Главная страница
Навигация по странице:

  • 15.3.1. Матрицы Паули

  • 15.3.2. Кватернионы**

  • 15.3.3. Геометрия чистых состояний кубита**

  • 15.3.4. Геометрия смешанных состояний кубита**

  • 15.4. Спин 1

  • Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику


    Скачать 4.31 Mb.
    НазваниеКак пониматьквантовую механику
    АнкорКак понимать квантовую механику.pdf
    Дата06.03.2018
    Размер4.31 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаКак понимать квантовую механику.pdf
    ТипКнига
    #16313
    страница47 из 52
    1   ...   44   45   46   47   48   49   50   51   52
    15.2.7. Лестничные операторы для осциллятора ˆ
    a
    ±
    и момента
    импульса ˆ
    j
    ±
    **
    Очевидно сходство между лестничными операторами для осциллято- ра ˆ
    a
    ±
    и операторами ˆ
    j
    ±
    для момента импульса. Это сходство не случайно,
    и мы можем построить операторы момента импульса из осцилляторных операторов.
    Рис. 15.1. Связь чисел заполнения n
    1
    и n
    2
    с j и m.
    Введ¨ем гильбертово пространство
    H как тензорное произведение двух пространств
    H
    1
    и
    H
    2
    , на которых действуют два комплекта осцилляторных операторов
    H = H
    1
    ⊗ H
    2
    ,
    ˆ
    a
    ±
    1
    = ˆ
    a
    ±
    ⊗ ˆ1,
    ˆ
    a
    ±
    2
    = ˆ
    1
    ⊗ ˆa
    ±
    ,
    ˆ
    N
    1
    = ˆ
    N
    ⊗ ˆ1 = ˆa

    ˆ
    a
    ⊗ ˆ1,
    ˆ
    N
    2
    = ˆ
    1
    ⊗ ˆ
    N = ˆ
    1
    ⊗ ˆa

    ˆ
    a.
    Базис в пространстве
    H естественно нумеровать двумя числами заполне- ния:
    |n
    1
    ⊗ |n
    2
    ,
    n
    1
    , n
    2
    ∈ {0, 1, 2, 3, . . . }.

    15.2. П
    РЕДСТАВЛЕНИЯ ВРАЩЕНИЙ
    433
    Перенумеруем базисные векторы новыми квантовыми числами j =
    n
    1
    +n
    2 2
    и m =
    n
    1
    −n
    2 2
    (см. рис. 15.1):
    |j, m = |j+m ⊗|j−m , j ∈ 0, 1 2
    , 1,
    3 2
    , 2, . . .
    , m
    ∈{+j, +j − 1, . . . , −j} .
    Новая нумерация базисных векторов сразу подсказывает, как опреде- лить операторы момента импульса:
    ˆ
    j z
    =
    ˆ
    N
    1
    − ˆ
    N
    2 2
    ,
    ˆ
    j
    +
    = ˆ
    a

    ⊗ ˆa,
    ˆ
    j

    = ˆ
    a
    ⊗ ˆa

    Мы можем определить оператор ˆ
    j с собственными числами j:
    ˆ
    j =
    ˆ
    N
    1
    + ˆ
    N
    2 2
    ,
    ˆ
    j
    2
    = ˆ
    j(ˆ
    j + 1).
    Легко проверить, как действуют операторы момента на базисные сос- тояния
    |n
    1
    ⊗ |n
    2
    =
    n
    1
    + n
    2 2
    ,
    n
    1
    − n
    2 2
    =
    |j, m :
    ˆ
    j z
    |n
    1
    ⊗ |n
    2
    =
    n
    1
    − n
    2 2
    |n
    1
    ⊗ |n
    2
    = m
    |n
    1
    ⊗ |n
    2
    ,
    ˆ
    j
    +
    |n
    1
    ⊗ |n
    2
    = ˆ
    a

