Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
(**) С точки зрения теории множеств ортогональная сумма про- странств H n — это прямое произведение множеств, на которых задана структура линейного пространства. (ф) Группа симметрий некоторого гамильтониана всегда переводит состояния с некоторой энергией в состояние с той же энергией. Таким образом, подпространства состояний с определ¨енной энергией являются 14.4. П РЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП ( Л ) 413 инвариантными подпространствами соответствующей группы симметрий. Если разбиение представления на неприводимые единственно 3 , то каж- дое минимальное инвариантное подпространство группы симметрий обя- зано быть собственным подпространством гамильтониана, обладающего соответствующей симметрией. Таким образом, если мы разложили наше представление группы симметрий на неприводимые и показали единствен- ность разложения, то большая часть работы по диагонализации гамильто- ниана уже выполнена: уже найден базис (т. е. набор стационарных состоя- ний, годится любой базис, полученный объединением базисов в минималь- ных инвариантных подпространствах), осталось только найти собственные числа. 14.4.4. Умножение представлений (лф*) Помимо суммы представлений вводится также операция умножения. Умножению представлений соответствует тензорное умножение соответ- ствующих линейных пространств и операторов: [f 1 (g) ⊗ f 2 (g)]( ψ 1 ∈H 1 ⊗ ψ 2 ∈H 2 ) = (f 1 (g)ψ 1 ) ∈H 1 ⊗ (f 2 (g)ψ 2 ) ∈H 2 При сложении представлений их размерности складываются, а при умножении — умножаются. (ф) Физически умножение представлений соответствует объединению подсистем, на которые действуют преобразования симметрии. Например, если в центральном поле ядра имеются два электрона, то мы можем напи- сать два представления f 1 и f 2 группы вращений, соответствующих враще- ниям первого и второго электронов соответственно. Одновременному оди- наковому вращению обоих электронов будет соответствовать произведение представлений f 1 ⊗ f 2 . Взаимодействие между электронами нарушает вра- щательную симметрию отдельного электрона, но сохраняет вращательную симметрию системы в целом, поэтому и законы сохранения оказывают- ся связанными с одновременным поворотом обоих электронов (сохранение суммарного момента импульса). Как всегда, разделение системы на подсис- темы не обязательно связано с пространственным разнесением компонент, например вместо орбитального движения двух электронов мы можем рас- сматривать орбитальное движение и спин (собственный момент импуль- 3 Пример неединственности разложения представления на неприводимые — представление группы {−1, +1} на пространстве одномерных волновых функций L 2 ( R) операторами ˆ I (ин- версия по координате) и ˆ 1. 414 Г ЛАВА 14 са) одного и того же электрона. Например, далее (см. 15.5 «Сложение мо- ментов*») мы составим таблицы умножения неприводимых представлений квантовой группы вращений SU(2). При изучении конкретной группы симметрий помимо составления классификации неприводимых представлений полезно также составить таблицу умножения представлений: произведение каждой пары неприво- димых представлений снова разлагается в сумму неприводимых представ- лений. (ф) После разложения произведения представлений на неприводимые слагаемые мы, как правило, уже не можем связать отдельное слагаемое с той или иной подсистемой. Практически всегда каждое из слагаемых представлений действует на обе подсистемы одновременно. Г ЛАВА 15 Вращения и моменты С главе 14 «Симметрии-2» мы обсудили применение теории групп и их представлений для описания симметрий в квантовой механике. Данная гла- ва иллюстрирует «Симметрии-2», но может читаться и независимо. Здесь разбирается конкретный важный пример симметрии относительно поворо- тов и соответствующих этой симметрии операторов момента импульса. 