Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
13.3. Теорема Эренфеста Рис. 13.1. Эренфест Павел Сигизмундович(1880–1933). W В соответствии с данным выше определе- нием производной по операторному аргумен- ту (13.6) уравнения Гайзенберга для операто- ров координат и импульсов могут быть пере- писаны в виде, с точностью до шляпок анало- гичном уравнениям Гамильтона: dˆ p i dt = −∂ ˆ H ∂ ˆ q i , dˆ q i dt = + ∂ ˆ H ∂ ˆ p i (13.8) И хотя мы сами вложили это свойство (13.5) в определение производной по операторному аргументу, возможность выполнять дифферен- цирование формально приводит к тому, что производные с точностью до шляпок и ком- мутаторов (если аргументы не коммутируют) совпадают с классическими выражениями. Для сравнения с классическими уравнениями Гамильтона, возьм¨ем от обоих частей уравнений (13.8) средние. С уч¨етом того, что взятие полной 372 Г ЛАВА 13 производной от оператора по времени по определению (5.19) перестано- вочно с квантовым усреднением, мы получаем теорему Эренфеста: d ˆ p i dt = −∂ ˆ H ∂ ˆ q i , d ˆ q i dt = + ∂ ˆ H ∂ ˆ p i (13.9) Можно сказать, что согласно теореме Эренфеста для систем, имеющих классические аналоги, уравнения Гамильтона выполняются в среднем. При обсуждении уравнений Гамильтона (раздел 5.2.6) на примере дви- жения (5.24) и расплывания (5.25) волнового пакета мы уже сравнивали эволюцию средних значений координаты и импульса с классической эво- люцией и получили полное соответствие. Для гармонического осциллято- ра мы также получили, что средние координаты и импульсы ведут себя классическим образом (12.39). Для того, чтобы эволюция средних значений соответствовала класси- ческой динамики, должно выполняться условие d ˆ p i dt = −∂ ˆ H ∂ ˆ q i ( ˆ q , ˆ p ), d ˆ q i dt = + ∂ ˆ H ∂ ˆ p i ( ˆ q , ˆ p ). (13.10) Оно выполняется только для квадратичных гамильтонианов (производные от которых линейны). В случае общего положения F (ˆ q, ˆ p) = F ( ˆ q , ˆ p ). Уравнения (13.10) могут выполняться приблизительно, если неопре- дел¨енности координат и импульсов достаточно малы по сравнению с харак- терным масштабом изменения функций ∂H ∂q i и ∂H ∂p i . Более точное по сравне- нию с классическим приближ¨енное описание может быть получено введе- нием в правую часть поправок, учитывающих неопредел¨енности координат и импульсов. 13.3.1. Отличие от классического случая* Негамильтонова эволюция средних координат и импульсов, которая может показаться особенностью квантовой теории, на самом деле, как отме- тил И. В. Волович, появляется уже в классической динамике, если рассмат- ривать не отдельную фазовую траекторию (классическое чистое состояние), а распределение вероятностей по координатам и импульсам (классическое смешанное состояние). 13.4. Т ЕОРЕМА Г ЕЛЛМАНА – Ф ЕЙНМАНА 373 Усредняя классические уравнения Гамильтона dp i dt = −∂H ∂q i , dq i dt = + ∂H ∂p i (13.11) по классическому смешанному состоянию (по распределению вероятностей по начальным координатам и импульсам), мы получаем классический ана- лог теоремы Эренфеста (здесь и далее до конца раздела усреднение уже не квантовое, а классическое): d p i dt = −∂H ∂q i , d q i dt = + ∂H ∂p i (13.12) Как и в квантовом случае, в случае общего положения (для нелинейной функции) F (q, p) = F ( q , p ). Поведение средних координат и импульсов описывается классически- ми уравнениями Гамильтона d p i dt = −∂H ∂q i ( q , p ), d q i dt = + ∂H ∂p i ( q , p ) (13.13) Рис. 13.2. Игорь Василье- вичВолович. для квадратичных гамильтонианов, либо в преде- ле узкого распределения по координатам и им- пульсам. Как в квантовом, так и в классическом слу- чае мы можем, разлагая правую часть формул Эренфеста в ряд оценивать поправки к класси- ческой эволюции средних координат и импульсов, возникающие за сч¨ет неопредел¨енности (конеч- ной дисперсии) координат и импульсов, а также моментов (средних отклонений переменных, воз- вед¨енных в степень) более высоких порядков. Таким образом, с точки зрения теоремы Эренфеста и эволюции средних координат и им- пульсов, различие между классической и квантовой теорией состоит в некоммутативности квантовых переменных. 