Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
12.4. Пример расч¨етов в представлении чисел заполнения* Пусть, например, нам надо посчитать среднее от какого-либо операто- ра, скажем, ˆ Q ˆ P 2 ˆ Q в состоянии |n . Можно, конечно, найти волновую функ- цию ψ n (Q) и взять интеграл n | ˆ Q ˆ P 2 ˆ Q |n = ψ n Q( −i∂/∂Q) 2 Qψ n dQ, од- нако проще провести вычисления в представлении чисел заполнения. Мы знаем, как на собственные функции осциллятора действуют лест- ничные операторы, поэтому выразим через них операторы координаты и импульса: ˆ Q = ˆ a + ˆ a † √ 2 , ˆ P = ˆ a − ˆa † i √ 2 (12.32) Теперь мы можем написать n | ˆ Q ˆ P 2 ˆ Q |n = n| ˆ a + ˆ a † √ 2 ˆ a − ˆa † i √ 2 2 ˆ a + ˆ a † √ 2 |n = Далее оста¨ется раскрыть скобки (не забывая, что ˆ a и ˆ a † не коммутиру- ют!), применить формулы для действия лестничных операторов на базис- ные состояния (12.22), (12.25) и ортонормированность базисных состоя- ний (12.20). Впрочем, мы можем облегчить работу, выписывая при открытии ско- бок только те члены, которые содержат равное число операторов ˆ a и ˆ a † , поскольку каждый такой оператор опускает (поднимает) состояние на одну ступеньку, а состояния ортонормированы, а значит нам интересны только члены, не меняющие номер состояния. Таким образом, продолжаем преды- дущее равенство = 1 − 4 n | − ˆa † ˆ a † ˆ aˆ a − ˆa † ˆ a ˆ N ˆ a † ˆ a ˆ N + ˆ a † ˆ a ˆ N ˆ aˆ a † ( ˆ N +1) + + ˆ aˆ a † ( ˆ N +1) ˆ a † ˆ a ˆ N − ˆaˆa † ( ˆ N +1) ˆ aˆ a † ( ˆ N +1) − ˆaˆaˆa † ˆ a † |n = Мы просто выписали все 6 возможных способов поставить два креста на 4 оператора. При этом каждый крест над вторым или третьим оператором (которые происходят от оператора ˆ P ) давали знак минус. Мы сразу выделили действующие на состояние |n комбинации опера- торов, которые дают оператор номера уровня ˆ N . Поскольку оператор дей- ствует на сво¨е собственное состояние, его можно заменить собственным 12.5. С ИММЕТРИИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА 343 числом, таким образом, удалось существенно сократить выкладки: = − 1 4 − ( n|ˆa † ˆ a † )(ˆ aˆ a |n ) ˆ aˆ aψ n |ˆaˆaψ n −n 2 + n(n + 1) +n +(n + 1)n − (n + 1) 2 −n−1 −1 − − ( n|ˆaˆa)(ˆa † ˆ a † |n ) ˆ a † ˆ a † ψ n |ˆa † ˆ a † ψ n = Осталось вычислить скалярные квадраты двух волновых функций: ˆ aˆ a |n = = √ n − 1 √ n |n − 2 , ˆa † ˆ a † |n = √ n + 2 √ n + 1 |n + 2 . Таким образом, по- лучаем ответ = 1 4 (+(n − 1)n + 1 + (n + 2)(n + 1)) = 1 4 (2n 2 + 2n + 3). 12.5. Симметрии гармонического осциллятора 12.5.1. Зеркальная симметрия На первый взгляд мы видим у гармонического осциллятора одну сим- метрию — зеркальную, описываемую оператором инверсии координаты ˆ I. Как мы уже обсуждали выше, это означает, что мы можем выбрать соб- ственные функции оператора Гамильтона так, чтобы они одновременно бы- ли собственными функциями оператора ˆ I, т. е. ч¨етными или неч¨етными. По- скольку у гармонического осциллятора нет вырождения ч¨етных и неч¨етных состояний (да и вообще спектр невырожденный), все собственные