Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
8.3.3. Теорема о квантовой телепатии (фф*) Выше в разделе 8.3.2 «“Ж¨есткость” формулы для вероятностей (фф)» мы показали, как отклонение от стандартных квантовых вероятностей для состояний определ¨енного вида (8.3) позволяет осуществлять квантовую телепатию — сколь угодно быструю передачу информации посредством квантовых запутанных систем. Квантовая телепатия грубо противоречит специальной теории относительности, а, следовательно, е¨е наличие ока- зывается проблемой для теории. Обобщив эти рассуждения, докажем (на физическом уровне строгости) Теорему о квантовой телепатии: Если для некоторой системы возможно проведение измерения, удовлет- воряющего проекционному постулату, но нарушающему формулу для веро- ятностей, то можно построить запутанное состояние этой системы и двухуровневой системы (кубита), позволяющее осуществлять кванто- вую телепатию. 8.3. В ОЗМОЖНА ЛИ ИНАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ ? ( ФФ ) 255 Пусть состояние системы, для которой мы можем нарушать правило вероятностей (осуществлять неправильное измерение), описывается некото- рой волновой функцией |ψ ∈ H. Наблюдаемой величине ˆ A, для которой мы можем осуществить наше неправильное измерение, соответствует на- бор проекторов ˆ P n на собственные подпространства H n . Мы имеем два распределения вероятностей по n: p n соответствует неправильному изме- рению, а p n — правильному. Определим проектор ˆ P + и соответствующее подпространство H + : ˆ P + = n:p n >p n ˆ P n , H + = n:p n >p n H n = ˆ P + H, ˆ P − = ˆ 1 − ˆ P + , H − = ˆ P − H. Также мы можем определить вероятности p + и p + , отвечающие неправиль- ному и правильному измерениям: p + = 1 − p − = n:p n >p n p n , p + = 1 − p − = n:p n >p n p n Мы можем разложить наше состояние |ψ на сумму двух членов: |ψ = |ψ + + |ψ − , |ψ + = ˆ P + |ψ , |ψ − = ˆ P − |ψ . Построим теперь следующее запутанное состояние: |Ψ = |ψ + |1 + |ψ − |0 . Наша исходная система находится в распоряжении Алисы, а кубит — в рас- поряжении Бориса. При неправильном измерении Алисой величины ˆ A кубит попадает в состояние |1 с вероятностью p + и в состояние |0 с вероятностью p − С этими же вероятностями Борис обнаружит 1 или 0, производя (обычное) измерение своего кубита. Если Борис делает измерение своего кубита раньше Алисы, то он по- лучает 1 или 0 уже с другими вероятностями p + и p − Располагая достаточным запасом систем в состоянии |Ψ , Алиса и Бо- рис могут проводить измерения сразу над несколькими экземплярами сис- темы. Борис при этом вычисляет вероятность получения 1 или 0 и опреде- ляет, сделал ли он свои измерения раньше Алисы (вероятность p + для 1) или позже Алисы (вероятность p + > p + для 1). Таким образом, Алиса может передавать Борису информацию (осу- ществлять квантовую телепатию), измеряя (неправильным измерением) или 256 Г ЛАВА 8 не измеряя величину ˆ A в заранее оговоренные моменты времени для боль- шого набора заранее заготовленных систем в состоянии |Ψ . Грубое противоречие со специальной теорией относительности прояв- ляется здесь и в другом результате: с помощью неправильного измерения Алиса и Борис могут ввести абсолютное понятие одновременности, что запрещено СТО. 8.3.4. «Мягкость» проекционного постулата (фф) В отличие от формулы для вероятности проекционный постулат легко допускает различные модификации. Например, если мы стартуем с обычного проекционного постулата, а потом объявим «волновой функцией после измерения» не ту волновую функцию, что получается сразу после измерения, а волновую функцию спустя малое время δt, то волновые