Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
11.4.3. Квазиимпульс* Рассмотрим симметрию относительно сдвига на период a вдоль ко- ординатной оси x. Такой симметрией обладает, например, гамильтониан частицы во внешнем периодическом потенциале 11 Соответствующий унитарный оператор ˆ T a , как мы уже знаем, записы- вается через экспоненту от оператора импульса по данной оси ˆ p x : ˆ T a = e i ¯ h a ˆ p x Однако сохранение импульса, как мы уже видели в разделе 11.3.2, подразу- мевает большую симметрию — симметрию относительно сдвига на произ- вольное расстояние. Выше, во вводной части раздела 11.4, мы уже упоми- нали, что генератор симметрии может быть выбран неоднозначно, прич¨ем не все генераторы могут соответствовать сохраняющимся величинам. Каковы собственные функции и числа для оператора ˆ T a ? Если коор- дината x пробегает значения от −∞ до +∞, то собственные числа — все единичные комплексные числа |u| = 1. То есть u = e iα = e i(α+2πn) = u q = e i ¯ h aq = e i ¯ h a(q+ 2π¯ h a n) , α, q ∈ R, n ∈ Z. 10 Под «закрученностью» следует понимать направление собственного момента импульса частицы — спина. Подразумевается, что зеркальная симметрия и пространственная ч¨етность действуют также на зависимость волновых функций от спиновых переменных, «переворачи- вая» спин должным образом (если этого не делать, то пространственная ч¨етность нарушится ещ¨е раньше). 11 Это очень важный пример, соответствующий частице внутри идеального кристалла. 11.4. З АКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ РАНЕЕ ДИСКРЕТНЫХ СИММЕТРИЙ 321 Здесь мы параметризовали собственные числа u параметром q, имеющим размерность импульса. Параметр q называют квазиимпульсом. Квазиим- пульс определ¨ен с точностью до прибавления целого числа, умноженного на 2π¯ h a . Это число называют периодом обратной реш¨етки. Мы можем вы- брать все квазиимпульсы из интервала длиной в период обратной реш¨етки, например из интервала ( π¯ h a , π¯ h a ]. Таким образом, мы поставили в соот- ветствие разным собственным числам оператора ˆ T a разные вещественные числа, а одинаковым — одинаковые, и определили тем самым оператор квазиимпульса, для которого эти вещественные числа q являются собствен- ными с собственными функциями ψ u q По определению оператора сдвига ˆ T a ψ(x) = ψ(x+a), по определению собственного вектора ˆ T a ψ u = uψ u . Таким образом, собственная функция удовлетворяет условию ψ u (x + a) = uψ u (x). (11.24) Для гамильтонианов, коммутирующих с ˆ T a , собственные функции можно искать среди собственных функций оператора ˆ T a . В этом случае уравне- ние (11.24) позволяет продолжить волновую функцию с отрезка длиной a на всю вещественную прямую, задействовав, тем самым, симметрию отно- сительно сдвига на период. При |u| = 1 интеграл по периоду x 0 x 0 −a |ψ u (x) | 2 dx = |u| 2 x 0 +a x 0 |ψ u (x) | 2 dx не зависит от x 0 . Если координата x ∈ R, то ψ u не нормируема на единицу, как и должно быть, раз ψ u принадлежат непрерывному спектру. Вместо x ∈ R мы можем рассматривать интервал x ∈ [x 0 , x 0 + N · a] с периодическими граничными условиями для ψ. В этом случае допустимы только собственные числа, для которых u N = 1 ⇔ N aq 2π¯ h ∈ Z. Таких собственных чисел имеется N штук (корни N -й степени из едини- цы). Интеграл от |ψ u | 2 по конечному интервалу x ∈ [x 0 , x 0 + N · a] оказы- вается конечен, а спектр становится дискретным. Устремляя N к бесконеч - ности, мы можем совершить предельный переход от дискретного к непре- рывному случаю. 