Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
15.2.7. Лестничные операторы для осциллятора ˆ a ± и момента импульса ˆ j ± ** Очевидно сходство между лестничными операторами для осциллято- ра ˆ a ± и операторами ˆ j ± для момента импульса. Это сходство не случайно, и мы можем построить операторы момента импульса из осцилляторных операторов. Рис. 15.1. Связь чисел заполнения n 1 и n 2 с j и m. Введ¨ем гильбертово пространство H как тензорное произведение двух пространств H 1 и H 2 , на которых действуют два комплекта осцилляторных операторов H = H 1 ⊗ H 2 , ˆ a ± 1 = ˆ a ± ⊗ ˆ1, ˆ a ± 2 = ˆ 1 ⊗ ˆa ± , ˆ N 1 = ˆ N ⊗ ˆ1 = ˆa † ˆ a ⊗ ˆ1, ˆ N 2 = ˆ 1 ⊗ ˆ N = ˆ 1 ⊗ ˆa † ˆ a. Базис в пространстве H естественно нумеровать двумя числами заполне- ния: |n 1 ⊗ |n 2 , n 1 , n 2 ∈ {0, 1, 2, 3, . . . }. 15.2. П РЕДСТАВЛЕНИЯ ВРАЩЕНИЙ 433 Перенумеруем базисные векторы новыми квантовыми числами j = n 1 +n 2 2 и m = n 1 −n 2 2 (см. рис. 15.1): |j, m = |j+m ⊗|j−m , j ∈ 0, 1 2 , 1, 3 2 , 2, . . . , m ∈{+j, +j − 1, . . . , −j} . Новая нумерация базисных векторов сразу подсказывает, как опреде- лить операторы момента импульса: ˆ j z = ˆ N 1 − ˆ N 2 2 , ˆ j + = ˆ a † ⊗ ˆa, ˆ j − = ˆ a ⊗ ˆa † Мы можем определить оператор ˆ j с собственными числами j: ˆ j = ˆ N 1 + ˆ N 2 2 , ˆ j 2 = ˆ j(ˆ j + 1). Легко проверить, как действуют операторы момента на базисные сос- тояния |n 1 ⊗ |n 2 = n 1 + n 2 2 , n 1 − n 2 2 = |j, m : ˆ j z |n 1 ⊗ |n 2 = n 1 − n 2 2 |n 1 ⊗ |n 2 = m |n 1 ⊗ |n 2 , ˆ j + |n 1 ⊗ |n 2 = ˆ a † ⊗ ˆa |n 1 ⊗ |n 2 = (n 1 + 1)n 2 |n 1 + 1 ⊗ |n 2 − 1 = = (j − m)(j + m + 1) |j, m + 1 , ˆ j − |n 1 ⊗ |n 2 = ˆ a ⊗ ˆa † |n 1 ⊗ |n 2 = n 1 (n 2 + 1) |n 1 − 1 ⊗ |n 2 + 1 = = (j + m)(j − m + 1) |j, m − 1 . Мы представили гильбертово пространство как прямую сумму (2j + 1)- мерных подпространств для всех возможных целых и полуцелых j: H = j=0, 1 2 ,1, 3 2 ,2, . . . C 2j+1 = C 1 ⊕ C 2 ⊕ C 3 ⊕ C 4 ⊕ · · · . Каждое подпространство соответствует определ¨енному значению j. На языке теории представлений каждое подпространство соответствует опре- 434 Г ЛАВА 15 дел¨енному неприводимому представлению группы квантовых вращений SU(2). Тем самым мы получили каждое неприводимое представление груп- пы квантовых вращений SU(2) по одному разу. 15.3. Спин 1 2 Волновая функция частицы со спином 1 2 может быть представлена как функция ψ(r, σ) от координат r ∈ R 3 и спиновой переменной (проекция спина на ось z) σ ∈ {− 1 2 , + 1 2 }. При этом удобно считать, что σ нумеру- ет строки столбца из двух элементов. Можно также считать, что аргумент у волновой функции по прежнему один — r, зато значением функции в точ- ке считается не комплексное число, а комплексный столбец из двух строк: ψ(r, ·) = ⎛ ⎝ ψ(r, + 1 2 ) ψ(r, − 1 2 ) ⎞ ⎠ = ψ(r). Мы можем считать, что спиновая переменная — это такая координа- та, описывающая дополнительную дискретную спиновую степень свободы. Более того, часто удобно считать, что спин и движение частицы как це- лого — отдельные невзаимодействующие (или слабо взаимодействующие) подсистемы. Отсутствие взаимодействия координат и спина — это отсут- ствие в гамильтониане слагаемых, которые действуют одновременно на спин и координаты. В пределе отсутствия взаимодействия, как и для любых других невзаи- модействующих подсистем, если волновая функция факторизуется (разла- гается на множители, зависящие от отдельных координат) в начальный