сос- тояния оказываются либо ч¨етными, либо неч¨етными. Основное состоя- ние ψ 0 (12.31), очевидно, ч¨етно. Повышающий оператор ˆ a † = 1 √ 2 (Q − ∂ ∂Q ) меняет ч¨етность состояния, т. е. превращает ч¨етную функцию в неч¨етную и наоборот. Таким образом, ч¨етность собственных состояний осциллятора чередуется, т. е. соответствует ч¨етности номера уровня: ˆ Iψ n = ( −1) n ψ n 12.5.2. Фурье-симметрия и переход от координатного представления к импульсному и обратно** Гамильтониан для гармонического осциллятора в обезразмеренных пе- ременных ˆ H = 1 2 ¯ hω( ˆ Q 2 + ˆ P 2 ) выглядит симметрично относительно замены координаты на ∓импульс, а импульса на ±координату. 344 Г ЛАВА 12 Это соответствует переходу от координатного представления, к им- пульсному. Соответствующий унитарный оператор ˆ F зада¨ет преобразова- ние Фурье, его удобно представить как интегральный оператор: ( ˆ F ψ)(P ) = R 1 √ 2π e −iP Q ψ(Q) dQ. Просто поменять местами ˆ P и ˆ Q не позволяют канонические коммута- ционные соотношения (12.6), но мы можем, как и в классической механике, сделать каноническую замену ˆ Q → − ˆ P , ˆ P → ˆ Q. Знаки мы выбрали так, чтобы они согласовывались с прямым преобразованием Фурье 3 : ˆ Q → − ˆ P = ˆ F ˆ Q ˆ F −1 , (12.33) ˆ P → ˆ Q = ˆ F ˆ P ˆ F −1 , (12.34) ˆ a → ˆ F ˆ a ˆ F −1 = − ˆ P + i ˆ Q √ 2 = iˆ a, (12.35) ˆ a † → ˆ F ˆ a † ˆ F −1 = − ˆ P − i ˆ Q √ 2 = −iˆa † (12.36) Гамильтониан в координатном и в импульсном представлениях за- да¨ется одним и тем же дифференциальным оператором ˆ H д. = ˆ F ˆ H д. ˆ F −1 = ¯ hω 2 − ∂ 2 ∂Q 2 + Q 2 То есть ˆ F ˆ H д. = ˆ H д. ˆ F . И этой симметрии соответствует некоторый закон сохранения. Закон сохранения, следующий из Фурье-симметрии, зада¨ет, что если в начальный момент времени волновая функция гармонического осцилля- тора является собственной, для оператора ˆ F , с собственным числом f , то и в последующие моменты времени волновая функция оста¨ется собствен- ной функцией для ˆ F с тем же собственным числом. Другая формулировка — ψ(t) | ˆ F |ψ(t) не зависит от времени. Как известно, 4-кратное преобразование Фурье возвращает нас к ис- ходной функции, т. е. ˆ F 4 = ˆ 1. Записав это для собственной функции, полу- чаем: ˆ F ψ = f ψ, ψ = ˆ 1ψ = ˆ F 4 ψ = f 4 ψ ⇒ f 4 = 1, f ∈ {1, −i, −1, i}. 3 Рекомендуем самостоятельно проверить формулы (12.33)–(12.36). 12.5. С ИММЕТРИИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА 345 Двухкратное преобразование Фурье да¨ет исходную функцию, с обратным знаком аргумента: ( ˆ F 2 ψ)(Q) = ψ( −Q) = (ˆIψ)(Q), т. е. ˆ F 2 = ˆ I. Аналогич - ное соотношение для собственных чисел позволяет заключить, что ч¨етным функциям отвечает f = ±1, а неч¨етным — f = ±i. Таким образом, Фурье- симметрия включает в себя зеркальную симметрию, но позволяет разбить ч¨етные и неч¨етные функции ещ¨е на два класса. Уравнение на собственные функции и собственные числа выглядит следующим образом: f ψ(P ) = R 1 √ 2π e −iP Q ψ(Q) dQ. Здесь ψ(Q) и ψ(P ) — одна и та же функция, в которую