Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
7.3.1. Эксперимент Пенроуза с бомбами (ф*) Под влиянием соотношения неопредел¨енности многие считают, что квантовая механика предоставляет меньше возможностей для измерений, чем классическая. Однако на самом деле ситуация интереснее: квантовая механика запрещает некоторые измерения, которые позволяет классическая физика, но одновременно позволяет измерения, невозможные в классике. Интересный эксперимент, демонстрирующий осуществимость класси- чески невозможных измерений, был предложен Роджером Пенроузом. Интерферометр Маха – Цандера на рис. 7.2, состоящий из двух полу- прозрачных зеркал (вероятность отражения — 1 2 ) и двух обычных зеркал, при правильной юстировке вед¨ет себя следующим образом: 8 • 1-е полупрозрачное зеркало расщепляет входящий в него фотон ψ 0 в суперпозицию двух волновых пакетов 1 √ 2 (ψ 1 + iψ 2 ), каждый из ко- торых проходит по своей траектории; • два обычных зеркала направляют волновые пакеты на 2-е полупроз- рачное зеркало, преобразуя их в состояние 1 √ 2 (iψ 3 − ψ 4 ); • 2-е полупрозрачное зеркало собирает из двух волновых пакетов снова один −ψ a , который выходит вправо. В результате вошедший в интерферометр фотон всегда выходит вправо в состояние ψ a и никогда вниз в состояние ψ b При этом важно, что фотон внутри интерферометра находится в супер- позиции двух состояний и мы в принципе не можем определить по какому плечу он прош¨ел. Внесение в систему измерительного прибора, способ- ного определить куда пош¨ел фотон, разрушает интерференцию, и фотон с равной вероятностью попадает как в состояние ψ a , так и ψ b . К такому эффекту приводит, например, перекрытие одного из плеч, однако ниже мы рассмотрим более изощр¨енную схему. Представим себе набор бомб с очень чувствительным взрывателем, который способен сработать от толчка одного фотона. Однако некоторые 8 Каждое отражение доставляет фазовый множитель i. Фазовые множители, связанные с распространением волнового пакета внутри интерферометра, полагаем равными (результат юстировки), в результате чего их можно отбросить. 210 Г ЛАВА 7 0 1 2 3 4 a Рис. 7.2. Интерферометр Маха – Цандера выпускает фотоны только по одному нап- равлению из двух возможных. бомбы неисправны и энергии фотона недостаточно для возбуждения их взрывателя. На рис. 7.3 одно из непрозрачных зеркал закреплено на носу неисправ- ной бомбы. В этом случае интерферометр работает по-прежнему: сколько бы фотонов в него не входило, все выходят в состояние ψ a Рис. 7.3. Интерферометр Маха – Цандера с неисправной бомбой работает по-преж- нему. Исправную бомбу можно рассматривать как измерительный прибор, детектирующий наличие фотона в нижнем плече интерферометра (пле- чо 2-4). Если бомба детектирует фотон, то бомба взрывается, и волновой пакет из верхнего плеча (плечо 1-3) исчезает. Это изображено на рис. 7.4. Если бомба не детектирует фотон, то имеет место измерение без взаи- модействия. В результате исчезает волновой пакет в нижнем плече интер- ферометра, интерференция разрушается и фотон может выйти из интерфе- рометра как вправо, так и вниз. Таким образом, если мы запускаем один фотон в интерферометр с ис- правной бомбой, то возможны следующие исходы: 7.3. И ЗМЕРЕНИЕ БЕЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ * 211 Рис. 7.4. Если бомба исправна, то с вероятностью 1 2 фотон ид¨ет вниз и бомба взры- вается. Рис. 7.5. Если бомба исправна, то с вероятностью 