Главная страница
Навигация по странице:

  • 16.4. Атом водорода

  • 16.4.1. Кулоновские и атомные единицы

  • 16.4.2. Решение безразмерного уравнения

  • 16.4.3. Атом водорода в «старой квантовой механике»*

  • Квантовая и классическая история. Вместо послесловия (ффф)

  • 17.2. Сослагательное наклонение в истории 17.2.1. Классическая неустойчивая динамика

  • 17.2.2. Квантовая многомировая история

  • Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику


    Скачать 4.31 Mb.
    НазваниеКак пониматьквантовую механику
    АнкорКак понимать квантовую механику.pdf
    Дата06.03.2018
    Размер4.31 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаКак понимать квантовую механику.pdf
    ТипКнига
    #16313
    страница50 из 52
    1   ...   44   45   46   47   48   49   50   51   52
    16.3.2. Асимптотика r
    → ∞
    При r
    → ∞ центробежный потенциал стремится к нулю, и главным членом оказывается либо U (r), либо E
    1
    В реальных (не модельных) случаях потенциал на бесконечности стре- мится к константе, которую можно положить равной нулю, переопределив нулевой уровень энергии.
    В этом случае получаем на бесконечности уравнение для свободной частицы:
    − ¯h
    2 2μ
    φ
    (r)
    E
    1
    φ(r),
    r
    → ∞,
    φ(0) = 0.
    (16.9)
    Может показаться, что условие φ(0) = 0 (бесконечновысокая стенка в нуле) в данном случае не важно, но на самом деле оно допускает адекват- ную переформулировку. Условие φ(0) = 0 означает равенство нулю потока вероятности j r
    (0) в нуле. При этом выполняется уравнение непрерывности для одномерной радиальной задачи:
    ∂ (r)
    ∂t
    +
    ∂j r
    (r)
    ∂r
    = 0.
    Для стационарного состояния плотность вероятности не зависит от вре- мени, а значит
    ∂ (r)
    ∂t
    = 0 и уравнение непрерывности да¨ет нам условие отсутствия радиального потока вероятности:
    ∂j r
    (r)
    ∂r
    = 0,
    j r
    (0) = 0

    j r
    (r)
    ≡ 0.
    (16.10)
    Условие отсутствия потока можно переформулировать ещ¨е одним спо- собом. Для всякого решения уравнения (16.7) φ(r) его вещественная и мни- мая части также являются решениями с тем же значением E
    1
    . Однако гра- ничное условие φ(0) = 0 из двух линейно независимых решений линейно- го однородного уравнения второго порядка (16.7) при данном E
    1
    оставляет

    464
    Г
    ЛАВА
    16
    только одно, а значит решения φ(r), Reφ(r), Imφ(r) совпадают с точностью до постоянного множителя.
    Таким образом, условие отсутствия потока может формулироваться как условие вещественности φ(r), т. е. для уравнения (16.7) мы можем искать только вещественные решения.
    Асимптотика (16.10) при отрицательных E
    1
    < 0 (состояния дискрет- ного спектра)
    φ(r)
    ∼ e
    −κr
    ,
    κ =

    −2μE
    1
    ¯
    h
    ,
    r
    → ∞.
    (16.11)
    При положительных энергиях (состояния непрерывного спектра)
    φ(r)
    ∼ sin(kr + α), k =

    2μE
    1
    ¯
    h
    ,
    α
    ∈ R, r → ∞.
    (16.12)
    Фаза α не может быть зафиксирована исследованием потенциала при боль- ших r. Например, если U (r) — непроницаемый шарик радиуса a, ч то соот- ветствует φ(a) = 0, то при l = 0 точное решение имеет вид
    φ(r) = C sin(k r
    −ka
    α
    ),
    r a.
    На этом примере мы видим, что при одинаковом поведении U (r
    → ∞)
    фаза α может быть любой.
    Случай неограниченного потенциала
    Случай неограниченного потенциала
    U (r)
    r
    →∞
    −−−→ ∞
    — это модельный случай, т. к. в реальной физике подобных потенциалов,
    неограниченно нарастающих на больших расстояниях, мы не наблюдаем.
    Для неограниченных потенциалов нам не надо специально оговаривать условие отсутствия потока, т. к. это условие диктуется с обоих концов: не только условием φ(0) = 0, но и неограниченным ростом потенциала на бесконечности.
    Конкретный вид асимптотики зависит от поведения U (r
    → ∞). На- пример, для потенциала тр¨ехмерного изотропного гармонического осцил- лятора
    U (r) =
    ω
    2
    r
    2 2μ

