Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
13.6.3. Поток вероятности в присутствии электромагнитного поля* В присутствии электромагнитного поля в гамильтониане появляются скалярные и векторные потенциалы, относящиеся к тем точкам, в которых находятся заряженные частицы. Эти потенциалы выступают как фиксиро- ванные функции, если мы рассматриваем внешние поля, либо как операто- ры, если мы рассматриваем квантованные поля. Скалярный потенциал к потенциальной энергии частицы с номером a да¨ет добавку e a ϕ(r a ). Векторный потенциал изменяет выражение для ки- нетической энергии, заменяя импульс на более сложное выражение ˆ p a → → ˆp a − e a c A(r a ): ˆ H = a 1 2m a ˆ p a − e a c A(r a ) 2 + U (Q) + a e a ϕ(r a ). (13.47) Тем не менее, мы можем использовать для плотности потока вероятности прежнее выражение (13.46), если переопределим оператор скорости ˆ v a = dˆ r a dt = 1 m a ˆ p a − e a c A(r a ) . Такое переопределение соответствует связи между импульсом и скоростью в классическом случае. Мы можем рассматривать модификацию гамильтониана в присутствии векторного потенциала как удлинение производной: ˆ p a → ˆp a − e a c A(r a ), ∇ a → ∇ A a = ∇ a − ie a c¯ h A(r a ), удлин¨енная производная называется также ковариантной производной. Ана- логичная модификация производной применяется в теориях калибровочных полей. 13.7. О Т МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ К ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ ** 395 13.6.4. Почему координатное представление?** Почему при выводе уравнения непрерывности для вероятности мы ограничились координатным представлением? Во-первых, для того, чтобы писать уравнение непрерывности, надо, чтобы спектр наблюдаемых, которые выбраны как аргументы волновой функции, был непрерывным. Во-вторых, необходимо, чтобы под действием гамильтониана выбран- ные переменные менялись непрерывно со временем. Для рассмотренных выше гамильтонианов это обеспечивается диагональностью потенциальной энергии, которая уходит из уравнения непрерывности вне зависимости от своего конкретного вида, и конкретным видом кинетической энергии. Если, например, рассматривать импульсное представление, то при вы- воде кинетическая энергия сократится, но станет существенной конкретная форма потенциала U ( ˆ Q). В случае общего положения потенциал в импульс- ном представлении действует на волновую функцию св¨ерткой U ( ˆ Q)ψ(p) = ˜ U (p − p ) ψ(p ) dp . В общем случае эта операция нелокальна, и мы вообще не можем записать стандартное (с локальной плотностью потока) уравнение непрерывности в импульсном пространстве. Тем не менее, если потенциал хорошо разлагается в ряд Тейлора (ра- диус сходимости покрывает область допустимых импульсов), то он оказы- вается дифференциальным оператором U i¯ h ∂ ∂p = N n=0 ∂ n U ∂Q n Q=0 i¯ h ∂ ∂p n В этом случае мы можем записать уравнение непрерывности в импульсном пространстве, но плотность потока вероятности зависит от вида потенциала и содержит производные от волновой функции вплоть до порядка N − 1. При N = ∞ выражение для плотности потока вероятности может оказаться нелокальным (невыразимым через переменные в данной точке импульсного пространства). 13.7. От матрицы плотности к плотности вероятности** Смешанное состояние системы в классической теории описывается распределением вероятности в 2N -мерном фазовом пространстве (q, p), 396 Г ЛАВА 13 а в квантовой теории — матрицей плотности ˆ ρ. Однако запись матрицы плотности в виде функции ρ(q 1 , q 2 ) = q 1 |ˆρ|q 2 , ρ(p 1 , p 2 ) = p 1 |ˆρ|p 2 мало похожа на функцию распределения, т. к. оба аргумента оказываются одного сорта, а, кроме того, функция оказывается, как правило, комплекс- ной. Квантовый аналог распределения вероятностей называет функция Виг- нера и определяется с помощью преобразования Фурье координатного представления матрицы плотности по разности аргументов: W (q, p) = 1 (2π¯ h) N ρ(q − x/2, q + x/2) e i ¯ h px d N x. (13.48) Рис. 13.6. Юджин Вигнер (1902–1995). Рис. 13.7. Владимир Ива- новичМанько. Функция Вигнера во многом похожа на клас- сическую функцию распределения. Она веще- ственна, это легко видеть, т. к. при