Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
Тождественные частицы Если рассмотренные выше частицы со спином s являются тождествен- ными, то ψ(r 1 , σ 1 ; r 2 , σ 2 ) = ( −1) 2s ψ(r 2 , σ 2 ; r 1 , σ 1 ). Мы можем отделить спиновую функцию от координатной, если волновая функция факторизуется: ψ(r 1 , σ 1 ; r 2 , σ 2 ) = φ(r 1 , r 2 ) · χ(σ 1 , σ 2 ). Мы только что определили ч¨етность спиновой волновой функции, при сложении двух спинов s: χ(σ 1 , σ 2 ) = ( −1) K χ(σ 2 , σ 1 ) = ( −1) 2s −S χ(σ 2 , σ 1 ). Таким образом, ч¨етность координатной волновой функции определяется суммарным спином системы из двух тождественных частиц: φ(r 1 , r 2 ) = ( −1) S φ(r 2 , r 1 ). 15.5.3. Сложение моментов j + 1 2 При сложении моментов j и 1 2 суммарный момент пробегает два зна- чения J = j ± 1 2 , |j + 1 2 , j + 1 2 = |j |+ . Действуя на это равенство понижающим оператором ˆ J − = ˆ j − + ˆ s − , полу- чаем 2j + 1 |j + 1 2 , j − 1 2 = 2j |j − 1 |+ + |j |− , |j + 1 2 , j − 1 2 = √ 2j |j − 1 |+ + |j |− √ 2j + 1 Из ортогональности находим |j − 1 2 , j − 1 2 = |j − 1 |+ − √ 2j |j |− √ 2j + 1 Остальные состояния находятся действием оператора ˆ J − N на состояния |j + 1 2 , j + 1 2 и |j − 1 2 , j − 1 2 . Поскольку для спина 1 2 выполняется условие ˆ s − 2 = 0, от бинома Ньютона остаются только два первых члена: ˆ J − N = (ˆ j − + ˆ s − ) N = ˆ j − N + N ˆ j − N −1 ˆ s − = (ˆ j − + N ˆ s − )ˆ j − N −1 , 15.5. С ЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ * 453 C |j + 1 2 , j + 1 2 − N = ˆ J − N |j + 1 2 , j + 1 2 = (ˆ j − + N ˆ s − )ˆ j − N −1 |j |+ = = C (ˆ j − + N ˆ s − ) |j − N + 1 |+ = C ( (2j − N + 1)N|j − N |+ + N|j − N + 1 |− ). Нормируя на единицу (с уч¨етом того, что C, C > 0), получаем |j + 1 2 , j + 1 2 − N M = √ 2j − N + 1|j − N |+ + √ N |j − N + 1 |− √ 2j + 1 Аналогично (либо из ортогональности) получаем |j − 1 2 , j + 1 2 − N M = √ N |j − N |+ − √ 2j − N + 1|j − N + 1 |− √ 2j + 1 15.5.4. Сложение моментов 1 + 1 Суммарный момент пробегает значения 2, 1, 0. Состояния для момен- тов 2 и 0 ч¨етные, а для момента 1 неч¨етные. Процедура получения новых базисных состояний полностью стандарт- ная. Выкладки облегчаются тем, что для момента 1 ненулевой множитель при действии оператором ˆ j − всегда одинаков: ˆ j − |m = √ 2 |m − 1 при m = = 1, 0. Сделав эти замечания, сразу (выкладки вполне можно проделать в уме) выпишем новый базис: |2, 2 = |1 |1 , |2, 1 = |0 |1 + |1 |0 √ 2 , |2, 0 = | − 1 |1 + 2|0 |0 + |1 | − 1 √ 6 , |2, −1 = | − 1 |0 + |0 | − 1 √ 2 , |2, −2 = | − 1 | − 1 , |1, 1 = |0 |1 − |1 |0 √ 2 , 454 Г ЛАВА 15 |1, 0 = | − 1 |1 − |1 | − 1 √ 2 , |1, −1 = | − 1 |0 − |0 | − 1 √ 2 , |0, 0 = | − 1 |1 − |0 |0 + |1 | − 1 √ 3 Г ЛАВА 16 Задача двух тел Как и в классической теоретической механике, в квантовой механи- ке ставится и решается задача двух тел. В этой задаче изучается движе- ние двух точечных частиц, взаимодействие которых зада¨ется потенциалом U ( |r 1 −r 2 |), зависящим только от расстояний между частицами |r 1 −r 2 |. Со- ответствующий квантовый гамильтониан совпадает с классическим с точ- ностью до шляпок: ˆ H = ˆ p 2 1 2m 1 + ˆ p 2 1 2m 1 + U ( |r 1 − r 2 |). (16.1) В