Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
(ф) Группа S N в физике естественно возникает как группа перестано- вок N тождественных (одного сорта) бозонов, поскольку состояния, отли- чающиеся друг от друга перестановкой (перенумерацией) бозонов одного сорта, принципиально неразличимы. Любая перестановка может быть представлена как матрица N × N, в которой в каждой строке и каждом столбце присутствует одна едини- ца, а остальные элементы — нули. Определители таких матриц всегда рав- ны ±1. Умножению перестановок при этом соответствует умножение мат- риц. Поскольку при перемножении матриц их определители также пере- множаются, из группы S N выделяется в качестве нормальной подгруппы группа ч¨етных перестановок A N , элементы которой представимы матри- цами с определителем +1, прич¨ем |A N | = 1 2 N ! (при N > 1). 1 Есть старый физматшкольный стишок для запоминания Теоремы о гомоморфизме: Гомоморфный образ группы! Будь, во имя коммунизма, Изоморфен факторгруппе По ядру гомоморфизма! 404 Г ЛАВА 14 (ф) Группа A N в физике естественно возникает как группа переста- новок N тождественных (одного сорта) фермионов, поскольку состояния, отличающиеся друг от друга перестановкой (перенумерацией) фермионов одного сорта, принципиально неразличимы, но при этом вектор состояния (волновая функция) меняет знак, при каждой перестановке пары одинако- вых фермионов. Любая перестановка может быть представлена как комбинация (произ- ведение) парных перестановок, т. е. перестановок меняющих местами два элемента и оставляющих остальные элементы неподвижными. Определи- тель матрицы парной перестановки равен −1, так что, хотя число парных перестановок, на которые разлагается данный элемент, определено неод- нозначно, ч¨етность этого числа неизменна. Ч¨етными называют переста- новки, разлагающиеся на ч¨етное число парных перестановок (det = + 1), неч¨етными — перестановки, разлагающиеся на неч¨етное число парных (det = −1). (ф) Конечная подгруппа группы вращений естественным образом представима как группа перестановок вершин некоторого многогранни- ка, переводящая этот многогранник в себя. Такие группы в физике есте- ственным образом возникают как группы симметрий различных молекул. Знание представлений таких групп облегчает нахождение спектров со- ответствующих молекул. В классической механике это соответствует на- хождению частот собственных колебаний, а в квантовой — собственных уровней энергий. В частности, для гамильтониана, обладающего соответ- ствующей симметрией, мы сразу можем назвать кратности собственных чисел. Простейшая нетривиальная (состоящая более чем из одного элемента) группа состоит из целых степеней некоторого элемента группы: {g n 0 |n ∈ Z} — циклическая группа. Бесконечная циклическая группа называется свобод- ной, она изоморфна группе целых чисел относительно сложения Z ((ф): группа симметрий одномерной периодической реш¨етки). Конечная цикли- ческая группа из N элементов изоморфна группе остатков от деления на N относительно сложения и может быть получена как факторгруппа целых чисел относительно сложения по подгруппе целых чисел, делящихся на N : Z N = Z/NZ. Циклическая группа Z N проста только для конечного простого N . 14.2. Г РУППЫ ( Л ) 405 14.2.5. Стандартные матричные группы (л) Стандартные непрерывные группы — это подгруппы группы комплекс- ных квадратных невырожденных (det M = 0) матриц N × N, которая обоз- начается GL( C, N), где GL означ ает общие (General) линейные (Linear) пре- образования. Групповые структуры (единичный элемент, умножение и взя- тие обратного элемента) понимаются как это стандартно принято для мат- риц. Буквенные обозначения стандартных непрерывных групп строятся из блоков: • S — Special — специальная — det M = 1, • U — Unitary — унитарная — M † = M −1 , • O — Orthoganal — ортогональная — M T = M −1 , • L — Linear — линейная — иногда дописывается для красоты, • G — General — общая — дописывается для красоты, если нет никаких условий. После буквенного кода в круглых скобках могут указываться дополни- тельные параметры: • размер матрицы (число); • сигнатура метрики (два числа — число положительных собственных чисел и число отрицательных), остающейся инвариантной под дей- ствием преобразований из данной группы (в этом случае должна ис- пользоваться буква O, но матрицы будут уже не ортогональные, а псев- доортогональные); • множество чисел, из которых строится матрица (чаще всего C или R) – C — комплексные (для унитарных матриц опускается), – R — вещественные (для ортогональных матриц опускается), – Q — рациональные, – Z — целые, – N — натуральные. Примеры: • GL(R, N) — невырожденные, вещественные, N × N; • SL(N) — вещественные, det M = 1, N × N; 406 Г ЛАВА 14 • O(1, 3) — группа Лоренца — M diag(+1, −1, −1, −1) M T = = diag(+1, −1, −1, −1) — вещественные матрицы, сохраняют вид мет- рики Минковского (у метрики Минковского 1 положительное соб- ственное число и 3 отрицательных); • O(3) — вещественные ортогональные матрицы 3 × 3 — MM T = E — повороты и их комбинации с отражениями; • SO(3) — вещественные ортогональные матрицы 3 × 3, det M = 1 — собственные повороты (без отражений); • U(N) — унитарные матрицы N × N; • SU(2) — унитарные матрицы 2 × 2, det M = 1 — квантовые повороты (поворот на 2π да¨ет умножение на −1); • O(N, N) = S N — группа перестановок множества из N элементов; • SO(N, N) = A N — группа ч¨етных перестановок множества из N эле- ментов. Для всех подгрупп группы GL( C, N) мы можем сразу записать линей- ное N -мерное представление, при котором они действуют слева как матри- цы на столбец длины N . 14.3. «Симметрии-1» и «Симметрии-2». В ч¨ем различие?* В этом разделе мы посмотрим на главу 11 «Симметрии-1» (которая производила впечатление вполне законченного изложения) с точки зрения текущей главы и посмотрим, чего же нам на самом деле не хватает. 14.3.1. Однопараметрические группы* Ранее, в главе 11 «Симметрии-1» мы ограничивались рассмотрением однопараметрических групп симметрии. Такая симметрия всегда описыва- ется одним эрмитовым оператором — генератором однопараметрической группы ˆ A, порождающим для разных значений параметра α ∈ R преоб- разования симметрии вида ˆ U α = exp(iα ˆ A). При этом всегда выполняются свойства ˆ U α ˆ U β = ˆ U α+β , ˆ U −1 α = ˆ U −α , ˆ U 0 = ˆ 1. Следует заметить, что с точки зрения теории групп в однопараметричес- ких группах мало интересного, все они устроены одним из двух способов: • как вещественные числа с операцией сложения — между веществен- ными значениями параметра α и элементами группы есть взаимно- однозначное соответствие (пример — группа сдвигов по оси x); 14.3. «С ИММЕТРИИ -1» И «С ИММЕТРИИ -2». В Ч ¨ ЕМ РАЗЛИЧИЕ ?* 407 • как точки на окружности с операцией сложения поворотов — между вещественными значениями параметра α и элементами группы есть соответствие, при котором значения параметра, отличающиеся на пе- риод, эквивалентны exp(iα ˆ A) = exp(i(α + 2π) ˆ A). Умножая генератор на число, периоду можно придать любое ненулевое значение, напри- мер 2π (пример — группа поворотов вокруг оси z). Таким образом, у нас есть всего две однопараметрические группы: R(+) — группа вещественных чисел, относительно операции сложения и SO(2) — группа поворотов плоскости. Однако эти группы в разных случа- ях были представлены разными операциями симметрии, т. е. разными уни- тарными операторами. 