    16.4. А
    ТОМ ВОДОРОДА
    465
    асимптотика совпадает с асимптотикой обычного одномерного гармоничес- кого осциллятора (см. главу 12 «Гармонический осциллятор»)
    φ(r)
    ∼ e

    r
    2 2x
    2 0
    ,
    x
    0
    =
    ¯
    h
    μω ,
    r
    → ∞.
    16.4. Атом водорода
    Гамильтониан для атома водорода соответствует потенциалу U (r) =
    =

    e
    2
    r
    , аналогично для водородоподобного иона (один электрон, обращаю- щийся вокруг ядра с зарядом Z) U (r) =

    Ze
    2
    r
    . Таким образом, гамильто- ниан, описывающий движение электрона относительно центра масс (16.3),
    принимает вид
    ˆ
    H
    1
    =
    ˆ
    p
    2 2μ
    − Ze
    2
    |r|
    ,
    (16.13)
    а одномерное уравнение Шр¨едингера для радиального движения (16.5),
    (16.6) становится таким
    − ¯h
    2 2μ
    φ
    (r) +
    ¯
    h
    2
    l(l + 1)
    2μr
    2
    − Ze
    2
    r
    − E
    1
    φ(r) = 0,
    φ(0) = 0.
    (16.14)
    16.4.1. Кулоновские и атомные единицы
    Уравнение Шр¨едингера для атома водорода или водородоподобного иона удобно обезразмерить. В качестве атомной единицы массы исполь- зуется масса электрона (привед¨енная). В качестве единицы действия, как обычно в квантовой механике, используется постоянная Планка. В каче- стве единицы заряда —

    Z e. То есть, чтобы ввести кулоновские единицы,
    мы полагаем три размерные константы (с несводимыми размерностями)
    равными единице
    μ = 1,
    ¯
    h = 1,
    Ze
    2
    = 1.
    Этого достаточно, чтобы однозначно фиксировать систему единиц.
    Поскольку ядра существенно тяжелее электрона (протон в 2
    ×10 3
    раз),
    привед¨енная масса μ для движения электрона в поле ядра близка к массе свободного электрона. В частности для водорода
    μ
    (1
    − 0,5 × 10
    −3
    )
    · m e

    466
    Г
    ЛАВА
    16
    Атомные единицы получаются в случае μ = m e
    , Z = 1
    m e
    = 9,109
    × 10
    −28
    г = 1,
    ¯
    h = 1,055
    × 10
    −27
    эрг
    · с = 1,
    e = 4,803
    × 10
    −10
    ед. СГС = 1.
    Размерности у этих констант следующие:
    [m e
    ] = M,

    h] = ET = M L
    2
    T
    −1
    ,
    [e
    2
    ] = EL = M L
    3
    T
    −2
    Выпишем следующие отсюда единицы некоторых физических вели- чин. Это следует сделать хотя бы для того, чтобы представить себе порядок различных величин, характерных для задачи.
    Характерная скорость оказывается порядка 1/100 от скорости света:
    e
    2
    ¯
    h
    = 2,187
    × 10 8
    см/с
    ∼ 10
    −2
    c,
    c = 2,997 924 58
    × 10 10
    см/с.
    Это означает, что мы можем в первом приближении пренебречь реляти- вистскими эффектами, однако при умеренно точных измерениях реляти- вистские эффекты будут сказываться. Из гамма-фактора
    γ =
    1 1
    − (v/c)
    2