1 2 фотон ид¨ет вправо и бомба не взрывается. Тем не менее разрушается интерференция и фотон может выйти как вправо, так и вниз. • с вероятностью 1 2 бомба взрывается и мы узна¨ем, что она была ис- правна; • с вероятностью 1 4 бомба не взрывается, фотон выходит вправо (в со- стояние ψ a ) и мы не знаем исправна ли бомба; • с вероятностью 1 4 бомба не взрывается, фотон выходит вниз (в состоя- ние ψ b ) и мы узна¨ем, что бомба исправна, не взорвав е¨е при этом. Таким образом, если нам дали большое количество бомб, срабатываю- щих от одного фотона, то в классическом случае мы не можем отобрать некоторое количество заведомо исправных бомб, не взорвав их при этом. В квантовом случае описываемая схема позволяет, тратя по одному фотону 212 Г ЛАВА 7 на бомбу, взорвать только половину исправных бомб, и совершить чудо: выделить четверть исправных бомб, не взорвав их при этом. Испытывая бомбы по несколько раз, можно приблизить долю отобран- ных (выявленных без взрыва исправных) бомб к ∞ n=1 1 4 n = 1 3 , а долю взорванных — к 2 3 . Меняя коэффициенты отражения полупрозрачных зер- кал, можно приблизить долю отобранных бомб к 1 2 Другие способы измерения без взаимодействия позволяют: • сделать долю взорванных бомб сколь угодно малой; • сделать долю невыявленных исправных бомб сколь угодно малой; • сделать долю исправных бомб, выявленных без взрыва, сколь угодно близкой к 1. 7.4. Квантовый эффект Зенона (парадокс незакипающего чайника)** ДВИЖЕНИЕ Движенья нет, сказал мудрец брадатый. Другой смолчал и стал пред ним ходить. Сильнее бы не мог он возразить; Хвалили все ответ замысловатый. Но, господа, забавный случай сей Другой пример на память мне приводит: Ведь каждый день пред нами солнце ходит, Однако ж прав упрямый Галилей. А. С. Пушкин 7.4.1. При ч¨ем здесь Зенон? Квантовое измерение, в отличие от классического, всегда влияет на состояние измеряемой системы. Одним из наиболее ярких проявлений это- го влияния является квантовый эффект Зенона, в русской литературе также именуемый парадоксом незакипающего чайника. При этом особенно инте- ресно то, что измерение может осуществляться без взаимодействия. «Мудрец брадатый» из пушкинского стихотворения — Зенон Элей- ский 9 известен поколениям школьников как один из самых больших чу- даков древней Греции, утверждавший, что движение невозможно, и приду- мывавший в доказательство этой глупости различные смешные парадоксы 9 Считается, что Зенон из Элеи (Z ´ ηνων) жил в период ок. 490 – ок. 430 до н. э. Его работы известны только в пересказе: в изложении Аристотеля и по комментариям к нему Симпликия. (Кстати, «Симпликий»=«Простак» — имя весьма подозрительное.) По всей видимости, мы 7.4. К ВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ З ЕНОНА 213 (апории Зенона). Над этими парадоксами бывает очень весело посмеяться на лекции, глядя на них с недоступных старику Зенону высот математи- ческого анализа и классической механики. Однако в квантовой механике некоторые рассуждения Зенона внезапно приобретают физический смысл, более того, соответствующие физические эффекты наблюдаются экспери- ментально. Рис. 7.6. Портрет Зенона с сайта «Элементы» (http://elementy.ru/trefil/zeno_paradox) и бюст какого-то Зенона. Автору не вполне ясно, почему авторы учебников по философии уверены, что это «тот самый Зенон». В апории «стрела» невозможность движения доказывается примерно сле- дующим образом: летящая стрела в каждый момент