Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
10.6.2. Вычисления и необратимость Описанные выше логические схемы представляют собой графическое описание процесса вычислений, который может быть реализован на неко- тором классическом вычислительном устройстве. То есть логические схе- мы — описания физических процессов, которые реализуют данное вычис- ление. Поскольку линии логической схемы могут разветвляться, произволь- ная информация в логических схемах может копироваться. Согласно тео- реме о невозможности клонирования квантового состояния, возможность 302 Г ЛАВА 10 копирования означает, что информация не может задаваться произволь- ным квантовым состоянием, в частности, она не может быть квантовой суперпозицией двух логически различных входов. Поскольку число входов логического вентиля больше, чем число выходов, число входных состоя- ний больше, чем число выходных, и работа такого вентиля необратима. Физически из этого, в частности, следует, что работа соответствующего физического устройства генерирует энтропию: потеря одного бита инфор- мации порождает не менее одного бита энтропии, как меры недостатка информации о микросостоянии системы. Поскольку квантовая теория замкнутых систем всегда порождает обра- тимую (унитарную) эволюцию, необратимые логические вентили не могут быть смоделированы как замкнутые квантовые системы. 10.6.3. Обратимые классические вычисления Унитарная квантовая эволюция, в отличие от классических алгорит- мов, полностью обратима. Тем не менее любое классическое вычисление может быть модифицировано так, чтобы каждый шаг выполнялся обрати- мым образом, и вс¨е вычисление в целом также было обратимым. Для обратимых классических вычислений вход и выход всегда содер- жат одинаковое количество бит L и любое вычисление можно рассматри- вать как некоторое взаимно-однозначное отображение (перестановку) мно- жества всех входов (состоит из 2 L элементов) на себя. Такую перестановку можно представить матрицей 2 L × 2 L , в каждой строке и в каждом столбце которой имеется ровно одна единица, а осталь- ные элементы — нули. Такая матрица является унитарной (обратима и сох- раняет скалярное произведение), а значит может быть реализована как опе- ратор эволюции некоторой квантовой системы с пространством состояний H L = C 2 L (см. рис. 10.1). 10.6.4. Обратимые вычисления A Рис. 10.1. Обратимый логи- ческий вентиль, действую- щий на два (ку)бита. Для записи обратимых вычислений удоб- но использовать обратимые логические опе- рации (они не подпадают под определение логической операции, данное выше). Обрати- мые логические операции являются взаимно- однозначными отображениями множества вхо- дов (множество состояний l битов, которое имеет 2 l состояний) на множество выходов, 10.6. Л ОГИКА И ВЫЧИСЛЕНИЯ 303 которое также имеет 2 l состояний и может быть записано как множество состояний l битов. Обратимая логическая операция может быть изображена графически (рис. 10.1) в виде обратимого логического вентиля: блока, имеющего рав- ное число входов (однобитных аргументов) и выходов (битов для запи- си значения функции). Такая картинка полностью аналогична графиче- скому представлению квантового оператора, действующего на сложную систему (см. 4.4.4 «Сравнение разных обозначений*»), и, действительно, действие такого вентиля на квантовую систему соответствует действию соответствующего унитарного оператора. Доказано, что любое классическое вычисление может быть сделано об- ратимым. При этом достаточно применить конечное число разновидностей обратимых логических вентилей, например, достаточно одного универсаль- ного вентиля «управляемое не»: «управляемое не»: 00 → 00 01 → 01 10 → 11 11 → 10 В операции «управляемое не» первый бит определяет применять ли опера- цию «не» ко второму биту, сам первый бит переда¨ется со входа на выход без изменений. Обратимые вентили типа «управляемое не» могут быть реализованы в виде классических, или квантовых устройств. Однако такой вентиль пе- реводит базисное состояние (в котором состояние всех битов зада¨ется как 0 или 1 и биты не зависят друг от друга) снова в базисные состояния. То есть в процессе таких вычислений (вычислений в базисных состоя- ниях) нигде не появляются квантовые суперпозиции и квантовая запутан- ность. Единственное преимущество квантовой реализации таких вычисле- ний — теоретическая возможность вычисления без генерации энтропии, т. е. без диссипации энергии. Генерация энтропии и нагрев будут обязательно происходить только при необратимой очистке памяти и приготовлении ис- ходного состояния компьютера. 