15.1. Группа вращений В данном разделе мы выясним некоторые свойства поворотов, кото- рые зависят от того, как повороты комбинируются друг с другом. Действие поворотов на состояния квантовых систем здесь обсуждаться не будет. То есть мы обсуждаем абстрактную группу вращений, но не касаемся е¨е пред- ставлений. 15.1.1. Что такое поворот (л) Вращения собственные и несобственные (л) Поворот — преобразование координат, которое оставляет неподвиж- ным начало координат и сохраняет расстояние в тр¨ехмерном евклидовом пространстве: x = Rx, ∀x ∈ R 3 , (x , x ) = (x ) T x = x T R T Rx = x T x = (x, x). Поскольку вектор x ∈ R 3 произволен, мы получаем условие на матрицу R: R T R = E. (15.1) Такие матрицы называются ортогональными. Множество ортогональных матриц 3 ×3 обозначается O(3), имеет структуру группы и называется груп- пой вращений. 416 Г ЛАВА 15 Если взять определитель от равенства (15.1), то получится условие (det R) 2 = 1 ⇔ det R = ±1. Это условие разбивает все повороты R на два класса, в зависимости от зна- ка определителя. Повороты с определителем +1 называются собственными вращениями. Множество собственных вращений обозначается SO(3), явля- ется нормальной подгруппой O(3) и называется группой собственных вра- щений. Собственные вращения — обычные повороты, которые можно вы- полнить, непрерывно поворачивая тело вокруг некоторой оси. Несобствен- ные вращения, для которых det R = −1, выполнить непрерывно, вращая тело, нельзя, т. к. при непрерывном вращении матрица R меняется непре- рывно, непрерывно меняется и det R, а значит определитель не сможет пе- репрыгнуть от значения +1 = det E к значению −1. Несобственные враще- ния представляют собой комбинации собственных вращений и зеркальных отражений. Топология вращений (л) Группа O(3) состоит из двух связных кусков: SO(3) — группа собствен- ных поворотов, и ˆ P SO(3) (напомним, ˆ P — оператор пространственной ин- версии 11.4.2 — отражение по всем тр¨ем осям, здесь пока можно считать, что ˆ P = −E) — несобственные повороты (группу не образуют, т. к. (−1) 2 = = +1 произведение двух несобственных поворотов всегда да¨ет собствен- ный). Группы O(3) и SO(3) тр¨ехмерны: их можно параметризовать тремя непрерывными параметрами. SO(3) параметризуется заданием вектора вдоль оси поворота (направ- ление вектора выбираем по правилу правого винта), длина которого равна углу поворота. Углы поворота можно брать в диапазоне [0, π]. При этом поворот на π вокруг вектора n и вокруг вектора −n — это одинаковые повороты, поэтому их надо отождествить. Таким образом, мы параметризовали все собственные вращения точ- ками тр¨ехмерного шара радиуса π, при этом диаметральные точки на по- верхности сферы описывают одинаковые повороты и должны быть попарно отождествлены. Мы получили, что группа SO(3) имеет топологию проективного про- странства — топологию тр¨ехмерного шара, у которого склеены (отождеств- лены) диаметральные точки на границе. Топологически группа O(3) состоит из двух несвязанных кусков, каж- дый из которых устроен как SO(3). 