    ⊗ ˆa |n
    1
    ⊗ |n
    2
    =
    (n
    1
    + 1)n
    2
    |n
    1
    + 1
    ⊗ |n
    2
    − 1 =
    =
    (j
    − m)(j + m + 1) |j, m + 1 ,
    ˆ
    j

    |n
    1
    ⊗ |n
    2
    = ˆ
    a
    ⊗ ˆa

    |n
    1
    ⊗ |n
    2
    =
    n
    1
    (n
    2
    + 1)
    |n
    1
    − 1 ⊗ |n
    2
    + 1 =
    =
    (j + m)(j
    − m + 1) |j, m − 1 .
    Мы представили гильбертово пространство как прямую сумму (2j + 1)- мерных подпространств для всех возможных целых и полуцелых j:
    H =
    j=0,
    1 2
    ,1,
    3 2
    ,2, . . .
    C
    2j+1
    =
    C
    1
    ⊕ C
    2
    ⊕ C
    3
    ⊕ C
    4
    ⊕ · · · .
    Каждое подпространство соответствует определ¨енному значению j. На языке теории представлений каждое подпространство соответствует опре-

    434
    Г
    ЛАВА
    15
    дел¨енному неприводимому представлению группы квантовых вращений
    SU(2). Тем самым мы получили каждое неприводимое представление груп- пы квантовых вращений SU(2) по одному разу.
    15.3. Спин
    1 2
    Волновая функция частицы со спином
    1 2
    может быть представлена как функция ψ(r, σ) от координат r
    ∈ R
    3
    и спиновой переменной (проекция спина на ось z) σ
    ∈ {−
    1 2
    , +
    1 2
    }. При этом удобно считать, что σ нумеру- ет строки столбца из двух элементов. Можно также считать, что аргумент у волновой функции по прежнему один — r, зато значением функции в точ- ке считается не комплексное число, а комплексный столбец из двух строк:
    ψ(r,
    ·) =


    ψ(r, +
    1 2
    )
    ψ(r,

    1 2
    )

    ⎠ = ψ(r).
    Мы можем считать, что спиновая переменная — это такая координа- та, описывающая дополнительную дискретную спиновую степень свободы.
    Более того, часто удобно считать, что спин и движение частицы как це- лого — отдельные невзаимодействующие (или слабо взаимодействующие)
    подсистемы. Отсутствие взаимодействия координат и спина — это отсут- ствие в гамильтониане слагаемых, которые действуют одновременно на спин и координаты.
    В пределе отсутствия взаимодействия, как и для любых других невзаи- модействующих подсистем, если волновая функция факторизуется (разла- гается на множители, зависящие от отдельных координат) в начальный мо- мент времени, то она оста¨ется факторизованной и во все последующие моменты времени, прич¨ем множители эволюционируют независимо.
    То есть если гамильтониан представим в виде
    ˆ
    H = ˆ
    H
    r
    ⊗ ˆ1
    s
    + ˆ
    1
    r
    ⊗ ˆ
    H
    s
    ,
    где операторы с индексом r действуют только на координаты частицы,
    а с индексом s — только на спин, то волновая функция может разлагать- ся на слагаемые вида
    ψ(r, σ) = φ(r)
    · χ(σ),

    h
    ∂φ
    ∂t
    = ˆ
    H
    r
    φ,

    h
    ∂χ
    ∂t
    = ˆ
    H
    s
    χ,
    φ(r) называют координатной волновой функцией, а χ(σ) — спиновой волно-
    вой функцией.

    15.3. С
    ПИН
    1 2
    435
    В соответствии с процедурой, описанной выше (15.2.4 «Собственные векторы операторов ˆ
    j z
    , ˆ
    j
    2
    »), мы можем выписать операторы компонент для спина
    1 2
    :
    ˆ
    s
    +
    =
    0 1 0 0
    ,
    ˆ
    s

    = ˆ
    s
    +

    =
    0 0 1 0
    ,
    ˆ
    s x
    =
    ˆ
    s
    +
    + ˆ
    s

    2
    =
    1 2
    0 1 1 0
    , ˆ
    s y
    =
    ˆ
    s
    +
    + ˆ
    s

