Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
11.3.2. Обобщ¨енный импульс Пусть симметрией системы является сдвиг вдоль обобщ¨енной коор- динаты Q i на произвольную величину a. То есть оператор симметрии ˆ T a действует следующим образом: ˆ T a ψ(Q i , q) = ψ(Q i + a, q) = ψ(Q i , q) + a ∂ ∂Q i ψ(Q i , q) + · · · + + 1 n! a ∂ ∂Q i n ψ(Q i , q) + · · · . (11.10) Здесь состояние ψ записано как волновая функция, аргументами которой являются координата Q i и некоторый набор физических величин q, обра- зующий вместе с Q i полный набор независимых переменных. Далее мы разложили волновую функцию в степенной ряд по параметру a. Срав- нив ˆ T a ψ(Q i , q) с получившимся рядом, получаем ˆ T a = ˆ 1+a ∂ ∂Q i + · · ·+ 1 n! a ∂ ∂Q i n + · · · = e a ∂ ∂Q i = e i ¯ h a −i¯h ∂ ∂Q i = e i ¯ h a ˆ P i (11.11) 3 Описанная симметрия и отвечающий ей «закон сохранения» представляются тривиаль- ными и малоинтересными, но после некоторой модификации они окажутся интересными для систем с переменным числом частиц с точки зрения сохранения заряда. 312 Г ЛАВА 11 Здесь мы ввели обозначение для оператора обобщ¨енного импульса вдоль координаты Q i ˆ P i = −i¯h ∂ ∂Q i = −i¯h ∂ ˆ T a ∂a a=0 (11.12) Для обычной декартовой координаты в роли обобщ¨енного импульса выступает проекция обыкновенного механического импульса на выбран- ную ось. Для угла поворота вокруг некоторой оси в роли обобщ¨енного импульса выступит проекция момента импульса на данную ось. Собственные функции для оператора (11.12) зависят от координаты Q i как волны де Бройля ψ p (Q i , q) = c(q) · e i ¯ h p ·Q i (11.13) Если обобщ¨енная координата Q i ∈ R, то спектр непрерывен, и собствен- ное число p пробегает всю действительную ось p ∈ R. Если координа- та Q i пробегает конечный интервал [0, Q max ] с периодическими граничны- ми условиями (например, если Q i — угол вокруг какой-либо оси, Q max = = 2π, а P i — проекция момента импульса на эту ось), то спектр оператора ˆ P i дискретен, и p ·Q max 2π¯ h ∈ Z. Устремляя Q max к бесконечности, мы можем совершить предельный переход к непрерывному спектру. Для определ¨енного таким образом обощ¨енного импульса и соответ- ствующей координаты мы можем получить коммутационное соотноше- ние [ ˆ Q, ˆ P ]: 4 [ ˆ Q, ˆ P ]ψ = ( ˆ Q ˆ P − ˆ P ˆ Q)ψ = Q −i¯h ∂ ∂Q ψ − −i¯h ∂ ∂Q (Qψ) = i¯ hψ, [ ˆ Q, ˆ P ] = i¯ h. (11.14) Мы получили коммутационное соотношение (11.14) для случая, когда вол- новая функция является функцией обобщ¨енной координаты Q, и, соответ- ственно, оператор ˆ Q сводится к умножению на Q, а оператор ˆ P записыва- ется как ˆ P = −i¯h ∂ ∂Q , однако полученный ответ может быть использован 4 На самом деле не вс¨е так просто. Область определения коммутатора [ ˆ Q, ˆ P ] включает только векторы, на которые определено действие операторов ˆ Q, ˆ P , в то время как область определения оператора умножения на число i¯ h — вс¨е пространство H. Таким образом, ком- мутатор [ ˆ Q, ˆ P ] должен быть доопредел¨ен на всех тех состояниях, которые первоначально не попали в его область определения. Такое доопределение особенно осложняется в случае периодических граничных условий по координате. Как ни странно, игра на этих «чисто ма- тематических» тонкостях позволяет получить нетривиальные физические результаты, которые мы обсудим далее. 