Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
7.5.6. Неравенство Белла и его нарушение (ф**) Как замечательно, что мы столкнулись с парадоксом. Теперь у нас есть надежда на продвижение! Нильс Бор W История неравенства Белла Неравенство Белла было введено Джоном Беллом в 1964 году при ана- лизе мысленного эксперимента Эйнштейна – Подольского – Розена, предло- женного в 1935 году. 7.5. К ВАНТОВАЯ ( НЕ ) ЛОКАЛЬНОСТЬ 227 Рис. 7.9. Джон Стюарт Белл (1928–1990). http://www.s9.com/Biography/Bell-John-Stewart Неравенство Белла представляет собой необходимое условие того, что три случайных величины с заданными корреляциями между собой могут быть одновременно реализованы в рамках классической теории вероятнос- тей. Подобная задача ставится без какого-либо упоминания квантовой ме- ханики. И, естественно, математики занимались ею и до 1964 года. Как пишет А. Ю. Хренников, неравенства Белла были первоначально получены на сотню лет раньше Джорджем Булем, а общее решение для системы n случайных величин было получено Н. Н. Воробь¨евым в 1962 году. Таким образом, заслуга Белла состоит не в выводе неравенства, а в его применении к интерпретации квантовой механики. Вывод неравенства Белла Пусть имеются три случайных величины a, b, c, которые могут прини- мать значения ±1. Величины a, b, c не зависят друг от друга, а зависят от некоторой случайной переменной λ. Рис. 7.10. Джордж Буль (1815–1864). W Рис. 7.11. Николай НиколаевичВо- робь¨ев (1925–1995). [http://emi.nw.ru] 228 Г ЛАВА 7 Мы будем обозначать угловыми скобками классическое усреднение, которое может быть записано как интеграл по вероятностной мере P (dλ) по вероятностному пространству Λ (этот интеграл может быть на самом деле взвешенной суммой, или комбинацией суммы и интеграла): A = Λ A(λ) P (dλ). Тогда с уч¨етом линейности классического среднего, используя, что a 2 ≡ 1, получаем | ab − bc | = | (a − c) ×a 2 b | = | (1 − ac) 0 ab ±1 | 1 − ac = 1 − ac . Таким образом, неравенство Буля – Белла | ab − bc | 1 − ac . (7.21) Заменив c на −c можно записать другую (эквивалентную) форму того же неравенства: | ab + bc | 1 + ac . (7.22) Смысл неравенства Белла Представим себе, что есть некоторый классический случайный про- цесс: переменная λ принимает различные значения из вероятностного про- странства Λ, прич¨ем вероятность того, что λ ∈ L ⊂ Λ, зада¨ется как вероят- ностная мера 0 P (L) 1. Однако мы не наблюдаем величину λ непосредственно, вместо этого мы можем по своему усмотрению измерять две величины из набора a(λ), b(λ), c(λ), прич¨ем все величины могут принимать только значения ±1. При этом выбор пары измеряемых величин мы делаем независимо от выпавшего λ. Например, пара измеряемых величин выбирается уже после того, как генератор случайных событий (рулетка, карты, кости, броунов- ское движение, дробовой шум) выдал конкретную точку λ (чтобы человек, управляющий генератором, ничего в н¨ем не подкрутил), но до того, как у нас есть возможность что-то узнать о выпавшем варианте (чтобы мы то- же не могли учесть λ при выборе пары измерений). Много раз генерируя случайные значения λ с одинаковым распределе- нием вероятности P , мы с необходимостью должны получить корреляторы ab , bc , ac , удовлетворяющие неравенству Буля – Белла. 7.5. К ВАНТОВАЯ ( НЕ ) ЛОКАЛЬНОСТЬ 229 И хотя каждый раз мы измеряем только две величины из тр¨ех, третья каждый раз тоже принимает какое-то определ¨енное, хотя и не известное значение (разумеется, в классическом случае). Таким образом, существует 8 возможных комбинаций значений для a, b и c. Каждой из этих комбинаций мы можем приписать неотрицательную вероятность P (a, b, c) 0, a,b,c ∈{−1,+1} P (a, b, c) = 1. Корреляторы могут быть выражены через вероятности, например, ab = c ∈{−1,+1} P (+, +, c) + P ( −, −, c) − P (+, −, c) − P (−, +, c). И если бы вдруг оказалось, что неравенство Белла нарушено, мы не смог- ли бы подобрать 8 неотрицательных вероятностей P (a, b, c), что неизбежно означало бы нарушение процедуры: не иначе человек, управляющий ге- нератором случайных событий, знает о том, какие именно величины мы решили измерять, и подкручивает свой генератор в соответствии с этим 17 