    2i
    =
    1 2
    0
    −i i
    0
    , ˆ
    s z
    =
    1 2
    +1 0
    0
    −1
    Базисные состояния с определ¨енным значением σ (проекции на ось z)
    принято обозначать по-разному:
    1 2
    , +
    1 2
    =
    1 0
    =
    | ↑ = |1 ,
    1 2
    ,
    −1 2
    =
    0 1
    =
    | ↓ = |0 .
    Последний вариант
    |0 и |1 обычно применяется в квантовой теории ин- формации, когда спин используется в качестве квантового бита (кубита).
    15.3.1. Матрицы Паули
    Пространство эрмитовых матриц 2
    × 2 четыр¨ехмерно: два диагональ- ных элемента вещественны, два комплексных элемента вне главной диаго- нали комплексно сопряжены друг другу. В качестве базиса в пространстве эрмитовых матриц 2
    × 2 можно выбрать, например, три матрицы ˆs
    α
    , для спина
    1 2
    и единичную матрицу E.
    Однако матрицы ˆ
    s
    α
    имеют собственные числа
    ±
    1 2
    , что не слишком удобно: удобнее чтобы собственные числа равнялись по модуле единице.
    Поэтому вместо спиновых матриц ˆ
    s
    α
    вводятся σ-матрицы Паули, отлич аю- щиеся от спиновых матриц умножением на 2. Иногда в качестве σ-матрицы номер 0 рассматривают единичную матрицу E:
    σ = (σ
    x
    , σ
    y
    , σ
    z
    ),
    σ
    α
    = 2ˆ
    s
    α
    ,
    α
    ∈ {1, 2, 3},
    σ
    0
    = E,
    σ
    0
    =
    1 0 0 1
    ,
    σ
    x
    =
    0 1 1 0
    ,
    σ
    y
    =
    0
    −i i
    0
    ,
    σ
    z
    =
    +1 0
    0
    −1
    Матрицы Паули могут применяться не только для спинов
    1 2
    , но и для любых двухуровневых (с двумерным пространством состояний) систем,
    т. е. для любых кубитов. Любая эрмитова матрица 2
    × 2 разлагается по

    436
    Г
    ЛАВА
    15
    единичной матрице и матрицам Паули с вещественными коэффициентами разложения, а произвольная матрица 2
    × 2 разлагается по тому же базису с комплексными коэффициентами разложения. Если ограничиться матри- цами с нулевым следом, то из базиса выкидывается единичная матрица.
    При вычислениях с матрицами 2
    ×2, разложенными по σ-матрицам, мы можем не перемножать матриц явно, если воспользуемся таблицей умно-
    жения матриц Паули:
    2-й множитель

    σ
    x
    σ
    y
    σ
    z
    1-й множитель : σ
    x
    E

    z
    −iσ
    y
    σ
    y
    −iσ
    z
    E

    x
    σ
    z iσ
    y
    −iσ
    x
    E
    Эту же таблицу можно записать в виде одной формулы:
    σ
    α
    σ
    β
    = E δ
    αβ
    + i e
    αβγ
    σ
    γ
    ,
    α, β, γ
    ∈ {1, 2, 3}.
    (15.14)
    С помощью матриц Паули удобно представлять тр¨ехмерные векторы в виде эрмитовых бесследовых матриц 2
    × 2 (предполагается, что компо- ненты вектора — числа или операторы, не действующие на спиновые пере- менные, т. е. коммутирующие с операторами спина):
    (A, σ) = A
    α
    σ
    α
    =
    A
    z
    A
    x
    − iA
    y
    A
    x
    + iA
    y
    −A
    z
    =
    A
    z
    A

    A
    +
    −A
    z
    Произведение таких матриц (его легко вычислить по правилу (15.14)) со- держит как скалярное, так и векторное произведение:
    (A, σ)(B, σ) = (A, B) + i([A
    × B], σ).
    (15.15)
    Для единичного вектора n получаем, что (n, σ)
    2
    = (n, n)E = E =
    = (n, σ)
    2k
    , k = 0, 1, 2 . . . , т. е. все ч¨етные степени дают единичную матрицу. Соответственно все неч¨етные степени дают исходную матри- цу (n, σ)
    2k+1
    = (n, σ) = σ
    n
    Используя это, легко записать спиновый оператор поворота вокруг произвольной оси:
    R
    n
    (α) = e iαˆ
    s n
    = e i
    α
    2
    σ
    n
    =

    k=0
    (iα/2)
    k k!
    σ
    k n
    =
    = E

    k=0
    (iα/2)
    2k
    (2k)!
    cos
    α
    2

    n

    k=0
    (iα/2)
    2k+1
    (2k + 1)!
    i sin
    α
    2
    ,

    15.3. С
    ПИН
    1 2
    437
    R
    n
    (α) = E cos
    α
    2
    + iσ
    n sin
    α
    2
    =
    cos
    α
    2
    + n z
    i sin
    α
    2
    n