случае электрона и атомного ядра, взаимодействующих по закону Кулона U ( |r 1 − r 2 |) = − Ze 2 |r 1 −r 2 | , мы получаем задачу об атоме водорода или водородоподобном ионе (в нерелятивистском пределе, без уч¨ета спинов частиц и их размеров). Как мы увидим, задача двух тел в квантовой механике и в классиче- ской решается во многом аналогичными методами, поскольку обе задачи имеют практически одинаковые симметрии, а симметриям соответствуют законы сохранения, которые позволяют проводить разделение переменных как в классическом, так и в квантовом случае. 16.1. Законы сохранения Перечислим законы сохранения, которые могут возникать в задаче двух тел. • Закон сохранения энергии выполняется, поскольку гамильтониан не зависит от времени. • Закон сохранения суммарного импульса выполняется, поскольку га- мильтониан не меняется при сдвиге системы как целого. • Закон сохранения суммарного орбитального момента импульса выпол- няется, поскольку гамильтониан не меняется при повороте системы как целого. 456 Г ЛАВА 16 • Закон сохранения пространственной ч¨етности выполняется, поскольку гамильтониан не меняется при зеркальном отражении. • Для специальных видов потенциала (U(|r 1 − r 2 |) = k |r 1 −r 2 | 2 2 — гармо- нический осциллятор, U ( |r 1 − r 2 |) = − Ze 2 |r 1 −r 2 | — кулоновский потен- циал) могут возникать дополнительные симметрии, законы сохранения и соответствующее им вырождение уровней энергии (часто называе- мое «случайным») 1 • Если частицы имеют спин, то при гамильтониане (16.1), который не действует на какие-либо спины, спин каждой частицы сохраняется. В этом случае спин влияет только на кратности вырождения уровней, а для тождественных частиц см. также следующий пункт. • Для двух тождественных частиц система должна быть симметричной относительно их перестановки. При этом соответствующая ч¨етность должна быть +1 (волновая функция с уч¨етом спинов при перестановке частиц не меняется) для бозонов и −1 (волновая функция с уч¨етом спинов при перестановке частиц меняет знак) для фермионов. 16.2. Сведение к задаче одного тела Как и в классической механике, мы можем разделить переменные, рас- писав энергию (гамильтониан) через движение центра масс и относитель- ное движение частиц. Соответствующие выкладки с точностью до шляпок такие же, как в классике. Суммарный импульс и суммарная масса системы, радиус-вектор цент- ра масс: ˆ P = ˆ p 1 + ˆ p 2 , M = m 1 + m 2 , R = r 1 m 1 + r 2 m 2 m 1 + m 2 Относительный импульс и привед¨енная масса системы, относитель- ный радиус-вектор: ˆ p = v 1 ˆ p 1 m 1 − v 2 ˆ p 2 m 2 v отн. m 1 m 2 m 1 + m 2 μ = ˆ p 1 m 2 − ˆp 2 m 1 m 1 + m 2 , μ = m 1 m 2 m 1 + m 2 , r = r 1 −r 2 1 На самом деле такие законы сохранения обеспечиваются замкнутостью классических тра- екторий (эллипсов) при финитном движении. В случае общего положения вместо замкнутого эллипса классическая частица будет рисовать «розочку» (прецессия перигелия). 