ(0) = −2κ 0 d. 6 Мнимому D тоже можно придать физический смысл, но это уже не будет коэффициент прохождения. 180 Г ЛАВА 6 Получаем систему 1 + r = d, d + r − 1 = 2i κ 0 k d ⇒ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ d = k k − iκ 0 , r = iκ 0 k − iκ 0 (6.18) Из амплитуд выражаем коэффициенты прохождения и отражения R = |r| 2 = κ 2 0 k 2 + κ 2 0 , D = |d| 2 = k 2 k 2 + κ 2 0 Как пример самопроверки снова проверим общие свойства: • R + D = 1 — сохранение вероятности; • при κ 0 = 0 (яма исчезает) частица проходит без рассеяния: R = 0, D = 1; • при E → +∞ получаем κ 0 k → 0, частица проходит без рассеяния: R → 0, D → 1; • при κ 0 → −∞ δ-яма превращается в δ-барьер, который по мере роста −κ 0 становится вс¨е более и более непроницаемым, частица полностью отражается: R → 1, D → 0; • для ч¨етного потенциала рассеяние справа налево не полностью сим- метрично рассеянию слева направо и отдельно его рассматривать не надо. 6.3.4. Общие свойства одномерного рассеяния Разрешимость задачи Если k и k вещественны, то E — двухкратно вырожденное состоя- ние. Отсутствие падающей волны в асимптотике на + ∞ (т. е. равенство нулю амплитуды при члене e −ik x при x → +∞) выделяет из двумерно- го пространства состояний с данной энергий одномерное подпространство. Единичная амплитуда падающей волны (e ikx при x → +∞) фиксирует нормировку рассматриваемого решения. Таким образом, амплитуды r и d определяются однозначно. Если k — вещественное, а k — мнимое, то энергия E относится к непрерывному невырожденному спектру. Асимптотика на + ∞ имеет вид 6.3. О ДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ 181 e −|k |x , так что следует считать, что d = 0. 7 Как уже говорилось выше, в одномерном случае стационарные состояния могут быть записаны как вещественные волновые функции. Для невырожденного уровня это озна- чает, что собственное состояние всегда может быть сделано вещественным умножением на постоянный множитель. Для асимптотики x → −∞ по- лучаем, что |r| = 1, т. е. частица отражается с единичной вероятностью. Однако фаза амплитуды r может нести некоторую интересную информа- цию (например, если одномерная задача получена из задачи на радиальное движение в центральном поле). Сохранение вероятности* Свойство сохранения вероятности при рассеянии (R + D = 1) мы уже обосновали. Теперь мы его докажем. Плотность вероятности (x) обнаружения частицы в точке x и плот- ность потока вероятности j(x) задаются выражениями 8 (x) = |ψ(x)| 2 , j = i¯ h 2m ( −ψ ∗ ∇ψ + ψ∇ψ ∗ ) = Re ψ ∗ (x) ˆ p m ψ(x) . Для них выполняется уравнение непрерывности 9 ∂ρ ∂t + div j = 0, ⇒ в одномерии ∂ρ ∂t + ∂j ∂x = 0. В одномерном случае вектор j имеет всего одну компоненту. Для стационарных состояний от времени зависит только фаза волновой функции и ∂ρ ∂t = 0. Так что для одномерных стационарных состояний, кото- рые используются в одномерной задаче рассеяния, ток вероятности вдоль 7 Как мы уже видели выше, для рассеяния на ступеньке с высотой выше, чем энергия частицы, аналитическое продолжение со случая бегущей прошедшей волны e ik x на случай вещественной экспоненты даст нам ненулевое значение d, однако формально вычисленный коэффициент прохождения D = k k |d| 2 при этом оказывается мнимым, что ясно говорит нам, что e ik x уже не волна де Бройля, а вещественная экспонента, затухающая на + ∞, и правильное значение d = 0. 8 Cм. раздел 13.6 «Сохранение вероятности и уравнение непрерывности», можно отложить чтение текущего раздела до тех пор, пока указанный раздел не будет изучен, или перепрыгнуть впер¨ед, а потом вернуться назад. Либо последовать совету в следующей сноске. 9 Вы можете, используя уравнение Шр¨едингера, легко проверить это уравнение и рассмат- ривать его как обоснование привед¨енного определения j. Либо можно ограничиться проверкой свойства j(x) = const для одномерного стационарного случая. 182 Г ЛАВА 6 всей оси постоянен: j(x) = const, j(x) = i¯ h 2m ( −ψ ∗ ψ + ψψ ∗ ). Вычислим j(x) на −∞ и +∞, используя заданные при постановке задачи (6.15) асимптотики: j(+ ∞) = |d| 2 ¯ hk m , j( −∞) = (1 − |r| 2 ) ¯ hk m . j( −∞) = j(+∞) ⇒ 1 − |r| 2 R = k k |d| 2 D 6.3.5. Рассеяние слева направо и справа налево** Выше мы сформулировали одномерную задачу рассеяния для волны, падающей слева направо (6.15), однако мы можем поставить для того же потенциала U (x) задачу рассеяния для волны, падающей справа налево: ψ o + 2m ¯ h 2 (E − U(x)) = 0, (6.19) ψ o (x) → e −ik x падающая волна + r o e ik x отраж¨енная волна , x → +∞, ψ o (x) → d o e −ikx прошедшая волна , x → −∞, k = 1 ¯ h 2m(E − U − ), k = 1 ¯ h 2m(E − U + ), R o = |r o | 2 , D o = k k |d o | 2 (6.20) Решив для одного потенциала U (x) задачу рассеяния в обоих направ- лениях для энергии E > U + , мы получим два разных решения ψ(x) и ψ o (x) стационарного уравнения Шр¨едингера для одного и того же потенциала и одной и той же энергии. Ещ¨е два решения того же уравнения для той же энергии мы можем получить, взяв комплексно сопряж¨енные функции ψ ∗ (x) и ψ ∗ o (x). Все четыре решения принадлежат к одному двумерному линейному пространству решений стационарного уравнения Шр¨едингера с данной энергией. Отсюда следует, что между ними должна быть линейная зави- симость. 6.3. О ДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ 183 Чтобы исследовать зависимость решений, используем вронскиан (6.12) (см. 6.2.3 «Вронскиан (л*)»). Для частиц, движущихся с одинаковой энерги- ей в одинаковых потенциалах, вронскиан от координаты не зависит (6.13)! Подставляя в вронскиан асимптотики на ±∞ четыр¨ех связанных с од- номерной задачей рассеяния решений уравнения Шр¨едингера ψ(x), ψ ∗ (x), ψ o (x), ψ ∗ o (x), мы получим ряд тождеств на параметры этих асимпто- тик r, d, r o , d o , k, k . • i 2 W [ψ, ψ ∗ ] = k |d| 2 x →+∞ = k(1 − |r| 2 ) x →−∞ — с точностью до множителя этот вронскиан совпадает с током вероятности j для решения ψ(x). Мы ещ¨е раз доказали сохранение вероятности в одномерной задаче рассеяния. • i 2 W [ψ o , ψ ∗ o ] = −k (1 − |r o | 2 ) x →+∞ = −k|d o | 2 x →−∞ — с точностью до множителя этот вронскиан совпадает с током вероятности j для решения ψ o (x). • i 2 W [ψ, ψ o ] = k d x →+∞ = kd o x →−∞ — отсюда получаем (поскольку k и k вещественны), что D = k k |d| 2 = k k |d o | 2 = D o Коэффициенты прохождения (а значит и коэффициенты отражения) че- рез барьер в обе стороны одинаковы! • i 2 W [ψ, ψ ∗ o ] = k dr ∗ o x →+∞ = −kd ∗ o r x →−∞ 6.3.6. Волновые пакеты До сих пор мы рассматривали рассеяние на потенциале бесконечно длинных монохроматических волн. Это предельный случай, который прин- ципиально не может быть реализован на практике, т. к. плоская волна, как и любое состояние непрерывного спектра, не может быть нормирована на единицу. Реальное рассеяние — рассеяние волновых пакетов, которые уже не являются монохроматическими, но зато имеют конечную норму. Рассеяние достаточно длинных волновых пакетов (длинных по координате и узких по 184 Г ЛАВА 6 импульсу) должно в пределе соответствовать тому, что мы уже получили для монохроматических волн (состояний с определ¨енной энергией). Следует ожидать, что падающий волновой пакет, провзаимодейство- вав с потенциалом, расщепится на два волновых пакета: прошедший и от- раж¨енный, прич¨ем интегралы от |ψ(x)| 2 по интервалам, содержащим, со- ответствующие пакеты будут соответствовать коэффициентам прохождения и отражения для данного потенциала. Свободный волновой пакет Рассмотрим волновой пакет, распространяющийся в потенциале U (x) = = const. Полученный результат потом можно будет сравнить с асимптоти- ч еским поведением отраж¨енной и прошедшей волн в областях x → ±∞, где потенциал выходит на константу. Мы уже рассматривали движение и расплывание волнового пакета ра- нее (5.2.6 «Эволюция волнового пакета для свободной частицы»). Любую волновую функцию можно разложить по монохроматическим волнам, используя преобразование Фурье: ψ(x) = 1 √ 2π e ikx f (k − k 0 ) dk. (6.21) Волновой пакет, который нас интересует, должен описываться функцией f (k − k 0 ), которая быстро стремится к нулю, когда k удаляется от k 0 , тогда волна будет близкой к монохроматической. Вынеся из под интеграла множитель e ik 0 x , мы записываем ψ(x) в ви- де произведения монохроматической волны на медленно зависящую от ко- ординаты амплитуду ˜ f (x), связанную с функцией f (k ) преобразованием Фурье: ψ(x) = e ik 0 x 1 √ 2π e ik x f (k ) dk ˜ f (x) = ˜ f (x) e ik 0 x (6.22) Характерное изменение волнового числа δk, на котором спадает функция f , должно быть достаточно малым по сравнению с k 0 Волновая функция ψ(x) осциллирует с волновым числом, близким к k 0 , при этом длина волнового пакета δx ∼ 1 δk оценивается из соотно- шения неопредел¨енностей. Волна с волновым числом k осциллирует во времени с циклической частотой ω(k): e i(kx −ω(k) t) 6.3. О ДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ 185 В частности, для свободной нерелятивистской частицы ω(k) = E(k) ¯ h = ¯ hk 2 2m Для исходного волнового пакета получаем ψ(x, t) = 1 √ 2π e i(kx −ω(k) t) f (k − k 0 ) dk = (6.23) = e i(k 0 x −ω(k 0 ) t) 1 √ 2π e i(k x −[ω(k 0 +k ) −ω(k 0 )] t) f (k ) dk . Предположим, что функция f (k ) достаточно быстро спадает с ростом аргумента, чтобы разность частот можно было выразить через производ- ную: ω(k 0 + k ) − ω(k 0 ) ω 0 ≈ dω dk k 0 k = v(k 0 ) k . Здесь v 0 = v(k 0 ) = dω dk k 0 — функция с размерностью скорости, которую далее мы идентифицируем как групповую скорость (для свободной частицы v(k) = ¯ hk m = p m ) ψ(x, t) ≈ e i(k 0 x −ω 0 t) 1 √ 2π e ik (x −v 0 t) f (k ) dk ˜ f (x −v 0 t) = = ˜ f (x − v 0 t) e i(k 0 x −ω 0 t) (6.24) Таким образом, волновой пакет движется, не меняя формы 10 , с груп- повой скоростью v 0 = v(k 0 ). Рассеяние волнового пакета* Точно также как выше (6.21), мы построили волновой пакет из моно- хроматических волн, построим с помощью той же функции f (k − k 0 ) суперпозицию волновых функций, описывающих рассеяние почти моно- 10 Чтобы учесть расплывание волнового пакета, разность частот ω(k 0 + k ) − ω(k 0 ) надо разложить до второй производной по k , чтобы учесть дисперсию (зависимость от волнового числа) групповой скорости. 186 Г ЛАВА 6 хроматических волн: ψ(x) = 1 √ 2π ψ k (x) f (k − k 0 ) dk, (6.25) ψ k (x) + 2m ¯ h 2 (E(k) − U(x))ψ k (x) = 0, ψ k (x) → e ikx + r(k) e −ikx , x → −∞, ψ k (x) → d(k) e ik (k)x , x → +∞, E(k) = ¯ h 2 k 2 2m , k (k) = 1 ¯ h 2m(E(k) − U + ) = k 2 − 2mU + ¯ h 2 , |f(k)| 2 dk = | ˜ f (x) | 2 dx = 1. Если теперь учесть зависимость от времени, дающую для состояния с энергией E(k) множитель e −iω(k) t , ω(k) = E(k) ¯ h , мы получ им ψ(x, t) = 1 √ 2π ψ k (x) e −iω(k) t f (k − k 0 ) dk. (6.26) Исследуем асимптотическое поведение ψ(x, t) при x → ±∞. Запишем амплитуды отражения и прохождения в следующем виде: r(k) = |r(k)| e iα(k) ≈ |r(k)| e i(α 0 +α 1 (k −k 0 )) ≈ r 0 e iα 1 (k −k 0 ) , d(k) = |d(k)| e iβ(k) ≈ |d(k)| e i(β 0 +β 1 (k −k 0 )) ≈ d 0 e iβ 1 (k −k 0 ) Мы пренебрегли изменением абсолютной величины амплитуд, но учли из- менение их фазы до первого порядка по k − k 0 11 Проделывая для двух слагаемых асимптотики x → −∞ преобразо- вания, аналогичные преобразованиям, приведшим к бегущему волновому пакету (6.24), получаем x → ∞, (6.27) ψ(x, t) → 1 √ 2π (e ikx + r(k) e −ikx ) e −iω(k) t f (k − k 0 ) dk = 11 Если учесть зависимость |r| и |d| от k, то это привед¨ет лишь к искажению формы волно- вого пакета и необходимости усреднения R(k) и D(k) с весом |f(k − k 0 ) | 2 6.3. О ДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ 187 = 1 √ 2π e i(kx −ω(k) t) f (k − k 0 ) dk + + 1 √ 2π r 0 e i( −kx−ω(k) t+α 1 (k −k 0 )) f (k − k 0 ) dk = = ˜ f (x − v 0 t) e i(k 0 x −ω 0 t) падающий пакет + r 0 ˜ f (α 1 − x − v 0 t) e i( −k 0 x −ω 0 t) отраж¨енный пакет Мы видим, что при достаточно больших отрицательных значениях x, когда потенциал уже можно считать константой, падающий волновой пакет, чья форма описывается функцией ˜ f (x − v 0 t), движется направо по закону x = = v 0 t. Через рассматриваемую область этот пакет проходит при больших отрицательных