Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
классическая локальная теория поля (как вариант — общая теория относительности). Естественно, такой подход (исторически восходящий к Эйнштейну) при современном уровне физики бесперспективен, поскольку в таком приближении пренебрегается как раз тем, что автор хочет описать. Грубые ошибки, допущенные далее в общей теории относительности, после этого только подч¨еркивают низкий научный уровень работы. По всей видимости этот парадокс (написание такой книги сотруд- ником уважаемого академического института) может быть объясн¨ен тем, что сам Доронин не столько физик, сколько программист, как написано на интернет-сайте Лаборатории спиновой динамики и спинового компью- тинга, в которой он работает: «С. И. Доронин владеет различными языка- ми программирования, разрабaтывает в нашей лаборатории программы для численного решения задач, в том числе параллельные программы для су- перкомпьютерных расч¨етов, проводимых в Межведомственном Суперком- пьютерном Центре (МСЦ)». Я сомневался, следует ли давать здесь ссылку на такую книгу, но решил, что подобного рода предостережение необхо- димо. Ситуация осложняется ещ¨е и тем, что ряд настоящих физиков (начи- ная, по крайней мере, с Шр¨едингера) в своих философских работах также обращается к восточной философии, а порой и к обсуждению паранормаль- ных явлений. 9.3.9. Активное сознание (фф*) Рис. 9.16. Михаил Борисович Менский. [http://ufn.ru/] Термин активное сознание, для сознания которое способно влиять на исход измере- ния, был введ¨ен М. Б. Менским, хотя подобно- го рода гипотезы периодически высказывались в научной и околонаучной среде очень давно (вероятно, с начальных врем¨ен квантовой тео- рии). Несмотря на использование столь нелю- бимого большинством физиков слова «соз- нание», данная гипотеза допускает экспери- ментальную проверку. Различные эксперимен- тальные группы время от времени публикуют результаты исследований, в которых «опера- 9.3. И НТЕРПРЕТАЦИИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ( Ф ) 293 тор» пытался силой мысли влиять на классический или квантовый случай- ный процесс (карты, сдаваемые из колоды, дробовой шум и т. п.). Резуль- таты таких поисков (из числа тех, с которыми я ознакомился) неизменно отрицательные или сомнительные (прежде всего сомнительные по методи- ке эксперимента и обработки данных). В качестве примера такого исследо- вания можно привести книгу Р. Г. Джан, Б. Дж. Данн «Границы реальности: роль сознания в физическом мире» 21 . Несмотря на то, что авторы организо- вали свою Лабораторию изучения аномалий при Школе инженерных и при- кладных наук Принстонского университета, книга сомнительна прежде все- го методологически: если, согласно книге, «оператор» якобы «влияет» на генератор псевдослучайных чисел, т. е. на абсолютно детерминистический процесс, то это надо хоть как-то прокомментировать. В книге содержатся отсылки к квантовой теории, но они столь неопредел¨енны, что не могут обсуждаться на содержательном уровне. Также эта гипотеза допускает содержательное теоретическое обсужде- ние. Выше мы уже обсуждали «ж¨есткость» формулы для квантовых веро- ятностей (см. 8.3.2 «“Ж¨есткость” формулы для вероятностей (фф)»). При этом мы показали, что отклонения от стандартной борновской формулы для квантовых вероятностей позволяют передавать информацию со сверх- световой скоростью с помощью квантовых запутанных состояний, а также позволяют ввести абсолютную одновременность (не зависящую от систе- мы отсч¨ета). Таким образом, активное сознание явным образом нарушает лоренц-инвариантность теории, т. е. входит в прямое противоречие со спе- циальной теорией относительности. Это именно настоящее, а не кажуще- еся противоречие с теорией относительности, в отличие от мгновенного коллапса волновой функции в обычной квантовой теории, который не поз- воляет передать со сверхсветовой скоростью какую-либо информацию. В принципе, после того как на эксперименте было показано нарушение такой «очевидной» симметрии, как зеркальная симметрия (несохранение ч¨етности), мы можем допустить, что и лоренцевская симметрия является только приблизительной. Однако для большинства физиков противоречие активного сознания СТО ставит крест на этой гипотезе. 