15.1. Г РУППА ВРАЩЕНИЙ 417 Генераторы вращений (л) Собственные вращения могут быть представлены как матричные экс- поненты от генераторов вращений. Поскольку пространство поворотов тр¨ехмерно, у нас есть три линейно независимых генератора, например, ге- нераторы, отвечающие вращениям вокруг осей координат. Поворот на угол ϕ вокруг оси x может быть записан как действие матрицы на столбец: x = ⎛ ⎝ x y z ⎞ ⎠ = ⎛ ⎝ 1 0 0 0 cos ϕ sin ϕ 0 − sin ϕ cos ϕ ⎞ ⎠ R x (ϕ) ⎛ ⎝ x y z ⎞ ⎠ x = R x (ϕ) x = e iϕ j x x. ¯ hj x — генератор поворота вокруг оси x. Как уже упоминалось ранее (см. 11.3.2), поворот (сдвиг по обобщ¨енной угловой координате) порождается обобщ¨енным импульсом по этой координате. Для угла ϕ это момент им- пульса в проекции на ось x. Таким образом, j x — проекция момента им- пульса, дел¨енная на ¯ h (измеренная в единицах ¯ h). Обратите внимание! Мы сейчас обсуждаем групповые свойства вра- щений, но не их представления! То есть мы обсуждаем, как повороты ком- бинируются друг с другом, но пока не интересуемся тем, как они действуют на волновые функции! Представления группы вращений мы обсудим поз- же. Матрицу ij x мы можем определить, продифференцировав R x (ϕ) по углу ϕ в нуле ij x = dR x dϕ ϕ=0 = ⎛ ⎝ 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 ⎞ ⎠. Мы можем легко проверить, что экспонента от ij x воспроизводит исходную матрицу поворота, если учт¨ем, что j 3 x = j x ⇒ ∀n = 0, 1, 2, . . . j 2n+2 x = j 2 x = j 0 x = E, j 2n+1 x = j x (15.2) Это свойство относится только к представлению вращений матрицами 3 ×3! (См. также 15.4 «Спин 1».) Аналогично для других генераторов (проекций момента импульса) ij y = ⎛ ⎝ 0 0 −1 0 0 0 1 0 0 ⎞ ⎠, ij z = ⎛ ⎝ 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 ⎞ ⎠. 418 Г ЛАВА 15 Запишем теперь собственный поворот общего вида R n (ϕ) — поворот вокруг оси, задаваемой единичным вектором n на угол ϕ: R n (ϕ) = e iϕj n Здесь j n = (j, n) = n x j x + n y j y + n z j z , где j — вектор с компонента- ми (j x , j y , j z ). Мы можем вывести коммутационные соотношения для компонент момента импульса, просто посчитав коммутаторы соответствующих мат- риц 3 × 3: [j x , j y ] = ij z и циклические перестановки x, y, z. [j α , j β ] = ie αβγ j γ , α, β, γ = 1, 2, 3. (15.3) e αβγ = ⎧ ⎨ ⎩ 0, среди α, β, γ есть совпадающая пара индексов, +1, (α, β, γ) — ч¨етная перестановка (1, 2, 3), −1, (α, β, γ) — неч¨етная перестановка (1, 2, 3). По повторяющимся индексам в формуле (15.3) подразумевается суммиро- вание, впрочем, в сумме здесь (при заданных α, β) не больше одного нену- левого члена. Найденные коммутационные соотношения не зависят от представле- ния группы вращений, а характеризуют группу как таковую. Символ e αβγ зада¨ет структурные константы группы SO(3). Используя коммутационные соотношения, легко убедиться, что опера- тор квадрата момента импульса ˆ j 2 = ˆ j 2 x + ˆ j 2 y + ˆ j 2 z коммутирует со всеми генераторами: [ˆ j 2 , ˆ j α ] = 0. (15.4) В теории представлений такой оператор называется оператором Казимира и используется для нумерации представлений (для разделения переменных, пут¨ем разбиения пространства состояний на инвариантные относительно действия ˆ j α подпространства). 15.1.2. Квантовые вращения** Данный раздел призван объяснить, почему при дальнейшем изучении вращений квантовых систем мы не будем беспокоиться о том, чтобы эти вращения описывались группой собственных вращений SO(3), а будем сле- дить лишь за тем, чтобы генераторы вращений вели себя как компоненты момента импульса (чтобы алгебра Ли совпадала с алгеброй so(3)). 