Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
одно условие: c + = 0. Это условие выделяет из двумерно- го пространства решений уравнения (6.2) одномерное подпространство. На −∞ по прежнему любое решение ограничено, но не квадратично интегри- руемо. Таким образом, в диапазоне U + > E > U − все значения энергии принадлежат к непрерывному невырожденному спектру. При E < U − мы имеем на обоих бесконечностях экспоненциальные асимптотики: ψ(x) ∼ c − e −κx + c + e +κx , x → +∞; ψ(x) ∼ d − e −κx + d + e +κx , x → −∞. Условие ограниченности теперь да¨ет два граничных условия: c + = 0, d − = 0. 160 Г ЛАВА 6 Рис. 6.2. Структура спектра в одномерном случае. Если эти два условия линейно независимы, то в двумерном пространстве решений уравнения (6.2) не оста¨ется ненулевых ограниченных решений. Если эти два условия окажутся линейно зависимыми, то останется одно линейно независимое ограниченное решение. И если при конечных x не будет разрывов ψ, около которых интеграл от |ψ| 2 расходится, то состояние окажется принадлежащим к дискретному спектру. Поскольку в состояниях дискретного спектра вероятность обнаружить частицы на больших расстоя- ниях от классически разреш¨енной области экспоненциально спадает с рас- стоянием, мы будем также называть такие состояния связанными. В случае общего положения условия c + = 0, d − = 0 должны быть линейно независимыми, так что почти все значения E < U − не являют- ся собственными. Есть ли среди них хотя бы одно собственное значение (разумеется дискретное)? При E U 0 ограниченных собственных функций нет. Если выбрать вещественную волновую функцию (возможность этого была доказаны вы- ше, 6.1.2 «Вещественность собственных функций»), то окажется, что ψ и ψ везде имеют одинаковый знак: ψ (x) = 2m ¯ h 2 (U ± − E) 0 ψ(x). Если на ψ(x → −∞) > 0 (этого всегда можно добиться умножением на число), то при x → −∞ получаем ψ > 0, ψ > 0 (из единственной раз- реш¨енной асимптотики e κx ) и ψ > 0. При этом, если волновая функция не терпит разрывов, то она должна монотонно возрастать на всей оси. Таким 6.1. С ТРУКТУРА СПЕКТРА 161 образом, при x → +∞ мы также получаем ψ > 0 и ψ > 0. Однако это не совместимо с асимптотикой e −κx (единственной разреш¨енной на + ∞). В диапазоне U − > E > U 0 при разных потенциалах дискретные уров- ни энергии могут как присутствовать, так и отсутствовать. С помощью правила Бора – Зоммерфельда (см. ниже 13.5.4 «Квазиклас- сическое квантование») общее число дискретных уровней можно оценить следующим интегралом, который также можно считать мерой глубины ямы: N = 1 π¯ h U (x) 2m(U − − U(x)) dx > 0. (6.4) Таким образом, достаточно глубокая яма любой формы должна содер- жать дискретные уровни. Задачу определения наличия уровней в мелкой яме мы рассмотрим отдельно, а пока дадим без вывода результат. При условии U 1 = U + = U − > U 0 (6.5) всегда существует хотя бы один дискретный уровень. Также забегая впер¨ед, отметим, что существование дискретного уров- ня в мелкой яме является особенностью одномерной задачи. 6.1.4. Прямоугольная яма Рассмотрим потенциал прямоугольной потенциальной ямы ширины a и глубины V : U (x) = 0, |x| a 2 , −V, |x| < a 2 (6.6) Все неотрицательные значения энергии относятся к непрерывному спектру. Нас интересуют дискретные уровни энергии, которые могут лежать в диа- пазоне 0 > E > −V . Потенциал прямоугольной ямы зада¨ется ч¨етной функцией U (x) = = U ( −x), отсюда следует, что гамильтониан коммутирует с оператором пространственной инверсии ˆ I ( ˆ Iψ(x) = ψ( −x)), т. е. ˆ H ˆ I = ˆ I ˆ H. Для такого гамильтониана мы можем выбрать собственные состояния так, чтобы они были также собственными для оператора ˆ I (см. 4.2 «Матрицы (л)»), т. е. чтобы все они были ч¨етными или неч¨етными. Стационарные состояния, не являющиеся состояниями с определ¨енной ч¨етностью, возможны только в непрерывном