комплексном сопряжении x в подынтегральном выражении ме- няет знак. Интегрирование функции Вигнера по одному из наборов аргументов позволяет полу- чить распределение вероятности по другому на- бору аргументов (проверьте!): ρ(q, q) = W (p, q) d N p, ρ(p, p) = W (p, q) d N q. Однако функция Вигнера не может рассматри- ваться как совместное распределение вероятнос- тей по координатам и импульсам, потому что для некоторых состояний она может принимать отри- цательные значения. При переходе от квантовой механике к клас- сической распределение вероятностей (q, p) по- лучается из сглаженной функции Вигнера, при этом сглаживание должно размывать функцию Вигнера примерно на соотношение неопре- дел¨енностей, т. е. усреднять надо по фазовому объ¨ему порядка (2π¯ h) N 13.7. О Т МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ К ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ ** 397 Функцию Вигнера можно записать как среднее от зависящего от пара- метров q, p эрмитового оператора ˆ A(q, p): ˆ A(q, p) = 1 (2π¯ h) N |q + x/2 e i ¯ h px q − x/2| d N x, ˆ q α |q = q α |q , q |q = δ N (q − q ), W (q, p) = ˆ A(q, p) ρ = tr( ˆ A(q, p) ˆ ρ). (13.49) Интегрируя функцию Вигнера по разным направлениям в фазовом пространстве, можно получить распределения вероятностей по всевозмож- ным переменным q или p, таким, что они получаются из переменных q, p произвольным линейным каноническим преобразованием. w(X, μ, ν) = W (q, p) d N (μq + νp), (13.50) здесь μ и ν — матрицы N × N, такие, ч то rank(μ, ν) = N. Компоненты ˆ X и ˆ p = μˆ q + ν ˆ p связаны каноническими коммутационными соотношениями: [ ˆ X α , ˆ p β ] = i¯ hδ αβ , α, β = 1, . . . , N. Переход (13.50) от функции Вигнера W (q, p) к функции w(X, μ, ν) назы- вается преобразованием Радона, а сама функция w(X, μ, ν) — квантовой томограммой. Преобразование Радона обратимо, так что по томограмме можно вос- становить функцию Вигнера и матрицу плотности, т. е. томограмма — дру- гое представление смешанного состояния квантовой системы. Томограмма имеет хороший физический смысл: она зада¨ет распределения вероятностей для всевозможных линейных комбинаций координат и импульсов. Формулировка квантовой механики в терминах квантовой томогра- фии разрабатывается в настоящее время группой В. И. Манько в МФТИ и ФИАНе. Г ЛАВА 14 Симметрии-2* (группы и представления) В главе 11 «Симметрии-1» мы уже обсуждали роль симметрий в кван- товой механике. Здесь мы изучим симметрии более глубоко, введя для этого более изощр¨енный математический аппарат. Можно сказать, что ранее мы изучали эффект какой-то одной симметрии (однопараметрической группы симметрий), а теперь мы рассматриваем случай, когда симметрий много (есть нетривиальная группа симметрий). При первом чтении большую часть этой главы можно пропу- стить. При последующих прочтениях этот раздел призван дать более по- следовательный математический взгляд на симметрии в квантовой теории, в частности, на повороты и моменты импульса в тр¨ехмерном пространстве. 14.1. Группы и их представления (л) Как уже отмечалось ранее (глава 11 «Симметрии-1»), симметрия си- стемы в квантовой механике зада¨ется набором унитарных преобразований, коммутирующих с гамильтонианом системы. При этом между собой эти преобразования могут и не коммутировать. Преобразования симметрий мы можем рассматривать с двух точек зре- ния: • Как симметрии комбинируются между собой? Что получится, ес- ли последовательно выполнить преобразования симметрии ˆ U 1 и ˆ U 2 : ˆ U 2 ˆ U 1 = ? • Как симметрии действуют на интересующие нас объекты? В квантовой механике нас интересует, как операторы симметрии ˆ U действуют на векторы состояния ψ: ˆ U ψ = ? 14.2. Г РУППЫ ( Л ) 399 Первая точка зрения — теория групп. Ей посвящ¨ен раздел 14.2 «Груп- пы (л)». Вторая точка зрения — теория представлений групп (или просто: тео- рия представлений). Ей посвящ¨ен раздел 14.4 «Представления групп (л)». 