временах. Вероятность обнаружить частицу в падающем пакете равна 1: 0 −∞ |ψ(x, t → −∞)| 2 dx = |ψ(x, t)| 2 dx = | ˜ f (x) | 2 dx = 1. Отраж¨енный пакет имеет форму, описывающуюся функцией ˜ f ( −x − − v 0 t + α 1 ), он движется через ту же область больших отрицательных x по закону x = α 1 − v 0 t = −v 0 t − α 1 v 0 Вероятность обнаружить частицу в отраж¨енном пакете равна |r 0 | 2 , т. е. коэффициенту (вероятности) отражения: 0 −∞ |ψ(x, t → +∞)| 2 dx = |r 0 ˜ f ( −x)| 2 dx = = |r 0 | 2 |f(k − k 0 ) | 2 dk = |r 2 0 | = R 0 Функцию k (k) мы также разложим до первого порядка по k − k 0 : k (k) = k (k 0 ) k 1 + dk dk k=k 0 C (k − k 0 ) k 2 = k 1 + Ck 2 , C = dk dk k=k 0 = k k k=k 0 = k 0 k 1 188 Г ЛАВА 6 Проделывая для x → +∞ аналогичные преобразования, получаем x → +∞, (6.28) ψ(x, t) → 1 √ 2π d(k) e ik (k) x e −iω(k) t f (k − k 0 ) dk ≈ ≈ e i(k 1 x −ω 0 t) 1 √ 2π d 0 e i(C(k −k 0 ) x −[ω(k)−ω 0 ] t+β 1 (k −k 0 )) f (k − k 0 ) dk ≈ ≈ e i(k 1 x −ω 0 t) 1 √ 2π d 0 e ik 2 (C x −v(k 0 ) t+β 1 ) f (k 2 ) dk 2 = = d 0 ˜ f (Cx − v(k 0 ) t + β 1 ) e i(k 1 x −ω 0 t) прошедшая волна = = d 0 ˜ f k 0 k 1 (x − v 1 t) + β 1 e i(k 1 x −ω 0 t) , v 1 = v(k 0 ) C = dω dk dk dk k =k 1 = dω dk k =k 1 (6.29) Таким образом, прошедший пакет имеет форму, описывающуюся функцией ˜ f k 0 k 1 (x − v 1 t) + β 1 , которая сжата по координате, по сравне- нию с функцией ˜ f , в k 0 k 1 раз, он движется через область больших положи- тельных x по закону x = v 1 t − β 1 k 1 k 0 = v 1 t − β 1 k 1 v 1 k 0 = v 1 t − β 1 v 0 Вероятность обнаружить частицу в прошедшем пакете равна |d| 2 k 1 k 0 , т. е. коэффициенту (вероятности) прохождения: + ∞ 0 |ψ(x, t → +∞)| 2 dx = d 0 ˜ f k 0 k 1 x 2 dx = |d 0 | 2 k 1 k 0 = D 0 Таким образом, мы проверили, что определ¨енные ранее коэффициен- ты отражения и прохождения действительно определяют вероятности от- ражения и прохождения частицы для почти монохроматического волнового пакета. 6.3. О ДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ 189 Если продолжить законы движения волновых пакетов на малые време- на, то окажется, что через точку x = 0 они проходят в ненулевые моменты времени, α 1 v 0 и β 1 v 0 Если α 1 (v 0 − v 1 ) + 2v 1 β 1 = 0, тогда три прямые, изображающие дви- жение тр¨ех волновых пакетов, пересекаются в одной точке и мы можем обратить эти задержки в нуль сдвигом начала координат по x, но в общем случае эти задержки не могут быть обнулены. Таким образом, рассмотрев рассеяние волновых пакетов, мы не толь- ко проверили постановку одномерной задачи рассеяния, но и уточнили е¨е. Теперь помимо амплитуд и коэффициентов отражения и прохождения мы можем определять времена (или длины) задержки волновых пакетов при рассеянии. Длины задержки можно выразить следующими формулами α 1 (k) = Im 1 r ∗ (k) d dk r(k), β 1 (k) = Im 1 d ∗ (k) d dk d(k). Соответствующие времена получаются делением на групповую скорость при x → −∞, т. е. v 0 = ¯ hk m Далее мы рассмотрим эти задержки на примерах рассеяния на ступень- ке и δ-яме. |