    i sin
    α
    2
    n
    +
    i sin
    α
    2
    cos
    α
    2
    − n z
    i sin
    α
    2
    Как мы и ожидали, для полуцелого спина
    1 2
    поворот на полный угол 2π
    соответствует оператору
    −E.
    Получившаяся спиновая матрица поворота R
    n
    (α) является матри- цей 2
    × 2, унитарна (как экспонента от эрмитовой матрицы, умноженной на i) и имеет единичный определитель, таким образом
    R
    n
    (α)
    ∈ SU(2).
    15.3.2. Кватернионы**
    Читатель, знакомый с понятием кватернионов, должен был почувство- вать в предыдущем разделе что-то смутно знакомое, особенно в форму- ле (15.15), в которой перемешались скалярное и векторное произведение.
    Это сходство можно сделать изоморфизмом, если ввести соответствие между матрицами 2
    × 2 и кватернионными единицами:
    E
    → 1,
    −iσ
    x
    → i,
    −iσ
    y
    → j,
    −iσ
    z
    → k.
    Теперь таблица умножения σ-матриц превращается в стандартную таб- лицу умножения базисных кватернионов:
    2-й множитель
    → 1
    i j
    k
    1-й множитель : 1 1
    i j
    k i
    i
    −1 k −j j j
    −k −1 i k k j
    −i −1
    Кватернион общего вида получается как линейная комбинация базис- ных с вещественными коэффициентами:
    A = A
    0
    + A
    x i + A
    y j + A
    x k = A
    0
    + A.
    При этом A
    0
    называют скалярной частью кватерниона, а A = A
    x i + A
    y j +
    + A
    x k — векторной частью.

    438
    Г
    ЛАВА
    15
    Кватернионы являются обобщением комплексных чисел, при котором вместо одной мнимой оси вводится тр¨ехмерное пространство. Это про- странство изотропно, в том смысле, что собственные вращения в н¨ем не меняют алгебраических соотношений между кватернионами. Более того,
    любая двумерная плоскость в пространстве кватернионов, содержащая ве- щественную ось, устроена так же, как обычная комплексная плоскость.
    Для кватернионов определено сложение, вычитание, умножение и взя- тие обратного элемента (от ненулевых элементов). Прич¨ем, поскольку умножение кватернионов некоммутативно, определено два разных деления:
    левое (умножение на обратный элемент слева) и правое (умножение на об- ратный элемент справа).
    Для кватернионов определяют сопряж¨енный кватернион, абсолютную величину, обратный элемент:
    ¯
    A = A
    0
    − A = −1 2
    (A + iAi + jAj + kAk),
    |A|
    2
    = A
    2 0
    + A
    2
    = A ¯
    A,
    A
    −1
    =
    ¯
    A
    |A|
    2
    Обратите внимание, в отличие от комплексного сопряжения, кватернион- ное сопряжение выражается через сложение и умножение, из-за этого над кватернионами не уда¨ется создать интересной теории аналитических функ- ций (т. к. аналитические и антианалитические функции совпадают). Таким образом, хотя кватернионы и были придуманы как «обобщ¨енные комплекс- ные числа» в надежде на то, что с их помощью можно будет столь же удобно решать тр¨ехмерное уравнение Лапласа, как в двумерии с помощью аналитических функций, это ожидание не оправдалось
    3
    Если построить кватернион с произвольными комплексными компо- нентами (комплексный кватернион), то мы потерям деление — обратный элемент не будет определ¨ен не только для нуля, но и для других элементов.
    Этого и следовало ожидать, т. к. кватернионному умножению мы сопоста- вили матричное умножение, а кватернионам с произвольными комплекс- ными коэффициентами соответствуют произвольные матрицы 2
    × 2, в том числе и необратимые.
    Векторная часть кватерниона представляется как антиэрмитова матри- ца 2
    × 2, таким образом спиновый оператор вращения, с уч¨етом соответ-
    3
    Кватернионы были придуманы У. Р. Гамильтоном 16 октября 1843 года во время прогулки с женой по берегу Королевского канала в Дублине. Уравнения i
    2
    = j
    2
    = k
    2
    = ijk =
    −1
    были написаны им на камне Брукхемского моста.