14.2. Группы (л) 14.2.1. Определение и смысл (л) Группа G — множество, на котором задана следующая структура: • единичный элемент (единица) E ∈ G; • операция умножения ◦ : G×G → G, т. е. g 2 ◦g 1 = g 3 , где g 1 , g 2 , g 3 ∈ G. Умножение ∀g, g 1 , g 2 , g 3 ∈ G удовлетворяет условиям: E ◦ g = g ◦ E = g, (g 3 ◦ g 2 ) ◦ g 1 = g 3 ◦ (g 2 ◦ g 1 ); • операция взятия обратного элемента (·) −1 : G → G, т. е. ∀g ∈ G определено g −1 ∈ G. Операция взятия обратного элемента удовлетво- ряет условию g −1 ◦ g = g ◦ g −1 = E. (фл) Сразу опишем физический смысл этих понятий. Группа — набор преобразований, удовлетворяющий следующим условиям: • в группу входит единичный элемент — тождественное преобразова- ние; • если выполнить последовательно преобразования g 1 и g 2 , то получ ит- ся преобразование g 3 , также принадлежащее группе. g 3 зада¨ется как произведение преобразований g 1 и g 2 в обратном порядке (!!!): g 3 = = g 2 ◦ g 1 . Следующие свойства для преобразований выполняются ав- томатически: E ◦ g = g ◦ E = g, (g 3 ◦ g 2 ) ◦ g 1 = g 3 ◦ (g 2 ◦ g 1 ); • операция взятия обратного элемента — замена преобразования g на обратное g −1 . То есть все преобразования, входящие в группу, должны быть обратимы, прич¨ем для всякого преобразования g ∈ G, обратное преобразование также входит в группу g −1 ∈ G. Автоматич ески вы- полняется свойство g −1 ◦ g = g ◦ g −1 = E. 400 Г ЛАВА 14 Почему мы положили, что умножение преобразований соответствует их выполнению в обратном порядке? Потому что при действии оператора на состояние мы пишем оператор слева от состояния: ˆ Aψ. Если на результат подействовать ещ¨е одним оператором, то получится ˆ B ˆ Aψ и мы получ или слева от ψ комбинацию ˆ B ˆ A, в которой операторы написаны в обратном по- рядке, по сравнению с тем порядком, в котором они действуют. Естествен- но считать, что и групповое умножение преобразований выполняется в том же порядке. Это позволяет опускать значок « ◦», обозначающий групповое умножение. Может показаться, что группа, определ¨енная как набор преобразова- ний, — частный случай группы вообще, однако это не так. Любая группа может быть представлена как группа преобразований самой себя: элемент группы g преобразует группу с помощью умножения слева (левых сдвигов) g : G → G g : h → g ◦ h, ∀g, h ∈ G. (14.1) В теории групп естественно рассматривать отображение f : G → H группы G на группу H, при котором сохраняется групповая структура, т. е. f (E G ) = E H , ∀g 1 , g 2 ∈ G, f(g 1 ) ◦f(g 2 ) = f (g 1 ◦g 2 ), f (g −1 1 ) = f (g 1 ) −1 (14.2) Такое отображение называется гомоморфизм (гомоморфное отображение). Иногда реальная группа симметрий оказывается не той группой, ко- торую мы ожидали с самого начала, а е¨е гомоморфным отображением. Например, если у нас есть симметрия, относительно группы поворотов, а рассматриваемые состояния тождественно переходят в себя при любом повороте, то симметрия таких состояний описывается не группой поворо- тов, а группой из одного тождественного преобразования. Если гомоморфное отображение является ещ¨е и взаимнооднозначным, то оно называется изоморфизмом, а группы G и H считаются одинаковыми (изоморфными). Изоморфизм обозначается так: G H. Одинаковые (изоморфные) группы могут быть по-разному представ- лены как группы преобразований. В теории групп изучаются свойства, не зависящие от изоморфного представления группы, как группы преобразо- ваний. Таким образом, с точки зрения теории групп, группа преобразова- ний по сравнению с абстрактной группой наделена «лишней» структурой, которая зада¨ет действие элементов группы как преобразований некоторого пространства. Различные представления группы как группы преобразова- ний изучаются теорией представлений. 14.2. Г РУППЫ ( Л ) 401 14.2.2. Коммутативность и некоммутативность (л) Коммутативными (абелевыми) называются группы, для которых ре- зультат умножения не зависит от порядка множителей: ∀g 1 , g 2 ∈ G g 1 ◦ g 2 = g 2 ◦ g 1 Для абелевых групп групповую операцию могут называть не умножением, а сложением, а единичный элемент не единицей, а нул¨ем. Для того, чтобы определить насколько данные элементы группы ком- мутируют или не коммутируют друг с другом вводят такой объект, как груп- повой коммутатор g 1 ◦ g 2 ◦ g −1 1 ◦ g −1 2 Если данные элементы группы коммутируют, то групповой коммутатор ра- вен единичному элементу E. Для абстрактной группы мы не можем опре- делить матричный коммутатор [g 1 , g 2 ] = g 1 g 2 − g 2 g 1 , т. к. для элементов группы не определено вычитание. (ф) Для квантовой механики коммутативная группа симметрии наи- более проста: гамильтониан коммутирует одновременно со всеми преоб- разованиями группы, а преобразования коммутируют между собой. Таким образом, все групповые преобразования и гамильтониан можно диагонали- зовать одновременно. 