10.6.5. Вентили сугубо квантовые Чтобы построить универсальный квантовый в смысле привед¨енного выше определения необходимо дополнить описанный выше вентиль «управ- ляемое не» несколькими сугубо квантовыми вентилями. Обычно берут 304 Г ЛАВА 10 однобитовые вентили e iασ x , e iασ y , e iασ z , H = ⎛ ⎜ ⎝ 1 √ 2 1 √ 2 1 √ 2 − 1 √ 2 ⎞ ⎟ ⎠. Доказано, что, используя перечисленные вентили, можно воспроизвести любое унитарное преобразование на пространстве состояний входа (про- странстве состояний L кубитов) с любой напер¨ед заданной точностью. 10.6.6. Обратимость и уборка «мусора» Переписывание какого-либо необратимого алгоритма в обратимом ви- де может привести к тому, что в схеме появятся дополнительные выход- ные биты, которые будет нести дополнительную информацию, которая не нужна для вычислений, но которая необходима, чтобы сделать вычисления обратимыми. То есть результат вычисления можно записать так: ˆ U |вход, 0 . . . 0 выход , 0 . . . 0 доп. ячейки = |вход, выход, вспомогательная информация «мусор» Вспомогательная информация может мешать интерференции квантовых состояний, поэтому предпочтительно было бы иметь процесс вида ˆ U |вход, 0 . . . 0 выход , 0 . . . 0 доп. ячейки = |вход, выход, 0 . . . 0 . Это не нарушает обратимости оператора ˆ U , т. к. вся информация, необ- ходимая для обращения вычисления, уже содержится в подсистеме ячеек «вход». Доказано, что любое классическое вычисление всегда можно провести обратимым образом так, чтобы все дополнительные ячейки памяти, кото- рые не используются для записи входа и выхода, в начале и конце процесса были в состоянии 0 («ложь», «нет», «спин вниз» и т. п.). Как правило, мы не можем «подсматривать» за промежуточными сос- тояниями квантового компьютера, работающего в суперпозиции базисных состояний, чтобы не разрушить суперпозицию и не испортить вычисле- ния. Однако, если мы заранее знаем, что на каком-то этапе вычислений в определ¨енной ячейке обязательно должен быть 0, мы можем это прове- рить, и состояние квантового компьютера от этого не изменится. 10.6. Л ОГИКА И ВЫЧИСЛЕНИЯ 305 Если квантовые вентили реализуются не идеально точно, реальное со- стояние может чуть-чуть отличаться от желаемого, и мы можем вместо 0 обнаружить 1. Это будет означать ошибку квантового компьютера. Если мы в самом деле обнаружим 0, то «неправильная» часть волновой функции си- стемы обнулится и мы, убедившись что ошибки пока нет, увеличим вероят- ность успешного завершения вычисления. По существу, это разновидность квантового эффекта Зенона. Г ЛАВА 11 Симметрии-1 (теорема Н¨етер) Рис. 11.1. Эмма Н¨етер (1882–1935). W Наиболее естественно строить квантовую ме- ханику, основываясь, понятии симметрии. Выше (5.1 «Квантовая механика замкнутой системы») вре- менная эволюция была описана как преобразование симметрии, порожд¨енное оператором энергии (га- мильтонианом). Следуя за классической теоретичес- кой механикой, в которой теорема Эммы Н¨етер уста- навливает связь между симметриями и законами сох- ранения, мы должны ожидать, что и другим преобра- зованиям симметрии будут соответствовать свои со- храняющиеся величины, прич¨ем сдвигу по координа- те должен соответствовать импульс. Как мы увидим далее, квантовая теорема Н¨етер даже проще классической. Мы воспользуемся ей, чтобы ввести в квантовую механику ряд наблюдае- мых, как имеющих классические аналоги (импульс, момент импульса), так и не имеющих (ч¨етность, квазиимпульс). 