Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
16.3.2. Асимптотика r → ∞ При r → ∞ центробежный потенциал стремится к нулю, и главным членом оказывается либо U (r), либо E 1 В реальных (не модельных) случаях потенциал на бесконечности стре- мится к константе, которую можно положить равной нулю, переопределив нулевой уровень энергии. В этом случае получаем на бесконечности уравнение для свободной частицы: − ¯h 2 2μ φ (r) E 1 φ(r), r → ∞, φ(0) = 0. (16.9) Может показаться, что условие φ(0) = 0 (бесконечновысокая стенка в нуле) в данном случае не важно, но на самом деле оно допускает адекват- ную переформулировку. Условие φ(0) = 0 означает равенство нулю потока вероятности j r (0) в нуле. При этом выполняется уравнение непрерывности для одномерной радиальной задачи: ∂ (r) ∂t + ∂j r (r) ∂r = 0. Для стационарного состояния плотность вероятности не зависит от вре- мени, а значит ∂ (r) ∂t = 0 и уравнение непрерывности да¨ет нам условие отсутствия радиального потока вероятности: ∂j r (r) ∂r = 0, j r (0) = 0 ⇒ j r (r) ≡ 0. (16.10) Условие отсутствия потока можно переформулировать ещ¨е одним спо- собом. Для всякого решения уравнения (16.7) φ(r) его вещественная и мни- мая части также являются решениями с тем же значением E 1 . Однако гра- ничное условие φ(0) = 0 из двух линейно независимых решений линейно- го однородного уравнения второго порядка (16.7) при данном E 1 оставляет 464 Г ЛАВА 16 только одно, а значит решения φ(r), Reφ(r), Imφ(r) совпадают с точностью до постоянного множителя. Таким образом, условие отсутствия потока может формулироваться как условие вещественности φ(r), т. е. для уравнения (16.7) мы можем искать только вещественные решения. Асимптотика (16.10) при отрицательных E 1 < 0 (состояния дискрет- ного спектра) φ(r) ∼ e −κr , κ = √ −2μE 1 ¯ h , r → ∞. (16.11) При положительных энергиях (состояния непрерывного спектра) φ(r) ∼ sin(kr + α), k = √ 2μE 1 ¯ h , α ∈ R, r → ∞. (16.12) Фаза α не может быть зафиксирована исследованием потенциала при боль- ших r. Например, если U (r) — непроницаемый шарик радиуса a, ч то соот- ветствует φ(a) = 0, то при l = 0 точное решение имеет вид φ(r) = C sin(k r −ka α ), r a. На этом примере мы видим, что при одинаковом поведении U (r → ∞) фаза α может быть любой. Случай неограниченного потенциала Случай неограниченного потенциала U (r) r →∞ −−−→ ∞ — это модельный случай, т. к. в реальной физике подобных потенциалов, неограниченно нарастающих на больших расстояниях, мы не наблюдаем. Для неограниченных потенциалов нам не надо специально оговаривать условие отсутствия потока, т. к. это условие диктуется с обоих концов: не только условием φ(0) = 0, но и неограниченным ростом потенциала на бесконечности. Конкретный вид асимптотики зависит от поведения U (r → ∞). На- пример, для потенциала тр¨ехмерного изотропного гармонического осцил- лятора U (r) = ω 2 r 2 2μ 16.4. А ТОМ ВОДОРОДА 465 асимптотика совпадает с асимптотикой обычного одномерного гармоничес- кого осциллятора (см. главу 12 «Гармонический осциллятор») φ(r) ∼ e − r 2 2x 2 0 , x 0 = ¯ h μω , r → ∞. 