    1 1
    − 0,5 × 10
    −4
    ≈ 1 + 2,5 × 10
    −5
    относительная точность нерелятивистского приближения оценивается как
    ∼ 10
    −5
    Атомная единица длины — радиус Бора, как мы видим, ангстрем
    (1 ˚
    A = 10
    −10
    м = 10
    −8
    см) оказался удобной единицей длины на атомных расстояниях a =
    ¯
    h
    2
    me
    2
    = 0,529
    × 10
    −8
    см = 0,529 ˚
    A.
    Атомная единица времени (длина разделить на скорость) позволяет предварительно оценить, какие процессы, совершающиеся с атомами сле- дует считать быстрыми, а какие медленными:
    t a
    =
    ¯
    h
    3
    me
    4
    = 2,419
    × 10
    −17
    с.
    Атомная единица энергии составляет два ридберга (Ry). Мы видим,
    что 1 эВ оказался весьма удачной единицей для атомных процессов:
    ε
    0
    = 2Ry =
    me
    4
    ¯
    h
    2
    =
    e
    2
    a = 27,1 эВ = 4,34 × 10
    −18
    Дж = 4,34
    × 10
    −11
    эрг.

    16.4. А
    ТОМ ВОДОРОДА
    467
    16.4.2. Решение безразмерного уравнения
    После обезразмеривания получаем
    −1 2
    φ
    (ρ) +
    l(l + 1)

    2
    − 1ρ +
    1 2n
    2

    φ(ρ) = 0,
    φ(0) = 0.
    (16.15)
    Здесь
    =
    E
    1
    ε
    0
    =

    1 2n
    2
    — обезразмеренная энергия (n — обезразмеренная длина затухания волновой функции при r
    → ∞), ρ =
    r a
    — обезразмеренный радиус.
    Мы будем искать состояния дискретного спектра, т. е. состояния с < 0.
    Мы знаем асимптотики φ при малых и при больших ρ
    φ(ρ)
    ∼ ρ
    l+1
    , ρ
    → 0,
    φ(ρ)
    ∼ e
    −ρ/n
    , ρ
    → ∞, 1n =

    −2 .
    Выделим асимптотики из φ:
    φ(ρ) = ρ
    l+1
    · e
    −ρ/n
    · u(ρ).
    Здесь u(ρ) — новая неизвестная функция, она должна при малых ρ вести себя так, чтобы не испортить асимптотику ρ
    l+1
    , а при больших — чтобы не испортить e
    −ρ/n
    :
    φ (ρ) = ρ
    l+1
    · e
    −ρ/n
    · u + 2u l + 1
    ρ
    − 1n + u l(l + 1)
    ρ
    2

    2(l + 1)

    +
    1
    n
    2
    Радиальное уравнение принимает следующий вид:
    u
    2
    + u l + 1
    ρ
    − 1
    n
    +
    u
    ρ
    n
    − l − 1
    n
    = 0,
    ρu + 2u l + 1

    ρ
    n
    + 2u n
    − l − 1
    n
    = 0.
    Будем искать функцию u(ρ) в виде ряда по степеням ρ:
    u(ρ) =

    k=0
    C
    k
    ρ
    k
    ,
    (16.16)

    468
    Г
    ЛАВА
    16
    u (ρ) =

    k=0
    (k + 1)C
    k+1
    ρ
    k
    ,
    u (ρ) =

    k=0
    (k + 2)(k + 1)C
    k+2
    ρ
    k
    ,

    k=0
    (k + 2)(k + 1)C
    k+2
    ρ
    k+1
    + 2(l + 1)(k + 1)C
    k+1
    ρ
    k