11.1. Что такое симметрия в квантовой механике Симметрия физической системы — это некоторое преобразование, ко- торое переводит одни решения уравнений эволюции в другие решения того же уравнения 1 . В частности стационарные состояния должны переходить в стационарные с той же энергией 2 . Стационарные состояния образуют ба- 1 Рассматривавшийся выше сдвиг нулевого уровня энергии (5.13) не подпадает под данное определение, поскольку преобразование ψ(t) → ψ(t)e − iE0t ¯ h переводит решения уравнения Шр¨едингера с гамильтонианом ˆ H в решения другого уравнения Шр¨едингера, с гамильтониа- ном ˆ H = ˆ H + E 0 ˆ 1. 2 Если симметрия не зависит от времени. В данном разделе мы ограничимся этим случаем, хотя возможны и иные случаи, например, переход от одной инерциальной системы отсч¨ета 11.1. Ч ТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ 307 зис, поэтому достаточно проверить симметрию только для стационарных состояний. Симметрии должны удовлетворять следующим условиям: • пространство чистых состояний имеет структуру линейного простран- ства = ⇒ симметрии описываются линейными операторами; • симметрия должна обладать свойством рефлексивности (если ψ сим- метрично φ, то и φ симметрично ψ) = ⇒ для всякого оператора сим- метрии существует обратный оператор, который тоже является симмет- рией; • пространство чистых состояний наделено структурой скалярного про- изведения = ⇒ операторы симметрии должны сохранять скалярное произведение (а значит и вероятность). Перечисленные три условия означают, что симметрии описываются унитарными операторами. φ симметрично ψ относительно симметрии ˆ U , записывается как ψ = ˆ U φ, где ˆ U — унитарный оператор данной симметрии. Пусть задан некоторый гамильтониан, для которого задан спектр: ˆ Hψ E = Eψ E Если унитарный оператор ˆ U является симметрией данного гамильтониа- на, то состояние ˆ U ψ E также является собственным для того же гамильто- ниана с тем же собственным числом: ( ˆ H ˆ U )ψ E = ˆ H( ˆ U ψ E ) = E( ˆ U ψ E ) = ˆ U ( ˆ Hψ E ) = ( ˆ U ˆ H)ψ E Вычитая из первого выражения в цепочке равенств последнее, получаем: ( ˆ H ˆ U − ˆ U ˆ H)ψ E = 0. Состояния ψ E образуют базис. Таким образом, все базисные состояния об- нуляются под действием оператора [ ˆ H, ˆ U ] = ˆ H ˆ U − ˆ U ˆ H, а значит данный оператор является нулевым: [ ˆ H, ˆ U ] = ˆ H ˆ U − ˆ U ˆ H = 0. (11.1) Равенство нулю коммутатора (11.1) является необходимым и достаточным условием того, что унитарный оператор ˆ U является симметрией данного гамильтониана ˆ H. к другой, движущейся относительно исходной равномерно и прямолинейно, является симмет- рией для свободной частицы, хотя и меняет уровни энергии. 308 Г ЛАВА 11 Из условия (11.1) следует, что эрмитов оператор ˆ H и унитарный опе- ратор ˆ U могут быть диагонализованы одновременно, т. е. может быть пост- роен базис, все элементы которого являются собственными функциями для обоих операторов. Следует иметь в виду, что не всякая функция, собствен- ная для одного оператора, также является собственной для другого (такое возможно для собственных чисел, которым соответствуют несколько ли- нейно независимых собственных функций). 11.2. Преобразования операторов «вместе» и «вместо» Мы можем применять преобразования симметрии не только к состоя- ниям, но и к операторам. Мы можем выполнять преобразования двумя спо- собами: • Преобразование «вместе»: операторы преобразуются вместе с состо- яниями, так, чтобы изменение операторов компенсировало изменение состояний и все матричные элементы оставались теми же, что и до преобразования: ψ → ˆ U ψ, ˆ A → ˆ U ˆ A ˆ U † , φ | ˆ A |ψ → φ| ˆ U † ˆ U ˆ 1 ˆ A U † ˆ U ˆ 1 |ψ = φ| ˆ A |ψ . • Преобразование «вместо»: операторы преобразуются вместо состоя- ний, так, чтобы изменение операторов и изменение состояний давало одинаковое преобразование матричных элементов: ψ → ˆ U ψ, ˆ A → ˆ A, φ | ˆ A |ψ → φ| ˆ U † ˆ A ˆ U |ψ , или ψ → ψ, ˆ A → ˆ U † ˆ A ˆ U , φ | ˆ A |ψ → φ| ˆ U † ˆ A ˆ U |ψ . Таким образом, преобразования операторов «вместе» и «вместо» осу- ществляются с помощью обратных операторов. Преобразования «вместе» естественно применять для описания пас- сивных преобразований, когда преобразования состояния системы тракту- ются как замена базиса. В этом случае преобразование операторов вместе с состояниями соответствует их переписыванию в новом базисе. Преобразования «вместо» естественно применять для описания актив- ных преобразований, когда преобразования состояния системы трактуются 11.3. Н ЕПРЕРЫВНЫЕ СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 309 как изменение физического состояния системы. В этом случае преобра- зование операторов вместо состояний да¨ет альтернативное описание того же самого преобразования. Например, преобразование операторов от пред- ставления Шр¨едингера к представлению Гайзенберга — это преобразование операторов «вместо» преобразования состояний, задававшего унитарную эволюцию в представлении Шр¨едингера. 