Неравенство Белла и скрытые параметры В квантовой механике вероятностное пространство зада¨ется не только состоянием системы, но и выбором измеряемой величины, т. е. по существу выбором измерительной установки. В связи с этим у нас нет оснований ожидать, что неравенство Белла будет выполняться для некоммутирующих наблюдаемых, которые не могут быть измерены одновременно. Тем не менее, если неравенство Белла выполняется для некоммутиру- ющих наблюдаемых, это оставляет надежду, что можно придумать некото- рый скрытый параметр λ (который и параметризует элементарные события, по которым мы интегрируем), такой, что все наблюдаемые однозначно вы- ражаются через этот параметр. В этом случае удалось бы придумать единое распределение вероятностей для λ (общее вероятностное пространство) для взаимоисключающих измерений. Единое вероятностное пространство означало бы, что все квантовые вероятности и неопредел¨енности сводятся к классической теории вероятности и, подобно классическим вероятностям, могут быть объяснены тем, что мы не знаем точного состояния системы, которое в этом случае задавалось бы уже не волновой функцией, а набором скрытых параметров. 17 Где мой канделябр!? :) 230 Г ЛАВА 7 Однако при измерении двух некоммутирующих переменных состоя- ние системы меняется после первого измерения, что оказывает влияние на второе. Чтобы обойти эту сложность, мы измеряем две некоммутирующие переменные почти одновременно (разность врем¨ен меньше, чем расстоя- ние, дел¨енное на скорость света) на двух установках, удал¨енных друг от друга. Конечно, квантовая теория учит, что квантовое состояние изменя- ется мгновенно, но если квантовая теория — лишь приближ¨енная теория к теории с локальными скрытыми переменными, то это мгновенное вли- яние на расстоянии следует считать нефизическим, тем более, что даже квантовая теория обладает своего рода локальностью, которая не допускает сверхсветовой передачи информации. Если продемонстрировать, что квантовая механика позволяет нарушать неравенство Белла для некоммутирующих переменных, то это будет озна- чать, что квантовая механика принципиально отличается от любой локаль- ной (без мгновенного дальнодействия) классической (в том числе класси- ческой вероятностной) теории. Более того, экспериментальная проверка на- рушения неравенств Белла будет экспериментом, способным опровергнуть все локальные классические теории разом. Корреляции для спинов* Этот раздел предполагает знакомство читателя со спиновыми волно- выми функциями и операторами для спина 1 2 Для построения в рамках квантовой механики контрпримера к нера- венству Белла мы используем систему из двух спинов 1 2 , находящихся в сос- тоянии с нулевым полным моментом: |ψ = | ↑ | ↓ − | ↑ | ↓ √ 2 Здесь | ↑ и | ↓ — одночастичные состояния спин вверх и спин вниз. Это состояние переходит в себя при любых поворотах. Такие состояния называют ЭПР-состояниями. Они появляются при описании парадокса Эйнштейна – Подольского – Розена в формулировке Давида Бома. Возможность нарушения неравенства Белла для такого состояния является выделенной Беллом математической сущностью па- радокса ЭПР. Измеряться будут удвоенные проекции спина одной из частиц на раз- личные направления (они как раз могут принимать значения ±1, как и надо по условиям неравенства Белла). 7.5. К ВАНТОВАЯ ( НЕ ) ЛОКАЛЬНОСТЬ 231 Если провести измерение проекции спина одной из частиц (пусть это будет первая частица) на ось z (или на любую другую ось, т. к. все на- правления для этого состояния равноправны!), то с равной вероятностью 1 2 проекция будет равна ± 1 2 . После такого измерения проекции спинов обоих частиц будут определены однозначно, прич¨ем их знаки всегда будут проти- воположны. Таким образом, измерение проекции спина первой частицы с равным успехом можно проводить как над самой первой частицей, так и над вто- рой частицей: состояния после измерения для обоих случаев совпадают, а измеренные числа пересчитываются друг в друга заменой знака. Пусть второе измерение определяет проекцию спина первой частицы на ось, пов¨ернутую на угол θ по отношению к оси, использованной при пер- вом измерении. Если первое измерение