13.4. Теорема Геллмана – Фейнмана Теорема Геллмана – Фейнмана связывает между собой производные по параметру для оператора наблюдаемой и его допустимого значения (соб- ственного числа). 374 Г ЛАВА 13 Пусть эрмитов оператор ˆ A(λ) (например, гамильтониан) зависит от некоторого числового параметра λ. Тогда от этого же параметра будут за- висеть собственные числа a(λ) и собственные векторы |ψ(λ) : ˆ A(λ) |ψ(λ) = a(λ)|ψ(λ) , ψ(λ) |ψ(λ) = 1. (13.14) Отметим, что параметр λ может быть связан с описанием квантовой системы, но не с е¨е состоянием. Таким параметром может быть масса час- тицы, постоянная Планка, заряд электрона, какой-либо ещ¨е численный ко- эффициент, но координата, импульс квантовой частицы или любая другая характеристика состояния квантовой системы здесь не годятся. Но, напри- мер, координата потенциальной ямы или стенки может быть таким пара- метром, если они задаются как классические (бесконечно тяж¨елые) объек- ты и не могут быть взяты как аргументы волновой функции. Продифференцируем тождество (13.14) по параметру λ: ∂ ˆ A ∂λ |ψ + ˆ A ∂ |ψ ∂λ = ∂a ∂λ |ψ + a ∂ |ψ ∂λ (13.15) Действуя слева бра-вектором ψ(λ) |, получаем: ψ |∂ ˆ A ∂λ |ψ + ψ| ˆ A ψ |a ∂ |ψ ∂λ = ψ | ∂a ∂λ |ψ + ψ|a ∂ |ψ ∂λ (13.16) Сократив повторяющийся слева и справа член, получаем теорему Геллмана – Фейнмана: при условии (13.14) выполняется тождество ψ |∂ ˆ A ∂λ |ψ = ∂a ∂λ (13.17) Теорема (13.17) полезна при вычислении средних значений от наблю- даемой, которая может быть получена как производная по параметру от другой наблюдаемой, которая определена в рассматриваемом состоянии. При использовании этого метода полезно помнить, что если мы знаем спектр наблюдаемой ˆ A, то мы знаем спектр всех наблюдаемых вида F ( ˆ A), например ˆ A 2 , ˆ A 3 и т. д., и к наблюдаемым вида F ( ˆ A) можно применить ту же теорему: ψ | ∂F ( ˆ A) ∂λ |ψ = ∂F (a) ∂λ (13.18) 13.5. К ВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 375 Если рассматриваемые наблюдаемые были определены в классической теории теми же формулами (с точностью до шляпок), то полученное кван- товое соотношение между их средними значениями будет совпадать с клас- сическим. 13.5. Квазиклассическое приближение Исторически квазиклассическое приближение («квазиклассика») пред- шествовало квантовой механике в е¨е современном виде. В старых книгах ещ¨е можно встретить такие выражения, как старая квантовая механика и новая квантовая механика. Первоначально старая квантовая механика «висела в воздухе», пред- ставляя собой набор постулатов Бора, которые предписывали правила, согласно которым из множества классических решений уравнений движе- ния каким-то неведомым образом удавалось отбирать те решения, которые соответствовали разреш¨енным состояниям электронов в атоме. После создания новой квантовой механики старая квантовая механика была выведена как предельный случай, отвечающий квазиклассическому приближению. Нам редко уда¨ется точно решить уравнения Шр¨едингера, поэтому большое значение имеют методы приближ¨енного решения, к числу кото- рых относится квазиклассика. Важно и то, что квазиклассика позволяет ис- пользовать классическую интуицию для квантовых систем. С уч¨етом цели данной книги (понимание квантовой механики) это особенно важно. 