Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
12.11.1. Классический предел (фф*) Для колебаний квантованных полей, как и для гармонического осцил- лятора, мы можем получить из соотношения неопредел¨енностей энергия– время соотношение фаза–номер уровня (12.48), которое теперь понимается как соотношение фаза волны–число частиц: δϕ · δn 1 2 Как и для гармонического осциллятора, наиболее классическими состояниями бозонного поля принято считать когерентные состояния. Прич¨ем чем больше средняя энергия (число частиц) когерентного состо- яния, тем более классическим оно является. Именно состояния, похожие на когерентные чаще всего возникают на экспериментах «сами собой», состоя- ния же с определ¨енным числом частиц, как правило, приходится специаль- но приготавливать. Например, если мы ослабим с помощью светофильтров импульс лазера так, что в н¨ем будет в среднем один фотон, то точное число фотонов в таком состоянии окажется неопредел¨енным. В некоторых опытах когерентные состояния очень хорошо умеют притворяться классическими полями, в частности при рассмотрении расщепления слабого (в среднем 362 Г ЛАВА 12 меньше 1 фотона) лазерного импульса на полупрозрачном зеркале при об- наружении фотона в одном плече вероятность обнаружения фотона во вто- ром плече не уменьшается, а увеличивается. Число фермионных возбуждений (частиц) в одном состоянии может быть только 0 или 1. Это препятствует точному определению фазы ферми- онных волн, а значит и созданию для них состояний, близких к классичес- ким. Г ЛАВА 13 Переход от квантовой механики к классической Согласно принципу соответствия (2.4 «Принцип соответствия (ф)») квантовомеханическое и классическое описания природы должны соот- ветствовать друг другу в области применимости обоих теорий, т. е. они должны давать для таких случаев согласующиеся предсказания. Это соответствие проявляется в целом ряде теорем и утверждений, некоторые из которых будут обсуждаться далее, однако было бы невер- но сводить вс¨е соответствие, например, к теореме Эренфеста. Формаль- ный предел ¯ h → 0 вовсе не исчерпывает вопроса о получении классичес- кой механики из квантовой. Соответствие квантовой механики и класси- ческой — сложный вопрос, предполагающий обращение к основам обоих теорий, включая скользкие вопросы интерпретации квантовой механики. Более того, во многих случаях заранее не ясно, в ч¨ем именно состоит соот- ветствие между двумя теориями, а также есть ли это соответствие вообще, или в каком-то вопросе две теории радикально расходятся между собой. Какой теории отдать предпочтение при таком расхождении также не всегда ясно: хотя квантовая механика более общая теория и квантовый взгляд на мир снимает многие классические проблемы, он приносит свои собствен- ные проблемы, связанные с интерпретацией квантовых загадок и парадок- сов. 13.1. Волны де Бройля. Фазовая и групповая скорость На заре квантовой теории в 1923 году Луи де Бройль предложил рас- сматривать частицу как волну с волновым вектором, выражаемым через импульс и циклической частотой, выражаемой через энергию: k = p ¯ h , ω = E ¯ h 364 Г ЛАВА 13 Постоянная Планка ¯ h является размерной константой, а следовательно мо- жет быть приравнена единице, выбором соответствующих единиц измере- ния. Таким образом, мы можем считать, что импульс и энергия — это и есть волновой вектор и циклическая частота, просто выраженные в других еди- ницах измерения. В 1927 году гипотеза де Бройля была подтверждена в экспериментах по дифракции электронов на кристалле. Волна де Бройля имеет вид e i(kr −ωt) Е¨е фазовая скорость — v ф = ω k . Однако фазовая скорость волны де Бройля не имеет физического смысла. В частности, при сдвиге нулевого уровня энергии меняется фазовая скорость. Более того, для релятивистского соот- ношения между энергией и импульсом E = p 2 c 2 + m 2 c 4 фазовая ско- рость обратно пропорциональна классической скорости и превышает ско- рость света: v ф = p 2 c 2 + m 2 c 4 p = c 2 v кл > c. Это и понятно: фаза волновой функции не влияет на вероятность обнару- жения частицы. Естественно попытаться отождествить классическую скорость с груп- повой скоростью, т. е. со