Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
Неизмеримость волновой функции (ф*) Совокупность распределений вероятности для всевозможных набо- ров наблюдаемых называется квантовой томограммой 19 . Квантовая томо- грамма позволяет полностью определить исходное неизвестное состояние (с точностью до физически незначащего общего фазового множителя). По 19 На самом деле для задания квантовой томограммы нам даже не нужны распределения вероятностей для всех возможных полных наборов наблюдаемых. Например, для одиночной частицы на прямой достаточно задать распределения по всевозможным комбинациям αx + + βp, а для одиночного спина 1 2 — распределения по проекциям спина на всевозможные направления. Более подробно квантовая томография будет обсуждена в другом разделе. 236 Г ЛАВА 7 существу квантовая томограмма — иное представление состояния кванто- вой системы. Таким образом, клонирующее устройство позволило бы нам измерять на эксперименте квантовую томограмму, т. е. квантовое состояние (волно- вую функцию) единичной системы. Без клонирующего устройства, обладая единичной системой в неиз- вестном состоянии, наибольшее, что мы можем сделать, — один раз из- мерить какой-либо полный набор совместных наблюдаемых. При этом мы полностью уничтожим исходное состояние системы: состояние спроециру- ется на собственное подпространство, отвечающее найденным значениям измеренных наблюдаемых. Единственное, что мы можем достоверно ска- зать про исходное состояние, что и до измерения его проекция на данное подпространство была отлична от нуля. Возьм¨ем простейший случай, когда система представляет собой кван- товый бит (кубит — система с двумерным пространством состояний), на- пример спин электрона, или поляризацию фотона. Квантовый бит, в отли- чие от классического, может помимо базисных состояний |0 и |1 прини- мать их произвольные линейные комбинации α |0 +β|1 . Даже после фикса- ции нормировки и фазы у нас оста¨ется бесконечно большое множество со- стояний, параметризуемое отношением β α . Для параметризации отношения β α (одно комплексное число или два вещественных) нам потребуется беско- нечно много двоичных цифр, т. е. бесконечно много классических битов. Любое количество классических битов мы могли бы извлечь из одного квантового бита, если бы у нас было клонирующее устройство. В реальн ости (без клонирующего устройства) мы можем извлечь из одного квантового бита только один бит классической информации. Невозможность квантовой телепатии (ф*) Итак, клонирующее устройство позволило бы измерять волновую функцию. К чему бы это привело? Мы могли бы передавать информацию на расстоянии со сколь угодно большой скоростью! При этом грубо нару- шались бы принципы специальной теории относительности. Пусть у нас есть два кубита (спина) в запутанном состоянии |I = | ↑ | ↓ − | ↓ | ↑ √ 2 = | → | ← − | ← | → √ 2 Здесь мы использовали два одночастичных базиса: спин вверх-вниз и спин вправо-влево. Связаны между собой эти базисы следующими соотноше- 7.6. Т ЕОРЕМА О НЕВОЗМОЖНОСТИ КЛОНИРОВАНИЯ ** 237 ниями: | → = | ↓ + | ↑ √ 2 , | ← = | ↓ − | ↑ √ 2 Пусть первый кубит находится в распоряжении Алисы, а второй — в распо- ряжении Бориса. Если Алиса измеряет свой кубит в базисе вверх-вниз или в базисе вправо-влево. Кубит Бориса мгновенно попадает в состояние того же базиса с ориентацией, противоположной измеренной Алисой: измерение : |I −→ | ↑ | ↓ или | ↓ | ↑ , измерение ↔: |I −→ | → | ← или | ← | → . Если у Бориса есть клонирующее устройство, то он может клониро- вать свой кубит и измерить в каком состоянии он находится. Если кубит Бориса в состоянии | ↑ или | ↓ , то это значит, что Алиса использовала ба- зис вверх-вниз. Если кубит Бориса в состоянии | ← или | → , то это знач ит, что Алиса использовала базис влево-вправо. Таким образом, если почти на полпути между Алисой и Борисом расположен источник, который испуска- ет к ним запутанные кубиты, которые прибывают к Алисе чуть раньше, чем к Борису, то Алиса может практически мгновенно передавать Борису ин- формацию, кодируя е¨е выбором базиса (вверх-вниз — 1, влево-вправо — 0). Если у Бориса нет клонирующего устройства, то у него нет возмож- ности узнать угадал ли он базис, который использовала Алиса. Если Борис использует тот же базис, то он будет всегда получать другое направление