11.3. Н ЕПРЕРЫВНЫЕ СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 313 в любом представлении пространства чистых состояний (волновых функ- ций). Если система состоит из нескольких невзаимодействующих подсистем, с одинаковой симметрией сдвига вдоль какой-то одной и той же коор- динаты, то сохраняться будут обобщ¨енные импульсы вдоль этой коорди- наты для всех подсистем и любые их комбинации. Однако, если подси- стемы взаимодействуют, то симметрия относительно сдвига только одной подсистемы может оказаться нарушенной. Сохранится же в общем слу- чае только симметрия относительно одновременного сдвига соответствую- щих координат всех подсистем на одну и ту же величину a. В этом слу- чае для системы мы имеем только один закон сохранения суммарного обобщ¨енного импульса по данной координате, отвечающий этому одно- временному сдвигу. Не теряя общности для двух подсистем, можем запи- сать: ˆ T a ψ(Q 1 i , Q 2 i , q) = ψ(Q 1 i + a, Q 2 i + a, q) = (11.15) = ψ(Q 1 i , Q 2 i , q) + a ∂ ∂Q 1 i + ∂ ∂Q 2 i ψ(Q 1 i , Q 2 i , q) + · · · + 1 n! a n ∂ ∂Q 1 i + ∂ ∂Q 2 i n ψ(Q 1 i , Q 2 i , q) + · · · . ˆ T a = e a ∂ ∂Q 1 i + ∂ ∂Q 2 i = e i ¯ h a −i¯h ∂ ∂Q 1 i −i¯h ∂ ∂Q 2 i = e i ¯ h a ˆ P i = e i ¯ h a( ˆ P 1 i + ˆ P 2 i ) (11.16) ˆ P i = ˆ P 1 i + ˆ P 2 i = −i¯h ∂ ˆ T a ∂a a=0 , (11.17) ˆ P 1 i = −i¯h ∂ ∂Q 1 i , ˆ P 2 i = −i¯h ∂ ∂Q 2 i То есть, как и в классической механике, суммарный обобщ¨енный им- пульс вдоль координаты Q i зада¨ется как сумма импульсов отдельных под- систем. 314 Г ЛАВА 11 Мы видим, что наиболее общей оказывается формула для обобщ¨енного импульса, как для генератора симметрии сдвига (трансляции) ˆ P i = −i¯h ∂ ˆ T a ∂a a=0 ⇔ ˆ T a = e i ¯ h ˆ P i a (11.18) Формула (11.18) связывает его с соответствующей однопараметрической симметрией, при этом не важно, является ли система сложной или состав- ной, в каком виде записаны волновые функции (через какие переменные они выражены) и записывается ли симметрия как сдвиг по соответствую- щим координатам (11.10), (11.15), или как-то иначе 5 11.3.3. Импульс как обобщ¨енная координата* В коммутационное соотношение (11.14) [ ˆ Q, ˆ P ] = i¯ h координата и им- пульс входят почти (с точностью до знака) симметрично. Если мы сделаем замену ˆ Q → ˆ P , ˆ P → − ˆ Q, то соотношение перейд¨ет в себя 6 Таким образом, в импульсном представлении, получаемом из коорди- натного преобразованием Фурье, операторы координаты и импульса приоб- ретают вид ˆ P = P, ˆ Q = i¯ h ∂ ∂P Отсюда следует, что оператор ˆ S b = e − i ¯ h ˆ Qb = e b ∂ ∂P является оператором сдвига по импульсу на b: ˆ S b ψ(P ) = ψ(P + b). Разумеется, определение ˆ S b = e − i ¯ h ˆ Qb как оператора сдвига по им- пульсу не зависит от того, в каком представлении мы работаем. Например, 5 В частности, именно через формулу (11.18) для поворотов вводятся операторы момента импульса с уч¨етом спина (простой сдвиг по углам позволяет «поймать» только орбитальные моменты). 6 В теоретической механике замена координат в фазовом пространстве, сохраняющая скоб- ку Пуассона, называется канонической заменой координат. 