вырожденном спектре 162 Г ЛАВА 6 при E > 0. При E < 0 спектр невырожден, и каждое состояние либо ч¨етно, либо неч¨етно. Рассматриваемый потенциал кусочно постоянен. В пределах каждого куска уравнение Шр¨едингера да¨ет решение в виде волн де Бройля (если E > U (x)) или вещественных экспонент (если E < U (x)). В точках разрыва потенциала нам надо поставить условия склейки волновой функции. Прич¨ем, поскольку одномерное уравнение Шр¨едингера является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка, достаточно потребовать непрерывности самой функции ψ и е¨е первой про- изводной: ψ( a 2 + 0) = ψ( a 2 − 0), ψ ( a 2 + 0) = ψ ( a 2 − 0); ψ( − a 2 + 0) = ψ( − a 2 − 0), ψ (− a 2 + 0) = ψ ( − a 2 − 0). Впрочем, из четыр¨ех условий сшивки можно ограничиться двумя (на- пример, в точке a 2 ), если сразу искать решения с определ¨енной ч¨етностью. Будем параллельно рассматривать ч¨етный и неч¨етный случаи, помечая их индексами «+» и « −» соответственно. Поскольку нас интересуют в первую очередь собственные числа, нор- мировочные множители выбираем так, чтобы не загромождать вычисления. Справа от ямы волновая функция может быть выбрана в виде ψ ± (x) = e −κ ± (x −a/2) , ψ (x) = −κ ± e −κ ± (x −a/2) , κ ± = 1 ¯ h −2mE ± , x a 2 На границе ямы получаем ψ ± (a/2 + 0) = 1, ψ ± (a/2 + 0) = −κ ± Волновую функцию слева от ямы можно восстановить из ч¨етности и отдельно е¨е исследовать нет необходимости: ψ ± (x) = ±ψ ± ( −x), x −a 2 Внутри ямы волновая функция зада¨ется ч¨етной или неч¨етной комби- нацией волн де Бройля, т. е. косинусом или синусом: ψ + (x) = A + cos(k + x), ψ − (x) = A − sin(k − x), k ± = 1 ¯ h 2m(E ± + V ), x ∈ [− a 2 , a 2 ], 6.1. С ТРУКТУРА СПЕКТРА 163 ψ + (x) = −A + k + sin(k + x), ψ − (x) = A − k − cos(k − x). На границе ямы получаем ψ + ( a 2 − 0) = A + cos(k + a 2 ), ψ − ( a 2 − 0) = A − sin(k − a 2 ), ψ + ( a 2 − 0) = −A + k + sin(k + a 2 ), ψ − ( a 2 − 0) = A − k − cos(k − a 2 ). Условия сшивки ψ ± ( a 2 + 0) = ψ ± ( a 2 − 0), ψ ± ( a 2 + 0) = ψ ± ( a 2 − 0) дают две системы линейных уравнений с одним неизвестным A ± для ч¨етного и неч¨етного случаев: A + cos(k + a 2 ) = 1, −A + k + sin(k + a 2 ) = −κ + , A − sin(k − a 2 ) = 1, A − k − cos(k − a 2 ) = −κ − Для собственных состояний уравнения в системе должны давать одинако- вые значения A ± . Разделив второе уравнение на первое, получим условия разрешимости k + tg(k + a 2 ) = κ + ; −k − ctg(k − a 2 ) = κ − Полученные трансцендентные уравнения мы исследуем графически. Сначала обезразмерим их, умножив на a 2 . Введ¨ем обезразмеренное вол- новое число K + = k + a 2 для ч¨етного случая и K − = k − a 2 для неч¨етного. Также введ¨ем обезразмеренный параметр затухания Λ ± и параметр глуби- ны ямы R: Λ ± = a 2 κ ± = a 2¯ h 2m(E ± + V ) = mV a 2 2¯ h 2 − K 2 ± = R 2 − K 2 ± , R = mV a 2 2¯ h 2 Обезразмеренные уравнения принимают вид K + tg K + = R 2 − K + 2 ; −K − ctg K − = R 2 − K − 2 Поскольку с точностью до замены K + ↔ K − правые части уравнений сов- падают, их графики удобно изобразить на одной координатной плоскости. 164 Г ЛАВА 6 8 6 4 2 0 0 2 4 6 –2 –2 x 10 8 Рис. 6.3. Графики на плоскости K − Λ. Графики K tg K, −K ctg K и √ R 2 − K 2 (для R = 10). Физический смысл имеет только область K > 0, Λ > 0. Правая часть обоих уравнений изображается кругом радиуса R. Левая часть для ч¨етного случая изображается ветвями, имеющими нули в точках πn и асимптоты в точках πn + π 2 . Для неч¨етного случая нули и асимптоты в левой части меняются местами. При любом значении параметра R всегда имеется хотя бы одно ч¨етное решение. Число уровней Мы видим, что общее число ч¨етных и неч¨етных решений соответству- ет числу точек вида π 2 n, попавших в диапазон [0, R]. 3 3 Если R = π 2 n, то мы получаем одно ненормированное состояние с нулевой энергией. 