14.2.3. Подгруппы (л) Подгруппой H группы G называется е¨е подмножество, замкнутое от- носительно групповых операций группы G, т. е. ∀g, h ∈ H ⊂ G, E, g −1 , g ◦ h ∈ H. Таким образом, подгруппа H ⊂ G тоже является группой, прич¨ем группо- вые операции в ней те же, что и в G. (ф) Если первоначальная симметрия системы нарушается добавлением в гамильтониан лишнего члена, то новый гамильтониан имеет уже мень- шую симметрию, задаваемую уже не исходной группой, а какой-то е¨е под- группой. Например, если первоначально мы имеем частицу в сферичес- ки симметричном потенциале (атом), то симметрия системы описывается группой вращений. Если мы поместим атом во внешнее поле, то направ- ление поля задаст в пространстве выделенное направление и в результате сохранятся только те симметрии из первоначальной группы, которые пере- водят это направление в себя. То есть от первоначальной группы всех пово- ротов SO(3) останется подгруппа поворотов относительно фиксированной оси SO(2) ⊂ SO(3). 402 Г ЛАВА 14 Задание подгруппы H позволяет разбить группу G на левые и правые классы эквивалентности: ∀g 0 ∈ G [g 0 ] л = g 0 H = {g ∈ G|g = g 0 ◦ h, h ∈ H}, [g 0 ] п = Hg 0 = {g ∈ G|g = h ◦ g 0 , h ∈ H}, g 0 ∈ [g 0 ] л,п называют представителем класса эквивалентности. Множество левых классов эквивалентности G/H и множество правых классов эквивалентности H \ G для произвольной подгруппы H могут не быть группами и не совпадать. Среди подгрупп особенно важны подгруппы, удовлетворяющие усло- вию ∀g ∈ G g −1 Hg = H — нормальные подгруппы. Нормальная подгруппа может также называться инвариантной подгруппой, или нормальным делителем группы. У коммутативной группы все подгруппы являются нормальными. Нормальность подгруппы — необходимое и достаточное условие того, что левые и правые классы эквивалентности совпадают H \ G = G/H. В этом случае на них вводится групповая структура: E G/H = [E], [g] −1 = [g −1 ], [g 1 ] ◦ [g 2 ] = [g 1 ◦ g 2 ]. Результат операции не зависит от того, какой представитель класса эквива- лентности мы используем. Получившаяся подгруппа называется фактор- группой группы G по модулю нормальной подгруппы H и обозначает- ся G/H. Всякая группа G имеет, по крайней мере, две нормальных подгруппы: всю группу G и подгруппу, состоящую из единицы {E} (тривиальная под- группа). Если других нормальных подгрупп нет, то такая группа называется простой группой. Если задан некоторый гомоморфизм (14.2) f : G → L, то множество всех элементов, отображающихся на единицу группы L, называют ядром гомоморфизма: f −1 (E L ) = {g ∈ G|f(g) = E L }. Легко проверяется, что ядро f −1 (E L ) всегда является нормальной подгруп- пой группы G. 14.2. Г РУППЫ ( Л ) 403 Теорема о гомоморфизме 1 : Пусть задан гомоморфизм f : G → L, тогда группа L изоморфна факторгруппе по ядру гомоморфизма L G/f −1 (E L ). Теорема о гомоморфизме позволяет классифицировать все возможные гомоморфизмы, если мы знаем все нормальные подгруппы данной груп- пы. ((ф): Это будет полезно при изучении теории представлений групп, а в квантовой механике нас интересуют именно представления групп сим- метрии с помощью унитарных операторов.) В частности, для простых групп гомоморфизмы бывают двух типов: (1) изоморфизмы (ядро — три- виальная подгруппа) и (2) отображения на тривиальную группу из одного элемента (ядро — вся группа). 14.2.4. Конечные группы (л) Любая группа G с конечным числом элементов |G| может быть пред- ставлена как группа перестановок не более чем |G| элементов. Такое пред- ставление реализуется, если группа действует сама на себя умножением слева. Таким образом, любая конечная группа изоморфна некоторой подгруп- пе группы всех перестановок, множества из N элементов, которая обозна- чается как S N , прич¨ем |S N | = N! |