11.3. Н ЕПРЕРЫВНЫЕ СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 315 в координатном представлении оператор ˆ S b действует простым умножени- ем волновой функции ψ(Q) на волну де Бройля e − i ¯ h Qb . В частности, если волновая функция является собственной для оператора импульса, то полу- чаем ˆ S b e − i ¯ h bQ ψ p 0 (Q) 1 √ 2π e i ¯ h p0Q = ψ p 0 −b (Q) 1 √ 2π e i ¯ h (p0−b)Q Функции ψ p 0 образуют базис, таким образом мы проверили, что опера- тор ˆ Q b производит сдвиг по импульсу также и в координатном представле- нии. Если мы разлагаем потенциал ˆ U (Q) в ряд или интеграл Фурье, то мы тем самым представляем его в виде суперпозиции операторов сдвига по импульсу. Если потенциал разлагается в ряд Фурье, то для функции с периодом a получаем: ˆ U (Q) = + ∞ n= −∞ u n e i 2πn a Q = + ∞ n= −∞ u n ˆ S − 2π¯ h a n Таким образом, периодический с периодом a потенциал разлагается в линейную комбинацию сдвигов по импульсу кратных периоду обратной реш¨етки 2π¯ h a . Это означает, что импульс под действием периодического потенциала ˆ U (Q) сохраняется с точностью до целого числа периодов об- ратной реш¨етки, и если мы введ¨ем параметр, называемый квазиимпульсом q = P + 2π¯ h a n, n ∈ Z, q ∈ [0, 2π¯ h a ), то он будет сохраняться. Это утверждение называется теоремой Блоха. Мы ещ¨е раз рассмотрим эту теорему и понятие квазиимпульса ниже (11.4.3 «Квазиимпульс*»). Св¨ертка и е¨е физический смысл для потенциала и состояния В общем случае нам удобно определить преобразование Фурье сле- дующим образом: ˆ U (Q) = u(p) e i ¯ h pQ dp = u(p) ˆ S −p dp, u(p) = 1 2π¯ h U (Q) e − i ¯ h pQ dQ. 316 Г ЛАВА 11 (ф) Преобразование Фурье при таком выборе коэффициентов не является унитарным, зато оно имеет другой хороший физический смысл — разложе- ние по операторам сдвига по импульсу. Таким образом, «естественное» пре- образование Фурье для потенциалов записывается иначе, чем «естествен- ное» преобразование Фурье для волновых функций (сохраняющее скаляр- ное произведение). Действуя оператором ˆ U (Q), записанным через интеграл Фурье на вол- новую функцию в импульсном представлении, получаем ˆ U (Q)ψ(P ) = u(p) ˆ S −p ψ(P ) dp = u(p) ψ(P − p) dp. Последнее выражение называется св¨ерткой функций u(p) и ψ(P ). Св¨ертка функций в данном случае имеет физический смысл суперпозиции сдвигов состояния ψ на всевозможные импульсы −p с амплитудой u(p). Напоминаем, что в координатном представлении оператор ˆ U (Q) действует поточечным умножением волновой функции ψ(Q) на функ- цию U (Q). 11.4. Законы сохранения для ранее дискретных симметрий В классической механике мы различаем непрерывные симметрии, ко- торым соответствуют законы сохранения, и дискретные симметрии (та- кие как зеркальная симметрия), которым законов сохранения не доста¨ется. В квантовой механике дискретных симметрий нет: любой симметрии соот- ветствует некий эрмитов оператор, экспонента от которого позволяет вста- вить дискретную симметрию в непрерывную группу симметрий. Для того, чтобы поставить в соответствие унитарному оператору ˆ U сохраняющуюся наблюдаемую (и не внести при этом лишнюю симметрию), достаточно найти эрмитов оператор ˆ A, который коммутирует со всеми наб- людаемыми, с которыми коммутирует ˆ U , и только с ними. Для этого все собственные векторы оператора ˆ U , и только они, должны быть собствен- ными для оператора ˆ A. Для того, чтобы задать оператор ˆ A, достаточно задать его действие на все вектора некоторого базиса. Таким образом, если для каждого вектора некоторого базиса собственных векторов оператора ˆ U мы зададим веще- ственные собственные числа, то тем самым будет задан некоторый эрмитов оператор (коммутирующий с ˆ U ). 