Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
12.7.1. Временная эволюция когерентного состояния* Для изучения временной эволюции когерентного состояния восполь- зуемся представлением Гайзенберга: |ψ z (t) = ˆ U t |ψ z , ˆ a |ψ z = z |ψ z ⇒ ˆ U t ˆ a |ψ z = ˆ U t z |ψ z = z |ψ z (t) . 6 Это называется — нормальное упорядочение. 12.7. К ОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА * 351 Мы знаем, что ˆ a г (t) = ˆ U −1 t ˆ a ˆ U t = e −iωt ˆ a, поэтому ˆ U t ˆ a |ψ z = ˆ U t ˆ a ˆ U −1 t ˆ a г ( −t) ˆ U t |ψ z |ψ z (t) = ˆ a г ( −t)|ψ z (t) = e iωt ˆ a |ψ z (t) . Таким образом, e iωt ˆ a |ψ z (t) = z |ψ z (t) ⇒ ˆa|ψ z (t) = e −iωt z |ψ z (t) . Мы получили, что исходное состояние |ψ z эволюционировало за время t в состояние |ψ z (t) , которое снова оказалось собственным для оператора ˆ a, но уже с собственным числом z(t) = e −iωt z. Средние значения координаты и импульса (вещественная и мнимой части √ 2 z) зависят от времени так же, как для классического осциллятора, при этом дисперсии координаты и импульса остаются неизменными, т. е. волновой пакет осциллирует как целое, не расплываясь. Мы получили временную эволюцию когерентного состояния с точнос- тью до зависящего от времени фазового множителя. Точную временную эволюцию когерентного состояния мы можем легко получить, разложив его по базису чисел заполнения. 12.7.2. Когерентные состояния в представлении чисел заполнения** Результаты данного подраздела можно получить более громоздким и прямолинейным пут¨ем, подставляя в уравнение для когерентного состоя- ния гармонического осциллятора (12.40) волновую функцию, разложенную по |n и исследуя рекуррентные соотношения для коэффициентов разложе- ния 7 . Однако мы нашли полезным для любознательных студентов использо- вать более изощр¨енный подход (поставив на заголовок лишнюю зв¨ездочку). Мы можем разложить произвольную волновую функцию по базисным состояниям |n = (ˆ a † ) n √ n! |0 : |ψ = ∞ n=0 c n |n = ∞ n=0 c n (ˆ a † ) n √ n! |0 = ∞ n=0 c n √ n! (ˆ a † ) n |0 = f(ˆa † ) |0 . Таким образом, волновая функция может быть представлена как результат действия на основное состояние |0 некоторой функции f от оператора ˆa † 7 Читатель может проделать эти вычисления в качестве упражнения. 352 Г ЛАВА 12 Функция f зада¨ется с помощью формального степенного ряда: f (x) = ∞ n=0 c n √ n! x n Мы можем считать, что функция f (x) является иным представлением вол- новой функции |ψ . Вопрос о сходимости ряда, который зада¨ет функ- цию f (x) при тех или иных значениях аргумента, не имеет физического смысла и нас не интересует. Единственная сходимость, которую следует требовать для f (x), — сходимость квадрата нормы волновой функции: ψ 2 = ∞ n=0 |c n | 2 = ∞ n=0 1 n! d n f (0) dx n 2 Производная здесь понимается как формальная производная ряда. Оператор ˆ a † действует на волновую функцию, представленную как f (x) пут¨ем умножения на x, а оператор ˆ a действует как ∂ ∂x 8 Таким образом, уравнение для когерентного состояния гармонического осциллятора (12.40) переписывается следующим образом: 9 ˆ a |ψ z = z |ψ z ⇒ df dx = zf. Решая это уравнение, находим: f (x) = c · e zx ⇒ |ψ z = c · e zˆ a † |0 . |ψ z = c · e zˆ a † |0 = c ∞ n=0 z n n! (ˆ a † ) n |0 = c ∞ n=0 z n √ n! |n . ψ z = |c| 2 ∞ n=0 (z ∗ z) n n! = |c| 2 e |z| 2 Теперь мы можем написать нормированное на единицу когерентное состоя- ние: |ψ z = e − |z| 2 2 · e zˆ a † |0 . (12.41) 8 Проверьте это. Предварительно выведите, используя (12.8), следующую формулу: [ˆ a, (ˆ a † ) n ] = n(ˆ a † ) n −1 . Мы можем также символически написать ˆ a = ∂ ∂ ˆ a † . Для сравнения см. также раздел 13.2.4 «Производная по операторному аргументу». 9 Мы также получаем ещ¨е одно доказательство отсутствия ненулевых состояний, удовлет- воряющих уравнению ˆ a † |ψ = z|ψ , которое переписывается в виде x f(x) = z f(x). 