мо- мент времени, то она оста¨ется факторизованной и во все последующие моменты времени, прич¨ем множители эволюционируют независимо. То есть если гамильтониан представим в виде ˆ H = ˆ H r ⊗ ˆ1 s + ˆ 1 r ⊗ ˆ H s , где операторы с индексом r действуют только на координаты частицы, а с индексом s — только на спин, то волновая функция может разлагать- ся на слагаемые вида ψ(r, σ) = φ(r) · χ(σ), i¯ h ∂φ ∂t = ˆ H r φ, i¯ h ∂χ ∂t = ˆ H s χ, φ(r) называют координатной волновой функцией, а χ(σ) — спиновой волно- вой функцией. 15.3. С ПИН 1 2 435 В соответствии с процедурой, описанной выше (15.2.4 «Собственные векторы операторов ˆ j z , ˆ j 2 »), мы можем выписать операторы компонент для спина 1 2 : ˆ s + = 0 1 0 0 , ˆ s − = ˆ s + † = 0 0 1 0 , ˆ s x = ˆ s + + ˆ s − 2 = 1 2 0 1 1 0 , ˆ s y = ˆ s + + ˆ s − 2i = 1 2 0 −i i 0 , ˆ s z = 1 2 +1 0 0 −1 Базисные состояния с определ¨енным значением σ (проекции на ось z) принято обозначать по-разному: 1 2 , + 1 2 = 1 0 = | ↑ = |1 , 1 2 , −1 2 = 0 1 = | ↓ = |0 . Последний вариант |0 и |1 обычно применяется в квантовой теории ин- формации, когда спин используется в качестве квантового бита (кубита). 15.3.1. Матрицы Паули Пространство эрмитовых матриц 2 × 2 четыр¨ехмерно: два диагональ- ных элемента вещественны, два комплексных элемента вне главной диаго- нали комплексно сопряжены друг другу. В качестве базиса в пространстве эрмитовых матриц 2 × 2 можно выбрать, например, три матрицы ˆs α , для спина 1 2 и единичную матрицу E. Однако матрицы ˆ s α имеют собственные числа ± 1 2 , что не слишком удобно: удобнее чтобы собственные числа равнялись по модуле единице. Поэтому вместо спиновых матриц ˆ s α вводятся σ-матрицы Паули, отлич аю- щиеся от спиновых матриц умножением на 2. Иногда в качестве σ-матрицы номер 0 рассматривают единичную матрицу E: σ = (σ x , σ y , σ z ), σ α = 2ˆ s α , α ∈ {1, 2, 3}, σ 0 = E, σ 0 = 1 0 0 1 , σ x = 0 1 1 0 , σ y = 0 −i i 0 , σ z = +1 0 0 −1 Матрицы Паули могут применяться не только для спинов 1 2 , но и для любых двухуровневых (с двумерным пространством состояний) систем, т. е. для любых кубитов. Любая эрмитова матрица 2 × 2 разлагается по 436 Г ЛАВА 15 единичной матрице и матрицам Паули с вещественными коэффициентами разложения, а произвольная матрица 2 × 2 разлагается по тому же базису с комплексными коэффициентами разложения. Если ограничиться матри- цами с нулевым следом, то из базиса выкидывается единичная матрица. При вычислениях с матрицами 2 ×2, разложенными по σ-матрицам, мы можем не перемножать матриц явно, если воспользуемся таблицей умно- жения матриц Паули: 2-й множитель → σ x σ y σ z 1-й множитель : σ x E iσ z −iσ y σ y −iσ z E iσ x σ z iσ y −iσ x E Эту же таблицу можно записать в виде одной формулы: σ α σ β = E δ αβ + i e αβγ σ γ , α, β, γ ∈ {1, 2, 3}. (15.14) С помощью матриц Паули удобно представлять тр¨ехмерные векторы в виде эрмитовых бесследовых матриц 2 × 2 (предполагается, что компо- ненты вектора — числа или операторы, не действующие на спиновые пере- менные, т. е. коммутирующие с операторами спина): (A, σ) = A α σ α = A z A x − iA y A x + iA y −A z = A z A − A + −A z Произведение таких матриц (его легко вычислить по правилу (15.14)) со- держит как скалярное, так и векторное произведение: (A, σ)(B, σ) = (A, B) + i([A × B], σ). (15.15) Для единичного вектора n получаем, что (n, σ) 2 = (n, n)E = E = = (n, σ) 2k , k = 0, 1, 2 . . . , т. е. все ч¨етные степени дают единичную матрицу. Соответственно все неч¨етные степени дают исходную матри- цу (n, σ) 2k+1 = (n, σ) = σ n Используя это, легко записать спиновый оператор поворота вокруг произвольной оси: R n (α) = e iαˆ s n = e i α 2 σ n = ∞ k=0 (iα/2) k k! σ k n = = E ∞ k=0 (iα/2) 2k (2k)! cos α 2 +σ n ∞ k=0 (iα/2) 2k+1 (2k + 1)! i sin α 2 , 15.3. С ПИН 1 2 437 R n (α) = E cos α 2 + iσ n sin α 2 = cos α 2 + n z i sin α 2 n − i sin α 2 n + i sin α 2 cos α 2 − n z i sin α 2 Как мы и ожидали, для полуцелого спина 1 2 поворот на полный угол 2π соответствует оператору −E. Получившаяся спиновая матрица поворота R n (α) является матри- цей 2 × 2, унитарна (как экспонента от эрмитовой матрицы, умноженной на i) и имеет единичный определитель, таким образом R n (α) ∈ SU(2). 15.3.2. Кватернионы** Читатель, знакомый с понятием кватернионов, должен был почувство- вать в предыдущем разделе что-то смутно знакомое, особенно в форму- ле (15.15), в которой перемешались скалярное и векторное произведение. Это сходство можно сделать изоморфизмом, если ввести соответствие между матрицами 2 × 2 и кватернионными единицами: E → 1, −iσ x → i, −iσ y → j, −iσ z → k. Теперь таблица умножения σ-матриц превращается в стандартную таб- лицу умножения базисных кватернионов: 2-й множитель → 1 i j k 1-й множитель : 1 1 i j k i i −1 k −j j j −k −1 i k k j −i −1 Кватернион общего вида получается как линейная комбинация базис- ных с вещественными коэффициентами: A = A 0 + A x i + A y j + A x k = A 0 + A. При этом A 0 называют скалярной частью кватерниона, а A = A x i + A y j + + A x k — векторной частью. 438 Г ЛАВА 15 Кватернионы являются обобщением комплексных чисел, при котором вместо одной мнимой оси вводится тр¨ехмерное пространство. Это про- странство изотропно, в том смысле, что собственные вращения в н¨ем не меняют алгебраических соотношений между кватернионами. Более того, любая двумерная плоскость в пространстве кватернионов, содержащая ве- щественную ось, устроена так же, как обычная комплексная плоскость. Для кватернионов определено сложение, вычитание, умножение и взя- тие обратного элемента (от ненулевых элементов). Прич¨ем, поскольку умножение кватернионов некоммутативно, определено два разных деления: левое (умножение на обратный элемент слева) и правое (умножение на об- ратный элемент справа). Для кватернионов определяют сопряж¨енный кватернион, абсолютную величину, обратный элемент: ¯ A = A 0 − A = −1 2 (A + iAi + jAj + kAk), |A| 2 = A 2 0 + A 2 = A ¯ A, A −1 = ¯ A |A| 2 Обратите внимание, в отличие от комплексного сопряжения, кватернион- ное сопряжение выражается через сложение и умножение, из-за этого над кватернионами не уда¨ется создать интересной теории аналитических функ- ций (т. к. аналитические и антианалитические функции совпадают). Таким образом, хотя кватернионы и были придуманы как «обобщ¨енные комплекс- ные числа» в надежде на то, что с их помощью можно будет столь же удобно решать тр¨ехмерное уравнение Лапласа, как в двумерии с помощью аналитических функций, это ожидание не оправдалось 3 Если построить кватернион с произвольными комплексными компо- нентами (комплексный кватернион), то мы потерям деление — обратный элемент не будет определ¨ен не только для нуля, но и для других элементов. Этого и следовало ожидать, т. к. кватернионному умножению мы сопоста- вили матричное умножение, а кватернионам с произвольными комплекс- ными коэффициентами соответствуют произвольные матрицы 2 × 2, в том числе и необратимые. Векторная часть кватерниона представляется как антиэрмитова матри- ца 2 × 2, таким образом спиновый оператор вращения, с уч¨етом соответ- 3 Кватернионы были придуманы У. Р. Гамильтоном 16 октября 1843 года во время прогулки с женой по берегу Королевского канала в Дублине. Уравнения i 2 = j 2 = k 2 = ijk = −1 были написаны им на камне Брукхемского моста. 