14.3.2. Группы и алгебры Ли* Конечно, мы всегда можем выделить из более сложной группы непре- рывных симметрий одну однопараметрическую подгруппу, задаваемую эле- ментами вида exp(iα ˆ A k ) (α ∈ R, ˆ A k = ˆ A † k ), или вставить дискретную сим- метрию в однопараметрическую группу, однако такой подход будет хотя и допустим, но неполон. Мы можем включить все преобразования нашей группы в однопара- метрические подгруппы, но использовать для нумерации квантовых сос- тояний мы сможем только такие генераторы симметрий ˆ A k , которые ком- мутируют друг с другом ([ ˆ A k , ˆ A l ] = 0), например для группы поворотов нам прид¨ется оставить только повороты вокруг одной выбранной оси (обычно выбирают ось z, тогда проекция момента импульса ˆ J z зада¨ет повороты: exp(iα ˆ J z )). Как мы увидим далее, из квантовых симметрий можно извлечь больше информации, дополнив набор коммутирующих генераторов некото- рой нелинейной комбинацией генераторов (такая комбинация уже не будет генератором). Для группы поворотов в дополнение к ˆ J z можно взять ˆ J 2 = = ˆ J 2 x + ˆ J 2 y + ˆ J 2 z Пусть группа симметрий системы представляет собой некоторую D-мерную группу Ли — группу, локально параметризуемую с помощью D непрерывных параметров, такую, что групповые операции (умножение и взятие обратного элемента) непрерывны относительно вводимой пара- метризации. Далее в качестве примера мы обсудим группу вращений в тр¨ехмерном пространстве — SO(3). Симметрии, близкие к тождественному преобразованию (к едини- це группы), представляются как операторные экспоненты от генераторов 408 Г ЛАВА 14 группы, которые образуют D-мерное линейное пространство — алгебру Ли группы ˆ U = exp i D k=1 α k ˆ A k Групповые преобразования ˆ U представляются унитарными операто- рами. D штук линейно-независимых генераторов ˆ A k представляются эр- митовыми операторами. Алгебра Ли для данной группы обозначается тем же символом, что и сама группа, с заменой больших букв на маленькие. Например, SO(3) — классическая группа вращений, SU(2) — квантовая группа вращений, им соответствует одна и та же (изоморфная) алгебра Ли, которую можно обо- значать как so(3) или su(2). Генераторы алгебры вращений — операторы проекций момента импульса и их линейные комбинации. Слово «представляются» выделено не случайно. Элементы группы Ли и е¨е алгебры Ли принадлежат некоторым абстрактным пространствам, то- гда как наши симметрии — операторы на линейном пространстве. Одна и та же группа и е¨е алгебра могут быть по-разному реализованы (пред- ставлена) как группа преобразований линейного пространства. Таким обра- зом, нам надо изучать не группы сами по себе, а линейные представления групп — отображение элементов группы на подгруппу линейных преобра- зований линейного пространства некоторой размерности N , при котором произведению элементов группы соответствует последовательно выполне- ние линейных преобразований. Все генераторы группы симметрий коммутируют с гамильтонианом, но они могут не коммутировать между собой. Поэтому, когда мы строим набор одновременно измеримых (совместимых) наблюдаемых, нам прихо- дится выбирать, какие из генераторов мы в него включим. Группы, вращений SO(3) тр¨ехмерна, нас имеется три линейно-незави- симых генератора поворотов — проекции момента импульса на оси коорди- нат ˆ j α . Проекции момента импульса на разные оси не коммутируют друг с другом и только одна из них может быть включена в набор совместимых наблюдаемых. Алгебра Ли замкнута относительно операции взятия коммутатора с умножением на мнимую единицу, т. е. коммутатор любых двух генера- торов да¨ет снова линейную комбинацию генераторов: [ ˆ A k , ˆ A l ] = i D m=1 C m kl ˆ A m 14.4. П РЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП ( Л ) 409 Коэффициенты C m kl называются структурными константами. Структур- ные константы зависят только от самой группы, но не от е¨е представления. Для изоморфных алгебр Ли структурные константы могут быть сделаны одинаковыми заменой базиса. Для группы вращений [ˆ j α , ˆ j β ] = i 3 γ=1 e αβγ ˆ j γ Группы Ли, алгебры Ли которых описываются одинаковым набором структурных