проводилось для оси z, а второе — для оси пов¨ернутой на угол θ вокруг оси x, то базисные одночастичные состояния для первого и второго измерений |ψ 1+ = | ↑ = 1 0 , |ψ 1 − = | ↓ = 0 1 ; |ψ 2+ = cos θ 2 sin θ 2 , |ψ 2 − = sin θ 2 cos θ 2 Таким образом, последовательные измерения удвоенных проекций спина первой частицы на оси, составляющие угол θ, дают значения ±1, ±1 со следующими вероятностями: P (+, +, θ) = 1 2 | ψ 1+ |ψ 2+ | 2 = 1 2 cos 2 θ 2 , P (+, −, θ) = 1 2 | ψ 1+ |ψ 2 − | 2 = 1 2 sin 2 θ 2 , P ( −, +, θ) = 1 2 | ψ 1 − |ψ 2+ | 2 = 1 2 sin 2 θ 2 , P ( −, −, θ) = 1 2 | ψ 1 − |ψ 2 − | 2 = 1 2 cos 2 θ 2 Таким образом, коррелятор для проекций на указанные оси составляет ab = P (+, +, θ) − P (−, +, θ) − P (+, −, θ) + P (−, −, θ) = = cos 2 θ 2 − sin 2 θ 2 = cos θ. Этот результат можно записать так: (σ, n)(σ, n ) = (n, n ) = cos( ∠nn ), |n| = |n | = 1. (7.23) 232 Г ЛАВА 7 Нарушение неравенства Белла в квантовой механике Покажем, что направления осей, для которых измеряются удвоенные проекции спина, могут быть выбраны так, что корреляции (7.23) будут на- рушать неравенство Белла (7.22). Выберем три оси, отвечающие измерениям a, b и c, лежащими в одной плоскости под углом 2π 3 друг к другу. Все три пары осей равноправны и мы получаем ab = bc = ac = cos 2π 3 = −1 2 При подстановке в неравенство Белла (7.22) получаем противоречие: | ab − 1 2 + bc − 1 2 | 1 + ac − 1 2 ⇒ 1 1 2 Таким образом, действительно, с классической локальной точки зре- ния поведение квантовых коррелированных систем может быть парадок- сальным, и парадокс ЭПР действительно является парадоксом. Впрочем, физики, последовательно придерживающиеся неклассического и/или нело- кального взгляда на мир, могут не видеть здесь парадокса. Ещ¨е раз отметим, что каждый раз при измерении пары величин изме- рения осуществляются над разными частицами практически одновременно (чтобы разность времен была недостаточна для путешествия сигнала со скоростью света), но результат всегда пересчитывается для первой части- цы. Реально для набора статистики нам понадобится проводить не 3, а по крайней мере 4 разных измерения. Например, измерения a каждый раз про- водятся над первой частицей, измерение b — над второй, а измерение c — над второй или первой в зависимости от того, в паре с каким измерением оно выполняется. Нарушение неравенства Белла на эксперименте Нарушение неравенства Белла было экспериментально проверено А. Аспектом в 1982 году. От описанной выше схемы эксперимент Аспекта отличался использование фотонов вместо электронов, что математически эквивалентно, т. к. фотоны также имеют две независимых поляризации 18 Более существенно то, что большая часть фотонов в эксперименте Ас- пекта не регистрировалась детекторами. Таким образом, реально наблю- даемые пробегали не 2 значения ±1, отвечающих двум поляризациям фо- тона/электрона, а три значения: добавлялся 0, отвечающий потере фотона. 18 Т. к. спин фотонов не 1 2 , а 1, углы между направлениями анализаторов для фотонов надо поделить на 2. 7.6. Т ЕОРЕМА О НЕВОЗМОЖНОСТИ КЛОНИРОВАНИЯ ** 233 Если предположить, что потеря фотона может коррелировать с его поля- ризацией, то можно построить такой набор классических вероятностей для каждой из комбинаций тр¨ех исходов, которая позволит воспроизвести экс- периментальные корреляции. Рис. 7.12. Алан Аспект. Таким образом, эксперимент Аспекта под- тверждает нарушение неравенств Белла только в предположении независимости события ре- гистрации фотона от его поляризации. Теоретически это означает, что экспери- мент Аспекта не полностью закрывает воз- можность построения локальной теории скры- тых параметров, хотя и сильно ограничивает свойства таких теорий. 