спина, чем Алиса. Корреспонденты при этом получают две цепочки случай- ных значений ↑, ↓, так что каждому значению Алисы соответствует проти- воположное Бориса. Однако Алиса не может влиять на то, выпадет ли ей при очередном измерении ↑ или ↓ 20 , таким образом, она не может пе- редать информацию. Если же используются разные базисы, то результаты измерений корреспондентов оказываются и вовсе никак не связаны. Воз- можны промежуточные ситуации, при использовании других базисов, но в любом случае (см. 7.5.3 «Зацепленные состояния при неселективном из- мерении (ф*)») Алиса не может передать Борису информацию, производя любые манипуляции над своей частью запутанной системы. Другое доказательство невозможности клонирования (ф*) Рассуждения предыдущего раздела можно рассматривать не только как вывод следствий из теоремы о невозможности клонирования квантового 20 Обсуждение этого см. в разделах 8.3.2 «“Ж¨есткость” формулы для вероятностей (фф)», 9.3.9 «Активное сознание (фф*)». 238 Г ЛАВА 7 состояния, но и как альтернативное доказательство этой теоремы. В разде- ле 7.6 «Теорема о невозможности клонирования квантового состояния**» при доказательстве использовалось описание результата измерения с по- мощью проекционного постулата. Однако проекционный постулат в кван- товой механике «на плохом счету»: многие физики смотрят на него как на некоторое довольно сомнительное приближение, в отличие от унитар- ной эволюции и формул для расч¨ета вероятностей. В предыдущем разделе мы привели иное доказательство невозможности клонирования квантового состояния, не используя проекционный постулат, заменив его предположе- нием о невозможности квантовой телепатии. 7.7. Квантовая телепортация** Квантовая телепортация — эффект переноса квантового состояния с од- ного объекта на другой без непосредственного взаимодействия. В процес- се квантовой телепортации осуществляется измерение, но сам по себе ре- зультат этого измерения не позволяет определить передающееся квантовое состояние, однако позволяет определить, какому воздействию должен под- вергнуться второй объект, чтобы очутиться в состоянии, в котором ранее пребывал первый. Рассмотрим простейший случай квантовой телепортации, при котором телепортируется спиновое состояние одного квантового бита. Квантовый бит, q-бит или кубит — система, для которой в данных условиях суще- ственны лишь два линейно ортогональных состояния, например частица со спином 1 2 (спин вверх и спин вниз), фотон (две ортогональные поляриза- ции), два близких (или вырожденных) энергетических уровня какой-либо молекулы и т. п. Два ортонормированных состояния кубита обозначим как |0 = 1 0 , |1 = 0 1 В процессе квантовой телепортации участвуют три кубита — исход- ный (1-й), вспомогательный (2-й) и конечный (3-й), а также два макроско- пических экспериментатора, которых, следуя криптографической традиции, мы будем называть Алиса и Борис (он же Боб в иностранной литературе), и классическая линия связи между ними. В начале эксперимента исходный кубит находится в некотором неиз- вестном состоянии |φ 0 = α |0 + β|1 = α β , |α| 2 + |β| 2 = 1. 7.7. К ВАНТОВАЯ ТЕЛЕПОРТАЦИЯ ** 239 Конечный и вспомогательный кубит находятся в запутанном ЭПР-состоянии |Ψ 1 = |1 |0 − |0 |1 √ 2 Здесь 1-й множитель соответствует вспомогательному кубиту, а 2-й — ко- нечному. Таким образом, состояние всех тр¨ех кубитов описывается волно- вой функцией |Φ 0 = |φ 0 |Ψ 1 = 1 √ 2 (α |0 + β|1 )(|1 |0 − |0 |1 ). Множители расположены в порядке номеров кубитов. Предполагается, что 1-й и 2-й кубиты находятся в распоряжении Али- сы, а 3-й в распоряжении Бориса. 2-й и 3-й кубиты находятся в запутанном состоянии (когда-то раньше они были приведены в это состояние). Напри- мер, Борис мог до начала эксперимента (даже до того, как 1-й кубит попал в состояние |φ 0 ) приготовить кубиты 2, 3 и отдать 2-й Алисе. Алиса совершает измерение над двумя имеющимися у не¨е кубитами. Измеряется физическая величина, соответствующая двухчастичному опера- тору ˆ A = 4 n=1 n |Ψ n Ψ n |, где состояния |Ψ n образуют ортонормированный базис двухчастичных за- путанных состояний (одно из них — |Ψ 1 — нам уже встречалось): |Ψ 1 = |1 |0 − |0 |1 √ 2 , |Ψ 2 = |1 |0 + |0 |1 √ 2 , |Ψ 3 = |1 |1 − |0 |0 √ 2 , |Ψ 4 = |1 |1 + |0 |0 √ 2 , Ψ n |Ψ m = δ nm 240 Г ЛАВА 7 Оператор ˆ A — двухчастичный. Чтобы указать, какие именно частицы изме- ряются, мы можем выписать его тр¨ехчастичный вариант, написав тензорное произведение с одночастичным единичным оператором ˆ A 12 = ˆ A ⊗ ˆ1. Оператор ˆ A 12 действует на первые две частицы как оператор ˆ A, а состояние третей не изменяет. Собственные функции оператора ˆ A 12 имеют вид ˆ A 12 |Φ nϕ = n |Φ nϕ , |Φ nϕ = |Ψ n |ϕ , n ∈ {1, 2, 3, 4}, где |ϕ — произвольная одночастичная волновая функция. Измеряя ˆ A 12 , мы определяем число n ∈ {1, 2, 3, 4}, при этом состояние системы после измерения принимает вид |Φ nϕ : |Φ 0 = |φ 0 |Ψ 1 = 1 √ 2 (α |0 + β|1 )(|1 |0 − |0 |1 ) = = 1 √ 2 (α |0 |1 |0 − α|0 |0 |1 + β|1 |1 |0 − β|1 |0 |1 ) = = 1 √ 2 α |Ψ 2 − |Ψ 1 √ 2 |0 − α |Ψ 4 − |Ψ 3 √ 2 |1 + + β |Ψ 4 + |Ψ 3 √ 2 |0 − β |Ψ 2 + |Ψ 1 √ 2 |1 = = 1 2 ( |Ψ 1 [ −α|0 − β|1 ] + |Ψ 2 [α |0 − β|1 ] + + |Ψ 3 [β |0 + α|1 ] + |Ψ 4 [β |0 − α|1 ]). Таким образом, исходное состояние |Φ 0 разлагается на собственные состояния оператора ˆ A 12 следующим образом: |Φ 0 = 4 n=1 1 2 |Ψ n |ϕ n Здесь |ϕ 1 = −α|0 − β|1 = − α −β , 7.7. К ВАНТОВАЯ ТЕЛЕПОРТАЦИЯ ** 241 |ϕ 2 = α |0 − β|1 = α −β , |ϕ 3 = β |0 + α|1 = β α , |ϕ 4 = β |0 − α|1 = β −α После измерения ˆ A 12 частицы 1 и 2 с равной вероятностью 1 4 = 1 2 2 попадают в одно из состояний |Ψ n , а частица 3 в соответствующее состоя- ние |ϕ n . Каждое из состояний |ϕ n содержит оба числа α и β, и оно может быть превращено в исходное состояние |φ 0 с помощью соответствующего унитарного оператора: |φ 0 = ˆ U n |ϕ n , где ˆ U 1 = −1 0 0 −1 = − ˆ E, ˆ U 2 = 1 0 0 −1 = ˆ σ z , ˆ U 3 = 0 1 1 0 = ˆ σ x , ˆ U 4 = 0 −1 1 0 = −iˆσ y Эти четыре матрицы выражаются через матрицы Паули и единичную мат- рицу. Поскольку состояние вс¨е равно определяется с точностью до фазово- го множителя, мы можем не обращать внимание на фазовые множители в формулах для унитарных операторов ˆ U n Если кубиты реализованы как частицы со спином 1 2 , то, с точностью до фазовых множителей, матрицы ˆ U n для n ∈ {2, 3, 4} совпадают с опе- раторами поворота на угол π вокруг осей z, x и y соответственно. Такие повороты можно реализовать, накладывая на определ¨енное время магнит- ное поле вдоль соответствующей оси координат. В случае n = 1 третья частица сразу оказывается в состоянии |φ 0 с точностью до знака. Заметим, что если исходный кубит, который подвергается телепорта- ции, находился в зацепленном состоянии с другими системами, то теле- портация переносит зацепленность на 3-й кубит, а 1-й кубит оста¨ется за- цепленным только со вторым. Благодаря этому, систему квантовых кубитов в запутанном состоянии можно телепортировать в несколько при¨емов, пе- редавая за раз по одному кубиту. 242 Г ЛАВА 7 Квантовая телепортация одного кубита (спинового состояния фотона) была успешно осуществлена на эксперименте с вероятностью 1 4 : на экспе- рименте пока удалось осуществить измерение, отличающее первый исход измерения (состояние |Ψ 1 ) от остальных тр¨ех, но не различить оставшие- ся три состояния между собой. Таким образом, телепортацию удавалось осуществить только в случае n = 1. Г ЛАВА 8 Место теории измерений Эта глава продолжает предыдущую главу 7 «Эффекты теории измере- ний» и в существенной степени перекликается с главой 9 «На грани физи- ки и философии (фф*)», поскольку философские споры вокруг квантовой теории в существенной степени связаны с пониманием процесса измере- ния. Различие между эти главами состоит в том, что здесь больше физики, а там — философии. Те рассуждения, которые приводят к конкретным фи- зическим выводам, а не просто к удивлению и философскому озарению были помещены сюда, а нестрогие рассуждения о реальности, сознании и познании — в следующую главу. Некоторые исторически связанные рассуждения оказались разнесены по двум главам. Введ¨енное Эвереттом понятие относительного состояния и моделирование измерительного прибора по фон Нейману имеют смысл при любой интерпретации квантовой механики. Однако мотивированные этими построениями многомировая интерпретация Эверетта и «абстрактное Я» фон Неймана уже не физика, а философия физики. 