скоростью, с которой перемещается волновой па- кет: 1 v гр = ∂ω ∂k Данное выражение уже не меняется при сдвиге нулевого уровня энергии, а движение волнового пакета соответствует смещению места наиболее ве- роятного обнаружения частицы, что уже может быть наблюдаемо на опыте. Если теперь переписать выражение для групповой скорости через энергию и импульс (умножить числитель и знаменатель на ¯ h), то мы полу- чим v гр = ∂E ∂p , v α = ˙ x α = ∂H(x, p) ∂p α В последнем выражении, переписанном через компоненты, легко узнать классические уравнения Гамильтона. Это позволяет определить область 1 Одномерные волновые пакеты и их групповая скорость уже рассматривались в разде- ле 6.3.6 «Волновые пакеты». 13.2. Ч ТО ТАКОЕ ФУНКЦИЯ ОТ ОПЕРАТОРОВ ? 365 применимости классической механики как область применимости прибли- жения волновых пакетов. Следует, однако, отметить, что простая замена частицы волновым па- кетом в обычном пространстве, или даже замена системы волновым па- кетом в конфигурационном пространстве, не описывает исчерпывающим образом перехода от квантовой механики к классической. Для большинства систем волновой пакет за конечное время расплыв¨ется до макроскопичес- ких размеров. Например, можно было бы ожидать, со времени своего воз- никновения планеты существенно «размазались» по орбитам вокруг Солн- ца, что плохо соотносится с классической картиной. Чтобы предотвратить это расплывание, следует время от времени включать какую-то процедуру измерения. Расплывание волновых пакетов имеет свой аналог и в классической механике (расплывание облака вероятностей), понимаемой как теория эво- люции распределений вероятностей для классической системы (см. раз- дел 2.5.1 «Вероятностная природа классической механики (ф)»). 13.2. Что такое функция от операторов? При рассмотрении соответствия между квантовой механикой и клас- сической часто встречаются выражения типа «классический гамильтони- ан, в который в качестве аргументов подставлены квантовые операторы». С точки зрения строгого математического понятия функции такое выраже- ние бессмысленно: функция — это правило, которое ставит в соответствие объекту из области определения функций объект из области е¨е значений. Для классической наблюдаемой мы можем записать: F : R N обл. определения → R обл. значений При этом конкретный способ описания соответствия значения функции значению аргумента может быть различен: явная алгебраическая формула, неявная формула (значение функции — корень алгебраического уравнения), задание в квадратурах (через определ¨енные интегралы), задание функции как решения дифференциального уравнения, задание функции таблицей значений, или графиком. Поскольку набор операторов, который нам надо подставлять в функ- цию числовых аргументов, не входит в область определения (не является набором чисел), то, строго говоря, вычислить функцию с такими аргумен- тами невозможно. 366 Г ЛАВА 13 Тем не менее, в некоторых случаях мы можем обобщить (доопре- делить) функции числовых аргументов на операторные аргументы опре- дел¨енного вида, хотя такое соответствие часто не будет взаимнооднознач- ным. 13.2.1. Степенные ряды и полиномы коммутирующих аргументов Простейший случай, с которым мы можем столкнуться, — доопреде- ление числовой функции на наборе взаимнокоммутирующих операторов. Порядок умножения таких операторов не имеет значения. Так что если ис- ходная функция зада¨ется полиномом или степенным рядом (хотя бы фор- мальным рядом), мы можем определить оператор, являющийся значением функции как ряд (полином) по степеням соответствующих операторов. Таким образом мы определяем, например, такие операторы, как • K(ˆp) = ˆ p 2 2m — кинетическая энергия, • U(ˆx) — потенциальная энергия (если функция U(x) может быть задана рядом или полиномом), • e i a ¯ h ˆ p — оператор сдвига по координате, • e −i b ¯ h ˆ q — оператор сдвига по импульсу, • e −i t ¯ h ˆ H — оператор эволюции (сдвига по времени), • e i a ¯ h ( ˆ p z +p 0 ˆ l z ) — оператор винтового сдвига. 