21 Джан Р. Г., Данн Б. Дж. Границы реальности: роль сознания в физическом мире. — М.: ОИВТ РАН, 1995. Г ЛАВА 10 Квантовая информатика** Квантовая информатика рассматривает процессы получения, передачи, хранения и обработки информации с точки зрения квантовой теории. Адек- ватная квантовой теории квантовая логика допускает не только такие зна- чения логических переменных, как «да» («истина», 1) и «нет» («ложь», 0), но и их линейные суперпозиции. Многие очевидные положения классической информатики в квантовой механике оказываются неверными, прич¨ем квантовая теория, по сравнению с классической, не только накладывает новые ограничения, но и да¨ет до- полнительные возможности, которые на языке классической теории звучат как парадоксы. Одно из ключевых ограничений на возможности квантовой обработ- ки информации накладывает теорема о невозможности клонирования кван- тового состояния. Эта теорема лежит в основе квантовой криптографии, обеспечивая невозможность «подсмотреть» состояние передаваемого кван- тового бита, она же не позволяет извлечь из одного квантового бита более одного классического бита информации и ограничивает тем самым при- менимость основанного на суперпозиции состояний квантового паралле- лизма. 10.1. Квантовая криптография** Квантовая криптография изучает методы секретной передачи инфор- мации, при которых секретность сообщения обеспечивается принципами квантовой механики. Поскольку в квантовой механике любое измерение может оказать влия- ние на измеряемую систему, владелец системы, который знает в каком сос- тоянии система была приготовлена изначально, может впоследствии прове- рить, измерял ли его систему кто-либо другой. 10.1.1. Зачем нужен ключ в классической криптографии (пример) Для того чтобы обеспечить абсолютно над¨ежную классическую ли- нию связи, достаточно, чтобы отправитель сообщения (Алиса) и получатель 10.1. К ВАНТОВАЯ КРИПТОГРАФИЯ ** 295 (Борис) располагали одинаковым секретным ключом (случайной последо- вательностью цифр 0 и 1), длина которого не меньше, чем длина передавае- мого секретного сообщения. Алиса шифрует секретное сообщения побитово, применяя опера- цию логического сложения к сообщению и ключу: (0, 1), (1, 0) → 1, а (0, 0), (1, 1) → 0. сообщение 0 1 1 0 0 0 1 0 1 ключ 1 0 1 0 1 1 0 0 1 шифровка 1 1 0 0 1 1 1 0 0 Два раза повтор¨енная операция шифровки с одним и тем же ключом да¨ет снова исходное сообщение, поэтому на другом конце линии Борис расшиф- ровывает сообщение снова, логически прибавляя к нему побитово тот же ключ. Поскольку ключ— последовательность случайных бит, такое шифро- вание полностью убирает из исходного текста любые корреляции и делает расшифровку невозможной, поэтому шифровку можно, не боясь подслуши- вания, передавать по открытым линиям связи. Этот метод называют иногда методом одноразовых шифровальных блокнотов (Алиса и Борис имеют на- бор попарно одинаковых блокнотов, в которых записаны ключи). Главная проблема метода — необходимость обеспечить секретную пе- редачу обоим корреспондентам одинаковых длинных ключей. После этого корреспонденты должны будут хранить секретные ключи так, чтобы исклю- чить утечку информации вплоть до того момента, когда эти ключи будут использованы. 10.1.2. Квантовая генерация ключей Квантовая механика позволяет Алисе и Борису получить пару заведомо одинаковых ключей, обмениваясь квантовыми битами по каналу связи, ко- торый допускает перехват информации, а также классической информаци- ей по каналу, который допускает прослушивание. При этом Алиса и Борис смогут с любой степенью уверенности обнаружить перехват на квантовом канале. Излагаемая ниже процедура генерации ключа была предложена в 1984 году Ч. Беннеттом и Дж. Брассардом 1 . Эта процедура известна как протокол ББ84. 