11.4. З АКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ РАНЕЕ ДИСКРЕТНЫХ СИММЕТРИЙ 317 Эрмитов оператор, отвечающий симметрии ˆ U , следует строить так, чтобы одинаковым собственным числам оператора ˆ U соответствовали оди- наковые собственные числа оператора ˆ A, а разным — разные. Такой опера- тор автоматически будет коммутировать/не коммутировать с теми же опе- раторами, что и ˆ U . Удобнее всего подобрать эрмитов оператор ˆ A как генератор симмет- рии, чтобы экспонента от него давала унитарный оператор: ˆ U = e iα 0 ˆ A , α 0 ∈ R. (11.19) При этом унитарный оператор оказывается элементом однопараметричес- кой группы: ˆ U = U α 0 , ˆ U α = e iα ˆ A , α 0 , α ∈ R. Собственные числа операторов ˆ U и ˆ A, соответствующие одному собствен- ному вектору номер k, связаны соотношением u k = e ia k Таким образом, значение a k определено с точностью периода 2π, поскольку e ia k = e i(a k +2πn) , n ∈ Z, но при этом если u k = u m , то следует выбирать a k = a m , чтобы не привнести лишнюю симметрию (ниже в разделе 11.4.3, при рассмотрении симметрии относительно сдвига на период, мы увидим важность этого замечания). 11.4.1. Зеркальная симметрия и не только Рассмотрим некоторый оператор ˆ I, задающий непрерывное линейное преобразование волновых функций, двухкратное повторение которого при- водит к тождественному преобразованию: ˆ I ˆ I = ˆ I 2 = ˆ 1 ⇔ ˆ I = ˆ I −1 Если этот оператор, кроме того, сохраняет скалярное произведение в про- странстве волновых функций, т. е. если ˆ I † ˆ I = ˆ 1, то он оказывается одновременно унитарным и эрмитовым: ˆ I = ˆ I −1 = ˆ I † (11.20) 318 Г ЛАВА 11 К числу таких операторов, очевидно, можно отнести оператор зеркаль- ной симметрии (оператор инверсии по координате x): ˆ I зерк.x ψ(x) = ψ( −x). Все собственные числа эрмитова оператора должны быть веществен- ны. Все собственные числа унитарного оператора должны по модулю рав- няться единице. Таким образом, оператор, который одновременно унитарен и эрмитов, может иметь в качестве собственных чисел только ±1. 7 Операторы ˆ P + = ˆ 1 + ˆ I 2 , ˆ P − = ˆ 1 − ˆI 2 оказываются проекторами на подпространства состояний, отвечающие соб- ственным числам +1 и −1 соответственно (проверьте!): ˆ P + 2 = ˆ P + , ˆ P − 2 = ˆ P − , ˆ P + ˆ P − = ˆ P − ˆ P + = 0, ˆ I( ˆ P + ψ) = +1 · ( ˆ P + ψ), ˆ I( ˆ P − ψ) = −1 · ( ˆ P + ψ). Если оператор ˆ I оказывается симметрией гамильтониана ˆ H, то (11.1) [ ˆ H, ˆ I] = 0, (11.21) и, поскольку оператор ˆ I является одновременно эрмитовым, то в качестве сохраняющейся измеряемой величины мы можем выбрать его же. Таким образом, условие (11.21) одновременно выступает в роли закона сохране- ния (11.9). Поскольку оператор ˆ I эрмитов, экспонента e iα ˆ I должна быть унитар- ным оператором: e iα ˆ I = ∞ k=0 (iα) k k! ˆ I k = ∞ l=0 (iα) 2l (2l)! ˆ I 2l + ∞ l=0 (iα) 2l+1 (2l + 1)! ˆ I 2l+1 Поскольку ˆ I 2l = ˆ 1, ˆ I 2l+1 = ˆ I, вынося за сумму операторы, получаем e iα ˆ I = ˆ 1 ∞ l=0 ( −1) l α 2l (2l)! + i ˆ I ∞ l=0 ( −1) l α 2l+1 (2l + 1)! = ˆ 1 cos α + ˆ I i sin α. (11.22) 7 Случай, когда имеется только одно собственное число, неинтересен, поскольку в этом случае оператор оказывается единичным, или минус-единичным: ±ˆ1. 