    2(k + 1)
    n
    C
    k+1
    ρ
    k+1
    +
    2(n
    − l − 1)
    n
    C
    k
    ρ
    k
    = 0,

    k=0
    (k + 1)kC
    k+1
    + 2(l + 1)(k + 1)C
    k+1
    − 2k n C
    k
    +
    2(n
    − l − 1)
    n
    C
    k
    ρ
    k
    = 0,

    k=0
    (2l + k + 2)(k + 1)C
    k+1
    +
    2(n
    − l − 1 − k)
    n
    C
    k
    ρ
    k
    = 0.
    Отсюда получаем рекуррентную формулу для коэффициентов разложения:
    C
    k+1
    =
    −C
    k
    2(n
    − l − 1 − k)
    n(2l + k + 2)(k + 1)
    (16.17)
    При больших k
    C
    k+1
    ≈ C
    k
    2
    nk
    ≈ const
    (
    2
    n
    )
    k k!
    ⇒ u(ρ) ≈ const · e
    2ρ/n
    , ρ
    → ∞.
    Это превращает правильную асимптотику φ
    ∼ e
    −ρ/n при ρ
    → ∞ в непра- вильную асимптотику φ
    ∼ e
    +ρ/n
    , которая тоже удовлетворяет уравнению
    Шр¨едингера, но была откинута, т. к. такая волновая функция ненормируема.
    Чтобы сохранить правильную асимптотику на больших расстояниях необходимо потребовать, чтобы ряд по степеням ρ обрывался, т. е. должно быть такое значение K = 0, 1, 2, . . . , ч то C
    K
    = 0, но
    C
    K+1
    =
    − C
    K
    =0 2(n
    − l − 1 − K)
    n(2l + K + 2)(K + 1)
    = 0
    ⇒ n = l + 1 + K ∈ N.
    Таким образом, параметр n, с помощью которого мы параметризовали энер- гию, должен быть натуральным числом:
    u(ρ) = C
    0
    K
    k=0


    n k
    (2l + 1)!(n
    − l − 1)!
    (2l + 2 + k)!(n
    − l − 2 − k)!k!

    16.4. А
    ТОМ ВОДОРОДА
    469
    С точностью до нормировочного множителя u(ρ) = const
    ·
    K
    k=0


    n k
    (2l + 2 + k)!(K
    − 1 − k)!k!
    Это полином степени K = n
    − l − 1.
    16.4.3. Атом водорода в «старой квантовой механике»*
    Каждый школьник знает, что атом Бора — это не атом бора, а атом водорода.
    П. Л. Капица во время посещения Н. Бором Москвы в 1961 г.
    *
    *
    Цитируется по книге Белонучкин В. Е., Заикин Д. А., Ципенюк Ю. М. Основы фи- зики. Курс общей физики: Учебн. В 2 т. Т. 2. Квантовая и статистическая физика / Под ред. Ю. М. Ципенюка. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.
    Интересно, что точный спектр для частицы в кулоновском поле может быть получен из квазиклассических соображений. Впервые это было сдела- но Бором в 1913 году исходя из того, что на классической круговой орбите должно умещаться целое число волн де Бройля, это условие соответствует условию квантования классического момента импульса при круговом дви- жении: L = pR = n¯
    h.
    Для круговой орбиты радиуса R
    2
    U =
    −e
    2
    R
    ,
    K =
    p
    2 2m
    =
    −U
    2
    =
    e
    2 2R

    p =
    e
    2
    m
    R
    ,
    p 2πR = n2π¯
    h
    ⇒ p = n¯h
    R
    =
    e
    2
    m
    R

    1
    R
    =
    e
    2
    m n
    2
    ¯
    h
    2
    ⇒ E = U
    2
    =
    − e
    4
    m
    2n
    2
    ¯
    h
    2
    Как мы видим, значение энергии в точности соответствует строгому решению квантовой задачи, однако соответствующий размерный момент импульса
    L = pR = n¯
    h
    2
    Для упрощения выкладок мы пользуемся теоремой вириала из теоретической механики,
    которая для финитного движения в кулоновском поле да¨ет следующее соотношение между средними значениями кинетической и потенциальной энергией K =

    1 2
    U , т. е. E =
    U
    2

    470
    Г
    ЛАВА
    16
    выходит из диапазона 0, . . . , (n
    − 1)¯h, который получается в квантовом случае.
    В последствии Зоммерфельд обобщил результат Бора на эллиптичес- кие орбиты с 0 < L

    h. L = 0 было исключено, чтобы получить соот- ветствующую эксперименту кратность вырождения.