322 Г ЛАВА 11 Рис. 11.2. Феликс Блох (1905–1983). Глядя на (11.24), можно понять физический смысл условия |u| = 1. Если это условие наруша- ется, то |u| > 1, или |u| < 1. В первом случае модуль волновой функции неограничено возрастает при пос- ледовательных сдвигах на a, а во втором — при пос- ледовательных сдвигах на −a. Тем не менее волно- вые функции ψ u при |u| = 1 могут быть полезны при рассмотрении кристаллической реш¨етки, кото- рая конечна, или бесконечна только в одну сторону, а также кристаллической реш¨етки с дефектами. Та- кие функции могут описывать экспоненциальное за- тухание волновой функции частицы вглубь кристал- ла, когда частица отражается от кристалла, или лока- лизована на дефекте. В некоторых случаях волновую функцию ви- да (11.24) представляют в виде произведения волны де Бройля с импуль- сом q на периодическую функцию с периодом a: ψ u (x) = e i ¯ h xq φ(x), φ(x) = φ(x + a). (11.25) Утверждение (11.25) называют теоремой Блоха. Очевидно, что (11.24) рав- носильно (11.25). 11.5. Сдвиги в фазовом пространстве** 11.5.1. Групповой коммутатор сдвигов* В текущей главе мы убедились в полезности унитарных операторов сдвига по координате ˆ T a и по импульсу ˆ S b ˆ T a = e i ¯ h a ˆ P , ˆ S b = e − i ¯ h b ˆ Q В координатном представлении ˆ T a ψ(Q) = ψ(Q + a), ˆ S b ψ(Q) = e − i ¯ h bQ ψ(Q). В импульсном представлении ˆ T a ψ(P ) = e i ¯ h aP ψ(P ), ˆ S b ψ(P ) = ψ(P + b). 11.5. С ДВИГИ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ ** 323 Эрмитовы операторы ˆ P и ˆ Q не коммутируют (4.64) [ ˆ Q, ˆ P ] = i¯ h, соответственно не коммутируют и унитарные операторы ˆ T a и ˆ S b Для эрмитовых операторов их некоммутативность удобно определять коммутатором [a, b] = ab − ba = ic (матричным коммутатором) который сопоставляет двум эрмитовым операторам a и b третий эрмитов оператор c. Произведение и взятие обратного для унитарных операторов — «хоро- шие» операции, т. к. результат их действия снова оказывается унитарным. Сумма или разность унитарных операторов «хорошими» операциями не являются. Поэтому для унитарных операторов некоммутативность удобнее определять с помощью группового коммутатора ABA −1 B −1 Вычислим групповой коммутатор для операторов ˆ T a и ˆ S b в координат- ном представлении ˆ T a ˆ S b ˆ T −a ˆ S −b ψ(Q) = ˆ T a ˆ S b ˆ T −a (e i ¯ h bQ ψ(Q)) = ˆ T a ˆ S b (e i ¯ h b(Q −a) ψ(Q − a)) = = ˆ T a (e − i ¯ h bQ e i ¯ h b(Q −a) ψ(Q − a)) = ˆ T a (e − i ¯ h ba ψ(Q − a)) = e − i ¯ h ba ψ(Q). Таким образом (уже вне зависимости от представления) ˆ T a ˆ S b ˆ T −a ˆ S −b = e − i ¯ h ab (11.26) То есть (читая левую часть равенства справа налево) сдвиги по P , по Q, обратно по P , обратно по Q дают в итоге фазовый множитель e − i ¯ h ab , пока- затель экспоненты в котором пропорционален ориентированной (со знаком) площади контура ab, который был описан в фазовой плоскости (Q, P ). При параллельном переносе (сдвиге) по произвольному контуру, контур может быть приближен с помощью набора прямоугольных ячеек. Внутрен- ние линии этих ячеек проходятся дважды в противоположных направлени- ях и их вклад сокращается. Таким образом, параллельный перенос в фазо- вой плоскости (Q, P ) вдоль любого замкнутого контура Γ да¨ет умножение на фазовый множитель T Γ = e − i ¯ h S(Γ) , (11.27) с показателем пропорциональным ориентированной площади контура S(Γ), которая имеется смысл действия по контуру (площадь положительна при обходе контура по часовой стрелке). 324 Г ЛАВА 11 С помощью формулы (11.26) можно переставлять сдвиги по коорди- нате и импульсу: ˆ T a ˆ S b = e − i ¯ h ab ˆ S b ˆ T a (11.28) Однако, во многих случаях нам понадобится параллельный перенос одно- временно по координате и импульсу вдоль отрезка прямой. Соответствующий оператор e i ¯ h (a ˆ P −b ˆ Q) вместе с операторами ˆ T −a и ˆ S −b да¨ет параллельный перенос по контуру в форме прямоугольного тре- угольника с катетами a и b и ориентированной площадью S = − ab 2 ˆ S −b ˆ T −a e i ¯ h (a ˆ P −b ˆ Q) = e i ¯ h ab 2 (11.29) Таким образом, оператор сдвига «наискосок» можно выразить через сдвиги по координате и импульсу: e i ¯ h (a ˆ P −b ˆ Q) = e i ¯ h ab 2 ˆ T a ˆ S b = e − i ¯ h ab 2 ˆ S b ˆ T a (11.30) 11.5.2. Классические и квантовые наблюдаемые** Оператор сдвига наискосок позволяет, следуя Г. Вейлю, ввести следу- ющую естественную (но не