13.5.1. Как угадать и запомнить квазиклассическую волновую функцию Рассмотрим одномерное стационарное уравнение Шр¨едингера в пред- положении, что на малых расстояниях справедливо приближение де Брой- ля, т. е. волновую функцию можно записать как ψ(x) ≈ C e i ¯ h p(x) x (13.19) при изменении координаты x на несколько длин волн де Бройля. Это озна- чает, что длина волны, записанная как функция от x, мало меняется на расстоянии порядка длины волны ∂λ ∂x λ |λ| ⇔ ∂λ ∂x 1. (13.20) 376 Г ЛАВА 13 Здесь λ(x) = 2π¯ h p(x) , p(x) = 2m(E − U(x)). То есть мы выражаем длину волны через классический импульс частицы. В формуле (13.19) «константа» C зависит от x, поэтому удобнее пере- писать формулу в другом виде: ψ(x + δx) ≈ ψ(x) e i ¯ h p(x) δx (13.21) Таким образом, мы получаем ψ(x 1 ) ≈ ψ(x 0 ) e i ¯ h p(x 0 ) δx e i ¯ h p(x 0 +δx) δx · · · e i ¯ h p(x 1 −δx) δx ≈ ≈ ψ(x 0 ) exp ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ i ¯ h x 1 −x 0 δx n=0 p(x 0 + nδx) δx ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ≈ ≈ ψ(x 0 ) exp ⎛ ⎝ i ¯ h x 1 x 0 p(x) dx ⎞ ⎠. Таким образом, произведение px в показателе экспоненты волны де Бройля в случае медленно меняющегося классического импульса p(x) заменилось на интеграл p(x) dx: ψ(x) ≈ C exp i ¯ h p(x) dx . (13.22) Полученная нами формула (13.22), как мы увидим далее, совпадает с первым квазиклассическим приближением. Заметим, что волновая функция, описывающаяся формулой (13.22) предполагает, что |ψ(x)| 2 = |C| 2 = const. Насколько это хорошо? Если классическая частица движется вдоль оси x, прич¨ем E > U (x), то частица будет последовательно проходить все интервалы по x, находясь на каждом интервале dx на протяжении времени dx v(x) = m dx p(x) , где v(x) — классическая скорость. (То есть в классическом случае отсутствует над- барьерное отражение.) Если мы ловим частицу на интервале dx, не зная 13.5. К ВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 377 в какой именно момент частица стартовала, то вероятность того, что мы поймаем частицу, пропорциональна времени, которое частица пробудет на данном отрезке. Таким образом, следует модифицировать волновую функ- цию так, чтобы выполнялось условие |ψ(x)| 2 ∼ 1 p(x) . Поэтому естественно предположить ψ(x) ≈ C p(x) exp ± i ¯ h p(x) dx . (13.23) Знак ± в показателе экспоненты соответствует движению частицы по x в положительном или отрицательном направлении. Как мы увидим далее, формула (13.23) совпадает со вторым квазиклассическим приближением. Поскольку в квантовой механике частица может одновременно дви- гаться в обе стороны (находиться в суперпозиции состояний, отвечающих движению в разные стороны), последнюю формулу следует модифициро- вать: ψ(x) ≈ C + p(x) exp i ¯ h p(x) dx + + C − p(x) exp − i ¯ h p(x) dx . (13.24) Таким образом, мы угадали формулу для второго квазиклассического приближения, используя общефизические соображения. Далее мы выведем ту же формулу (13.24) более строго, но и метод угадывания, несмотря на всю свою нестрогость может быть полезен, поскольку нестрогий вывод позволяет: 1) понять физический смысл формул; 2) хорошо запомнить сами формулы. Рассуждения, с помощью которых мы угадали квазиклассические вол- новые функции применимы только в глубине классически разреш¨енной области E > U (x), однако можно надеяться, что те же формулы будут справедливы для мнимых значений импульса p(x), т. е. в глубине облас- ти E < U (x). 13.5.2. Как вывести квазиклассическую волновую функцию Выведем в одномерном случае то выражение для квазиклассической волновой функции, которое мы угадали в предыдущем разделе. Для этого представим волновую функцию в экспоненциальном виде ψ(x) = e i ¯ h S(x) (13.25) 378 Г ЛАВА 13 и подставим е¨е в стационарное уравнение Шр¨едингера, записанное в коор- динатном представлении: 1 2m (S ) 2 − i¯hS = E − U(x), (13.26) или S = 2m(E − U) + i¯hS . (13.27) Это пока точное уравнение Шр¨едингера, просто переписанное для функ- ции S(x). Мы знаем, что постоянная Планка мала в привычных нам макроско- пических единицах измерения. Но на самом деле бессмысленно говорить о малости размерной величины, т. к. любая