    15.3. С
    ПИН
    1 2
    439
    ствия iσ
    n
    → −n, естественным образом переписывается как единичный
    (по модулю) кватернион:
    R
    n
    (α) = e

    α
    2
    n
    = cos
    α
    2
    − n sin
    α
    2
    ,
    |R
    n
    (α)
    | = 1.
    15.3.3. Геометрия чистых состояний кубита**
    Состояния квантовой системы определены с точностью до произволь- ного ненулевого множителя, так что, хотя пространство спиновых состоя- ний (или состояний любой другой двухуровневой системы) — это двумер- ное комплексное пространство
    C
    2
    , для нумерации физически различимых состояний нам не надо задавать два комплексных числа, а достаточно их от- ношения. Таким образом, любое спиновое состояние, кроме единственного состояния
    | ↓ , может быть представлено в виде
    |χ = | ↑ + λ| ↓ ,
    λ
    ∈ C.
    Состояние
    | ↓ соответствует пределу λ → ∞.
    Рис. 15.2. Проекция комплексной плоскости на сферу Римана
    То есть топологически пространство чистых состояний для спина
    1 2
    получается из комплексной плоскости
    C добавлением бесконечной точки,
    и мы получаем сферу Римана ¯
    C.
    Оказывается, что в данном случае сфера Римана имеет также хорошую физическую интерпретацию.
    Пусть точка λ = x + iy откладывается на плоскость (x, y), как на комплексной плоскости. Как принято в теории функций комплексного

    440
    Г
    ЛАВА
    15
    l
    z
    Рис. 15.3. Сечение проекции комплексной плоскости (ось λ) на сферу Римана из южного полюса.
    переменного, спроецируем точку λ с плоскости (x, y) на единичную сферу,
    с центром в начале координат. Проекцию будем проводить из южного по- люса сферы, т. е. из точки с координатами (0, 0,
    −1). Такая проекция даст нам взаимно-однозначное соответствие между точками сферы (кроме юж- ного полюса) и точками комплексной (экваториальной) плоскости
    4
    C (без бесконечной точки). Бесконечная точка на ¯
    C соответствует южному полюсу сферы Римана.
    При этом, как можно легко убедиться, точка на сфере в точности соот- ветствует вектору поляризации P = σ для спина в состоянии χ:
    σ
    x
    =
    Re λ
    1 +
    |λ|
    2
    ,
    σ
    y
    =
    Im λ
    1 +
    |λ|
    2
    ,
    σ
    z
    =
    1
    − |λ|
    2 1 +
    |λ|
    2
    При стремлении λ к бесконечности P стремится к направлению вдоль оси z.
    Если мы будем измерять проекцию спина на вектор P , то мы с вероят- ностью 1 получим, что спин направлен вдоль P , и его проекция на P равна
    +
    1 2
    . Таким образом, спин в некотором смысле направлен вдоль P .
    15.3.4. Геометрия смешанных состояний кубита**
    Смешанное состояние спина
    1 2
    (или для любой другой двухуровневой системы) зада¨ется матрицей плотности 2
    × 2. Матрица плотности должна
    4
    В нашем случае комплексная плоскость рассекает сферу Римана по экватору, но в лите- ратуре иногда сфера Римана касается плоскости одним из полюсов. Различие между такими проекциями — масштабный фактор 2, т. к. в последнем случае плоскость в 2 раза дальше от точки проекции.