11.4. З АКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ РАНЕЕ ДИСКРЕТНЫХ СИММЕТРИЙ 319 Таким образом, мы почти (с точностью до фазового множителя) вставили оператор ˆ I в однопараметрическую группу унитарных преобразований: e i0 ˆ I = ˆ 1, e i π 2 ˆ I = i ˆ I. Поскольку i = e i π 2 , мы можем модифицировать формулу так, чтобы ˆ I попал в однопараметрическую группу: e −iα · e iα ˆ I = e iα( ˆ I −ˆ1) (11.23) Теперь e i0( ˆ I −ˆ1) = ˆ 1, e i π 2 ( ˆ I −ˆ1) = e −iπ ˆ P − = ˆ I. 11.4.2. Ч¨етность* — Ну, как, Китти, хочешь жить в Зеркальном доме? Интересно, дадут тебе там молока? Впрочем, не знаю, можно ли пить зазеркальное молоко? Не повредит ли оно тебе, Китти . . . Льюис Кэрролл, «Алиса в Зазеркалье» Оператор зеркальной симметрии ˆ I зерк.x , который появился выше, обыч- но используется в одномерных задачах. Собственные функции с собствен- ным числом +1 — любые ч¨етные волновые функции, собственные функции с собственным числом −1 — любые неч¨етные волновые функции. Поэтому соответствующая физическая величина называется ч¨етностью 8 Для тр¨ехмерных многочастичных задач рассматривается оператор пространственной ч¨етности ˆ P = ˆ I зерк.x ˆ I зерк.y ˆ I зерк.z , который аналогичным образом меняет все декартовы координаты всех частиц системы 9 Многие квантовые модели (т. е. многие гамильтонианы) коммутируют с оператором ˆ P , т. е. для них выполняется законсохранения ч¨етности. Сох- ранение ч¨етности означает, что если в начальный момент времени система описывалась ч¨етной волновой функцией ( ˆ P ψ = ψ), или неч¨етной ( ˆ P ψ = = −ψ), то в последующие моменты времени ч¨етность волновой функции сохранится. 8 Помимо рассматриваемой здесь пространственной ч¨етности могут вводиться другие ве- личины, в названии которых используется слово «ч¨етность». Всем им соответствуют опера- торы, удовлетворяющие условию (11.20). При этом собственные пространства, отвечающие обоим собственным числам ( −1 и +1), бесконечномерны. 9 Вместо произведения тр¨ех отражений можно взять одно отражение и поворот на π в зер- кальной плоскости. 320 Г ЛАВА 11 Сохранение ч¨етности также означает, что состояния ψ и ˆ P ψ долж- ны вести себя одинаково (см. рассуждения в начале раздела 11.1). Иными словами, система, отраж¨енная по тр¨ем осям (или по одной оси, если есть ещ¨е изотропность, т. е. симметрия относительно поворотов), описывается теми же законами (тем же гамильтонианом), что и исходная система: смотря в зеркало, нельзя понять, что мы видим отражение, а не реальные объекты. Закон сохранения ч¨етности был введ¨ен в 1927 году Юджином Вигне- ром, и долгое время считалось очевидным, что сохранение ч¨етности долж- но быть универсальным законом природы, пока нарушение ч¨етности не было обнаружено экспериментально. Оказалось, что при слабом взаимо- действии объект и его зеркальное отражение ведут себя по-разному, в част- ности, при β-распаде рождаются исключительно антинейтрино, закручен- ные по часовой стрелке 10 (относительно направления вылета). |