времени где-то на- ходится/покоится, но стрела не мо- жет одновременно лететь и покоить- ся, а значит движение невозможно. Невозможности движения это рассуж- дение, конечно, не доказывает, но оно доказывает невозможность движения, когда это движение каждый момент вре- мени точно измеряют: если очень точно измерить положение летящей части- цы, то е¨е волновая функция схлопнется в очень узкий волновой пакет, для кото- рого неопредел¨енность координаты ма- ла, а неопредел¨енность импульса очень велика, после этого летела частица или покоилась будет уже не важно. Более того, если повторять измерение очень часто, так, чтобы волновой пакет не успел расплыться и сдвинуться, то измерение скомпенсирует эволюцию волновой функции и частица каж- дый раз будет обнаруживаться в одном и том же месте (т. е. перестанет двигаться) 10 Таким образом, квантовый эффект Зенона состоит в замораживании (или замедлении) эволюции системы, подвергающейся частым и точным измерениям. уже никогда не сможем узнать, что в точности писал сам Зенон, и существовал ли он во- обще (или, например, был выдуман Аристотелем). Однако достаточно ли принципиальна эта невозможность для того, чтобы надо было принимать во внимание интерференцию различ- ных вариантов прошлого, содержащих (или не содержавших) различных Зенонов Элейских (см. рис. 7.6), не ясно. 10 Пусть в начальный момент времени волновая функция свободной частицы в импульс- ном представлении имеет вид ψ 0 (p) = 1 √ √ πp 0 e − p2 2p2 0 . Используя гамильтониан свободной частицы ˆ H = ˆ p 2 2m получаем оператор эволюции ˆ U t = e −i ˆ p2 t 2m¯ h и в момент времени t вол- 214 Г ЛАВА 7 Впервые квантовый эффект Зенона был предсказан в 1958 году совет- ским физиком Леонидом Александровичем Халфиным 11 . Имя Зенона эф- фекту дали Байдьянат Мизра и Джордж Сударшан в 1978 году. Эффект для вероятности переходов между атомными уровнями был экспериментально подтвержд¨ен в 1989 году 12 Рассмотрим квантовый эффект Зенона на простейшем примере. Пусть эволюция квантовой системы описывается как вращение вектора состояния в заданной плоскости с постоянной угловой скоростью ω = δE ¯ h . Это соот- ветствует тому, что система находится в суперпозиции двух стационарных состояний с различной на δE энергией, прич¨ем амплитуды обоих стацио- нарных состояний одинаковы по модулю. (Плоскость вращения будет, разу- меется, комплексной, но подбором фазовых множителей и нулевого уровня энергии е¨е можно сделать обычной вещественной евклидовой плоскостью.) Пусть плоскость вращения натянута на ортонормированные состоя- ния Ψ и Φ, тогда, если в нулевой момент времени волновая функция рав- нялась Ψ, в момент времени δt имеем ψ(δt) = Ψ cos(ω δt) + Φ sin(ω δt). Если теперь провести измерение, отвечающее на вопрос «Находится ли система в состоянии Ψ?», то вероятность ответа «да» и скачка в состоя- ние Ψ составит cos 2 (ω δt), а вероятность ответа «нет» и скачка в состоя- ние Φ составит sin 2 (ω δt). Для ω δt 1 имеем p да = cos 2 (ω δt) ≈ 1 − (ω δt) 2 2 2 ≈ 1 − (ω δt) 2 , p нет = sin 2 (ω δt) ≈ (ω δt) 2 новую функцию ψ(p, t) = ˆ U t ψ 0 (p) = 1 √ √ πp 0 e − p2 2p2 0 1+i p2 0 t m¯ h . Амплитуда обнаружения частицы в момент времени t в начальном состоянии ψ 0 задаётся скалярным произведени- ем ψ 0 |ψ(t) = 1 + i p 2 0 t 2m¯ h −1/2 . Соответствующая вероятность P 0 (t) = | ψ 0 |ψ(t) | 2 = = 1 + p 4 0 t 2 4m 2 ¯ h 2 −1/2 ≈ 1 − t 2 p 4 0 8m 2 ¯ h 2 . Если на протяжении времени T сделать N измерений с интервалом t = T /N , то суммарная вероятность ухода частицы из состояния ψ 0 составит P ух. (T, N ) ≈ N(1 − P 0 (T /N )) = T 2 N p 4 0 8m 2 ¯ h 2 . Мы видим, что P ух. (T, N ) → 0 при N → ∞, т. е. частые измерения, определяющие осталась ли частица в прежнем состоянии, «останавли- вают» движение частицы. 