функции, полученные проекцией на собственные подпространства, подвергнутся за это время «повороту» (дей- ствию унитарного оператора) ˆ U δt = e − i ¯ h ˆ Hδt . Такой «поворот» пока не слишком интересен: он повернул собственные подпространства одного эр- митового оператора, превратив их в собственные подпространства другого эрмитового оператора. Такая модификация проекционного постулата всего лишь утверждает, что надо брать вероятности для одного эрмитового опе- ратора, а собственные пространства — для другого эрмитового оператора, получаемого из первого унитарным преобразованием. Легко получить и более сложные модификации. Пусть гамильтониан после измерения зависит от результата измерения. В этом случае каждое собственное подпространство «доворачивается» с помощью своего опера- тора эволюции ˆ U δt,n = e − i ¯ h ˆ H n δt , где n — результат измерения. Теперь ис- ходно ортогональные подпространства, на которые спроецировалась перво- начальная волновая функция повернулись по-разному и перестали быть ор- тогональными. Таким образом, эти подпространства уже не являются соб- ственными подпространствами какого-либо эрмитового оператора. Мы можем формализовать эти модификации проекционного постулата или придумывать и другие версии. Впрочем (см. также 8.2 «Моделирование измерительного прибора*»), большинство таких модификаций в некотором смысле сводится к обычно- му проекционному постулату, пут¨ем различного проведения границы меж- ду прибором и объектом, перепутывания чистого измерения и унитарной эволюции, размытия момента измерения (непрерывное измерение) и т. п. 5 5 Однако поручиться, что это всегда так, автор не бер¨ется. 8.4. Д ЕКОГЕРЕНЦИЯ ( ФФ ) 257 8.4. Декогеренция (фф) Более подробное рассмотрение взаимодействия наблюдателя и при- бора включает в себя неконтролируемое взаимодействие прибора и сре- ды (термостата). В результате микросистема, прибор и среда попадают в зацепленное состояние, и хотя состояние системы в целом (микросисте- ма+прибор+среда) оста¨ется чистым (могло бы описываться волновой функ- цией), при описании только подсистемы микросистема+прибор мы должны применять язык смешанных состояний (матриц плотности). Этот процесс называют декогеренцией. Доказывается, что матрица плотности, получаемая при описании при- бора, взаимодействующего со средой, оказывается неотличимой от мат- рицы плотности, возникающей при неселективном измерении (стремится к диагональному виду в базисе конечных состояний). Многие авторы дела- ют из этого вывод, что теория декогеренции позволяет вывести проекцион- ный постулат теории квантовых измерений. Часто декогеренция рассматри- вается как альтернатива многомировой интерпретации квантовой механики, т. е. как интерпретация квантовой механики с точки зрения декогеренции. К преимуществу декогеренции перед прочими интерпретациями относят развитый математический аппарат, который в приложении к физическим задачам позволяет говорить о том, что декогеренция не просто интерпре- тирует ранее постулированные классиками принципы квантовой механики, но и позволяет их уточнять (ведь матрица плотности при декогеренции диагонализуется лишь в пределе) и делать нетривиальные теоретические предсказания. Однако рассмотрение процесса декогеренции прибора со средой на са- мом деле не позволяет вывести проекционный постулат, который относится к селективному измерению. Декогеренция описывает как различные исхо- ды измерения отделяются друг от друга (как матрица плотности в базисе конечных состояний становится почти диагональной), но не объясняет как из всех возможных исходов измерения выбирается один. Некоторые