11.2.1. Непрерывные преобразования операторов и коммутаторы Пусть оператор ˆ A подвергается однопараметрическому преобразова- нию «вместе» ˆ U α : ˆ A → ˆ A α = ˆ U α ˆ A ˆ U † α , ˆ U α = e iα ˆ B Дифференцируя ˆ A α по параметру α, получаем коммутатор операто- ра ˆ A α и генератора преобразования ˆ B: d ˆ A α dα = (i ˆ B) ˆ U α ˆ A ˆ U † α + ˆ U α ˆ A ˆ U † α ( −i ˆ B) = i[ ˆ B, ˆ A α ]. (11.2) Положив α = 0, получаем необходимое и достаточное условие инва- риантности оператора при однопараметрическом преобразовании («вместе» или «вместо» — не важно): [ ˆ A, ˆ B] = 0. 11.3. Непрерывные симметрии и законы сохранения В классической механике каждой симметрии, параметризуемой непре- рывным параметром, в соответствии с теоремой Эммы Н¨етер соответ- ствует закон сохранения. Если выбором координат свести такую сим- метрию к сдвигу по какой-то обобщ¨енной координате (однородность по обобщ¨енной координате), то такой сохраняющейся величиной можно выб- рать обобщ¨енный импульс вдоль этой координаты. Если функция Гамиль- тона H(Q, P ) не зависит от координаты Q i , то есть если ∂H(Q,P ) ∂Q i = 0, то в силу уравнения Гамильтона ∂H(Q,P ) ∂Q i = − ˙P i импульс P i не зависит от времени. Получим квантовый аналог теоремы Н¨етер. Пусть имеется однопара- метрическая группа симметрий гамильтониана ˆ H с непрерывным парамет- 310 Г ЛАВА 11 ром α ∈ R: ˆ U α 1 ˆ U α 2 = ˆ U α 1 +α 2 , (11.3) ˆ U −1 α = ˆ U −α , (11.4) ˆ U 0 = ˆ 1, (11.5) [ ˆ H, ˆ U α ] = 0. (11.6) Частный случай однопараметрической группы симметрии сдвига по вре- мени (5.4)–(5.6) уже рассматривался при выводе уравнения Шр¨едингера. И подобно тому, как из сдвига по времени ˆ U t получается оператор Га- мильтона (оператор Гамильтона отвечает энергии, той самой величине, сох- ранение которой следует из однородности времени по теореме Н¨етер), из симметрии ˆ U α получится эрмитов оператор некоторой сохраняющейся ве- личины. Дифференцируя (11.6) по параметру α, получаем: ∂ ∂α [ ˆ H, ˆ U α ] α=0 = ˆ H, ∂ ˆ U α ∂α α=0 = 0. Обозначим ˆ A = −i¯h ∂ ˆ U α ∂α α=0 ⇒ ˆ U α = e i ¯ h α ˆ A (11.7) (по сравнению с (5.9) здесь выбран другой знак). Полностью аналогич- но (5.10) ˆ U † dα = ˆ 1 − dα ˆ A i¯ h + o(dα) † = ˆ 1 + dα ˆ A † i¯ h + o(dα), (11.8) ˆ U † dα = ˆ U −1 dα = ˆ 1 − dα ˆ A i¯ h + o(dα) −1 = ˆ 1 + dα ˆ A i¯ h + o(dα), ⇒ ˆ A = ˆ A † Таким образом, мы получаем эрмитов оператор ˆ A, для которого коммутатор с гамильтонианом обнуляется [ ˆ H, ˆ A] = 0. (11.9) Эрмитовы операторы ˆ H и ˆ A могут быть одновременно диагонализованы. То есть математически (11.9) не имеет преимуществ перед (11.1), но имеет- ся преимущество с точки зрения физического смысла, поскольку эрмитовой 11.3. Н ЕПРЕРЫВНЫЕ СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 311 величине соответствует некоторая измеряемая величина. Энергия и физи- ческая величина, соответствующая оператору ˆ A, могут быть одновременно измерены. Далее мы рассмотрим ряд важных примеров квантовых законов сохра- нения. 11.3.1. Сохранение единичного оператора Заметим, что любой гамильтониан симметричен относительно одно- временного умножения всех волновых функций на одинаковый фазовый множитель e α = e iα , α ∈ R, |e α | = 1. Умножение на e α может рассматри- ваться как действие унитарного оператора ˆ e α = e α · ˆ1 из группы U(1). Мы получаем однопараметрическую симметрию, для которой сохраняющаяся физическая величина зада¨ется единичным оператором ˆ 1 = −i ∂ ˆ e α ∂α α=0 , ко- торый, очевидно, коммутирует с любым оператором, а значит сохраняется для любого гамильтониана 3 |