11 Халфин Л. А. // ДАН СССР. — 1957. — Т. 115. — С. 277; ЖЭТФ. — 1958. — Т. 33. — С. 1371; Квантовая теория распада физических систем: Автореф. дисс. ... канд. физ.-мат. наук. — ФИАН СССР, 1960. 12 Science. November 1989. — Vol. 246. — P. 888. 7.4. К ВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ З ЕНОНА 215 Важно, что p нет оказывается квадратично по времени. Из этого следует, что если мы на конечном времени t проделаем n измерений, интервал между которыми δt = t n , то суммарная вероятность получения ответа «нет» вед¨ет себя как P нет ≈ n · p нет ≈ n · ω tn 2 = (ωt) 2 n → 0, n → ∞. Таким образом, чем чаще мы подвергаем систему измерению «Не ушла ли система из исходного состояния Ψ?», тем ближе к единице вероятность того, что система осталась в исходном состоянии. Достаточно частыми из- мерениями мы можем удержать систему в исходном состоянии сколь угод- но долго со сколь угодно малой вероятностью случайного скачка в другое состояние 13 , ч то и да¨ет нам эффект Зенона. Эффект Зенона может осуществляться пут¨ем измерения без взаимо- действия, если вместо наличия системы в состоянии Ψ проверять наличие системы в состоянии Φ. Система в состоянии Φ, с вероятностью близкой к 1, не будет обнаружена, но это несостоявшееся обнаружение вс¨е равно повлияет на состояние системы. Рассмотрим оптическую реализацию эффекта Зенона. Некоторые сре- ды, состоящие из несимметричных молекул, вращают плоскость поляри- зации проходящего через них света, т. е. если по такой среде распростра- няется линейно поляризованный свет, то направление поляризации пово- рачивается на угол, пропорциональный пройденному пути 14 . Таким обра- зом, для линейно поляризованного фотона, распространяющегося по среде, плоскость поляризации поворачивается как на рис. 7.7 (только теперь оси координат можно обозначить просто как x и y). Помещ¨енный в среду поляризатор производит измерение поляриза- ции каждого фотона и пропускает только те фотоны, которые поляризо- ваны вдоль оси поляризатора. Для прошедших через поляризатор фотонов измерение можно считать прошедшим без взаимодействия (с фотоном «ни- чего не случилось»). Оптический эффект Зенона состоит в том, что если мы ставим одина- ково ориентированные поляризаторы внутри среды вс¨е чаще и чаще, то фо- тон, с вероятностью сколь угодно близкой к единице, пройд¨ет через сколь угодно толстую среду, не изменив направления поляризации 15 13 Для всякого времени t > 0 и вероятности p 0 > 0 найд¨ется такое число измерений n, ч то за время t система останется в состоянии Ψ с вероятностью большей, чем 1 − p 0 14 Этот эффект можно трактовать как разную скорость распространения волн с круговой поляризацией по и против часовой стрелки. 