1 C. G. Bennett and G. Brassard, Quantum cryptography: Public key distribution and coin tossing, in: Proc. of the IEEE Inst. Conf on Computers, Systems, and Signal Processing, Bangalore, India (IEEE, New York, 1984), p. 175. 296 Г ЛАВА 10 В дальнейших рассуждениях будут использоваться 4 состояния кван- тового бита, принадлежащих к двум ортонормированным базисам «0-1» и « ±»: |0 , |1 , |+ = |0 + |1 √ 2 , |− = |0 − |1 √ 2 1. Алиса переда¨ет Борису случайную последовательность квантовых би- тов в состояниях |0 , |1 , |+ или |− . 2. Борис измеряет полученные от Алисы фотоны, используя случайным образом базисы «0-1» или « ±», и получает цепочку нулей и единиц. 3. Алиса по открытому классическому каналу сообщает Борису, какой из базисов она использовала для каждого бита (но не говорит, какое из двух состояний было использовано). 4. Борис сообщает Алисе, какой из двух базисов он использовал при из- мерении каждого бита (но не сообщает результат измерения). 5. Алиса и Борис выбирают из цепочки только те биты, которые были испущены и измерены в одинаковых базисах (это предварительный ключ). 6. Алиса и Борис сравнивают (переговариваясь по открытому классичес- кому каналу) некоторое количество случайно выбранных бит из пред- варительного ключа. Если проверенные биты совпадают, то делается вывод (с соответствующей численной оценкой), что перехвата на кван- товом канале не было. 7. Из предварительного ключа исключаются биты, которые были исполь- зованы для проверки, остальное составляет секретный ключ. Если Ева пытается вести перехват на квантовом канале, то е¨е измере- ние будет нарушать состояние кубитов, во всех случаях, когда она не угада- ла, какой из базисов использует Алиса. Это будет происходить в половине случаев. После этого, если Ева не угадала базис, то поляризация, измерен- ная Борисом, будет полностью случайна. Также поляризация, измеренная Борисом, полностью случайна, если Борис не угадал базис Алисы. Таким образом, в восьмой части случаев перехвата Ева внес¨ет искажение в це- почку бит предварительного ключа. Это искажение должно быть выявлено сравнением случайной выборки бит на этапе 6. В процессе генерации ключа Алиса и Борис не обмениваются никакой информацией, которая позволила бы узнать содержание ключа, поэтому Ева может сорвать генерацию ключа, но не может этот ключ перехватить. 10.2. К ВАНТОВЫЕ КОМПЬЮТЕРЫ КАК АНАЛОГОВЫЕ ( Ф ) 297 10.1.3. Квантовая линия связи Квантовые эффекты можно использовать не только для квантовой ге- нерации ключа, но и для самой передачи информации. Например, для секретной передачи данных можно использовать кван- товую телепортацию (7.7 «Квантовая телепортация**»). При квантовой те- лепортации помимо квантовой линии для передачи коррелированных куби- тов нам понадобится классическая линия, по которой будут передаваться результаты измерений, не несущие информации о состоянии телепортируе- мого кубита. 10.2. Квантовые компьютеры как аналоговые (ф) Как уже отмечалось ранее, описание квантовой системы требует су- щественно большего количества информации (задание волновой функции), чем описание классической системы (задание координат и импульсов). Со- ответственно, возрастает вычислительная сложность численного моделиро- вания квантовых систем. И хотя во многих случаях уда¨ется обойтись без явного моделирования волновой функции большого числа переменных, за- дача моделирования сколь-нибудь сложных квантовых систем для класси- ческого компьютера оказывается сложной (часто нерешаемой за разумное время). Ричард Фейнман в 1981 году предложил использовать одни квантовые системы для моделирования других 2 Моделирование одной физической системы с помощью другой, имею- щей аналогичное математическое описание, — идея аналогового компьюте- ра. Таким образом, может быть поставлена задача аналогового моделирова- ния физических система с помощью квантовых систем, т. е. задача создания аналогового квантового компьютера. 