подставлены разные аргументы. Поскольку спектр гармонического осциллятора не вырожден, найден- ные нами собственные функции ψ n (Q) являются также собственными для оператора ˆ F , и нам надо только установить, какие собственные числа им соответствуют. Для основного состояния ψ 0 (12.31) f = 1, поскольку пре- образование Фурье совпадает с самой функцией ψ 0 : ( ˆ F ψ 0 )(P ) = R 1 √ 2π e −iP Q e − Q 2 2 4 √ π dQ = R 1 √ 2π 1 4 √ π e − 1 2 (Q 2 +2iP Q) dQ = = R 1 √ 2π 1 4 √ π e − ((Q+iP ) 2 +P 2 ) 2 dQ = = e − P 2 2 4 √ π R e − (Q+iP ) 2 2 √ 2π dQ = e − P 2 2 4 √ π = ψ 0 (P ). Посмотрим теперь, как меняется f под действием повышающего опе- ратора ˆ a † . Выкладки эти провед¨ем двумя способами: 1. Проделаем выкладки, используя тождество (12.36) для операторов ˆ a † и ˆ F . Тождество ˆ F ˆ a † ˆ F −1 = −iˆa † можно переписать как ˆ F ˆ a † = −iˆa † ˆ F , используя это, получаем: ˆ F ˆ a † ψ = −iˆa † ˆ F ψ = −iˆa † f ψ = ( −if)ˆa † ψ. 346 Г ЛАВА 12 2. Проделаем те же выкладки, представляя векторы состояния как функ- ции 4 . Заменяя умножение на Q дифференцированием по P комплекс- ной экспоненты и интегрируя по частям член, содержащий ∂ ∂Q , полу- чаем: ( ˆ F ˆ a † ψ)(P ) = R 1 √ 2π e −iP Q 1 √ 2 Q − ∂ ∂Q ψ(Q) dQ = = 1 √ 2 i ∂ ∂P − iP R 1 √ 2π e −iP Q ψ(Q) dQ = = ( −iˆa † ˆ F ψ)(P ) = ( −iˆa † f ψ)(P ) = ( −if)(ˆa † ψ)(P ). Таким образом, под действием повышающего оператора f умножилось на −i, и мы получаем для собственных состояний осциллятора ˆ F ψ n = ( −i) n ψ n Данная формула выявляет связь преобразований Фурье и временной эволюции гармонического осциллятора: ˆ F ψ n = ( −i) n ψ n = e −i π 2 n ψ n = e −i π 2 ˆ N ψ n = e −i π 2 ˆ a † ˆ a ψ n = e − i ¯ h ( ˆ H − ¯ hω 2 ) π 2ω ψ n Поскольку это тождество выполняется для всех базисных векторов ψ n , мы можем записать преобразование Фурье как оператор эволюции гармоничес- кого осциллятора на время π 2ω , т. е. 1 4 часть периода T 0 = 2π ω , при условии, что в качестве нулевого уровня энергии принят уровень основного состоя- ния E 0 = ¯ hω 2 : ˆ F = e −i π 2 ˆ a † ˆ a = e − i ¯ h ( ˆ H −E 0 ) T 0 4 = e i π 2 e − i ¯ h ˆ H π 2ω = 1 + i √ 2 ˆ U π 2ω Сдвиг нулевого уровня энергии не нес¨ет физического смысла и приводит лишь к устранению фазового множителя e −i ω 2 t . Таким образом, гармони- ческий осциллятор каждые четверть периода подвергает сво¨е состояние преобразованию Фурье с точность до фазового множителя (который устра- няется, если отсчитывать энергию от E 0 ). 4 По существу, это вывод тождества (12.36), т. е. частичное решение задачи, предложенной в сноске 3. Впрочем, внимательный читатель легко превратит это частичное решение в полное. 