16.2. С ВЕДЕНИЕ К ЗАДАЧЕ ОДНОГО ТЕЛА 457 Легко видеть, что для новых переменных выполняются канонические коммутационные соотношения: [ ˆ R α , ˆ P β ] = i¯ hδ αβ , [ˆ r α , ˆ p β ] = i¯ hδ αβ , [ ˆ R α , ˆ p β ] = [ˆ r α , ˆ P β ] = [ ˆ R α , ˆ r β ] = [ˆ p α , ˆ P β ] = 0. Также легко проверить, что замена (r 1 , r 2 , p 1 , p 2 ) → (r, R, p, P) сох- раняет объ¨ем в координатном и импульсном пространстве. Покажем это для x-компонент: D(r x , R x ) D(r 1x , r 2x ) = 1 −1 m 1 m 1 + m 2 m 2 m 1 + m 2 = 1, D(p x , P x ) D(p 1x , p 2x ) = m 2 m 1 + m 2 − m 1 m 1 + m 2 1 1 = 1. Это позволяет записывать волновые функции в новых переменных, не ду- мая об элементах объ¨ема, просто подставляя в старые волновые функции выражения старых переменных через новые. В новых переменных гамильтониан (16.1) переписывается так (про- верку, полностью аналогичную классическому случаю, предоставляем чи- тателю): ˆ H = ˆ p 2 2μ + U ( |r|) ˆ H 1 + ˆ P 2 2M ˆ H 0 (16.2) Гамильтониан распался на два члена, один из которых ˆ H 0 действует только на движение центра масс, а другой ˆ H 1 — только на относительное движение частиц. Таким образом, мы представили систему из двух взаимо- действующих частиц как объединение двух невзаимодействующих подсис- тем: движение центра масс и относительное движение частиц. Это позволяет провести разделение переменных. Если в начальный мо- мент времени волновая функция может быть записана в виде ψ(r 1 , r 2 ) = ψ(r, R) = ψ 1 (r) · ψ 0 (R), то поскольку каждый член гамильтониана действует только на свой множи- тель ( ˆ H 1 + ˆ H 0 ) ˆ H ψ 1 · ψ 0 = ( ˆ H 1 ψ 1 ) · ψ 0 + ψ 1 · ( ˆ H 0 ψ 0 ), 458 Г ЛАВА 16 то и в последующие моменты времени волновая функция разлагается на два множителя, каждый из которых эволюционирует сам по себе: i¯ h ∂ψ 1 ∂t = ˆ H 1 ψ 1 , i¯ h ∂ψ 0 ∂t = ˆ H 0 ψ 0 Мы свели задачу двух тел к двум задачам: • Задача о свободном движении частицы массы M описывает движение центра масс. • Задача о движении частицы массы μ в потенциале U(|r|) описывает относительное движение частиц. Если мы ищем энергетический спектр системы двух тел, то собствен- ные состояния могут искаться в виде произведений собственных состояний для ˆ H 1 и ˆ H 0 : ˆ Hψ 1 ψ 0 = (E 1 + E 0 )ψ 1 ψ 0 , ˆ H 1 ψ 1 = E 1 ψ 1 , ˆ H 0 ψ 0 = E 0 ψ 0 Для свободной частицы (движения центра масс) собственные состоя- ния могут быть заданы, например, волнами де Бройля: ψ 0k = e ikr , E 0k = ¯ h 2 k 2 2M Задачу одного тела в центральном поле U ( |r|) мы рассмотрим в следующих разделах. 16.3. Сведение к задаче о радиальном движении Теперь мы рассматриваем гамильтониан для относительного движения частиц ˆ H 1 = ˆ p 2 2μ + U ( |r|). (16.3) Обезразмеренный орбитальный момент импульса имеет вид ˆl = 1 ¯ h [ˆ r × ˆp]. В силу сферической симметрии орбитальный момент сохраняется, а значит мы имеем три взаимно коммутирующих оператора, которые мо- гут быть одновременно приведены к диагональному виду: ˆ l 2 , ˆ l z , ˆ H 1 16.3. С ВЕДЕНИЕ К ЗАДАЧЕ О РАДИАЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ 459 Далее нам удобно перейти к сферическим координатам, потому что в них повороты влияют только на углы θ и ϕ, оставляя радиальную коор- динату r неизменной и позволяя разделить переменные. Гамильтониан ˆ H 1 в координатном представлении имеет вид ˆ H 1 = − ¯h 2 2μ + U ( |r|). Лапласиан в произвольных криволинейных координатах имеет вид = 