15.3. С ПИН 1 2 439 ствия iσ n → −n, естественным образом переписывается как единичный (по модулю) кватернион: R n (α) = e − α 2 n = cos α 2 − n sin α 2 , |R n (α) | = 1. 15.3.3. Геометрия чистых состояний кубита** Состояния квантовой системы определены с точностью до произволь- ного ненулевого множителя, так что, хотя пространство спиновых состоя- ний (или состояний любой другой двухуровневой системы) — это двумер- ное комплексное пространство C 2 , для нумерации физически различимых состояний нам не надо задавать два комплексных числа, а достаточно их от- ношения. Таким образом, любое спиновое состояние, кроме единственного состояния | ↓ , может быть представлено в виде |χ = | ↑ + λ| ↓ , λ ∈ C. Состояние | ↓ соответствует пределу λ → ∞. Рис. 15.2. Проекция комплексной плоскости на сферу Римана То есть топологически пространство чистых состояний для спина 1 2 получается из комплексной плоскости C добавлением бесконечной точки, и мы получаем сферу Римана ¯ C. Оказывается, что в данном случае сфера Римана имеет также хорошую физическую интерпретацию. Пусть точка λ = x + iy откладывается на плоскость (x, y), как на комплексной плоскости. Как принято в теории функций комплексного 440 Г ЛАВА 15 l z Рис. 15.3. Сечение проекции комплексной плоскости (ось λ) на сферу Римана из южного полюса. переменного, спроецируем точку λ с плоскости (x, y) на единичную сферу, с центром в начале координат. Проекцию будем проводить из южного по- люса сферы, т. е. из точки с координатами (0, 0, −1). Такая проекция даст нам взаимно-однозначное соответствие между точками сферы (кроме юж- ного полюса) и точками комплексной (экваториальной) плоскости 4 C (без бесконечной точки). Бесконечная точка на ¯ C соответствует южному полюсу сферы Римана. При этом, как можно легко убедиться, точка на сфере в точности соот- ветствует вектору поляризации P = σ для спина в состоянии χ: σ x = Re λ 1 + |λ| 2 , σ y = Im λ 1 + |λ| 2 , σ z = 1 − |λ| 2 1 + |λ| 2 При стремлении λ к бесконечности P стремится к направлению вдоль оси z. Если мы будем измерять проекцию спина на вектор P , то мы с вероят- ностью 1 получим, что спин направлен вдоль P , и его проекция на P равна + 1 2 . Таким образом, спин в некотором смысле направлен вдоль P . 15.3.4. Геометрия смешанных состояний кубита** Смешанное состояние спина 1 2 (или для любой другой двухуровневой системы) зада¨ется матрицей плотности 2 × 2. Матрица плотности должна 4 В нашем случае комплексная плоскость рассекает сферу Римана по экватору, но в лите- ратуре иногда сфера Римана касается плоскости одним из полюсов. Различие между такими проекциями — масштабный фактор 2, т. к. в последнем случае плоскость в 2 раза дальше от точки проекции. 