авторы при рассмотрении процесса декогеренции вклю- чают в систему (наряду с прибором) также наблюдателя. Они получают, что подсистема микросистема+прибор+наблюдатель описываются матри- цей плотности близкой к диагональной, и делают вывод, что ими описан процесс редукции квантового состояния (выведен проекционный постулат). Однако это снова описание неселективного измерения, не объясняющее, как и почему из возможных альтернатив оста¨ется одна. По существу рассмотрение декогеренции с участием наблюдателя сле- дует рассматривать в рамках многомировой интерпретации квантовой ме- 258 Г ЛАВА 8 ханики (9.3.7 «Многомировая интерпретация Эверетта (фф)»), поскольку результат декогеренции описывает одновременное сосуществование всех возможных исходов измерения, а также предполагает возможность приме- нения унитарной квантовой механики ко Вселенной в целом. С этой точ- ки зрения декогеренция не конкурирует с многомировой интерпретацией, а поддерживает и дополняет е¨е. Г ЛАВА 9 На грани физики и философии (фф*) Не читайте эту главу, особенно если вам предстоит сдача экзамена по квантовой механике. Если вы вс¨е же решитесь е¨е проч итать, то автор снимает с себя всякую ответственность за ваше психическое здоровье, а также за оценку, полученную на экзамене. Если, вопреки совету, вы вс¨е же заинтересовались интерпретациями квантовой механики, то избегайте обсуждать прочитанное с экзаменатором во время экзамена по теоретической физике. Впрочем, если вам предстоит сдача экзамена и/или реферата по философии, данная глава может оказаться полезной, особенное если вы также найд¨ете время для прочтения книги В. И. Ленина «Материализм и эмпириокритицизм». М. Г. Иванов Интерпретации квантовой механики находятся на грани физики и фи- лософии. Это приводит к тому, что здесь, как и в философии, большую роль играет субъективный взгляд исследователя: в одинаковые термины может вкладываться различный (порой существенно различный) смысл. Автор не может гарантировать, что его изложение тех или иных интерпре- таций и парадоксов квантовой механики в точности соответствует тому, как их понимали те физики, с чьим именем эти построения свя- заны. Автор излагает только сво¨е понимание проблемы. 9.1. Загадки и парадоксы квантовой механики (ф*) — Все страньше и страньше! — вскричала Алиса. От изумления она совсем забыла, как нужно говорить. Льюис Кэрролл, «Приключения Алисы в стране чудес» В основаниях квантовой механике есть ряд загадок и парадоксов, свя- занных с пониманием процесса измерения. Загадочность проявляется также 260 Г ЛАВА 9 и в том, что разные физики считают парадоксами то, что для других пред- ставляется совершенно естественной особенностью теории, порой даже не заслуживающей упоминания. 9.1.1. Мышь Эйнштейна (ф*) — Гхе-гхе! — откашлялась с важным видом Мышь. — Все готовы? Тогда начн¨ем. Льюис Кэрролл, «Приключения Алисы в стране чудес» Если квантовая теория верна, то Вселенная, как большая система эле- ментарных частиц, тоже должна описываться волновой функцией (спор- ное утверждение, см. раздел 9.3.2). Однако волновая функция меняется при наблюдении. Так неужели любая мышь, сидящая тихонько где-то в уголке и наблюдающая окружающий мир, меняет Вселенную?! Этот мысленный эксперимент называется «Мышь Эйнштейна». Этот парадокс разрешается легче всего, прич¨ем разными способами, хотя его решения и порождают новые вопросы: • Мы не имеем права писать волновую функцию Вселенной в целом, т. к. у нас для всей Вселенной нет внешнего наблюдателя. (Копенгагенская интерпретация.) (Возражение, с которым не согласится сторонник эве- реттовской интерпретации, для