6.1. С ТРУКТУРА СПЕКТРА 165 Ч¨етные и неч¨етные решения чередуются, при этом в яме всегда есть по крайней мере один ч¨етный уровень. Общее число решений составляет N п = 2R π + 1 = √ 2mV a π¯ h + 1 = [N ] + 1, где квадратные скобки обозначают целую часть числа. Таким образом, число решений отличается от привед¨енной выше квазиклассической оцен- ки (6.4) не более чем на 1. Глубокие уровни* Для глубоких уровней (Λ = √ R 2 − K 2 1) значения K близки к π 2 n, т. к. окружность пересекает ветви K tg K и −K ctg K на большой высоте, там где они близко подходят к своим асимптотам. Условие K = ka 2 ≈ πn 2 соответствует тому, что в яме помещается почти (чуть меньше чем) целое число полуволн. При этом на границе ямы волновая функция близка к ну- лю, и очень быстро по сравнению с размером ямы ( κa 2 = Λ 1) спадает за пределами ямы. Предел мелкой ямы* Мелкой естественно считать прямоугольную яму, в которой имеется ровно один уровень, т. е. для которой 2R π = √ 2mV a π¯ h < 1. Если устремить параметр R к нулю, т. е. в пределе 2R π = √ 2mV a π¯ h 1, трансцендентное уравнение для основного состояния можно решить: K tg K = R 2 − K 2 ⇒ K 2 ≈ R 2 − K 2 На K 2 получаем уравнение K 4 + K 2 − R 2 ≈ 0, Λ ≈ K 2 ≈ − 1 + √ 1 + 4R 2 2 ≈ R 2 166 Г ЛАВА 6 Мелкую яму удобно характеризовать одним параметром κ 0 , который харак- теризует скорость убывания волновой функции основного состояния вне ямы и через который удобно выражается энергия основного состояния: κ 0 = 2Λ a = mV a ¯ h 2 , E 0 = −¯h 2 κ 2 2m ≈ − ¯ h 2 κ 2 0 2m = −mV 2 a 2 2¯ h 2 δ-яма как мелкая яма* Рассматривая мелкие прямоугольные ямы, мы можем перейти к преде- лу, соответствующему переходу к δ-потенциалу: a → 0, V → ∞, aV = const. При этом предельном переходе яма становится вс¨е более и более мелкой R = mV a 2 2¯ h 2 = const · √ a → 0. Параметр мелкой ямы κ 0 при таком переходе постоянен κ 0 = mV a ¯ h 2 , а формула для энергии основного состояния выполняется вс¨е точ нее и точ - нее. В пределе мы имеем E 0 = − ¯ h 2 κ 2 0 2m (6.7) Потенциал при таком предельном переходе стремится в смысле слабого предела к δ-функции: wlim a →0 U (x) = −V a δ(x) = −¯h 2 m κ 0 δ(x). Обратите внимание, что размерность дельта-функции обратна размер- ности аргумента! В частности, дельта-функция от координаты имеет раз- мерность обратной длины. Это легко увидеть, взяв от дельта-функции ин- теграл: + ∞ −∞ δ(x) длина −1 · dx длина = 1 безразмерно 6.1. С ТРУКТУРА СПЕКТРА 167 6.1.5. δ-яма Мы уже исследовали δ-яму как предельный случай мелкой прямо- угольной ямы. Теперь мы исследуем тот же потенциал непосредственно. Запишем стационарное уравнение Шр¨едингера для дельта-ямы: − ¯ h 2 2m ψ (x) − ¯ h 2 m κ 0 δ(x) ψ(x) = E ψ(x). (6.8) При x = 0 δ(x) = 0, а решать уравнение Шр¨едингера для нулевого по- тенциала мы уже умеем. Значит нам осталось исследовать условие сшивки решений с нулевым потенциалом в точке 0. Единственное, что можно делать с дельта-функцией, — проинтегриро- вать е¨е. Поскольку нас интересует условие сшивки в нуле, то естественно интегрировать по малой окрестности нуля: − ¯ h 2 2m +ε −ε ψ (x) dx − ¯ h 2 m κ 0 +ε −ε δ(x) ψ(x) dx = E +ε −ε ψ(x) dx. − ¯ h 2 2m ψ (x) +ε −ε − ¯ h 2 m κ 0 ψ(0) = E +ε −ε ψ(x) dx. Для ограниченной функции ψ(x) при ε → 0 получаем условие сшивки в нуле: 1 2 ψ (x) +0 −0 + κ 0 ψ(0) = 0. (6.9) Сама волновая функция в нуле должна быть непрерывна, т. к. для разрыв- ной в нуле волновой функции ψ будет содержать член ∼ δ (x), который будет нечем скомпенсировать. ψ(+0) = ψ( −0). δ(x) = δ( −x), т. е. дельта-яма — ч¨етный потенциал и мы можем искать решения уравнения (6.8) отдельно для ч¨етного и неч¨етного случаев. Для непрерывных неч¨етных волновых функций ψ также оказывается непрерывным: ψ(0) = 0 ⇒ ψ (+0) = ψ (−0). Это условие сшивки не чувствует дельта-ямы. Таким образом, все неч¨етные собственные функции для дельта-ямы такие же как для потенциала U (x) ≡ 0. Связанных