16.4. Атом водорода Гамильтониан для атома водорода соответствует потенциалу U (r) = = − e 2 r , аналогично для водородоподобного иона (один электрон, обращаю- щийся вокруг ядра с зарядом Z) U (r) = − Ze 2 r . Таким образом, гамильто- ниан, описывающий движение электрона относительно центра масс (16.3), принимает вид ˆ H 1 = ˆ p 2 2μ − Ze 2 |r| , (16.13) а одномерное уравнение Шр¨едингера для радиального движения (16.5), (16.6) становится таким − ¯h 2 2μ φ (r) + ¯ h 2 l(l + 1) 2μr 2 − Ze 2 r − E 1 φ(r) = 0, φ(0) = 0. (16.14) 16.4.1. Кулоновские и атомные единицы Уравнение Шр¨едингера для атома водорода или водородоподобного иона удобно обезразмерить. В качестве атомной единицы массы исполь- зуется масса электрона (привед¨енная). В качестве единицы действия, как обычно в квантовой механике, используется постоянная Планка. В каче- стве единицы заряда — √ Z e. То есть, чтобы ввести кулоновские единицы, мы полагаем три размерные константы (с несводимыми размерностями) равными единице μ = 1, ¯ h = 1, Ze 2 = 1. Этого достаточно, чтобы однозначно фиксировать систему единиц. Поскольку ядра существенно тяжелее электрона (протон в 2 ×10 3 раз), привед¨енная масса μ для движения электрона в поле ядра близка к массе свободного электрона. В частности для водорода μ (1 − 0,5 × 10 −3 ) · m e 466 Г ЛАВА 16 Атомные единицы получаются в случае μ = m e , Z = 1 m e = 9,109 × 10 −28 г = 1, ¯ h = 1,055 × 10 −27 эрг · с = 1, e = 4,803 × 10 −10 ед. СГС = 1. Размерности у этих констант следующие: [m e ] = M, [¯ h] = ET = M L 2 T −1 , [e 2 ] = EL = M L 3 T −2 Выпишем следующие отсюда единицы некоторых физических вели- чин. Это следует сделать хотя бы для того, чтобы представить себе порядок различных величин, характерных для задачи. Характерная скорость оказывается порядка 1/100 от скорости света: e 2 ¯ h = 2,187 × 10 8 см/с ∼ 10 −2 c, c = 2,997 924 58 × 10 10 см/с. Это означает, что мы можем в первом приближении пренебречь реляти- вистскими эффектами, однако при умеренно точных измерениях реляти- вистские эффекты будут сказываться. Из гамма-фактора γ = 1 1 − (v/c) 2 ≈ 1 1 − 0,5 × 10 −4 ≈ 1 + 2,5 × 10 −5 относительная точность нерелятивистского приближения оценивается как ∼ 10 −5 Атомная единица длины — радиус Бора, как мы видим, ангстрем (1 ˚ A = 10 −10 м = 10 −8 см) оказался удобной единицей длины на атомных расстояниях a = ¯ h 2 me 2 = 0,529 × 10 −8 см = 0,529 ˚ A. Атомная единица времени (длина разделить на скорость) позволяет предварительно оценить, какие процессы, совершающиеся с атомами сле- дует считать быстрыми, а какие медленными: t a = ¯ h 3 me 4 = 2,419 × 10 −17 с. Атомная единица энергии составляет два ридберга (Ry). Мы видим, что 1 эВ оказался весьма удачной единицей для атомных процессов: ε 0 = 2Ry = me 4 ¯ h 2 = e 2 a = 27,1 эВ = 4,34 × 10 −18 Дж = 4,34 × 10 −11 эрг. 16.4. А ТОМ ВОДОРОДА 467 16.4.2. Решение безразмерного уравнения После обезразмеривания получаем −1 2 φ (ρ) + l(l + 1) 2ρ 2 − 1ρ + 1 2n 2 − φ(ρ) = 0, φ(0) = 0. (16.15) Здесь = E 1 ε 0 = − 1 2n 2 — обезразмеренная энергия (n — обезразмеренная длина затухания волновой функции при r → ∞), ρ = r a — обезразмеренный радиус. Мы будем искать состояния дискретного спектра, т. е. состояния с < 0. Мы знаем асимптотики φ при малых и при больших ρ φ(ρ) ∼ ρ l+1 , ρ → 0, φ(ρ) ∼ e −ρ/n , ρ → ∞, 1n = √ −2 . Выделим асимптотики из φ: φ(ρ) = ρ l+1 · e −ρ/n · u(ρ). Здесь u(ρ) — новая неизвестная функция, она должна при малых ρ вести себя так, чтобы не испортить асимптотику ρ l+1 , а при больших — чтобы не испортить e −ρ/n : φ (ρ) = ρ l+1 · e −ρ/n · u + 2u l + 1 ρ − 1n + u l(l + 1) ρ 2 − 2(l + 1) nρ + 1 n 2 Радиальное уравнение принимает следующий вид: u 2 + u l + 1 ρ − 1 n + u ρ n − l − 1 n = 0, ρu + 2u l + 1 − ρ n + 2u n − l − 1 n = 0. Будем искать функцию u(ρ) в виде ряда по степеням ρ: u(ρ) = ∞ k=0 C k ρ k , (16.16) 468 Г ЛАВА 16 u (ρ) = ∞ k=0 (k + 1)C k+1 ρ k , u (ρ) = ∞ k=0 (k + 2)(k + 1)C k+2 ρ k , ∞ k=0 (k + 2)(k + 1)C k+2 ρ k+1 + 2(l + 1)(k + 1)C k+1 ρ k − − 2(k + 1) n C k+1 ρ k+1 + 2(n − l − 1) n C k ρ k = 0, ∞ k=0 (k + 1)kC k+1 + 2(l + 1)(k + 1)C k+1 − 2k n C k + 2(n − l − 1) n C k ρ k = 0, ∞ k=0 (2l + k + 2)(k + 1)C k+1 + 2(n − l − 1 − k) n C k ρ k = 0. Отсюда получаем рекуррентную формулу для коэффициентов разложения: C k+1 = −C k 2(n − l − 1 − k) n(2l + k + 2)(k + 1) (16.17) При больших k C k+1 ≈ C k 2 nk ≈ const ( 2 n ) k k! ⇒ u(ρ) ≈ const · e 2ρ/n , ρ → ∞. Это превращает правильную асимптотику φ ∼ e −ρ/n при ρ → ∞ в непра- вильную асимптотику φ ∼ e +ρ/n , которая тоже удовлетворяет уравнению Шр¨едингера, но была откинута, т. к. такая волновая функция ненормируема. Чтобы сохранить правильную асимптотику на больших расстояниях необходимо потребовать, чтобы ряд по степеням ρ обрывался, т. е. должно быть такое значение K = 0, 1, 2, . . . , ч то C K = 0, но C K+1 = − C K =0 2(n − l − 1 − K) n(2l + K + 2)(K + 1) = 0 ⇒ n = l + 1 + K ∈ N. Таким образом, параметр n, с помощью которого мы параметризовали энер- гию, должен быть натуральным числом: u(ρ) = C 0 K k=0 − 2ρ n k (2l + 1)!(n − l − 1)! (2l + 2 + k)!(n − l − 2 − k)!k! 16.4. А ТОМ ВОДОРОДА 469 С точностью до нормировочного множителя u(ρ) = const · K k=0 − 2ρ n k (2l + 2 + k)!(K − 1 − k)!k! Это полином степени K = n − l − 1. 16.4.3. Атом водорода в «старой квантовой механике»* Каждый школьник знает, что атом Бора — это не атом бора, а атом водорода. П. Л. Капица во время посещения Н. Бором Москвы в 1961 г. * * Цитируется по книге Белонучкин В. Е., Заикин Д. А., Ципенюк Ю. М. Основы фи- зики. Курс общей физики: Учебн. В 2 т. Т. 2. Квантовая и статистическая физика / Под ред. Ю. М. Ципенюка. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. Интересно, что точный спектр для частицы в кулоновском поле может быть получен из квазиклассических соображений. Впервые это было сдела- но Бором в 1913 году исходя из того, что на классической круговой орбите должно умещаться целое число волн де Бройля, это условие соответствует условию квантования классического момента импульса при круговом дви- жении: L = pR = n¯ h. Для круговой орбиты радиуса R 2 U = −e 2 R , K = p 2 2m = −U 2 = e 2 2R ⇒ p = e 2 m R , p 2πR = n2π¯ h ⇒ p = n¯h R = e 2 m R ⇒ 1 R = e 2 m n 2 ¯ h 2 ⇒ E = U 2 = − e 4 m 2n 2 ¯ h 2 Как мы видим, значение энергии в точности соответствует строгому решению квантовой задачи, однако соответствующий размерный момент импульса L = pR = n¯ h 2 Для упрощения выкладок мы пользуемся теоремой вириала из теоретической механики, которая для финитного движения в кулоновском поле да¨ет следующее соотношение между средними значениями кинетической и потенциальной энергией K = − 1 2 U , т. е. E = U 2 470 Г ЛАВА 16 выходит из диапазона 0, . . . , (n − 1)¯h, который получается в квантовом случае. В последствии Зоммерфельд обобщил результат Бора на эллиптичес- кие орбиты с 0 < L n¯ h. L = 0 было исключено, чтобы получить соот- ветствующую эксперименту кратность вырождения. Г ЛАВА 17 Квантовая и классическая история. Вместо послесловия (ффф) Рассказывают, что один студент проквантовал классическую марксистско-ленинскую теорию, а потом пытался изложить результаты преподавателю на экзамене по научному коммунизму . . . Физтеховский студенческий фольклор 17.1. Предварительные извинения Эту главу не следует воспринимать слишком серь¨езно — это всего лишь попытка применить физическую интуицию к гуманитарным вопросам. Фи- зика при этом может выступать как образец по-настоящему хорошо рабо- тающей теории, а также как метафора. Впрочем, нельзя исключать, что некоторые обсуждаемые вопросы окажутся физически осмысленными. 