констант в окрестностях единицы, устроены одинаково. На- пример, сразу понятно, что группа собственных поворотов SO(3) и груп- па O(3) ортогональных матриц 3 × 3 (группа несобственных поворо- тов, включающая также комбинации поворотов с отражениями) одинаково устроены вблизи единицы (бесконечномалых отражений не бывает). Менее тривиально, что группа SO(3) одинаково устроена с группой SU(2), в кото- рой поворот на полный угол 2π соответствует умножению на −1 и только поворот на 4π да¨ет тождественное преобразование. И именно группа SU(2) оказывается «настоящей» квантовой группой поворотов. 14.4. Представления групп (л) Представление f группы G — е¨е отображение на группу преобразо- ваний f (G) некоторого пространства M, сохраняющее групповую структу- ру (14.2), но не обязательно взаимнооднозначное. Такое отображение, как уже упоминалось ранее, называется гомоморфизмом. Если представление зада¨ется взаимнооднозначным отображением на группу преобразований (изоморфизмом), то такое представление называет- ся точным представлением. Если представление отображает все элементы группы на тождествен- ное преобразование пространства M, то оно называется тривиальным пред- ставлением. Согласно теореме о гомоморфизме простая группа имеет только точ- ные и тривиальные представления. Если пространство представления M является линейным, и преобра- зования группы f (G) также линейны, то и представление f называется линейным. Размерность dim M при этом называется размерностью пред- ставления. 410 Г ЛАВА 14 (ф) В квантовой теории, когда нас интересуют преобразования линей- ного пространства состояний H, нам нужны именно линейные представ- ления групп. Более того, поскольку пространство H не только линейное, но и гильбертово (обладает структурой комплексного скалярного произве- дения), то нам нужны представления группы унитарными операторами — унитарные представления. 14.4.1. Существование* Мы уже упоминали, что для любой группы G существует точное пред- ставление е¨е как группы преобразований самой себя с помощью умножения слева (14.1). Однако для квантовой теории нам интереснее существование унитарного представления. Точное унитарное представление произвольной группы мы тоже мо- жем легко построить, если сопоставим каждому элементу группы вектор из некоторого ортонормированного базиса, получив пространство M = C G На этом пространстве группа действует, переставляя номера базисных век- торов с помощью умножения слева: 2 ∀g, h ∈ G, g : e h → e g ◦h (фф) В данной формуле мы видим сразу два представления группы G: представление левыми сдвигами на номерах базисных векторов и линейное представление. Аналогичная процедура применяется при переходе от клас- сической теории к квантовой: то, что раньше было (полным) набором сос- тояний, становится базисом нового пространства состояний. В частности, так мы переходим от дискретного пространства состояний классического компьютера к линейному пространству состояний квантового компьютера, допускающего всевозможные суперпозиции. 14.4.2. Приводимость и инвариантные подпространства (л) Пространство H линейного представления f группы G может содер- жать инвариантные подпространства H (1) ⊂ H, которые переходят в себя под действием всех преобразований группы: ∀g ∈ G, f (g) H (1) = H (1) ⇔ ∀g ∈ G, ψ ∈ H (1) , f (g)ψ ∈ H (1) Всегда имеются тривиальные инвариантные подпространства: подпро- странство из нулевого элемента {0} и вс¨е пространство H. Если других 2 Для непрерывной группы строгое определение такой конструкции потребует введения на группе меры интегрирования инвариантной относительно левых сдвигов. 