12.8. Р АЗЛОЖЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ ** 353 Используя представление Гайзенберга, мы можем теперь получить вре- менную эволюцию когерентного состояния со всеми фазовыми множителя- ми: |ψ z (t) = ˆ U t e − |z| 2 2 · e zˆ a † |0 = e − |z| 2 2 ˆ U t e zˆ a † ˆ U −1 t · ˆ U t |0 = e − |z| 2 2 e zˆ a † г ( −t) · |0 t Таким образом, используя соотношение ˆ a † г (t) = e iωt ˆ a † , находим |ψ z (t) = e − |z| 2 2 e ze −iωt ˆ a † · e −i ωt 2 |0 = e −i ωt 2 |ψ z(t) , z(t) = ze −iωt (12.42) 12.8. Разложение по когерентным состояниям** Набор когерентных состояний со всевозможными параметрами z ∈ C не является линейно независимым и выступать в роли базиса в не может. Тем не менее, рассмотрим проекцию некоторого состояния |ψ = f(ˆa † ) |0 на когерентное состояние |ψ z ∗ ψ z ∗ |ψ = ∞ n 1 =0 n 1 |e − |z| 2 2 z n 1 √ n 1 ! ∞ n 2 =0 d n 2 f dx n 2 x=0 √ n 2 ! |n 2 = = e − |z| 2 2 ∞ n=0 d n f dx n x=0 z n n! , ψ z ∗ |ψ = e − |z| 2 2 f (z) (12.43) — это амплитуда вероятности того, что находившаяся в состоянии ψ систе- ма будет найдена в когерентном состоянии ψ z ∗ . Таким образом, введ¨енная ранее аналитическая функция комплексного аргумента f (z) приобрела фи- зический смысл. Комплексный аргумент z выражается через средние значения обезраз- меренных координаты и импульса в когерентном состоянии ψ z ∗ , ч то соот- ветствует представлению оператора ˆ a † через соответствующие операторы: z = Q − iP √ 2 , ˆ a † = ˆ Q − i ˆ P √ 2 354 Г ЛАВА 12 Обозначим |f = f(ˆa † ) |0 . Скалярное произведение должно быть определено так, чтобы выпол- нялось условие ортонормированности базиса стационарных состояний гар- монического осциллятора: n 2 |n 1 = z n 2 √ n 2 ! z n 1 √ n 1 ! = δ n 2 n 1 В терминах функций f скалярное произведение может быть записано как интеграл по комплексной плоскости: f 2 |f 1 = 1 π C f ∗ 2 (z) f 1 (z) e −|z| 2 dz dz ∗ (12.44) Мы видим, что между функциями комплексного аргумента z вида F (z) = 1 √ π e − |z| 2 2 f (z) и волновыми функциями ψ(x) = x |f(ˆa † ) |0 ∈ L 2 ( R) имеется взаимно-однозначное соответствие. Функция F (z) = F Q − iP √ 2 похожа на невозможный в квантовой механике объект: волновую функцию, зависящую одновременно от коорди- наты и соответствующего импульса. Запишем матричные элементы от операторов ˆ a † = z и ˆ a = d dz : F 2 |ˆa † |F 1 = C F ∗ 2 (z) z F 1 (z) dz dz ∗ F 2 |ˆa|F 1 = 1 π C e −zz ∗ f ∗ 2 (z) d dz f 1 (z) dz dz ∗ = C F ∗ 2 (z) z ∗ F 1 (z) dz dz ∗ В последнем выражении интеграл по z взят по частям, с уч¨етом того, что df ∗ 2 dz = 0, de −zz ∗ dz = z ∗ e −zz ∗ Аналогичную формулу можно получить для любого произведения опе- раторов ˆ a и ˆ a † , в котором множители упорядочены антинормальным упо- рядочением: сначала идут все множители ˆ a, а потом — ˆ a † F 2 |ˆa n 2 ˆ a †n 1 |F 1 = C F ∗ 2 (z) z ∗n 2 z n 1 F 1 (z) dz dz ∗ 12.8. Р АЗЛОЖЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ ** 355 Также и для произвольной антинормально упорядоченной функции A(ˆ a, ˆ a † ) 10 имеем F 2 |A(ˆa, ˆa † ) |F 1 = C F ∗ 2 (z) A(z ∗ , z) F 1 (z) dz dz ∗ В частности для средних значений (диагональных матричных элементов) мы получаем такое выражение, как если бы функция |F (z)| 2 была плот- ность вероятности на комплексной плоскости z, т. е. совместным распреде- лением вероятности по координате Q = √ 2Re z и импульсу P = − √ 2Im z: F |A(ˆa, ˆa † ) |F = C |F (z)| 2 A(z ∗ , z) dz dz ∗ Функция |F (z)| 2 , как и полагается настоящей плотности вероятности неот- рицательна и нормирована на единицу. При вс¨ем сходстве с обычными волновыми функциями ψ(x), функ- ция F (z) имеет ряд существенных отличий. • Волновая функция ψ(x) зада¨ет амплитуды вероятностей для разных взаимоисключающих значений координаты x, а функция √ πF (z) за- да¨ет амплитуды вероятностей для когерентных состояний, которые не только не ортогональны, но даже не являются линейно независимы- ми 11 – Аргумент функции ψ(x) — вещественный, а функции F (z) — ком- плексный. – Чтобы задать волновую функцию ψ(x), надо определить е¨е зна- чения на множестве всюду плотном на R. – Чтобы задать функции F (z), достаточно задать е¨е значения на сходящейся последовательности различных точек. Это возмож- но поскольку F (z) определяется через аналитическую функ- цию f (z). 