17.2. Сослагательное наклонение в истории 17.2.1. Классическая неустойчивая динамика Рис. 17.1. Георгий Геннади- евичМалинецкий. [фото автора] Расхожая фраза «история не имеет сосла- гательного наклонения» неявно подразумевает исторический детерминизм в духе лапласовско- го детерминизма. Более того, неявно подразу- мевается, что историческая динамика устойчива к малым возмущениям, что противоречит даже опыту классической механики. Также этот взгляд явно противоречит смыс- лу применения теории управления к челове- ческому обществу: задача построения управле- ния — построение системы, чья динамика будет существенно зависеть от 472 Г ЛАВА 17 управляющего воздействия, т. е. динамика управляемой системы должна быть неустойчива по управляющему воздействию. В данном случае управляемость ⇒ неустойчивость по управляющему воздействию (обратное не верно). Самоорганизация общества, при котором оно само приходит в управ- ляемый режим, т. е. получает возможность реагировать на внешнее воздей- ствие как целое, аналогично известному в синергетике явлению самоорга- низованной критичности, когда система сама приходит к состоянию, в ко- тором характерный размер флуктуаций (откликов на внешние воздействия) становится сравнимым с масштабом системы. Рис. 17.2. Исаак Юдович Озимов (Айзек Азимов) 1965 г. (1920–1992). W Для построения теоретической истории как науки, имеющей реальную предсказательную си- лу не только по отношению к прошлому, но и по отношению к будущему, необходимо, по крайней мере, использовать наработки кибернетики (тео- рии управления) и синергетики (теории самоорга- низации сложных систем). Классическая теоретическая история могла бы предсказывать вероятности тех или иных со- бытий, выявлять периоды бифуркаций (развилок) и устойчивого (неуправляемого) развития. Для бифуркаций можно было бы предсказывать харак- тер и величину управляющего воздействия, повы- шающего вероятность выбора того или иного пути. В настоящее время в России теоретическая история с точки зрения си- нергетики развивается в ИПМ им. М. В. Келдыша РАН группой Г. Г. Мали- нецкого (проект «Математическая история»). По всей видимости аналогич- ные разработки (преимущественно закрытого характера) в России и мире ведутся, по крайней мере, с середины XX века. В частности, С. Б. Пересле- гин предполагает, что в САСШ у истоков разработок по теоретической исто- рии мог стоять биохимик (и писатель–фантаст) А. Азимов. Гипотеза о роли Азимова основывается на его несомненном интересе к проблеме, прояв- ленном в таких НФ-произведениях, как цикл «Основание» (1951–1988 гг.), «Конец Вечности» (1955 г.), «Непреднамеренная победа» (1964 г.). 17.2.2. Квантовая многомировая история С точки зрения многомировой интерпретации квантовой механики сле- дует считать, что состояние Земли и Человечества описывается суперпози- 17.2. С ОСЛАГАТЕЛЬНОЕ НАКЛОНЕНИЕ В ИСТОРИИ 473 цией макроскопически различных состояний. Упомянутое «сослагательное наклонение» в квантовой многомировой истории реализуется со всеми бес- численными вариантами н а самом деле в различных параллельных мирах. Конечно, макроскопически отличные от текущей реальности парал- лельные миры (альтернативные реальности), согласно результатам тео- рии декогеренции, не влияют на