которого волновая функция существует вне зависимости от наблюдателя.) • Наблюдатель в квантовой механике не должен быть составной частью системы, а значит если мы рассматриваем процесс наблюдения Все- ленной Мышью, то волновую функцию следует писать для всей Все- ленной, за исключением данной Мыши. Тогда Мышь, наблюдая Все- ленную, действительно е¨е изменяет. • Мышь и Вселенная слишком тесно взаимодействуют. Таким образом, измерение как бы происходит постоянно. Вместо волновой функции Вселенную с точки зрения Мыши следует описывать матрицей плот- ности. А матрица плотности уже содержит обычные (классические) вероятности, к которым мы привыкли и в которых парадоксов нет. (Но это объяснение не говорит как из разных альтернатив при измерении оста¨ется одна.) • Матрица плотности для Вселенной предполагает усреднение по состоя- ниям Мыши, но Мышь-то знает (хотя бы приблизительно) в каком она состоянии, а значит усреднять по всем состояниям Мыши нельзя, а на- до вс¨е-таки описывать Вселенную волновой функцией. 9.1. З АГАДКИ И ПАРАДОКСЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ( Ф *) 261 • Мы не имеем права писать «волновую функцию Вселенной» (и даже Вселенной за вычетом Мыши), т. к. Вселенная — макроскопический объект. (Копенгагенская интерпретация.) 9.1.2. Кот Шр¨едингера (ф*) Другой мысленный эксперимент — «Кот Шр¨едингера» показывает, ка- кие трудности мы испытаем, если попытаемся описать макроскопического наблюдателя (Кота) с точки зрения квантовой теории. Конечно, не все наб- людения сопряжены с таким риском, которому подвергается Кот, но суще- ство парадокса от этого не меняется: система, включающая наблюдателя, оказывается в суперпозиции макроскопически различных состояний, в ко- торых наблюдатель должен наблюдать существенно разные события. Эксперимент «Кот Шр¨едингера» был предложен Э. Шр¨едингером в статье «Сегодняшнее положение дел в квантовой механике» 1 , по- свящ¨енной обсуждению парадокса ЭПР. В этой же статье был введ¨ен тер- мин зацепленность или запутанность 2 , означающий состояние, при кото- ром волновая функция квантовой системы не может быть описана как про- изведение отдельных сомножителей. В экспериментах «Кот Шр¨едингера» и 9.1.3 «Друг Вигнера (ф*)» наглядно демонстрируется как запутанность постепенно охватывает всю систему. ЯД Лазер Кот Полупрозрачное зеркало Датчик Адская машинка Рис. 9.1. Установка для проведения мысленного эксперимента «Кот Шр¨едингера». Итак, представим себе экспериментальную установку — «коробку», хорошо изолирующуюся от окружающего мира (чтобы на достаточно больших временах е¨е состояние можно было описывать уравнением 1 Schr¨odinger E. Die gegenw¨artige Situation in der Quantenmechanik // Naturwissenschaften, 48, 807, 49, 823, 50, 844 (November 1935). 2 По-немецки: Verschr¨ankung, по-английски: entanglement. 262 Г ЛАВА 9 Шр¨едингера). В коробку в начале помешается Кот, а также «адская ма- шинка», устройство которой разные авторы описывают по-разному. Задача машинки — за время эксперимента убить или не убить Кота, прич¨ем ре- шение должно быть принято квантово-случайным образом. Например, Кот убивается (пулей, ядом, бомбой или как-либо иначе), если за время экс- перимента распался единичный атом радиоактивного вещества, или если единичный фотон прош¨ел через полупрозрачное зеркало. Для определ¨енности рассмотрим ход эксперимента для «адской ма- шинки», принимающую решение по судьбе единичного фотона и разбиваю- щей или не разбивающей колбу с ядом. (Мы опускаем лишние детали, опи- сывая лишь принципиальную схему.) 