1 |g| ab ∂ ∂x a |g| g ab ∂ ∂x b , где g ab — обратный метрический тензор (метрический тензор удобно выра- жается через элемент длины dl): b g ab g bc = δ a c = 1, a = c 0, a = c , dl 2 = ab g ab dx a dx b , а |g|d 3 x — инвариантный элемент объ¨ема, который выражается через определитель метрического тензора: g = det(g ab ). Метрический тензор для сферических координат мы уже вводили ра- нее (15.5). Лапласиан в сферических координатах удобно записывается че- рез оператор ˆ l 2 : = 1 r 2 ∂ ∂r r 2 ∂ ∂r + 1 r 2 1 sin 2 θ ∂ 2 ∂ϕ 2 + 1 sin θ ∂ ∂θ sin θ ∂ ∂θ θϕ = −ˆl 2 В гамильтониане из кинетической энергии выделяется центробежный член, полностью аналогичный классическому L 2 2μr 2 : ˆ H 1 = − ¯h 2 2μ 1 r 2 ∂ ∂r r 2 ∂ ∂r + ¯ h 2 ˆ l 2 2μr 2 центробеж. энерг. + U (r). 460 Г ЛАВА 16 Мы ищем общие собственные функции для операторов ˆ l 2 и ˆ H 1 . По- скольку ˆ l 2 действует только на угловые переменные, будем искать волновую функцию в виде ψ 1 (r) = ψ 1 (r, θ, ϕ) = R(r) · Y l (θ, ϕ), где Y l — собственная функция оператора ˆ l 2 : ˆ l 2 Y l = l(l + 1)Y l Будет ли Y l также собственной функцией оператора ˆ l z нам пока (пока не нарушается сферическая симметрия) совершенно не важно, но желаю- щие могут заменить Y l на Y lm , потребовав ˆ l z Y lm = mY lm , ˆ l 2 Y lm = l(l + 1)Y lm Тут важно только число линейно независимых функций Y l при фиксирован- ном l. В качестве таких линейно независимых функций могут быть выбра- ны, например Y lm , которых имеется (поскольку m = l, l − 1, . . . , 0, . . . , −l) 2l + 1 штука. Из стационарного уравнения Шр¨едингера сокращаем Y l , получаем ˆ H 1 (RY l ) ψ 1 = E 1 (RY l ) ψ 1 ⇒ − ¯h 2 2μ 1 r 2 ∂ ∂r r 2 ∂ ∂r + ¯ h 2 l(l + 1) 2μr 2 + U (r) R(r) = E 1 R(r). (16.4) Выражение в квадратных скобках отличается от гамильтониана ˆ H 1 только тем, что оператор ˆ l 2 заменился на собственное число l(l + 1). (ф) Мы видим, что происходящий от угловой части кинетической энер- гии член ¯ h 2 ˆ l 2 2μr 2 теперь переписался как функция от радиальной координаты ¯ h 2 l(l+1) 2mr 2 и может трактоваться как центробежная потенциальная энергия. То же самое мы имели и в классике, при рассмотрении задачи движения частицы в центральном потенциале. (ф) Оператор радиальной кинетической энергии − ¯ h 2 2μ 1 r 2 ∂ ∂r r 2 ∂ ∂r отли- чается от обычной кинетической энергии при одномерном движении. Это связано с тем, что волна, распространяющаяся по r, — это не плоская вол- на, а сферическая. Решение обычного одномерного уравнения Шр¨едингера 16.3. С ВЕДЕНИЕ К ЗАДАЧЕ О РАДИАЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ 461 при нулевом потенциале да¨ет плоскую волну, амплитуда которой постоян- на, а решение радиального уравнения Шр¨едингера должно давать сфериче- скую волну, квадрат амплитуды которой (плотность вероятности) спадает как 1 r 2 , а амплитуда как 1 r Попробуем ввести другую параметризацию волновой функции: R(r) = 1 r φ(r), ψ 1 (r, θ, ϕ) = 1 r φ(r) Y l (θ, ϕ). Вероятность dP попадания в заданные интервалы dr, dθ, dϕ: dP = |ψ 1 | 2 d 3 r = |R(r)Y l (θ, ϕ) | 2 r 2 sin θ dr dθ dϕ элемент объ¨ема = = |φ(r)Y l (θ, ϕ) | 2 sin θ dr dθ dϕ. При переписывании dP через