10.3. Квантовые компьютеры как цифровые (ф) Если система ограничена в пространстве, то е¨е энергетический спектр дискретен. Если при этом ограничена сверху и снизу также и энергия систе- мы, то имеется только конечное число ортогональных состояний системы, т. е. пространство состояний H оказывается конечномерным, т. е. H = C N , где N конечно (хотя, может быть, велико). 2 Feynman R. P. Simulating physics with computers // Int. J. Theor. Phys. — 1982. — Vol. 21, Nos. 6/7. — P. 467–488. 298 Г ЛАВА 10 Таким образом, ограниченная в пространстве и по энергиям система допускает конечный набор дискретных независимых наблюдаемых. При из- мерении такой системы мы можем получить только конечный объ¨ем инфор- мации, записывающийся с помощью конечного числа знаков какого-либо алфавита. В классике это означало бы, что система имеет конечное чис- ло состояний, но в квантовом случае число состояний бесконечно, за сч¨ет линейности пространства состояний (принципа суперпозиции). Таким образом, обладая конечным числом независимых квантовых состояний, ограниченная в пространстве и по энергии квантовая система может рассматриваться как квантовый аналог цифрового компьютера. 10.4. Понятие универсального квантового компьютера В литературе определение универсального квантового компьютера час- то да¨ется в запутанной форме, либо не да¨ется вообще. При этом, как пра- вило, да¨ется ссылка на статью Дэвида Дойча 1985 года 3 Статья Дойча (1985) содержит достаточно расплывчатое определение «полного моделирования» 4 одной системы с помощью другой: Вычислительная машина M может полностью моделировать физическую систему Y относительно данной разметки их входов и выходов, если для M существует программа π( Y), которая де- лает M вычислительно эквивалентной Y относительно этой раз- метки. Другими словами, π( Y) превращает M в «ч¨ерный ящик», функционально неотличимый от Y. Универсальный квантовый компьютер при этом понимается как уни- версальное устройство для полного моделирования произвольной физичес- кой системы с любой напер¨ед заданной точностью. Это определение только затемняет вопрос, т. к. вполне классическая универсальная машина Тьюринга (универсальный классический компью- тер) при наличии неограниченного времени и неограниченной памяти спо- собна численно решать уравнения квантовой механики с любой напер¨ед заданной точностью и формально подходит под это определение, хотя ав- тор, очевидно, имеет в виду нечто большее. Внимательное изучение реального физического содержания той же статьи позволяет извлечь и настоящее определение универсального кван- тового компьютера: 3 Deutsch D., Quantum Theory, the Church-Turing Principle and the Universal Quantum Computer // Proc. R. Soc. Lond. — 1985. — A 400. — P. 97–117; перевод А. П. Бельтюкова. 4 Perfect simulation. 10.5. К ВАНТОВЫЙ ПАРАЛЛЕЛИЗМ 299 Универсальный квантовый компьютер — устройство, которое поз- воляет для системы L квантовых битов осуществлять преобразование, сколь угодно близкое к любому желаемому унитарному преобразованию пространства H L = C 2 L . В статье Дойча (1985) содержатся также рассуждения, обосновываю- щие возможность полного моделирования открытых квантовых систем, од- нако эти рассуждения не представляются в достаточной степени строгими и убедительными. 