состояний среди неч¨етных функций нет. 168 Г ЛАВА 6 Будем искать связанное ч¨етное состояние. Оно обязано иметь вид ψ(x) = Ce −κ|x| , E = −¯h 2 κ 2 2m Мы сразу откинули растущие на бесконечности решения. Условие непре- рывности выполняется автоматически. Осталось проверить условие сшив- ки (6.9). Оно да¨ет κ = κ 0 ⇒ E 0 = − ¯ h 2 κ 2 0 2m Таким образом, мы воспроизвели результат (6.7), полученный ранее пре- дельным переходом для мелкой прямоугольной ямы. Задача: Об условии сшивки в точке δ-ямы** Мы можем составить базис в пространстве L 2 ( R) из собственных функций уравнения (6.8). Все базисные функции будут удовлетворять ли- нейному однородному условию сшивки (6.9). В силу линейности усло- вия (6.9) любая конечная взвешенная сумма базисных функций будет удов- летворять тому же условию сшивки. Означает ли это, что тому же условию сшивки будет удовлетворять любая линейная комбинация базисных функций? Как условие (6.9), нало- женное на базисные функции, согласуется с тем, что не все функции про- странства L 2 ( R) удовлетворяют этому условию? 6.1.6. Существование уровня в мелкой яме Пусть для рассматриваемого потенциала U (x) выполняются условия U 1 = U − = U + > U 0 . Нам надо доказать, что существует хотя бы одно собственное состояние с энергией U 1 > E > U 0 . Это состояние, как было показано выше (см. рис. 6.2), неизбежно будет принадлежать дискретному спектру. В соответствии с вариационным принципом (4.68) нам достаточно предъявить любое состояние ψ п , для которого средняя энергия меньше U 1 Энергия этого состояния даст оценку сверху на энергию основного состоя- ния. Оно неизбежно попад¨ет в указанный диапазон, т. к. ниже дна ямы U 0 уровней быть не может (см. рис. 6.2). В качестве состояния ψ п возьм¨ем основное состояние для мелкой сим- метричной прямоугольной ямы, такой, что она всюду мельче, чем яма U (x): U п (x) = U 1 , x ∈ (a, b), U 1 − V, x ∈ (a, b), ∀x ∈ R, U п (x) U (x). 6.2. О СЦИЛЛЯТОРНАЯ ТЕОРЕМА 169 Как было показано выше, дискретное состояние с энергией U 1 > E п > U 1 − −V > U 0 есть в любой сколь угодно мелкой симметричной прямоугольной яме E 0 < ψ п | ˆ H |ψ п = ψ п | ˆ p 2 2m + U (x) |ψ п = = ψ п | ˆ p 2 2m + U п (x) |ψ п E п + ψ п | U(x) − U п (x) <0 ∀x |ψ п <0 < E п < U 1 Таким образом, в любой мелкой яме, удовлетворяющей условию (6.5), неизбежно имеется хотя бы одно связанное состояние с энергией E 0 , удов- летворяющей условию U 1 > E п > E 0 > U 0 6.2. Осцилляторная теорема Осцилляторная теорема позволяет уточнить структуру дискретного спектра одномерной квантовой системы, давая информацию о поведении нулей собственных состояний. Всякое одномерное состояние дискретного спектра (для гамильтониа- на вида (6.1)) имеет два нуля на границах области определения волновой функции: это либо точки ±∞, либо точки, в которых стоят бесконечно вы- сокие стенки, ограничивающие области движения частицы. Помимо нулей на границе могут быть нули внутри области определе- ния волновой функции. Для рассматриваемых нами потенциалов (удовлет- воряющих условиям теоремы существования и единственности решений обыкновенного дифференциального уравнения) все нули внутри области определения являются точками перемены знака волновой функции (соб- ственные волновые функции мы выбираем вещественными). Пронумеруем все дискретные уровни в порядке возрастания энергии, начиная с основного состояния, которому присвоим номер 0. Будем гово- рить, что n-е возбужд¨енное состояние — это состояние номер n, по ука- занной нумерации. В частности, нулевое возбужд¨енное состояние — это состояние номер 0, т. е. основное состояние. Осцилляторная теорема • Число внутренних нулей n-го возбужд¨енного состояния равно n. • Между каждой парой нулей состояния номер n (включая нули на гра- нице области определения) находится один и только один нуль состоя- ния номер n + 1. |