φ(r) исчезает вес r 2 , и интегрирование по r ид¨ет точно так же как по обычной декартовой координате, если движение ограничено положительной полуосью. Теперь действие радиальной части лапласиана упрощается: 1 r 2 ∂ ∂r r 2 ∂ ∂r φ(r) r = 1 r 2 ∂ ∂r r 2 φ r − φ r 2 = 1 r 2 ∂ ∂r (rφ − φ) = φ r . Подставляя R = φ r в уравнение (16.4) и сокращая во всех членах общий множитель 1 r , получаем уравнение, которое выглядит в точности как обыч- ное стационарное одномерное уравнение Шр¨едингера для волновой функ- ции φ: − ¯h 2 2μ ∂ 2 ∂r 2 + ¯ h 2 l(l + 1) 2μr 2 + U (r) ˆ H r φ(r) = E 1 φ(r). (16.5) (ф) Эффективный одномерный гамильтониан ˆ H r содержит совершен- но обычный одномерный оператор кинетической энергии ˆ K = − ¯ h 2 2μ ∂ 2 ∂r 2 , а потенциальная энергия состоит из собственно потенциальной энер- гии U (r) и центробежной энергии ¯ h 2 l(l+1) 2μr 2 = L 2 2μr 2 . Мы переписали чис- литель как среднее значение оператора квадрата размерного момента им- пульса, чтобы продемонстрировать, что центробежная энергия с точностью до шляпок совпадает с классическим случаем. 462 Г ЛАВА 16 Получившаяся одномерная задача отличается от стандартной тем, что координата r определена на положительной полуоси 0 r < ∞, прич¨ем из непрерывности R = φ r следует граничное условие на φ, которое можно трактовать как наличие в нуле бесконечновысокой стенки φ(0) = 0. (16.6) 16.3.1. Асимптотика r → 0 Исследуем асимптотику радиального уравнения Шр¨едингера (16.5) при r → 0: − ¯h 2 2μ φ (r) + ¯ h 2 l(l + 1) 2μr 2 + U (r) − E 1 φ(r) = 0, φ(0) = 0. (16.7) Главный ч лен при r → 0 в квадратных скобках зависит от того, как вед¨ет себя при в этом пределе потенциальная энергия U (r). Предположим, что при r → 0 потенциал U(r) ограничен, либо раст¨ет не слишком быстро: r 2 U (r) r →0 −−−→ 0. Тогда при малых r получаем − ¯h 2 2μ φ (r) + ¯ h 2 l(l + 1) 2μr 2 φ(r) 0, r → 0, φ(0) = 0, r 2 φ (r) = l(l + 1) φ(r), φ(0) = 0. Линейное однородное уравнение второго порядка имеет два линейно неза- висимых решения, которые легко подбираются в виде степенных функций от r: r l+1 , 1 r l Граничному условию φ(0) = 0 удовлетворяет только первое решение, так что для не слишком быстро растущего в нуле потенциала получаем асимп- тотику φ(r) ∼ r l+1 , r → 0 ⇒ ψ 1 (r, θ, ϕ) ∼ r l Y l (θ, ϕ), r → 0. (16.8) Если потенциал содержит член, пропорциональный 1 r 2 , то его надо бу- дет учитывать наравне с центробежным потенциалом и в результате асимп- тотика (16.8) собь¨ется: изменится степень и вместо r l получится r l , где l — некоторый «эффективный момент» (как правило, дробный). 16.3. С ВЕДЕНИЕ К ЗАДАЧЕ О РАДИАЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ 463 При рассмотрении быстро растущих в нуле притягивающих (отрица- тельных) потенциалов следует проверить, попадает ли φ в пространство квадратично-интегрируемых функций L 2 ( R + ), т. е. φ(r) должно расти при малых r не быстрее, чем 1 √ r . Также следует проверить ограничен ли энерге- тический спектр снизу, т. к. неограниченный снизу энергетический спектр означает падение частицы на центр с выделением бесконечной энергии. Потенциал − const r 2 оказывается пограничным по обоим критериям. |