7.6. Теорема о невозможности клонирования квантового состояния** Теорема о невозможности клонирования квантового состояния утверж- дает, что невозможно, имея квантовую систему в некотором произвольном неизвестном состоянии ψ, приготовить две системы в том же состоянии ψ. Однако, если состояние ψ известно, то мы можем приготовить в этом состоянии произвольное число систем, прич¨ем нам даже не нужна исходная система-образец в этом состоянии. Приготовление системы подразумевает возможность произвольного чередования любых измерений с унитарной эволюцией под действием про- извольных гамильтонианов с отбором систем по результатам измерений. Эти три процедуры позволяют также описать приготовление системы кото- рого зависит от результатов промежуточных измерений. Если не нормировать волновые функции на единицу, то процесс при- готовления системы сводится к последовательному действию на исходное состояние (здесь |φ 0 — состояние окружения) |Ψ 0 = |ψ |φ 0 различных унитарных операторов и проекторов, произведение которых да¨ет некоторый линейный оператор ˆ K. Линейность оператора, приготовления состояния ˆ K подсказывает идею доказательства: Начальное состояние |Ψ 0 линейно по |ψ , следовательно, конечное состояние |Ψ 1 = |ψ |ψ |φ 1 также должно быть линейно по ψ, что, вероятно, невозможно. 234 Г ЛАВА 7 Рассмотрим два линейно независимых состояния ψ 1 и ψ 2 и предпо- ложим, что мы можем клонировать и эти состояния, и их сумму ψ 1 + ψ 2 с помощью одного оператора ˆ K. Для ψ 1 и ψ 2 получаем ˆ K |ψ 1 |φ 0 = |ψ 1 |ψ 1 |φ 1 , ˆ K |ψ 2 |φ 0 = |ψ 2 |ψ 2 |φ 2 Для ψ 1 + ψ 2 в силу линейности ˆ K ˆ K |ψ 1 + ψ 2 |φ 0 = |ψ 1 |ψ 1 |φ 1 + |ψ 2 |ψ 2 |φ 2 + |ψ 1 |ψ 2 0 + |ψ 2 |ψ 1 0. С другой стороны, если состояние ψ 1 + ψ 2 клонируется тем же операто- ром ˆ K: ˆ K |ψ 1 + ψ 2 |φ 0 = |ψ 1 + ψ 2 |ψ 1 + ψ 2 |φ 1+2 = = |ψ 1 |ψ 1 |φ 1+2 + |ψ 2 |ψ 2 |φ 1+2 + |ψ 1 |ψ 2 |φ 1+2 + |ψ 2 |ψ 1 |φ 1+2 Из линейной независимости ψ 1 и ψ 2 следует линейная независимость их тензорных произведений |ψ 1 |ψ 1 , |ψ 2 |ψ 2 , |ψ 1 |ψ 2 , |ψ 2 |ψ 1 В силу этого, сравнивая два выражения для ˆ K |ψ 1 + ψ 2 |φ 0 , получаем, при- равнивая последние тензорные множители при одинаковых первых двух: |φ 1+2 = |φ 1 , |φ 1+2 = |φ 2 , |φ 1+2 = 0, |φ 1+2 = 0. Таким образом, мы не можем клонировать с помощью одного и того же оператора ˆ K даже состояния из двумерного линейного подпространства, натянутого на ψ 1 и ψ 2 . Случай же одномерного подпространства интереса не представляет, поскольку знание одномерного подпространства означает знание состояния (с точностью до множителя). Если можно было бы клонировать некоторое состояние системы, то мы могли бы, совершая различные измерения для разных «клонов», полностью (с точностью до общего множителя) определить волновую функцию сис- темы, однако в силу теоремы о невозможности клонирования произвольная волновая функция единичной системы оказывается недоступна измерению. 7.6. Т ЕОРЕМА О НЕВОЗМОЖНОСТИ КЛОНИРОВАНИЯ ** 235 Невозможность клонирования также означает невозможность «под- смотреть» унитарную эволюцию системы, не прерывая е¨е. В частности, это накладывает ряд принципиальных ограничений на работу с квантовым компьютером (невозможность «следить» за процессом вычислений, невоз- можность полностью использовать квантовый параллелизм и т. д.). 7.6.1. Смысл невозможности клонирования (ф*) Теорема о невозможности клонирования квантового состояния гласит, что, имея некоторую систему в неизвестном (произвольном) квантовом сос- тоянии? мы не можем приготовить две системы (или более) в таком же состоянии. Разумеется, если мы знаем в каком состоянии система, то мы в принципе можем приготовить сколь угодно много систем в таком же сос- тоянии. Чтобы понять, какие физико-философские последствия имеет тео- рема о невозможности клонирования, давайте предположим противное: представим себе, что у нас есть некоторое клонирующее устройство, осуществляющее клонирование квантового состояния, и изучим, к каким последствиям это может привести. Многократно измеряя для системы в одинаковом состоянии какой- либо полный набор совместных наблюдаемых n, мы можем (благодаря клонирующему устройству) набрать статистику и получить распределение вероятностей всевозможных исходов измерения, т. е. определить функцию p n = |ψ n | 2 для данного базиса. Это пока не позволяет определить саму волновую функцию, т. к. мы пока знаем только модули амплитуд |ψ n |, но не фазы arg(ψ n ). Однако, обладая клонирующим устройством, мы можем набрать статистику для нескольких разных полных наборов наблюдаемых и получить распределе- ния вероятностей для различных базисов. |