15.3. С ПИН 1 2 441 быть эрмитовой, положительно определ¨енной (вероятности положительны) и иметь единичный след (суммарная вероятность равна 1). Как мы уже упоминали ранее (15.3.1 «Матрицы Паули»), любая эрми- това матрица 2 × 2 разлагается по базису из матриц Паули и единичной матрицы с вещественными коэффициентами. При этом след матриц Паули равен нулю, так что мы можем написать ρ = E + (P , σ) 2 , P = (P x , P y , P z ) ∈ R 3 , |P | 1. Коэффициент 1 2 перед единичной матрицей фиксирован условием tr ρ = 1. Любой вектор является собственным для единичной матрицы с собствен- ным числом 1. Таким образом, собственные векторы матрицы ρ совпадают с собственными векторами матрицы (P , σ). Поскольку собственные числа матрицы (P , σ) равны ±|P |, то собственные числа матрицы ρ имеют вид p ± = 1 ± |P | 2 0. Условие положительности вероятности требует, чтобы |P | 1. Мы получили, что спиновая матрица плотности параметризуется век- тором, лежащим внутри единичной сферы. При этом поверхность сферы соответствует обращению в 1 одного из собственных чисел (другое при этом обращается в нуль), т. е. поверхности сферы соответствуют чистые состояния, как в и предыдущем разделе (15.3.3 «Геометрия чистых состоя- ний кубита 1 2 »). Для того чтобы определить физический смысл вектора P , выч ислим среднее σ по состоянию ρ: σ α = tr(σ α ρ) = 1 2 tr(σ α + σ α P β σ β ) = 1 2 tr(δ αβ EP β ) = P α 1 2 tr E = P α Мы использовали формулу (15.14) умножения σ-матриц и тот факт, что след от любой σ-матрицы равен 0. Таким образом, вектор P имеет смысл среднего вектора поляризации по состоянию ρ P = σ = tr(ρσ). Для чистых состояний (точек на поверхности сферы) это полностью соответствует результатам, полученным ранее. 442 Г ЛАВА 15 15.4. Спин 1 Вс¨е, что было сказано в начале раздела 15.3 «Спин 1 2 » о координат- ных и спиновых волновых функциях, применимо и к спину 1, и к любому другому спину до тех пор, пока не используется явно величина спина. Волновая функция частицы со спином 1 может быть представлена как функция ψ(r, σ) от координат r ∈ R 3 и спиновой переменной (проекция спина на ось z) σ ∈ {+1, 0, −1}: ψ(r, ·) = ⎛ ⎝ ψ(r, +1) ψ(r, 0) ψ(r, −1) ⎞ ⎠ = ψ(r). Теперь спиновая волновая функция — столбец из тр¨ех строк, а спиновые операторы — матрицы 3 × 3. В соответствии с процедурой, описанной выше (15.2.4 «Собственные векторы операторов ˆ j z , ˆ j 2 »), мы можем выписать операторы компонент для спина 1 ˆ s + = ⎛ ⎝ 0 √ 2 0 0 0 √ 2 0 0 0 ⎞ ⎠, ˆs − = ˆ s + † = ⎛ ⎝ 0 0 0 √ 2 0 0 0 √ 2 0 ⎞ ⎠, ˆ s x = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 √ 2 2 0 √ 2 2 0 √ 2 2 0 √ 2 2 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ , ˆ s y = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 −i √ 2 2 0 i √ 2 2 0 −i √ 2 2 0 i √ 2 2 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ , ˆ s z = ⎛ ⎝ +1 0 0 0 0 0 0 0 −1 ⎞ ⎠, (A, s) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ +A z A x − iA y √ 2 0 A x + iA y √ 2 0 A x − iA y √ 2 0 A x + iA y √ 2 −A z ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ +A z A − √ 2 0 A + √ 2 0 A − √ 2 0 A + √ 2 −A z ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Собственные числа проекции спина на любую ось ˆ s n = (n, s) — +1, 0, −1, так что вводить какие-либо вспомогательные матрицы наподо- бие σ-матриц Паули нет причин 5 5 σ-матрицы — исключительная особенность двумерия, и для спинов, отличных от 1 2 их пытаются писать по принципу σ = 2ˆ s только студенты, начинающие сдавать задания по квантовой механике. К моменту экзамена это обычно проходит. |