15.1. Г РУППА ВРАЩЕНИЙ 419 До сих пор мы рассматривали вращение как математическое преоб- разование, связывающее начальное и конечное состояния системы. Было упомянуто, что собственные повороты, в отличие от несобственных (со- держащих неч¨етное число отражений), можно осуществить непрерывно, начиная с тождественного преобразования, т. е. это не просто преобразова- ния описания системы, а преобразования, которые можно осуществить на эксперименте. Описывая последовательность, в которой мы совершаем собственное вращение на эксперименте, как непрерывное преобразование, нам мало за- дать конечное преобразование, а надо задать непрерывную последователь- ность всех промежуточных поворотов от тождественного преобразования до конечного поворота. Представим себе, что у нас имеется ряд одинаковых наблюдателей, каждый из которых пов¨ернут относительно предыдущего на малый угол (в пределе — бесконечномалый), и поворот осуществляется пут¨ем перехо- да от точки зрения одного наблюдателя к точке зрения следующего. (Мы подразумеваем, что эти наблюдатели ничего не измеряют, а лишь перепи- сывают со своей точки зрения состояние системы.) Таким образом, экспериментальная реализация вращения зада¨ется не одной точкой пространства собственных поворотов (группы SO(3)), а непрерывной кривой R(l) от тождественного преобразования E, до ко- нечного поворота R n (ϕ): R( ·) : [0, 1] → SO(3), R(0) = E, R(1) = R n (ϕ). И если мы зада¨ем вопрос о преобразовании состояния системы при реальном, провед¨енном экспериментально, повороте, то это преобразова- ние должно непрерывно зависеть не только от конечного поворота R n (ϕ), но и от всей последовательности промежуточных поворотов R(l). Таким образом, мы имеем новый набор преобразований, связанных уже не с вра- щениями, а с траекториями R(l). Тем не менее, обращаясь к нашей картине ряда наблюдателей, мы мо- жем утверждать, что физически значимые выводы последнего наблюдате- ля не должны зависеть от ориентации промежуточных наблюдателей. Это означает, что каков бы не был ряд промежуточных наблюдателей, преоб- разование от первого наблюдателя к последнему может меняться не более чем на фазовый множитель. Примем следующее упрощающее предположение: пусть конечное пре- образование не меняется при непрерывных деформациях с фиксированны- ми концами траектории R(l). Другое предположение, приводящее к тому же результату: пусть группа преобразований квантовых состояний, связанных 420 Г ЛАВА 15 с путями в пространстве вращений R(l) локально (когда траектория R(l) не выходит из малой окрестности единицы E) устроена так же, как группа SO(3), т. е. алгебра генераторов (алгебра Ли) новой группы должна совпа- дать с алгеброй Ли группы SO(3). Итак, в окрестности единицы преобразования однозначно определя- ются конечной точкой траектории R(l). Однако глобально одному элемен- ту SO(3) может соответствовать несколько разных преобразований волно- вых функций. Число таких преобразований для данного элемента SO(3) не более числа различных способов (с точностью до непрерывных деформа- ций), которыми можно провести путь до данного элемента из единицы. Если два пути R(l) с фиксированным концом деформируемы друг в друга, то, пройдя из единицы до конечной точки по первому пути, а вер- нувшись по второму, мы получим замкнутый путь (петлю) из E в E, ко- торый может быть непрерывно стянут в точку. Если две траектории с фик- сированным концом не деформируемы друг в друга, то полученная из них петля не может быть стянута в точку. Таким образом, изучение различных путей R(l) ведущих, в данную точку, сводится к изучению петель, из E в E, проходящих через данную точку R(1). Однако на связном пространстве (а SO(3) связно) при изучении стя- гиваемости петель в точку нам не важно в какую точку петля стягивается и через какую точку проходит начальная петля. Мы можем любую петлю с помощью непрерывной деформации пропустить через любую точку, если, прежде