13.2.2. Функции одновременно диагонализуемых операторов Иногда операторные аргументы задаются коммутирующими операто- рами, которые при этом ещ¨е и одновременно диагонализуемы выбором со- ответствующего базиса. Это относится к набору ˆ A k взаимнокоммутирую- щих эрмитовых, антиэрмитовых и унитарных операторов 2 2 Взаимнокоммутирующие нормальные операторы не всегда можно одновременно диагона- лизовать. Например, [ˆ x + iˆ y, ˆ p x + iˆ p y ] = 0, но операторы ˆ x + iˆ y и ˆ p x + iˆ p y одновременно не диагонализуются. Для нормальных операторов как достаточное условие одновременной диа- гонализации можно дополнительно потребовать коммутируемость сопряж¨енных операторов, или эрмитовых и антиэрмитовых частей. 13.2. Ч ТО ТАКОЕ ФУНКЦИЯ ОТ ОПЕРАТОРОВ ? 367 Для такого набора операторов мы можем доопределить более широкий набор функций. Разбиваем пространство состояний H в сумму максимальных соб- ственных подпространств нашего набора операторов ˆ A k : H = i H i (индекс i может быть как дискретным, так и непрерывным). При этом любой вектор из H i является собственным для всех опера- торов ˆ A k : ∀ψ ∈ H i , A k ψ = α ki ψ. Максимальность собственных подпространств означает, что любой общий собственный вектор операторов ˆ A k попадает в одно из подпро- странств. Мы определяем оператор-функцию F ( ˆ A k ) так, что все подпростран- ства H i являются для него собственными, с собственными числами, вы- числяемыми по собственным числам операторов ˆ A k с помощью исходной функции F : ∀ψ ∈ H i F ( ˆ A k )ψ = F (α ki )ψ. (13.1) Если функция представляет собой степенной ряд или полином, то это определение согласуется с привед¨енным выше определением через фор- мальные ряды (полиномы), но на одновременно диагонализуемых операто- рах мы можем определять функции, не разложимые в ряд, включая разрыв- ные, например, θ-функцию (ступеньку). Условие максимальности подпространств нужно только если мы имеем дело с неоднозначными функциями (корень, логарифм и т. п.). Оно гаран- тирует, что все общие собственные векторы операторов ˆ A k будут собствен- ными для оператора F ( ˆ A k ), какие бы ветви мы не выбирали на каждом подпространстве. Мы можем использовать это определение функции от оператора для определения разрывных потенциалов, проекторов на собственные подпро- странства и для проекторнозначных мер (5.3.1 «Проекторнозначная ме- ра**»). Условие максимальности собственных подпространств было важно при определении квазиимпульса (11.4.3 «Квазиимпульс*»). 13.2.3. Функции некоммутирующих аргументов Функции от некоммутирующих аргументов не могут быть доопреде- лены однозначно. Результат доопределения всегда зависит от того, какой 368 Г ЛАВА 13 именно формулой представляется исходная функция. Например, если к ис- ходной формуле прибавить член, пропорциональный коммутатору аргумен- тов, то формула будет давать те же значения на коммутирующих (в том числе числовых) аргументах, но значение на некоммутирующих аргумен- тах изменится. Функция, доопредел¨енная на эрмитовых аргументах, может не быть эрмитовой. Обычно для того, чтобы избежать этого вводится симметризо- ванное произведение ˆ a ◦ ˆb = ˆ aˆ b + ˆ bˆ a 2 , (13.2) которое по двум эрмитовым операторам снова да¨ет эрмитов. Однако и сим- метризованное произведение не устраняет неоднозначности: оно неассоци- ативно, т. е. возможна ситуация, когда ˆ a ◦ (ˆb ◦ ˆc) = (ˆa ◦ ˆb) ◦ ˆc, (13.3) поэтому результат доопределения функции может зависеть от расстановки скобок, которые были неважны для коммутирующих аргументов. Функции от некоммутирующих аргументов мы будем определять как некоторую комбинацию, построенную с помощью операций сложения, умножения на число, операторного умножения функций от коммутирую- щих аргументов (их мы обсудили выше в разделах 13.2.1 и 13.2.2). 13.2.4. Производная по операторному аргументу Для того, чтобы взять производную от функции, надо, чтобы аргумен- ту функции можно было дать бесконечномалое приращение, т. е. аргумент функции должен непрерывно меняться. Когда мы доопределяем функцию на фиксированном наборе операторов, то процедура доопределения зависит от того, какие именно операторы мы взяли в качестве аргументов, кроме то- го, эта процедура может зависеть от нашего произвола (часто дискретного произвола). В таких условиях правильнее считать, что мы имеем не опе- раторную функцию операторнозначных аргументов, а один-единственный оператор F ( ˆ A k ), который выражен через фиксированный набор операто- ров ˆ A k . Говорить о производной от операторнозначной функции по опе- раторному аргументу в данном случае, строго говоря (используя обычный смысл понятия производной), нельзя. Прежде чем определять производную по операторному аргументу, по- лезно понять, зачем вообще нам такая производная может понадобиться. 