размерная величина может быть обращена в единицу выбором подходящих единиц измерения. «Малость» постоянной Планка в привычных (макроскопических) единицах измерения означает, на самом деле, малость по сравнению с привычными (макроско- пическими) величинами той же размерности, т. е. по сравнению с характер- ными значения действия и момента импульса. Запишем для функции S(x) формальный степенной ряд по степеням постоянной Планка: S = S 0 − i¯hS 1 + ( −i¯h) 2 S 2 + . . . . (13.28) Как правило, этот ряд не сходится, но да¨ет хорошие приближения, если взять от него несколько первых членов. Подставляя ряд (13.28) в уравнение (13.27) и удерживая соответствую- щие члены разложения, получаем: S 0 (x) = 2m(E − U(x)) = ±p(x) ⇒ S 0 (x) = ± p(x) dx. Здесь p(x) — классическое выражение для импульса через координату x. Аналогично для следующего члена разложения: (S 0 − i¯hS 1 ) = 2m(E − U) + i¯hS 0 + o(¯ h) = = p 2 + i¯ hp + o(¯ h) = p(x) + i¯ hp (x) 2 p(x) , S 1 (x) = − p (x) 2 p(x) = − ln p(x) ⇒ S 1 (x) = ln C p(x) 13.5. К ВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 379 Подставляя первые два члена из (13.28) в выражение (13.25) для вол- новой функции, получаем выражение, которое совпадает с угаданным ра- нее (13.23): ψ(x) = C p(x) e ± i ¯ h p(x) dx Чего же мы достигли, получив ранее угаданное выражение? Во- первых, мы его действительно получили, а не угадали, при этом мы можем улучшить наше приближение, взяв следующие члены разложения S(x) по степеням постоянной Планка. Мы можем определить область применимо- сти полученного приближения, оценив следующий член разложения, и уже более обоснованно получить ранее угаданную нами оценку (13.20) ∂λ ∂x 1. Прич¨ем, если ранее полученные волновые функции и оценки их применимости были обоснованы для классически разреш¨енной области E > U (x), p(x) ∈ R, а применимость тех же формул для классически зап- рещ¨енной области E < U (x) мы могли обосновывать, только ссылаясь на аналогию и аналитическое продолжение, то теперь квазиклассическое приближение и критерий его применимости равно обоснованы в глубине классически запрещ¨енных и разреш¨енных областей. У границы классически разреш¨енной и запрещ¨енной областей, когда p(x) → 0 длина волны де Бройля неограниченно возрастает и условие |λ (x)| 1 переста¨ет выполняться. Области E ∼ U(x) (p(x) ∼ 0) надо исследовать другими способами. 13.5.3. Квазиклассическая волновая функция у точки поворота В классически разреш¨енной области квазиклассическая волновая функ- ция представляется суперпозицией двух волн, бегущих слева направо и справа налево (13.24). Если данная энергия относится к невырожденному спектру (непрерывному или дискретному), т. е. если частица не может уй- ти по координате на одну из бесконечностей, то поток вероятности должен равняться нулю, а амплитуда обеих волн должна совпадать. В этом слу- чае (даже вне зависимости от квазиклассического приближения) волновая функция может быть выбрана вещественной, т. е. ψ(x) = C p(x) sin ⎛ ⎝ 1 ¯ h x x 0 p(X)dX + ϕ 0 ⎞ ⎠. (13.29) 380 Г ЛАВА 13 2 1 0 –1 –2 –2 0 2 4 8 Рис. 13.3. Волновая функция у бесконечновысокой стенки. В случае, если классически разреш¨енная область ограничена бесконеч- новысокой стенкой, в точке a мы имеем ψ(a) = 0 и можем записать ψ(x) = C p(x) sin ⎛ ⎝ 1 ¯ h x a p(X)dX ⎞ ⎠. (13.30) 2 1 0 –1 –2 –2 0 2 4 8 Рис. 13.4. Волновая функция у ступеньки. Если точка a является точкой поворота (для определ¨енности — левой точкой поворота), где U (a) = E (или U (a − 0) > E > U(a + 0)), то и в этом случае удобно выбрать a в качестве предела интегрирования и записать ψ(x) = C p(x) sin ⎛ ⎝ 1 ¯ h x a p(X)dX + ϕ 0 ⎞ ⎠. (13.31) Задача состоит в том, чтобы подобрать фазу ϕ 0 так, чтобы форму- ла (13.31) правильно описывала квазиклассическую волновую функцию в глубине классически разреш¨енной области (вдали от точки поворота a). 