единственную) процедуру, установления соот- ветствия между классическими и квантовыми наблюдаемыми с помощью преобразования Фурье: F (Q, P ) = e i ¯ h (aP −bQ) ˜ F (b, a) da db, ˆ F = e i ¯ h (a ˆ P −b ˆ Q) ˜ F (b, a) da db. (11.31) ˜ F (b, a) = 1 (2π¯ h) 2 e − i ¯ h (aP −bQ) F (Q, P ) dQ dP. (11.32) При этом вещественность классической наблюдаемой F (Q, P ) эквивалента равенству ˜ F (b, a) = ˜ F ∗ ( −b, −a), которое эквивалентно эрмитовости кван- товой наблюдаемой ˆ F . Чтобы выразить ˜ F (b, a) через ˆ F нам надо продолжить исследование оператора сдвига наискосок. В координатном представлении e i ¯ h (a ˆ P −b ˆ Q) ψ(Q) = e − i ¯ h b(Q+a/2) ψ(Q + a). 11.5. С ДВИГИ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ ** 325 Ядро оператора Q 2 |e i ¯ h (a ˆ P −b ˆ Q) |Q 1 = e − i ¯ h b(Q 2 +a/2) δ(Q 2 − Q 1 + a). След оператора сдвига наискосок: tr e i ¯ h (a ˆ P −b ˆ Q) = Q 1 |e i ¯ h (a ˆ P −b ˆ Q) |Q 1 dQ 1 = = e − i ¯ h b(Q 1 +a/2) δ(a) dQ 1 = 2π¯ h δ(b) δ(a), tr e i ¯ h (a ˆ P −b ˆ Q) = 2π¯ h δ(b) δ(a) = tr( ˆ T a ˆ S b ) = tr( ˆ S b ˆ T a ). Произведение сдвигов снова да¨ет сдвиг, умноженный на фазовый мно- житель (направления Q и P на фазовой плоскости ничем не выделены) e i ¯ h (a 2 ˆ P −b 2 ˆ Q) · e i ¯ h (a 1 ˆ P −b 1 ˆ Q) = e i ¯ h ([a 1 +a 2 ] ˆ P −[b 1 +b 2 ] ˆ Q) · e − i ¯ h S , Здесь S — площадь треугольника, натянутого на векторы (a 1 , b 1 ) и (a 2 , b 2 ): S = −1 2 a 1 a 2 b 1 b 2 = 1 2 (a 2 b 1 − a 1 b 2 ). tr e − i ¯ h (a 2 ˆ P −b 2 ˆ Q) · e i ¯ h (a 1 ˆ P −b 1 ˆ Q) = 2π¯ h δ(a 1 − a 2 ) δ(b 1 − b 2 ). Теперь мы можем найти коэффициенты разложения оператора ˆ F по опера- торам сдвига наискосок (аналог преобразования Фурье от оператора) ˜ F (b, a) = 1 2π¯ h tr e − i ¯ h (a 2 ˆ P −b 2 ˆ Q) ˆ F (11.33) Установив с помощью формул (11.31), (11.32), (11.33) взаимно однознач- ное соответствие между классическими и квантовыми наблюдаемыми мы можем переписать умножение операторов как некоторый частный случай ∗-произведения функций на фазовом пространстве. 326 Г ЛАВА 11 11.5.3. Кривизна фазового пространства**** В дифференциальной геометрии пространство считается искривл¨енным, если параллельный перенос по замкнутому контуру да¨ет преобразование отличное от тождественного. Параллельного перенос по замкнутому кон- туру в фазовой плоскости да¨ет умножение на фазовый множитель (11.27) T Γ = e i ¯ h S(Γ) , т.е. действие элемента группы U (1). Это означает, что фа- зовой плоскости можно приписать кривизну над группой U (1). Кривизна фазовой плоскости постоянна, т. к. площадь контура входит в показатель экспоненты с постоянным коэффициентом. Аналогично кривизна над группой U (1) в пространстве-времени вво- дится при описании электромагнитного поля как калибровочного. Можно связать между собой две хорошо разработанных области мате- матической физики: симплектическую геометрию и теорию калибровочных полей. Симплектическая форма и тензор электромагнитного поля объединя- ют в один объект, задающий кривизну в расслоении фазового пространства над группой U (1). В литературе эта аналогия разрабатывается в одну сто- рону: квантовая механика как калибровочная теория в фазовом простран- стве 12 Пусть X K — координаты в фазовом пространстве. Для коммутаторов и классических скобок Пуассона имеем [ ˆ X K , ˆ X L ] = i¯ hJ KL , {X K , X L } = J KL В нашей интерпретации J KL — тензор кривизны фазового пространства над группой U (1). В канонических координатах X Q i = Q i , X P j = P j , J Q i P j = −J P j Q i = δ i j , J Q i Q j = J P i P j = 0. Переход от обобщ¨енных импульсов P к кинематическим импульсам p позволяет исключить статическое магнитное поле из гамильтониана, опи- сав его как добавку к кривизне фазового пространства. Для таких («новых канонических») координат x мы обозначим тензор кривизны I (это тот же тензор J , но в других координатах) x q i = q i = Q i , x p j = p j = P j − ecA j (Q), [ˆ x K , ˆ x L ] = i¯ hI KL , {x K , x L } = I KL , 12 Isidro J. M., de Gosson M. A. A gauge theory of quantum mechanics// Mod. Phys. Lett. A. 2007. Vol. 22, Pp. 191–200. 