    Г
    ЛАВА
    17
    Квантовая и классическая история.
    Вместо послесловия (ффф)
    Рассказывают, что один студент проквантовал классическую марксистско-ленинскую теорию, а потом пытался изложить результаты преподавателю на экзамене по научному коммунизму . . .
    Физтеховский студенческий фольклор
    17.1. Предварительные извинения
    Эту главу не следует воспринимать слишком серь¨езно — это всего лишь попытка применить физическую интуицию к гуманитарным вопросам. Фи- зика при этом может выступать как образец по-настоящему хорошо рабо- тающей теории, а также как метафора. Впрочем, нельзя исключать, что некоторые обсуждаемые вопросы окажутся физически осмысленными.
    17.2. Сослагательное наклонение в истории
    17.2.1. Классическая неустойчивая динамика
    Рис. 17.1. Георгий Геннади- евичМалинецкий.
    [фото автора]
    Расхожая фраза «история не имеет сосла- гательного наклонения» неявно подразумевает исторический детерминизм в духе лапласовско- го детерминизма. Более того, неявно подразу- мевается, что историческая динамика устойчива к малым возмущениям, что противоречит даже опыту классической механики.
    Также этот взгляд явно противоречит смыс- лу применения теории управления к челове- ческому обществу: задача построения управле- ния — построение системы, чья динамика будет существенно зависеть от

    472
    Г
    ЛАВА
    17
    управляющего воздействия, т. е. динамика управляемой системы должна быть неустойчива по управляющему воздействию. В данном случае управляемость
    ⇒ неустойчивость по управляющему воздействию
    (обратное не верно).
    Самоорганизация общества, при котором оно само приходит в управ- ляемый режим, т. е. получает возможность реагировать на внешнее воздей- ствие как целое, аналогично известному в синергетике явлению самоорга- низованной критичности, когда система сама приходит к состоянию, в ко- тором характерный размер флуктуаций (откликов на внешние воздействия)
    становится сравнимым с масштабом системы.
    Рис. 17.2. Исаак Юдович
    Озимов (Айзек Азимов)
    1965 г. (1920–1992). W
    Для построения теоретической истории как науки, имеющей реальную предсказательную си- лу не только по отношению к прошлому, но и по отношению к будущему, необходимо, по крайней мере, использовать наработки кибернетики (тео- рии управления) и синергетики (теории самоорга- низации сложных систем).
    Классическая теоретическая история могла бы предсказывать вероятности тех или иных со- бытий, выявлять периоды бифуркаций (развилок)
    и устойчивого (неуправляемого) развития. Для бифуркаций можно было бы предсказывать харак- тер и величину управляющего воздействия, повы- шающего вероятность выбора того или иного пути.
    В настоящее время в России теоретическая история с точки зрения си- нергетики развивается в ИПМ им. М. В. Келдыша РАН группой Г. Г. Мали- нецкого (проект «Математическая история»). По всей видимости аналогич- ные разработки (преимущественно закрытого характера) в России и мире ведутся, по крайней мере, с середины XX века. В частности, С. Б. Пересле- гин предполагает, что в САСШ у истоков разработок по теоретической исто- рии мог стоять биохимик (и писатель–фантаст) А. Азимов. Гипотеза о роли
    Азимова основывается на его несомненном интересе к проблеме, прояв- ленном в таких НФ-произведениях, как цикл «Основание» (1951–1988 гг.),
    «Конец Вечности» (1955 г.), «Непреднамеренная победа» (1964 г.).
    17.2.2. Квантовая многомировая история
    С точки зрения многомировой интерпретации квантовой механики сле- дует считать, что состояние Земли и Человечества описывается суперпози-