10.5. Квантовый параллелизм Квантовый параллелизм — возможность одновременного выполнения каких-либо обратимых вычислений над разными членами квантовой супер- позиции. Набор из L классических битов может находиться в 2 L различных сос- тояниях. Однако для квантовых битов эти 2 L состояний оказываются бази- сом линейного пространства и допустимы также любые их суперпозиции, в частности, состояние |0 + |1 √ 2 · · · |0 + |1 √ 2 |0 + |1 √ 2 L = = 1 2 L/2 ⎛ ⎜ ⎝|0 · · · |0 |0 L + |0 · · · |0 |1 L + |0 · · · |1 |0 L + |0 · · · |1 |1 L + · · · + |1 · · · |1 |1 L ⎞ ⎟ ⎠ 2 L Таким образом, мы получаем суперпозицию всех двоичных чисел от 00 · · · 0 2 L = 0 до 11 · · · 1 2 L = 2 L − 1. То же самое равенство мы можем переписать так: |X = |0 + |1 √ 2 ⊗L = 1 2 L/2 2 L −1 n=0 |n . Если у нас есть некоторая функция f : {0, . . . , 2 L − 1} → {0, . . . , 2 L − 1}, тогда ей можно сопоставить унитарное преобразование ˆ U f , которое сле- дующим образом действует на первых 2 L базисных состояниях пространства 300 Г ЛАВА 10 H L+L = C 2 L+L : ˆ U f | n L кубит ; 0 L кубит = | n L кубит ; f (n) L кубит Любое унитарное преобразование ˆ U f может быть реализовано как оператор эволюции для некоторого гамильтониана, задающего взаимодействие L+L кубитов, т. е. может быть выполнено на универсальном квантовом компью- тере ˆ U f |X; 0 = 1 2 L/2 2 L −1 n=0 ˆ U f |n; 0 = 1 2 L/2 2 L −1 n=0 |n; f(n) . Таким образом, применение этого преобразования к состоянию |X; 0 поз- воляет вычислить функцию f одновременно для всех чисел от 0 до 2 L − 1. С точки зрения многомировой интерпретации квантовой механики 5 можно сказать, что у нас имеется 2 L эвереттовских миров, которые от- личаются друг от друга только тем, какое число введено в квантовый ком- пьютер, в каждом из этих миров ид¨ет вычисление функции f для своего значения аргумента. Однако извлечь из L кубитов мы по-прежнему можем не более L классических битов информации. По этой причине квантовый параллелизм оказывается не столь эффективным, как это может показаться на первый взгляд. 10.6. Логика и вычисления 10.6.1. Логика классическая Классическая логика изучает функции двоичных переменных (клас- сических битов): каждый аргумент такой функции пробегает два значения (0 и 1, «да» и «нет», «ложь» и «истина»), и значение самой функции также может принимать те же два значения. Такие функции могут также назы- ваться логическими операциями. 5 Дэвид Дойчутверждает в своих статьях и книгах, что многомировая интерпретация кван- товой механики является стандартной для физиков, работающих в области квантовых вычис- лений. Д. Дойчтакже является автором философской книги «Структура реальности», рассмат- ривающей современную науку с точки зрения квантовой механики по Эверетту, эволюции по Дарвину и теории познания по Попперу (познание как естественный отбор среди научных теорий). 10.6. Л ОГИКА И ВЫЧИСЛЕНИЯ 301 Логические операции удобно изображать графически в виде блока с несколькими входными линиями (входами), соответствующими аргумен- там, и одной выходной линией (выхода), соответствующей значению функ- ции. Логические операции в графическом представлении мы будем назы- вать логическими вентилями. Любое численное или логическое вычисление может быть представ- лено как комбинация логических операций или в виде графической схе- мы (логической схемы), состоящей из нескольких логических вентилей, со- един¨енных между собой линиями: у части вентилей выходы соединены с входами других вентилей. При этом линия, идущая от выхода, может раз- ветвляться. Графическая схема может иметь несколько внешних входных линий, на которые подаются входные данные и несколько выходных — на которые выда¨ется результат вычисления. Входные линии схемы (они так- же могут разветвляться) могут подключаться к выходным линиям схемы, а также к входным линиям логических вентилей. Доказано, что для описания любого вычисления достаточно приме- нить конечное число разновидностей логических вентилей, например, «и», «или», «не»: «и»: 00 → 0 01 → 0 10 → 0 11 → 1 , «или»: 00 → 0 01 → 1 10 → 1 11 → 1 , «не»: 0 → 1 1 → 0 Более того, достаточно одного универсального вида логических вентилей «не-и»: «не-и»: 00 → 1 01 → 1 10 → 1 11 → 0 , «не-и»( •, •) = «не»(«и»(•, •)). |