11.5. С ДВИГИ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ ** 327 I q i p j = −I p j q i = δ i j , I q i q j = 0, I p i p j = e c F ij = e c (∂ i A j − ∂ j A i ). Симплектическая форма ω зада¨ется матрицей обратной к матрице I, т.е. ω KL I LM = δ M K ω q i p j = −ω p j q i = −δ i j , ω q i q j = e c F ij , ω p i p j = 0. Если не включать в число координат время (как обычно принято в нерелятивистской квантовой механике), то в рамках данного подхода можно описать статическое магнитное поле, компоненты которого задаются ком- понентами тензора F ij (F xy = −H z , прочие компоненты получаем цикли- ческими перестановками индексов). Данный подход отличается от общепринятого только выбором коорди- нат в фазовом пространстве. В качестве примера привед¨ем гамильтониан для системы частиц в магнитном поле в канонических и «новых канониче- ских» координатах: H = a (P a − e c A(Q a )) 2 2m a = a p 2 a 2m a Здесь a — номер частицы, координаты и импульсы относящиеся к одной ча- стицы объединены в тр¨ехмерные векторы. Магнитное поле, в канонических координатах описывается векторным потенциалом A(Q a ) (H = rot A), ко- торый входит в гамильтониан, а коммутационные соотношения (и тензор кривизны фазового пространства J ) не зависят от полей. В «новых кано- нических» магнитное поле исчезает из гамильтониана и описывается че- рез коммутационные соотношения для компонент кинематических импуль- сов p a , входя в тензор кривизны фазового пространства I. Для того, чтобы описать в рамках данного подхода переменное элек- тромагнитное поле, необходимо расширить фазовое пространство, рассмат- ривая время t и соответствующий времени обобщ¨енный импульс p 0 = −E как дополнительные координаты. При этом время в квантовой механике не может рассматриваться в полной мере, как координата, волновая функция, по своему физическому смыслу, должна быть квадратично интегрируемой по пространственным координатам, но не по времени, поскольку суммар- ная вероятность должна сохраняться. Г ЛАВА 12 Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор (грузик на пружинке) очень любим в тео- ретической механике, поскольку гармонический осциллятор — точно решае- мая система, во многих случаях хорошо описывающая в первом приближе- нии малые колебания различных систем. Эти достоинства гармонического осциллятора сохраняются и в квантовой механике. На самом деле, в квантовой механике гармонический осциллятор лю- бят даже больше, чем в классической. Это связано с тем, что гармоничес- кий осциллятор приобретает фундаментальное значение при рассмотрении квантованных бозонных полей (в том числе электромагнитного поля), ко- торые без уч¨ета взаимодействия описываются набором невзаимодействую- щих квантовых гармонических осцилляторов (см. ниже раздел 12.11). Решать задачу о квантовом гармоническом осцилляторе можно разны- ми способами. Метод лестничных операторов, который вводится здесь, не является универсальным способом решения задачквантовой механики: он хорош только для гармонического осциллятора и похожих на него систем, однако именно этот способ зада¨ет специальный язык, который интенсив- но используется во многих разделах квантовой теории, включая квантовую теорию поля (КТП). Знакомство с данным методом очень полезно для изучающих кванто- вую теорию. Помимо того, что этот способ просто красив, он приучает, столкнувшись с задачей, хорошенько подумать, прежде чем писать уравне- ние Шр¨едингера в форме дифференциального уравнения (хотя бы потому, что дифференциальные уравнения могут вообще не понадобиться). Как обычно, начн¨ем решение задачи с выписывания соответствующего гамильтониана. Удобно записывать уравнения не через ж¨есткость пружи- ны k, а через собственную циклическую частоту ω = k/m: ˆ H = ˆ p 2 2m + k ˆ x 2 2 = ˆ p 2 2m + mω 2 ˆ x 2 2 (12.1) |