13.5. К ВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 381 Даже если в окрестности точки поворота квазиклассическое прибли- жение не выполняется (например, p(a) = 0), нас, как правило, интересуют не детали поведения волновой функции в малой окрестности точки a, а е¨е поведение на больших интервалах вдали от этой точки. Для этого достаточ- но знать фазу ϕ 0 Сравнивая волновые функции в ямах с бесконечновысокими стенками и со стенками конечной высоты, мы можем заключить, что для левой точ- ки поворота ϕ 0 > 0 (по крайней мере, для этого случая). То есть если мы хотим заменить стенку конечной высоты, стоящую в точке a, бесконечно- высокой стенкой, то стенку прид¨ется отодвинуть, чтобы к точке a волновая функция успела набрать фазу ϕ 0 , т. е. по сравнению с ямой с бесконечно- высокой стенкой яма с конечной стенкой «выглядит шире». В случае, если в окрестности точки поворота (там, где не работает ква- зиклассика) потенциал можно приблизить линейной функцией, фаза может быть вычислена (см. следующий раздел) ϕ 0 = π 4 , т. е. яма оказывается эффективно шире на 1 4 полуволны с одной стороны. Если яма с обоих сторон ограничена такими точками поворота, то в общей сложности яма оказывается эффективно шире на 1 2 полуволны. Фаза волновой функции у точки поворота* Введ¨енная выше (13.31) фаза ϕ 0 зависит не только от того, как потен- циал вед¨ет себя в окрестности точки поворота a, но и от того, как потенциал себя вед¨ет левее: стоит ли где-то при конечном x < a бесконечновысокая стенка, или где-то при x < a есть другая классически разреш¨енная область, или классически запрещ¨енная область тянется до −∞. Мы рассмотрим случай, когда вся полуось левее точки a является клас- сически запрещ¨енной областью, прич¨ем в окрестности точки поворота, там, где не работает квазиклассика, и немного там, где квазиклассика уже рабо- тает, потенциал меняется практически линейно. Нам надо сшить квазиклассическую волновую функцию слева от точ- ки поворота, которая имеет вид возрастающей вещественной экспоненты (в классически запрещ¨енной области величина p(x) — чисто мнимая) ψ(x) = C − 2 |p(x)| exp ⎛ ⎝− 1 ¯ h a x |p(X)|dX ⎞ ⎠, x a, (13.32) 382 Г ЛАВА 13 с квазиклассической волновой функцией справа от точки поворота ψ(x) = C + p(x) sin ⎛ ⎝ 1 ¯ h x a p(X)dX + ϕ 0 ⎞ ⎠, x a, (13.33) и с точным решением уравнения Шр¨едингера с линейным потенциалом в малой области вокруг точки поворота: ψ + 2m ¯ h 2 F (x − a) = 0, F = −U (a), x ∼ a. (13.34) При этом нам надо установить коэффициент пропорциональности между C + и C − (в силу линейности уравнения Шр¨едингера они должны быть пропорциональны друг другу), а также фазу ϕ 0 Искомый ответ: ϕ 0 = π 4 , C + = C − Эта задача может быть решена различными способами: • Решение уравнения (13.34) с помощью функции Эйри и сравнение асимптотик функции Эйри при «больших» (но вс¨е равно в пределах линейности потенциала) аргументах с квазиклассическими волновы- ми функциями (13.32) и (13.33) (метод наиболее прямой и обоснован- ный). • Продолжение волновой функции на комплексные значения x и получ е- ние двух комплексных экспонент (образующих sin в классически раз- реш¨енной области) при обходе точки x = a по верхней полуплоскости и по нижней полуплоскости (метод Цваана). • Вырезание проблемной области x ∼ a (замена е¨е ступенькой, сим- метричной относительно точки поворота) и сшивка квазиклассических волновых функций (13.32) и (13.33) напрямую позволяет определить правильное значение ϕ 0 , но не да¨ет правильного отношения ампли- туд C ± Мы воспользуемся третьим методом. |p(x)| в малой окрестности (где потенциал линеен) зависит только от |x − a|. При этом |p(a − δ)| = p(a + δ) = p 0 ¯ h δ . Как раз такая си- туация изображена на рис. 13.4: ψ − (x) ≈ C − 2 √ p 0 exp − 1 ¯ h p 0 (a − x) , (13.35) |