14.4. П РЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП ( Л ) 411 инвариантных подпространств нет, то представление f называется непри- водимым представлением. (ф) В при изучении симметрий определ¨енного вида (т. е. при изучении представлений конкретной группы симметрий) очень полезно иметь пол- ную классификацию неприводимых представлений. Такая классификация позволяет представлять любое представление группы, т. е. любое действие симметрии данного вида, как комбинацию неприводимых представлений. Если линейное представление f приводимо, то каждое нетривиальное инвариантное подпространство H (1) данного представления можно рас- сматривать как пространство нового представления f (1) (подпредставле- ния), которое получается из f , если ограничить отображения f (G) на H (1) (ф) Если мы выделили из пространства состояний инвариантное под- пространство меньшей размерности, прич¨ем оно также переходит в себя под действием гамильтониана, то далее мы можем рассматривать действие нашего гамильтониана на этом подпространстве. Диагонализовать гамиль- тониан на подпространстве меньшей размерности может быть проще, чем на вс¨ем пространстве состояний, а если подпространство конечномерно, то задача свед¨ется к диагонализации обычной матрицы. 14.4.3. Разложение представления в сумму неприводимых (л) Если исходное представление f конечномерно, то размерность под- представления f (1) строго меньше, чем размерность исходного: ∞ > dim H > dim H (1) > 0. Для любого конечномерного линейного представления мы можем получить последовательность вложенных инвариантных пространств и соответствую- щих им представлений: ∞ > dim H > dim H (1) > . . . > dim H (n) > 0, H = H (0) ⊃ H (1) ⊃ . . . ⊃ H (n) ⊃ {0}. В этой цепочке на каждом шаге размерность строго уменьшается, и для ко- нечномерного f цепочка должна быть конечной. Последнее представление в цепоч ке f (n) , действующее на пространстве H (n) , обязано быть непри- водимым. Таким образом, для всякого конечномерного приводимого пред- ставления существует неприводимое подпредставление. Нас интересуют унитарные представления, сохраняющие скалярное произведение в пространстве H. Это позволяет сразу заключить, что ор- тогональное дополнение H ⊥ (n) к инвариантному подпространству H (n) так- 412 Г ЛАВА 14 же инвариантно. Это позволяет продолжить процедуру: выделив из при- водимого представления f неприводимое представление f (n) , можно од- новременно определить представление f ⊥ (n) , действующее на H ⊥ (n) , прич¨ем dim H ⊥ (n) < dim H. Далее f ⊥ (n) либо неприводимо (процедура заканчивает- ся), либо приводимо, тогда из него снова выделяется неприводимое пред- ставление и ортогональное дополнение меньшей размерности. В результате мы разлагаем пространство H, на котором действует ко- нечномерное унитарное представление f , в ортогональную сумму мини- мальных инвариантных подпространств H n , на каждом из которых пред- ставление f , действует как неприводимое: H = H 1 ⊕ H 2 ⊕ . . . ⊕ H k , dim H = dim H 1 + dim H 2 + . . . + dim H k , f = f 1 ⊕ f 2 ⊕ . . . ⊕ f k Здесь мы ввели понятие суммы представлений. Если ввести базис на каждом из пространств H n (1 < n < k), то базис в пространстве H можно ввести как объединение базисов на подпространствах. Вектор в H может быть представлен как набор столбцов высотой dim H n , отвеч аю- щих подпредставлениям, поставленных друг на друга, а матрицы f (g) (g ∈ G) — как блочно-диагональные матрицы, каждый из блоков имеет размер dim H n × dim H n действует на сво¨е подпространство: ψ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ψ 1 ψ 2 ψ k ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ψ 1 ∈H 1 ⊕ ψ 2 ∈H 2 ⊕ . . . ⊕ ψ k ∈H k ∈ H, f (g)ψ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ f 1 (g)ψ 1 f 2 (g)ψ 2 f k (g)ψ k ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ , f (g) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ f 1 (g) 0 0 0 0 f 2 (g) 0 0 0 0 . .. 0 0 0 0 f k ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = f 1 (g) ⊕ f 2 (g) ⊕ . . . ⊕ f k (g). |