текущую реальность. Однако в неко- торых из альтернативных реальностей некоторые подсистемы неизбежно будут иметь состояния, микроскопически тождественные состояниям со- ответствующих подсистем текущей реальности. Между этими подсистема- ми разных реальностей может наблюдаться квантовая интерференция. На- пример, какая-либо рукопись в одной реальности может быть подделкой, а в другой — подлинником, и амплитуда создания е¨е как подделки и как подлинника могут интерферировать между собой. Более того, мы можем рассмотреть возможность попадания человече- ства в целом в одно конечное состояние, через макроскопически различные истории. Конечно, для этого необходимо, чтобы определить «подлинную» историю было в принципе невозможно. Рис. 17.3. Сергей Борисович Переслегин. [Сергей Бережной cc W] И тут мы можем поставить физически осмысленный вопрос: «Чем предсказание бу- дущего отличается от предсказания прошло- го?» При предсказании нашего макроскопи- ческого будущего квантовые флуктуации за очень короткое время проявляются на мак- роуровне, однако при предсказании прошло- го квантовые флуктуации позволяют выбрать одну из ветвей истории на многократно боль- ших временах. На какой интервал времени на- зад мы можем «предсказать» прошлое? Сколь подробно может быть такое предсказание? Как этот интервал меняется по мере развития науки и техники? С. Б. Переслегин (философ, литературный критик, политолог, окончил ЛГУ по специальности «ядерная физика») — один из немногих авторов, все- рь¨ез рассуждающих о квантовой истории, — предполагает, что мы в прин- ципе (из-за квантовых неопредел¨енностей) не можем определить, справед- лива ли традиционная хронология, или новая хронология, разрабатываемая группой А. Т. Фоменко. Скорее всего, подобный радикальный взгляд чрез- мерно оптимистичен (пессимистичен?). Однако многие физики согласились бы с утверждением, что наши возможности «предсказания» состояния пер- вых мгновений жизни Вселенной принципиально ограничены квантовой теорией. 474 Г ЛАВА 17 Возможны и промежуточные вопросы, ответ на которые представля- ется неочевидным. Достаточно ли непредсказуемы «детали биографии» какого-нибудь не дошедшего до нас в виде окаменелости трилобита, чтобы можно было рассматривать квантовую интерференцию этих «биографий»? По интерпретации С. Б. Переслегина, в квантовой истории не суще- ствует художественной литературы: любое «художественное» произведе- ние описывает то, что реально происходило в одной из альтернативных реальностей. С этой точки зрения доктор Ватсон является точно таким же автором «Рассказов о Шерлоке Холмсе», как и А. Конан-Дойль. Прич¨ем (по Переслегину) в процессе написания нельзя исключить интерференцию этих двух процессов литературного творчества и влияния Англии Шерло- ка Холмса (отличающейся в ряде существенных деталей от Викторианской Англии) на текущую реальность 1 Если попробовать всерь¨ез взглянуть на квантовую историю по Пе- реслегину с точки зрения многомировой интерпретации квантовой меха- ники, то, вероятно, следует считать, что интерференция разных историй действительно может существовать, но точность, с которой человек опре- деляет в какой именно истории он находится, недостаточна, чтобы эту интерференцию обнаружить. Таким образом, вместо квантовой неоднознач- ной истории мы получим вполне классическую неизвестную историю, чья неопредел¨енность вызвана не интерференцией взаимоисключающих вари- антов, а простым незнанием (неполнотой информации). |