10 При разложении функции A(ˆ a, ˆ a † ) по степеням операторов ˆ a и ˆ a † каждый член разложе- ния должен быть антинормально упорядочен. 11 Система когерентных состояний ψ z является ортоподобной, т.е. C |ψ z ψ z | dz dz ∗ = = const · ˆ1 = ˆ1. Константа для нормированных когерентных состояний равна π. В силу этого ψ 2 |ψ 1 = 1 π C ψ 2 |ψ z ∗ ψ z ∗ |ψ 1 dz dz ∗ , что совпадает с уравнением (12.44). 356 Г ЛАВА 12 • Хотя функция |F (z)| 2 очень похожа на распределение вероятностей по z, она таковым не является. Однако, она становится распределени- ем вероятности по z в классическом пределе, т. е. для состояний и во- просов, для которых эффектом антинормального упорядочения можно пренебречь. 12.9. Сжатые состояния** Рассмотренные выше, в разделе 12.7, когерентные состояния гармони- ческого осциллятора не исчерпывают всех возможных когерентных состо- яний для пары операторов координата-импульс (см. раздел 7.2.3). Общее когерентное состояние для пары операторов координата-импульс должно удовлетворять уравнению (ˆ x + iγ ˆ p) |ψ zγ = z |ψ zγ , в котором параметры z ∈ C и γ > 0 могут быть выбраны произвольными. Однако когерентные состояния гармонического осциллятора ограниченны случаем фиксированного γ = x 0 p 0 = 1 mω (см. (12.5)). Такие состояния все получаются сдвигом по координате и импульсу гауссова распределения (ос- новного состояния) с фиксированной шириной. Мы можем рассмотреть когерентные состояния с другими значения- ми γ, которым будут соответствовать гауссовы распределения более или менее широкие, чем для основного состояния осциллятора. Такие состоя- ния называют сжатыми состояниями гармонического осциллятора 12 Сжатые состояния могут быть получены из когерентных изменением масштаба (растяжением или сжатием) по координате (масштаб по импульсу меняется автоматически так, чтобы продолжало выполняться соотношение x 0 p 0 = ¯ h). Удобно построить оператор сжатия, действие которого позволяло бы проводить соответствующее изменение масштаба. Сжатие по координате x соответствует сдвигу по ln |x|. Таким образом, генератор соответствующего преобразования должен иметь вид: ˆ G 0 = −i¯h ∂ ∂ ln |x| = −i¯hx ∂ ∂x = ˆ xˆ p. (12.45) 12 Название связано с тем, что распределение по координате или по импульсу для такого состояния может оказаться более узким (сжатым), чем для основного состояния осциллятора. 12.9. С ЖАТЫЕ СОСТОЯНИЯ ** 357 Данный оператор, однако, не является эрмитовым, а следовательно, экспо- нента от него e i ¯ h k ˆ G 0 , e i ¯ h k ˆ G 0 ψ(x) = ψ(e k x) не будет унитарным оператором. Это связано с тем, что при сжатии в e k раз по x во столько же раз уменьшается квадрат нормы ψ 2 . Для того чтобы сделать оператор унитарным, можно добавить к генератору ˆ G 0 константу с таким расч¨етом, чтобы новый оператор оказался эрмитовым: ˆ G = −i¯h x ∂ ∂x + 1 2 = ˆ xˆ p − i¯h 2 = 1 2 [ˆ x, ˆ p] + = = 1 2 (ˆ xˆ p + ˆ pˆ x) = −i¯h ˆ a 2 − (ˆa † ) 2 2 (12.46) Экспонента от эрмитового оператора автоматически оказывается унитар- ной: ˆ D k = e i ¯ h k ˆ G = e k 2 ( ˆ a 2 −(ˆa † ) 2 ) , ˆ D k ψ(x) = e k 2 ψ(e k x). (12.47) Как эволюционирует сжатое состояние, по сравнению с исходным? Пусть |ψ k = ˆ D k |ψ , |ψ k (t) = ˆ U t |ψ k = ˆ U t ˆ D k |ψ = ˆ U t ˆ D k ˆ U −1 t ˆ U t |ψ = ( ˆ D k ) г ( −t)|ψ(t) , ( ˆ D k ) г ( −t) = e k 2 ( ˆ a 2 г ( −t)−(ˆa † г ( −t)) 2 ) = e k 2 ( e 2iωt ˆ a 2 −e −2iωt (ˆ a † ) 2 ) = = e ke 2iωt 2 ( ˆ a 2 −e −4iωt (ˆ a † ) 2 ) Таким образом, каждые 1 4 периода колебаний осциллятора меняется знак k, т. е. сжатие по координате (и растяжение по импульсу) сменяется растяже- нием по координате (и сжатием по импульсу). Средние значения координаты и импульса, как и для любых волновых функций гармонического осциллятора, колеблются как в классике (12.39). В моменты времени, не кратные четверти периода, сжатое состояние уже не когерентное для пары наблюдаемых координата-импульс, но оказы- вается когерентным для пары ˆ Q г ( −t) = cos(ωt) ˆ Q − sin(ωt) ˆ P , ˆ P г ( −t) = sin(ωt) ˆ Q + cos(ωt) ˆ P . 358 Г ЛАВА 12 12.10. Классический предел* Как получить из квантового осциллятора классический? Мы уже уста- новили, что средние значения координаты и импульса для произвольного квантового состояния гармонического осциллятора эволюционируют точно так же, как и в классике (12.39). Однако какие из квантовых состояний наиболее похожи на классические? Для стационарных состояний с любой энергией Q(t) = P (t) = 0, Q 2 (t) = P 2 (t) = n + 1 2 , E = E n = = ¯ hω(n + 1 2 ). В классическом пределе постоянную планка ¯ h можно считать малой (n велико) и мы можем пренебречь добавкой 1 2 в формулах для энергии и средних квадратов. Основному состоянию (n = 0) можно сопоставить состояние равнове- сия классического осциллятора, а возбужд¨енным состояниям — классичес- кие состояния с неизвестной фазой колебаний: мы знаем, что осциллятор колеблется с определ¨енной амплитудой Q 2 (t) = P 2 (t) , но не зна- ем с какой фазой происходят колебания. Из-за этого незнания координата и импульс усредняются по периоду и их средние значения обнуляются. Определение фазы колебания — это определение времени: ϕ = ωt. Со- отношение неопредел¨енностей энергия-время (2.2) может быть переписано как соотношение фаза-уровень: δt · δE = δϕ ω · δE ¯ h 2 ⇔ δϕ · δn 1 2 (12.48) Таким образом, чтобы хотя бы приближ¨енно определить фазу колеба- ний, нам необходимо пожертвовать точным определением энергии. Наиболее классическими состояниями осциллятора принято считать когерентные состояния, поскольку для них неопредел¨енности координаты и импульса минимальны и не зависят от времени δQ 2 (t) = δP 2 (t) = 1 2 При этом чем больше средняя энергия когерентного состояния, тем более классическим оно является. 12.11. Квантованные поля (ф*) Классическая теория поля может рассматриваться как теоретическая механика систем, с бесконечным числом степеней свободы. При этом зна- чение поля в каждой точке пространства (или каждая Фурье-компонента поля) может рассматриваться как обобщ¨енная координата. 12.11. К ВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ ( Ф *) 359 Квантовая теория поля соотносится с классической теорией поля точно так же, как квантовая механика соотносится с теоретической механикой систем, с конечным числом степеней свободы. Квантовая теория поля — теория с переменным числом частиц, по- скольку частицы в ней выступают в роли возбуждений поля. Мы обяза- ны рассматривать частицы в качестве возбуждений соответствующих полей в тех случаях, когда характерные энергии становятся сравнимы с энергиями покоя частиц, а это, в частности, означает, что корректная релятивистская квантовая механика может быть построена только в рамках квантовой тео- рии поля. Если мы рассматриваем поле свободных (т. е. ни с кем не взаимодей- ствующих) частиц, то обычно поле заключается в ящик L x × L y × L z с пе- риодическими граничными условиями и разлагается в ряд Фурье. Каждому разреш¨енному (при данных размерах ящика) волновому вектору ставится в соответствие количество степеней свободы K, равное числу поляриза- ций у частиц рассматриваемого