8.1. Структура квантовой теории (ф) 8.1.1. Понятие классического селективного измерения (ф) Выше в разделе 2.3 «Две ипостаси квантовой теории» мы уже при- водили разбиение квантовой теории на разделы, согласно тому, как в них описывается процесс измерения. В предыдущей главе 7 «Эффекты теории измерений» мы установили, что селективное измерение естественно рассматривать как неселективное до тех пор, пока нам не известны его результаты. Это позволяет разбить квантовое селективное измерение на два этапа: квантовое неселективное измерение и классическое селективное измерение. «Классическое» селективное измерение подобно измерению в класси- ческих теориях, оно описывается выбором одной из альтернатив, описыва- ющихся классическим распределением вероятностей. Поэтому мы и назва- ли его «классическим». 244 Г ЛАВА 8 Неселективным является любое измерение, проводимое с помощью удал¨енного прибора (удал¨енное измерение), до тех пор, пока информация об его исходе не получена наблюдателем. Таким образом, если квантовое неселективное измерение соответствует процессу квантового взаимодей- ствия системы и прибора, классическое селективное измерение соответ- ствует процессу передачи классической информации от прибора к наблю- дателю 1 8.1.2. Квантовая теория крупными блоками Привед¨ем обновл¨енное разбиение квантовой теории на разделы, со- гласно тому, как в них описывается процесс измерения, указав попутно степень разработанности разделов, и их связь с увеличением/уменьшением энтропии, как мерой неопредел¨енности состояния системы. • Теория замкнутой квантовой системы — очень хорошо разработанная фундаментальная теория (обратима, полностью детерминистрична, не содержит вероятностных понятий, энтропия постоянна); • Теория измерений — полуфеноменологическая теория взаимодействия ранее замкнутой системы с измерительным прибором (необратима, содержит вероятностные понятия, энтропия возрастает): – вычисление вероятностей различных исходов измерения (правило Борна) — фундаментальная закономерность, лежащая в основе вероятностной интерпретации, – изменение состояния системы после измерения — феноменология, есть разные модели: ∗ если (пока) результат измерения неизвестен (квантовое несе- лективное измерение) — феноменология, есть хорошо разра- ботанные модели (необратима, полностью детерминистрич- на, не содержит вероятностных понятий, энтропия возраста- ет), ∗ если (после того как) результат измерения известен (клас- сическое селективное измерение) — загадка: (само)сознание, эвереттовская интерпретация и т.п. (необратима, вероят- ностна, энтропия уменьшается). В соответствующем измерению базисе квантовое неселективное изме- рение обнуляет недиагональные члены матрицы плотности, а классическое 1 Переда¨ется ли информация по классическому или квантовому каналу для нас не важно. Впрочем при достаточно внимательном рассмотрении любой классический канал окажется, в конечном итоге, квантовым. 8.1. С ТРУКТУРА КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ( Ф ) 245 селективное измерение обнуляет диагональные члены матрицы плотности, соответствующие нереализовавшимся исходам измерения. При квантовом селективном измерении на первом этапе квантовое неселективное измерение «расцепляет» между собой состояния, отвечаю- щие разным исходам измерения, а на втором этапе классическое селектив- ное измерение производит выбор одной из альтернатив. Классическое селективное измерение имеет прямую аналогию в клас- сической физике, но при этом оказывается наиболее загадочным. В литера- туре по квантовой механике его часто игнорируют, сводя обсуждение тео- рии измерений к рассмотрению квантового неселективного измерения. При этом вопрос о выборе одной из взаимоисключающих альтернатив в процес- се селективного измерения оста¨ется открытым. 8.1.3. Квантовая локальность (ф) Что такое локальность? Мы будем считать, что локальность — это те свойства теории, которые не позволяют мгновенную передачу классической информации. Суммируя результаты предыдущей главы 7, касающиеся квантовой ло- кальности и нелокальности можно сказать, что квантовая локальность ос- новывается на тр¨ех «китах»: • локальность унитарной эволюции (локальность гамильтониана: отсут- ствие членов, описывающих мгновенное дальнодействие), • локальность неселективного квантового измерения (линейность, тео- рема о невозможности клонирования, правило Борна), • локальность «классического» измерения (локальность канала передачи классической информации о результате удал¨енного измерения). |