1. Источник испускает единичный фотон, который летит к полупрозрач- ному зеркалу (в состоянии |фотон ). Примем этот момент за начало эксперимента. Колба в это время цела (в состоянии |колба 0 ), а Кот жив (в состоянии |жив ). Такое состояние системы (мы его обозначим как |КОТ 0 ) описывается как |фотон |колба 0 |жив = |КОТ 0 ЯД Рис. 9.2. Фотон расщепляется зеркалом. . . . 2. Фотон попадает на полупрозрачное зеркало, после чего попадает в су- перпозицию двух состояний |фотон 0 и |фотон 1 , одно из которых от- разилось от зеркала, а другое прошло сквозь зеркало. Вс¨е остальное в коробке пока по-прежнему. |фотон 0 + |фотон 1 √ 2 |колба 0 |жив . Ничего необратимого пока не произошло. Если бы вместо датчиков на пути |фотон 0 и |фотон 1 стояли зеркала, отклоняющие их на второе 9.1. З АГАДКИ И ПАРАДОКСЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ( Ф *) 263 Рис. 9.3. Интерферометр Маха – Цандера может снова собрать фотон в один волно- вой пакет. полупрозрачное зеркало, то с помощью такого интерферометра (долж- ным образом настроенного) фотон снова можно «собрать» в состояние |фотон 2 , в котором его положение собрано в одной маленькой области пространства, а не размазано между двумя удал¨енными областями. См. рис. 9.3. 3. Состояние |фотон 1 запускает датчик, который разбивает колбу с си- нильной кислотой (переводит е¨е в разбитое состояние |колба 1 ). Со- стояние |фотон 0 летит дальше. Состояния фотона и колбы зацеплены: |фотон 0 |колба 0 + |фотон 1 |колба 1 √ 2 |жив . 4. Разбитая колба (в состоянии |колба 1 ) убивает Кота (переводит его в состояние |м¨ертв ). Целая колба (в состоянии |колба 0 ) Кота не тро- гает. Теперь зацеплены состояния не только фотона и колбы, но и Кота: 1 √ 2 ( |фотон 0 |колба 0 |жив + |фотон 1 |колба 1 |м¨ертв ) = = 1 √ 2 |ЖИВ + |МЁРТВ . 5. Экспериментатор готовится открыть коробку. Он рассчитал, что сос- тояние коробки — суперпозиция двух состояний, в одном из которых Кот жив, а в другом — м¨ертв. Он недоумевает, как Кот (объект макро- скопический, и даже почти разумный) мог оказаться в таком странном состоянии. Что же ощущает Кот, который в буквальном смысле «ни жив, ни м¨ертв»? 264 Г ЛАВА 9 ЯД Рис. 9.4. Суперпозиция двух макроскопически различных состояний? 6. Экспериментатор (предварительно надев противогаз) открыл коробку и произв¨ел измерение, устанавливающее состояние Кота. С равными вероятностями 1 2 в коробке обнаруживается одно из двух состояний: |ЖИВ = |фотон 0 |колба 0 |жив , или |МЁРТВ = |фотон 1 |колба 1 |м¨ертв . Таким образом, измерение снова расцепило состояния фотона, колбы и Кота. ЯД Рис. 9.5. Состояние |ЖИВ (Кот жив). Результат эксперимента не содержит ничего квантового, кроме веро- ятности, но как быть со странными состояниями, возникающими при его квантовомеханическом описании? Конечно, с точки зрения копенгагенской интерпретации макроскопичес- кую систему, включающую колбу и кота, нельзя описывать волновой функ- цией, но где граница микро- и макро- миров? Один «раздвоившийся» фотон можем рассматривать квантовомеханически, а «раздвоившегося» Кота уже нет. Почему? 9.1. З АГАДКИ И ПАРАДОКСЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ( Ф *) 265 Рис. 9.6. Состояние |МЁРТВ (Кот м¨ертв). Мы можем объяснить это и не отказываясь от квантовомеханического описания Кота. Раздвоившийся фотон мы обязаны рассматривать кванто- вомеханически, т. к. мы можем с помощью интерферометра привести оба состояния, составляющие суперпозицию, в одно состояние, в котором бу- дет уже принципиально невозможно различить каким образом фотон туда попал. С Котом сложнее. Чтобы проявить его квантовомеханические свой- ства, нам надо привести состояния |ЖИВ и |МЁРТВ к |