сорта. После этого пишется гамильтониан квантованного поля, состоящий из суммы членов, описывающих все эти степени свободы: ˆ H = k,σ ˆ H kσ , k = 2π L x N x , 2π L y N y , 2π L z N z , N x , N y , N z ∈ Z, σ = 1, . . . , K. Взаимодействие частиц описывается с помощью добавления в гамиль- тониан членов, содержащих переменные, относящиеся к разным состояни- ям частиц. Вид гамильтониана ˆ H k,σ зависит от того, является ли рассматривае- мое поле бозонным или фермионным. Для бозонных полей (например, для электромагнитного поля) надо взять гамильтониан гармонического осцил- лятора ˆ H k,σ = ¯ hω k,σ 1 2 ( ˆ P 2 k,σ + ˆ Q 2 k,σ ) = ¯ hω k,σ (ˆ a † k,σ ˆ a k,σ + 1 2 ). Операторы ˆ a † k,σ и ˆ a k,σ оказываются операторами рождения и уничтожения частицы (кванта поля, для электромагнитного поля — фотона) в состоянии с волновым вектором k (т. е. с импульсом p k = ¯ hk), энергией ε k,σ = ¯ hω k,σ и поляризацией σ. Оператор ˆ N k,σ = ˆ a † k,σ ˆ a k,σ оказывается оператором числа частиц с волновым вектором k и поляризацией σ. Через операторы ˆ N k,σ 360 Г ЛАВА 12 легко записываются такие величины, как общее число частиц ˆ N = k,σ ˆ N kσ , общая энергия ˆ H = k,σ ε kσ ( ˆ N kσ + 1 2 ) = k,σ ¯ hω kσ ( ˆ N kσ + 1 2 ), общий импульс ˆ p = k,σ p kσ ˆ N kσ Общая энергия оказывается ненулевой даже в отсутствие частиц (такое сос- тояние называют вакуумом) E 0 = 1 2 k,σ ¯ hω kσ , эту энергию называют энергией нулевых колебаний вакуума (или просто — энергия вакуума). Более того, энергия вакуума, как правило, оказывается бесконечной (одна из знаменитых расходимостей квантовой теории поля). Однако обычно эту энергию просто отбрасывают, используя модифициро- ванный гамильтониан ˆ H k,σ = k,σ ¯ hω k,σ ˆ a † k,σ ˆ a k,σ В большинстве случаев нас интересуют не абсолютные значения энергий, а изменение энергии, поэтому мы можем вычесть из энергии произвольную (хотя и бесконечную) константу. Однако энергия нулевых колебаний вакуу- ма проявляется на эксперименте в виде эффекта Казимира, за сч¨ет которо- го две параллельные проводящие пластинки притягиваются. Это притяже- ние вызвано зависимостью E 0 для нулевых колебаний электромагнитного поля от размера ящика (т. е. от расстояния между пластинами). Также энергия вакуума должна быть существенна для гравитационных эффектов, в общей теории относительности она может давать вклад в кос- мологическую постоянную. Для фермионных полей гамильтонианы ˆ H k,σ действуют на двумерных пространствах состояний и имеют два уровня с энергией ε 0 (нет частицы) 12.11. К ВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ ( Ф *) 361 и с энергией ε 0 + ¯ hω k,σ (есть частица). Тем самым автоматически запреща- ется существование двух фермионов в одном состоянии. Для фермионов также вводятся операторы рождения и уничтожения, но для этих операторов коммутационные соотношения заменяются на ан- тикоммутационные, которые нами пока не обсуждаются. Рассмотрение кристаллической реш¨етки очень похоже на рассмотре- ние поля, с той разницей, что значения поля задаются не во всех точках, а только в узлах реш¨етки, а допустимые значения волнового вектора оказы- ваются обрезаны сверху значениями порядка 2π a , где a — период реш¨етки. За сч¨ет этого число степеней свободы оказывается конечным, хотя и боль- шим. Конечной оказывается и энергия нулевых колебаний. Элементарные возбуждения в этом случае считаются не частицами, а квазичастицами. Например, возбуждения (кванты) упругих (звуковых) колебаний реш¨етки называются фононами. Квазичастицы описываются с помощью того же ма- тематического аппарата, что и настоящие частицы. Для них также можно писать энергию, импульс, число частиц, операторы рождения, уничтоже- ния, распределения Бозе (для свободных бозонов) и Ферми (для свободных фермионов) и пр. |