чем проходить саму петлю, сходим в эту точку и верн¨емся обратно по тому же пути (эта добавка, очевидно, стягиваема в точку). Таким обра- зом, нам достаточно исследовать непрерывные замкнутые петли, проходя- щие через E (или любую другую точку), не накладывая дополнительных условий. Классы эквивалентности таких петель (эквивалентны петли, которые непрерывно деформируемы друг в друга) образуют фундаментальную груп- пу пространства. Единичная петля — петля, стягиваемая в точку, обрат- ная петля — прохождение петли в обратном направлении, произведение петель — петля, образованная последовательным проходом сперва первой, а потом второй петли. Для пространства SO(3) (проективного пространства) фундаменталь- ная группа состоит из двух элементов: Z 2 = {+1, −1}. Элементу −1 этой группы соответствует петля, которая неч¨етное число раз пересекает поверх- ность поворота на угол π (см. 15.1.1 «Топология вращений (л)»). Другими словами, поворот на 2π не стягивается в точку, а потому может давать пре- образование состояний, отличное от тождественного, а поворот на 4π в точ - ку стягивается и должен соответствовать тождественному преобразованию. 15.2. П РЕДСТАВЛЕНИЯ ВРАЩЕНИЙ 421 Повороту на 2π может соответствовать умножение на фазовый мно- житель P . Поворот на 4π получается двухкратным повторением поворота на 2π, т. е. соответствовать умножению на P 2 , но поворот на 4π должен быть тождественным преобразованием, т. к. соответствующая петля стяги- вается в точку. Поэтому P 2 = 1, P = ±1. Выбор P = +1 соответствует исходной группе SO(3). Выбор P = −1 соответствует квантовой группе поворотов, различающей повороты на 2π и 4π. Как мы увидим далее, при изучении спина 1 2 , квантовые повороты описываются группой SU(2). 15.2. Представления вращений Теперь, получив некоторое представление о том, что такое «поворот вообще», т. е. обсудив группу вращений как абстрактную группу, посмот- рим как вращения действуют на те или иные квантовые системы, т. е. обсу- дим конкретные представления группы вращений. 15.2.1. Орбитальные моменты Рассмотрим момент импульса, связанный с движением точечной час- тицы. В классической механике момент импульса частицы зада¨ется как L = [r × p] = ⎛ ⎝ yp z − zp y zp x − xp z zp y − yp z ⎞ ⎠. Поскольку во всех компонентах L все перемножаемые координаты и им- пульсы относятся к разным осям, то проблем с упорядочением множителей не возникает, и квантовые операторы проекций момента импульса получа- ются из классических формул приписыванием шляпок. Как и раньше, при обсуждении группы поворотов и е¨е генераторов, сразу обезразмерим кван- товые моменты импульса, поделив их на ¯ h (по повторяющимся индексам снова подразумевается суммирование): ˆ l α = 1 ¯ h e αβγ ˆ x β ˆ p γ = −i e αβγ x β ∂ γ , ˆ l x = 1 ¯ h (ˆ y ˆ p z − ˆzˆp y ) = −i(y∂ z − z∂ y ), ˆ l y = 1 ¯ h (ˆ z ˆ p x − ˆxˆp z ) = −i(z∂ x − x∂ z ), 422 Г ЛАВА 15 ˆ l z = 1 ¯ h (ˆ xˆ p y − ˆyˆp x ) = −i(x∂ y − y∂ x ). Здесь мы сразу переписали операторы ˆ l α как дифференциальные операторы в координатном представлении, ∂ α = ∂ ∂x α Проверим коммутационные соотношения для компонент орбитального момента импульса ˆ l α : [ˆ l x , ˆ l y ] = 1 ¯ h 2 [ˆ y ˆ p z − ˆzˆp y , ˆ z ˆ p x − ˆxˆp z ] = = 1 ¯ h 2 ([ˆ y ˆ p z , ˆ z ˆ p x ] − [ˆyˆp z , ˆ xˆ p z ] 0 − [ˆzˆp y , ˆ z ˆ p x ] 0 +[ˆ z ˆ p y , ˆ xˆ p z ]) = = 1 ¯ h 2 (ˆ y [ˆ p z , ˆ z] ( −i¯h) ˆ p x + ˆ x [ˆ z, ˆ p z ] i¯ h ˆ p y ) = i 1 ¯ h (ˆ xˆ p y − ˆyˆp x ) = iˆ l z С помощью циклических перестановок x, y, z получаем коммутационные соотношения, совпадающие с (15.3): [ˆ l α , ˆ l β ] = i e αβγ ˆ l γ |