15 Здесь, разумеется, мы пренебрегаем возможным поглощением и отражением на поляриза- торов фотонов с «правильной» поляризацией. Также мы пренебрегаем толщиной поляризато- ров. 216 Г ЛАВА 7 F Y Y F cos( )+ sin( ) wdt wdt Ycos( ) wdt wdt Рис. 7.7. Поворот состояния в плоскости (Ψ, Φ) за малое время δτ на угол ω δτ и проекция на ось Ψ при «удачном» измерении. Следует заметить, что с помощью эффекта Зенона можно не только «замораживать» эволюцию системы, но и вести эту эволюцию произволь- ным образом (если суметь придумать подходящие процедуры измерений). Мы можем слегка модифицировать эксперимент и измерять «находится ли система в состоянии Φ(t)?» Тогда каждый раз измерение будет проециро- вать состояние системы на новое направление Φ(t) (состояние Φ(t) норми- ровано на единицу и дифференцируемо по времени). Если измерения про- исходят достаточно часто, а Φ(t) меняется со временем не слишком быстро, то с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, после очередного изме- рения система будет оказываться как раз в состоянии Φ(t). Таким образом, мы можем задать руками состояние как функцию от времени и «железной рукой» заставить систему следовать именно этому пути (с точностью до фазовых множителей). Такую разновидность эффекта Зенона принято на- зывать эффектом Антизенона. Оптический эффект Антизенона может быть продемонстрирован ещ¨е проще, чем эффект Зенона, без помощи вращающей поляризацию среды. Линейно поляризованный свет в пустоте (или в воздухе) сохраняет нап- равление поляризации. Однако, если мы поставим на его пути стопку по- ляризаторов, в которой ось каждого последующего пов¨ернута на малый угол δϕ, то для идеальных поляризаторов, с вероятностью сколь угодно близкой к единице, фотон пройд¨ет без поглощения всю стопку, послушно поворачивая направление поляризации вдоль осей поляризаторов. 7.4.2. Теорема Халфина Рассмотрение квантового эффекта Зенона в общем случае полностью аналогично рассмотренному выше двумерному случаю, т. к. квантовая эво- 7.4. К ВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ З ЕНОНА 217 люция в течение малого времени происходит в двумерном подпростран- стве, натянутом на векторы |ψ и |dψ = ˆ H i¯ h dt |ψ . Пусть в начальный момент времени система находится в нормирован- ном состоянии |ψ 0 ( ψ 0 |ψ 0 = 1), спустя время dt система переходит в сос- тояние |ψ = |ψ 0 + |dψ = |ψ 0 + ˆ H i¯ h dt |ψ 0 В силу эрмитовости гамильтониана ˆ H, состояние |ψ является нормирован- ным с точностью до второго порядка по dt: ψ |ψ = ψ 0 |(1 − ˆ H i¯ h dt)(1 + ˆ H i¯ h dt) |ψ 0 = 1 + dt 2 ¯ h 2 ˆ H 2 Пусть в момент времени dt происходит измерение, призванное определить, ушла ли система из исходного состояния |ψ 0 . Вероятность того, что сис- тема ушла из состояния |ψ 0 , равна вероятности того, что система будет обнаружена в состоянии |dψ , полученном из |dψ проекцией на подпро- странство, ортогональное к |ψ 0 : |dψ ⊥ = (ˆ 1 − |ψ 0 ψ 0 |)|dψ = dt i¯ h ( ˆ H − ˆ H ) |ψ 0 Состояние |dψ ⊥ нормировано не на единицу, а на вероятность, это следу- ет из того, что оно получается проекцией на подпространство, ортогональ- ное |ψ 0 , нормированного (в линейном по dt порядке) на 1 состояния |ψ . Таким образом, вероятность p − того, что система ушла из состояния |ψ 0 зада¨ется как p − (dt) = dψ ⊥ |dψ ⊥ = ψ |dψ ⊥ = dt 2 ¯ h 2 ( ˆ H 2 − ˆ H 2 ). Если задать dt = t 0 N , то вероятность того, что система уйд¨ет из сос- тояния |ψ 0 за время t 0 , если за это время было сделано N измерений с интервалом dt, можно сделать сколь угодно малой: P − (t 0 ) = N · dt 2 ¯ h 2 ( ˆ H 2 − ˆ H 2 ) = t 2 0 N ¯ h 2 ( ˆ H 2 − ˆ H 2 ) → 0, N → ∞. Таким образом, мы доказали наличие квантового эффекта Зенона для измерений, проверяющих уход системы из одномерного подпространства при выполнении достаточного условия конечности (δE) 2 = ˆ H 2 − ˆ H 2 |