12.6. П РЕДСТАВЛЕНИЕ Г АЙЗЕНБЕРГА ДЛЯ ОСЦИЛЛЯТОРА 347 12.5.3. Вращение фазовой плоскости Описанная выше Фурье-симметрия гармонического осциллятора со- ответствует повороту фазовой плоскости по часовой стрелке на угол π 2 Рис. 12.1 наводит на мысль, что гармонический осциллятор должен допус- кать более широкую симметрию, относительно поворотов фазовой плос- кости на произвольный угол α. И этой симметрии также должен соот- ветствовать какой-то закон сохранения, позволяющий ещ¨е более детально, чем Фурье-симметрия, различать между собой уровни энергии осцилля- тора. Однако в данном случае нас жд¨ет разочарование: эта симметрия опи- сывается оператором эволюции ˆ U α ω , а соответствующий закон сохране- ния — закон сохранения энергии. Это легко увидеть, рассмотрев гармони- ческий осциллятор в представлении Гайзенберга, чему и посвящ¨ен следую- щий раздел. 12.6. Представление Гайзенберга для осциллятора 12.6.1. Интегрирование уравнения Гайзенберга Рассмотрим теперь, как выглядит временная эволюция гармоническо- го осциллятора в представлении Гайзенберга. Для оператора ˆ a, соглас- но (5.20), мы можем написать полную производную по времени dˆ a dt = i ¯ h [ ˆ H, ˆ a] = −iωˆa. (12.37) Для представления Гайзенберга полная производная по времени описывает просто, как оператор изменяется со временем и мы получаем дифференци- альное уравнение, и начальные условия (шр¨едингеровские операторы сов- падают с гайзенберговскими в нулевой момент времени) dˆ a г dt = −iωˆa г , ˆ a г (0) = ˆ a ш ⇒ ˆa г (t) = e −iωt ˆ a ш (12.38) Полученный результат выглядит точно так же, как классическая эво- люция гармонического осциллятора, изображ¨енная на рис. 12.1, с заменой координаты и импульса на операторы. Через ˆ a г (t) мы можем выразить гайзенберговские операторы координа- ты и импульса и получить для них «с точностью до шляпок» классические 348 Г ЛАВА 12 формулы эволюции гармонического осциллятора: ˆ Q г (t) = ˆ a г (t) + ˆ a † г (t) √ 2 = 1 √ 2 e −iωt ˆ a iωt ш+e ˆ a † ш = = 1 √ 2 e −iωt ˆ Q ш + i ˆ P ш √ 2 + e iωt ˆ Q ш − i ˆ P ш √ 2 = = cos(ωt) ˆ Q ш + sin(ωt) ˆ P ш Формулу для импульса мы можем получить аналогично через ˆ a г и ˆ a † г , а мо- жем просто продифференцировать координату по обезразмеренному време- ни ωt: ˆ P г (t) = 1 ω d ˆ Q г dt = i ¯ hω [ ˆ H, ˆ Q г ] = − sin(ωt) ˆ Q ш + cos(ωt) ˆ P ш Таким образом, точно так же как в классике ˆ Q г (t) = cos(ωt) ˆ Q г (0) + sin(ωt) ˆ P г (0), ˆ P г (t) = − sin(ωt) ˆ Q г (0) + cos(ωt) ˆ P г (0). Если теперь усреднить эти уравнения по произвольной волновой функции (напомним, гайзенберговские волновые функции не зависят от времени), то средние значения (т. е. уже не операторы, а числа) будут колебаться совер- шенно классическим образом: Q г (t) = cos(ωt) Q г (0) + sin(ωt) P г (0) , P г (t) = − sin(ωt) Q г (0) + cos(ωt) P г (0) . (12.39) 12.6.2. Роль эквидистантности уровней* Посмотрим на представление Гайзенберга с несколько иной точки зре- ния и попытаемся понять с чем связано, что гайзенберговская эволюция описывается одной частотой ω. Как мы знаем, матричный элемент не зависит от представления, в част- ности φ ш | ˆ A ш |ψ ш t = φ г | ˆ A г |ψ г t Для понижающего оператора все отличные от нуля матричные элементы имеют вид n − 1|ˆa|n . Стационарные шр¨едингеровские состояния эволю- 12.7. К ОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА * 349 ционируют со временем как |n ш (t) = e − i ¯ h E n t |n ш (0) . Таким образом, n − 1|ˆa г (t) |n = (n − 1) ш |ˆa ш |n ш t = = e −i E n −E n −1 ¯ h t n − 1|ˆa ш |n 0 = e −iωt n − 1|ˆa ш |n 0 Поскольку для всех ненулевых матричных элементов оператора ˆ a г (t) эво- люция описывается одним и тем же фазовым множителем e −iωt , мы можем записать для самого оператора ˆ a г (t) = e −iωt ˆ a ш Нам удалось это благодаря тому, что все ненулевые матричные элементы оператора ˆ a берутся для состояний с одинаковой разностью энергий, т. е. благодаря тому, что ˆ a спускает каждое стационарное состояние по лестнице энергий на одну и ту же величину ¯ hω. 12.7. Когерентные состояния гармонического осциллятора* Выше мы уже рассматривали когерентные состояния, обращающие со- отношение неопредел¨енностей для пары операторов ˆ A, ˆ B в равенство (7.6). Такие состояния должны быть собственными для оператора вида iγ ˆ A + ˆ B. Именно такой вид имеют операторы ˆ a и ˆ a † для гармонического осцилля- тора, поэтому их собственные состояния должны быть когерентными для пары наблюдаемых координата-импульс. Легко видеть, что оператор ˆ a † не имеет собственных состояний 5 Состояния, удовлетворяющие условию ˆ a |ψ z = z |ψ z , z ∈ C, (12.40) называются когерентными состояниями гармонического осциллятора. Та- кие состояния существуют для всех z и одно из таких состояний мы уже знаем — это основное состояние гармонического осциллятора |0 (см. (12.21)). Мы знаем, что ˆ a = ˆ Q + i ˆ P √ 2 , пусть аналогично z = α + iβ √ 2 , α, β ∈ R. 5 Попробуйте доказать это от противного, предположив, что ˆ a † |ψ = Z|ψ , и разложив |ψ по базису состояний |n . (При каком минимальном n коэффициент разложения может быть отличен от нуля?) 350 Г ЛАВА 12 Тогда уравнение (12.40) перепишется как ˆ Q + i ˆ P √ 2 |ψ z = α + iβ √ 2 |ψ z ⇔ [( ˆ Q − α) + i( ˆ P − β)]|ψ z = 0. Таким образом, состояния |ψ z с произвольным z ∈ C получаются из |0 сдвигом по координате на α и импульсу на β. В координатном представлении получаем ψ z (Q) = 1 4 √ π · e iβQ − (Q −α) 2 2 Однако при вычислении средних по когерентному состоянию осцил- лятора можно обойтись без этой формулы, используя вместо этого уравне- ние (12.40). Это работает для любых операторов, выражающихся через ˆ Q и ˆ P (а значит, выражающихся через ˆ a и ˆ a † ). Продемонстрируем это на примере вычисления средней энергии гар- монического осциллятора в когерентном состоянии |ψ z . В первую очередь надо записать оператор через ˆ a и ˆ a † так, чтобы в каждом слагаемом все операторы ˆ a † были левее всех операторов ˆ a (используя коммутатор [ˆ a, ˆ a † ] = = 1 (12.8), для расстановки лестничных операторов в правильном поряд- ке): 6 ψ z | ˆ H |ψ z = ψ z |¯hω 2 (ˆ a † ˆ a + 1 2 ) |ψ z После этого действуем всеми операторами ˆ a налево, а всеми оператора- ми ˆ a † направо, используя (12.40) и эрмитово сопряж¨енное соотношение: ˆ a |ψ z = z |ψ z , ψ z |ˆa † = ψ z |z ∗ , ψ z | ˆ H |ψ z = ψ z |¯hω 2 (z ∗ z + 1 2 ) |ψ z = ¯ hω 2 ( |z| 2 + 1 2 ). |