    17.2. С
    ОСЛАГАТЕЛЬНОЕ НАКЛОНЕНИЕ В ИСТОРИИ
    473
    цией макроскопически различных состояний. Упомянутое «сослагательное наклонение» в квантовой многомировой истории реализуется со всеми бес- численными вариантами н а самом деле в различных параллельных мирах.
    Конечно, макроскопически отличные от текущей реальности парал- лельные миры (альтернативные реальности), согласно результатам тео- рии декогеренции, не влияют на текущую реальность. Однако в неко- торых из альтернативных реальностей некоторые подсистемы неизбежно будут иметь состояния, микроскопически тождественные состояниям со- ответствующих подсистем текущей реальности. Между этими подсистема- ми разных реальностей может наблюдаться квантовая интерференция. На- пример, какая-либо рукопись в одной реальности может быть подделкой,
    а в другой — подлинником, и амплитуда создания е¨е как подделки и как подлинника могут интерферировать между собой.
    Более того, мы можем рассмотреть возможность попадания человече- ства в целом в одно конечное состояние, через макроскопически различные истории. Конечно, для этого необходимо, чтобы определить «подлинную»
    историю было в принципе невозможно.
    Рис. 17.3. Сергей Борисович
    Переслегин.
    [Сергей Бережной cc W]
    И тут мы можем поставить физически осмысленный вопрос: «Чем предсказание бу-
    дущего отличается от предсказания прошло-
    го?» При предсказании нашего макроскопи- ческого будущего квантовые флуктуации за очень короткое время проявляются на мак- роуровне, однако при предсказании прошло- го квантовые флуктуации позволяют выбрать одну из ветвей истории на многократно боль- ших временах. На какой интервал времени на- зад мы можем «предсказать» прошлое? Сколь подробно может быть такое предсказание? Как этот интервал меняется по мере развития науки и техники?
    С. Б. Переслегин (философ, литературный критик, политолог, окончил
    ЛГУ по специальности «ядерная физика») — один из немногих авторов, все- рь¨ез рассуждающих о квантовой истории, — предполагает, что мы в прин- ципе (из-за квантовых неопредел¨енностей) не можем определить, справед- лива ли традиционная хронология, или новая хронология, разрабатываемая группой А. Т. Фоменко. Скорее всего, подобный радикальный взгляд чрез- мерно оптимистичен (пессимистичен?). Однако многие физики согласились бы с утверждением, что наши возможности «предсказания» состояния пер- вых мгновений жизни Вселенной принципиально ограничены квантовой теорией.

    474
    Г
    ЛАВА
    17
    Возможны и промежуточные вопросы, ответ на которые представля- ется неочевидным. Достаточно ли непредсказуемы «детали биографии»
    какого-нибудь не дошедшего до нас в виде окаменелости трилобита, чтобы можно было рассматривать квантовую интерференцию этих «биографий»?
    По интерпретации С. Б. Переслегина, в квантовой истории не суще- ствует художественной литературы: любое «художественное» произведе- ние описывает то, что реально происходило в одной из альтернативных реальностей. С этой точки зрения доктор Ватсон является точно таким же автором «Рассказов о Шерлоке Холмсе», как и А. Конан-Дойль. Прич¨ем
    (по Переслегину) в процессе написания нельзя исключить интерференцию этих двух процессов литературного творчества и влияния Англии Шерло- ка Холмса (отличающейся в ряде существенных деталей от Викторианской
    Англии) на текущую реальность
    1
    Если попробовать всерь¨ез взглянуть на квантовую историю по Пе- реслегину с точки зрения многомировой интерпретации квантовой меха- ники, то, вероятно, следует считать, что интерференция разных историй действительно может существовать, но точность, с которой человек опре- деляет в какой именно истории он находится, недостаточна, чтобы эту интерференцию обнаружить. Таким образом, вместо квантовой неоднознач- ной истории мы получим вполне классическую неизвестную историю, чья неопредел¨енность вызвана не интерференцией взаимоисключающих вари- антов, а простым незнанием (неполнотой информации).
    1   ...   44   45   46   47   48   49   50   51   52


    написать администратору сайта