13.2. Ч ТО ТАКОЕ ФУНКЦИЯ ОТ ОПЕРАТОРОВ ? 369 В первую очередь такая производная нужна нам для того, чтобы записать квантовое обобщение уравнений Гамильтона: dp i dt = {p i , H } = −∂H ∂q i , dq i dt = {q i , H } = +∂H ∂p i , (13.4) {q i , p j } = δ ij , {q i , q j } = {p i , p j } = 0. Мы знаем, что в квантовом случае скобка Пуассона выражается через ком- мутатор: {·, ·} → 1 i¯ h [ ·, ·]. И мы хотим, чтобы квантовые уравнения Гайзенберга записывались анало- гично: dˆ p i dt = 1 i¯ h [ˆ p i , ˆ H] знаем = −∂ ˆ H ∂ ˆ q i хотим , dˆ q i dt = 1 i¯ h [ˆ q i , ˆ H] знаем = + ∂ ˆ H ∂ ˆ p i хотим , (13.5) 1 i¯ h [ˆ q i , ˆ p j ] = δ ij , [ˆ q i , ˆ q j ] = [ˆ p i , ˆ p j ] = 0. Прич¨ем, если гамильтониан представим в виде суммы кинетической и потенциальной энергии ˆ H = K(ˆ p) + U (ˆ q), которые записываются через дифференцируемые функции от координат и импульсов, то мы можем их просто формально продифференцировать (по обычным правилам диффе- ренцирования). Это возможно потому, что для коммутатора, как для производной, у нас есть линейность [ˆ x, α ˆ A + ˆ B] = α[ˆ x, ˆ A] + [ˆ x, ˆ B] и некоммутативное (порядок сомножителей имеет значение!) «правило Лейбница» (5.21): [ˆ x, ˆ A ˆ B] = [ˆ x, ˆ A] ˆ B + ˆ A[ˆ x, ˆ B]. Таким образом, если у нас есть набор пар операторов ˆ A k и ˆ B l , ком- мутатор которых да¨ет ненулевое число для операторов одной пары и нуль в противном случае [ ˆ A k , ˆ B l ] = c k δ kl , [ ˆ A k , ˆ A l ] = [ ˆ B k , ˆ B l ] = 0, то для функции этих операторов ˆ F = F ( ˆ A k , ˆ B l ) мы можем определить производные по ним: ∂F ( ˆ A k , ˆ B l ) ∂ ˆ A k = 1 c k [ ˆ F , ˆ B k ], ∂F ( ˆ A k , ˆ B l ) ∂ ˆ B k = 1 c k [ ˆ A k , ˆ F ]. (13.6) 370 Г ЛАВА 13 Эти производные линейны ∂(α ˆ A + ˆ B) ∂x = α ∂ ˆ A ∂x + ∂ ˆ B ∂x , удовлетворяют некоммутативному правилу Лейбница ∂ ˆ A ˆ B ∂ ˆ x = ∂ ˆ A ∂ ˆ x ˆ B + ˆ A ∂ ˆ B ∂ ˆ x и соответствуют обычным формальным производным благодаря свойству ∂ ˆ x i ∂ ˆ x j = δ ij Если функция задана как ряд или полином от своих аргументов, то такие производные можно брать как формальные производные по правилу (проверьте через коммутаторы!) ∂ ˆ x n ∂ ˆ x = nˆ x n −1 Если задана функция F ( ˆ A k ) одновременно диагонализуемых аргумен- тов ˆ A k , то дифференцирование снова может быть выполнено формально, но уже по другому правилу: дифференцируется по соответствующему (число- вому) аргументу x k исходная (числовая) функция F (x): F k (x) = ∂F (x) ∂x k После чего в производную подставляются (в прежнем смысле) операторные аргументы: ∂F ( ˆ A) ∂ ˆ A k = F k ( ˆ A). Для функции некоммутирующих аргументов дифференцирование так- же может выполняться формально, при условии, что применяется некомму- тативное правило Лейбница (с уч¨етом порядка сомножителей). Такого рода производные по операторному аргументу могут приме- няться не только по координатам и импульсам. Например, осцилляторные операторы подходят ничуть не хуже [ˆ a i , ˆ a † j ] = δ ij , [ˆ a i , ˆ a j ] = [ˆ a † i , ˆ a † j ] = 0, 13.3. Т ЕОРЕМА Э РЕНФЕСТА 371 ∂F (ˆ a, ˆ a † ) ∂ˆ a i = [ ˆ F , ˆ a † i ], ∂F (ˆ a, ˆ a † ) ∂ˆ a † i = [ˆ a i , ˆ F ]. (13.7) Формально дифференцирование операторных функций созда¨ет соб- лазн применять его без должного обоснования, однако для произвольных операторов оно может быть определено неоднозначно, возьм¨ем, например, произвольный оператор, удовлетворяющий условию ˆ I 2 = ˆ 1, ˆ I = 1 (инвер- сия, зарядовое сопряжение и т. п.). Следующая функция может быть опре- делена разными способами: F ( ˆ I) = ˆ 1 = ˆ I 2 Тогда формальная производная да¨ет разные ответы, в зависимости от спо- соба определения функции: ∂F ( ˆ I) ∂ ˆ I = ∂ˆ 1 ∂ ˆ I = 0, либо ∂F ( ˆ I) ∂ ˆ I = ∂ ˆ I 2 ∂ ˆ I = 2 ˆ I = 0. |