    15.3. С
    ПИН
    1 2
    441
    быть эрмитовой, положительно определ¨енной (вероятности положительны)
    и иметь единичный след (суммарная вероятность равна 1).
    Как мы уже упоминали ранее (15.3.1 «Матрицы Паули»), любая эрми- това матрица 2
    × 2 разлагается по базису из матриц Паули и единичной матрицы с вещественными коэффициентами. При этом след матриц Паули равен нулю, так что мы можем написать
    ρ =
    E + (P , σ)
    2
    ,
    P = (P
    x
    , P
    y
    , P
    z
    )
    ∈ R
    3
    ,
    |P |
    1.
    Коэффициент
    1 2
    перед единичной матрицей фиксирован условием tr ρ = 1.
    Любой вектор является собственным для единичной матрицы с собствен- ным числом 1. Таким образом, собственные векторы матрицы ρ совпадают с собственными векторами матрицы (P , σ). Поскольку собственные числа матрицы (P , σ) равны
    ±|P |, то собственные числа матрицы ρ имеют вид p
    ±
    =
    1
    ± |P |
    2 0.
    Условие положительности вероятности требует, чтобы
    |P |
    1.
    Мы получили, что спиновая матрица плотности параметризуется век- тором, лежащим внутри единичной сферы. При этом поверхность сферы соответствует обращению в 1 одного из собственных чисел (другое при этом обращается в нуль), т. е. поверхности сферы соответствуют чистые состояния, как в и предыдущем разделе (15.3.3 «Геометрия чистых состоя- ний кубита
    1 2
    »).
    Для того чтобы определить физический смысл вектора P , выч ислим среднее σ по состоянию ρ:
    σ
    α
    = tr(σ
    α
    ρ) =
    1 2
    tr(σ
    α
    + σ
    α
    P
    β
    σ
    β
    ) =
    1 2
    tr(δ
    αβ
    EP
    β
    ) = P
    α
    1 2
    tr E = P
    α
    Мы использовали формулу (15.14) умножения σ-матриц и тот факт, что след от любой σ-матрицы равен 0.
    Таким образом, вектор P имеет смысл среднего вектора поляризации по состоянию ρ
    P = σ = tr(ρσ).
    Для чистых состояний (точек на поверхности сферы) это полностью соответствует результатам, полученным ранее.

    442
    Г
    ЛАВА
    15
    15.4. Спин 1
    Вс¨е, что было сказано в начале раздела 15.3 «Спин
    1 2
    » о координат- ных и спиновых волновых функциях, применимо и к спину 1, и к любому другому спину до тех пор, пока не используется явно величина спина.
    Волновая функция частицы со спином 1 может быть представлена как функция ψ(r, σ) от координат r
    ∈ R
    3
    и спиновой переменной (проекция спина на ось z) σ
    ∈ {+1, 0, −1}:
    ψ(r,
    ·) =


    ψ(r, +1)
    ψ(r, 0)
    ψ(r,
    −1)

    ⎠ = ψ(r).
    Теперь спиновая волновая функция — столбец из тр¨ех строк, а спиновые операторы — матрицы 3
    × 3.
    В соответствии с процедурой, описанной выше (15.2.4 «Собственные векторы операторов ˆ
    j z
    , ˆ
    j
    2
    »), мы можем выписать операторы компонент для спина 1
    ˆ
    s
    +
    =


    0

    2 0 0 0

    2 0 0 0

    ⎠, ˆs

    = ˆ
    s
    +

    =


    0 0 0

    2 0 0 0

    2 0

    ⎠,
    ˆ
    s x
    =







    0

    2 2
    0

    2 2
    0

    2 2
    0

    2 2
    0







    , ˆ
    s y
    =







    0
    −i

    2 2
    0
    i

    2 2
    0
    −i

    2 2
    0
    i

    2 2
    0







    , ˆ
    s z
    =


    +1 0 0 0 0 0 0 0
    −1

    ⎠,
    (A, s) =








    +A
    z
    A
    x
    − iA
    y

    2 0
    A
    x
    + iA
    y

    2 0
    A
    x
    − iA
    y

    2 0
    A
    x
    + iA
    y

    2
    −A
    z








    =








    +A
    z
    A


    2 0
    A
    +

    2 0
    A


    2 0
    A
    +

    2
    −A
    z








    Собственные числа проекции спина на любую ось ˆ
    s n
    = (n, s) —
    +1, 0,
    −1, так что вводить какие-либо вспомогательные матрицы наподо- бие σ-матриц Паули нет причин
    5 5
    σ-матрицы — исключительная особенность двумерия, и для спинов, отличных от
    1 2
    их пытаются писать по принципу σ = 2ˆ
    s только студенты, начинающие сдавать задания по квантовой механике. К моменту экзамена это обычно проходит.

    15.4. С
    ПИН
    1 443
    Базисные состояния с определ¨енным значением σ (проекции на ось z)
    принято обозначать по-разному:
    |1, +1 =


    1 0
    0

    ⎠, |1, 0 =


    0 1
    0

    ⎠, |1, −1 =


    0 0
    1

    ⎠.
    1   ...   44   45   46   47   48   49   50   51   52


    написать администратору сайта