Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
8.1.4. Вопросы о самосогласованности квантовой теории (ф) Поскольку квантовая теория состоит из существенно разнородных бло- ков, естественно возникает ряд вопрос о том, насколько хорошо эти блоки подогнаны друг к другу. Поскольку теория замкнутых систем давно заслу- жила статус фундаментальной теории, то эти вопросы адресуются в первую очередь к теории измерений. Квантовая теория измерений описывает взаимодействие квантовой си- стемы с измерительным прибором. Теория измерений строится на основе постулатов, которые не выводятся из квантовой теории замкнутых кванто- вых систем, тем не менее, теорию измерений исследуют с точки зрения квантовой механики. При этом могут ставиться следующие вопросы: 246 Г ЛАВА 8 • Согласована ли теория измерений с теорией замкнутых систем? • Как можно модифицировать теорию измерений? • Может ли теория измерений быть выведена из теории замкнутых си- стем? • Можно ли модифицировать теорию замкнутых систем так, чтобы она включила в себя теорию измерений? 8.2. Моделирование измерительного прибора* Сам процесс измерения, который обычно рассматривается в соответ- ствии с проекционным постулатом как мгновенный процесс, иногда сам становится предметом изучения с точки зрения квантовой механики. При этом вводится модель измерительного прибора (точнее его микроскопичес- кой части), который описывается как квантовая система. В волновую функ- цию вводятся дополнительные переменные, описывающие прибор, а в га- мильтониан включаются дополнительные члены, описывающие сам прибор и его взаимодействие с микрообъектом. Однако такое моделирование само по себе не способно объяснить, чт´о такое измерение над квантовой системой: процесс взаимодействия кванто- вой системы и микроприбора описывается как унитарная эволюция, а про- екционный постулат снова проявляется уже при рассмотрении считывания показаний прибора (измерении положения «стрелки»). Таким образом, моделирование измерительного прибора сдвигает гра- ницу между системой и наблюдателем, рассматривая прибор не как часть наблюдателя, а как часть квантовой системы. Вопрос о природе процесса измерения при этом оста¨ется открытым. Последовательное применение такого метода демонстрирует, что кван- товая механика позволяет по-разному проводить границу между системой и наблюдателем (часто кроме «системы» и «наблюдателя» выделяют ещ¨е и «среду»). В «систему» иногда включается даже часть организма самого наблюдателя, но здесь мы уже вступаем в область интерпретаций кванто- вой механики, которые мы обсудим подробнее в главе 9 «На грани физики и философии (фф*)». 8.2.1. Измерительный прибор по фон Нейману** Простейшая модель процесса измерения была рассмотрена фон Ней- маном в книге «Математические основы квантовой механики». Рассмат- ривается система, состоящая из двух одномерных квантовых частиц, одна из которых (m) — измеряемая система, а другая (M ) — стрелка прибора. 8.2. М ОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ПРИБОРА * 247 Наблюдатель хочет измерить координату частицы q, но непосредственно наблюдает только координату стрелки Q. Гамильтониан системы имеет вид ˆ H = ˆ p 2 2m + ˆ P 2 2M + αˆ q ˆ P . Здесь маленькими буквами обозначаются параметры и наблюдаемые, отно- сящиеся к частице, а большими — к стрелке. Параметр α определяет силу взаимодействия. Мы считаем, что в на- чальный момент времени взаимодействие выключено (α | t<0 = 0), потом на протяжении времени T взаимодействие включено (α | t ∈[0,T ] = 1 τ ), после чего — снова выключено (α | t>0 = 0). Сразу после выключения взаимодействия наблюдатель производит над стрелкой идеальное определение координаты Q. Будем считать, что массы m и M достаточно велики, чтобы за время T (при заданном начальном состоянии) можно было пренебречь кинетической энергией частицы и стрелки. Оператор эволюции за время взаимодействия в координатном пред- ставлении можно переписать как ˆ U T = e − iT τ ¯ h ˆ q ˆ P = e − T τ q ∂ ∂Q Таким образом, эволюция сводится к сдвигу координаты стрелки на рас- стояние T τ q, пропорциональное координате частицы q. 2 Если начальное состояние системы факторизуемо Φ 0 (q, Q) = = ψ 0 (q) φ 0 (Q), то после взаимодействия получается перепутанное сос- тояние Φ 1 (q, Q) = ˆ U T Φ 0 (q, Q) = Φ 0 (q, Q − T τ q) = ψ 0 (q) φ 0 (Q − T τ q). После обнаружения стрелки в точке Q 0 (т. е. обнаружения стрелки в состоя- нии δ(Q − Q 0 )) частица оказывается в состоянии ψ 1 (q) = ψ 0 (q) φ 0 (Q 0 − T τ q), а система в состоянии Φ 2 (q, Q) = ˆ P Q 0 Φ 1 = ψ 0 (q) φ 0 (Q − T τ q) δ(Q − Q 0 ), 2 В импульсном представлении получаем другой взгляд на процесс: ˆ U T = e − iT τ ¯ h ˆ q ˆ P = = e T τ P ∂ ∂p , что соответствует сдвигу импульса частицы на величину − T τ P , пропорциональ- ную импульсу стрелки. 248 Г ЛАВА 8 с плотностью вероятности (скалярное произведение не возводится в квад- рат, т. к. состояние Φ 2 нормировано на плотность вероятности) w 1 (Q 0 ) = Φ 2 |Φ 1 = = dq dQ ψ 0 (q) φ 0 (Q − T τ q) δ(Q − Q 0 ) ∗ ψ 0 (q) φ 0 (Q − T τ q) = = dq ψ 0 (q) φ 0 (Q 0 − T τ q) 2 = ψ 1 |ψ 1 Если начальное распределение вероятности для стрелки (w 0 (Q) = |φ(Q)| 2 ) было достаточно узко и локализовано около нуля, то конечное состояние частицы умножается на φ 0 (Q 0 − T τ q) — узкий всплеск, локализованный около измеренного значения координаты q, которое равно q 0 = Q 0 τ T В пределе, когда wlim φ 0 (Q) = δ(Q), мы получаем идеальное измере- ние величины с непрерывным спектром. Можно рассмотреть более реалистичную процедуру обнаружения стрелки в чистом состоянии φ 1 (Q) = f (Q 0 − Q). После такого измерения система попадает в факторизуемое состояние |φ 1 φ 1 |Φ 1 , а частица в состояние |ψ 2f = φ 1 |Φ 1 Такое состояние можно назвать относительным состоянием частицы, от- носительно состояния |φ 1 стрелки (см. (7.20) в 7.5.5 «Относительные сос- тояния (ф*)»). Поскольку φ 1 — одночастичное состояние, а Φ 1 — двухчастичное, их скалярное произведение да¨ет не число, а одночастичное состояние: ψ 2f (q) = dQ f ∗ (Q 0 − Q) ψ 0 (q) φ 0 (Q − T τ q) = = dQ f ∗ (Q 0 − Q) φ 0 (Q − T τ q) ψ 0 (q). ψ 2f (q) = F (q) ψ 0 (q), F (q) = dQ f ∗ (Q 0 − Q) φ 0 (Q − T τ q). (8.1) 8.2. М ОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ПРИБОРА * 249 Таким образом, исходная волновая функция частицы в результате из- мерения умножается на св¨ертку 3 φ 0 ( • − T τ q) и f ∗ Например, при св¨ертке двух гауссовых пакетов φ a = 1 4 √ πa 2 · e − Q 2 2a 2 , φ a = 1 4 √ πb 2 · e − Q 2 2b 2 шириной a и b получаем гауссов пакет шириной c = √ a 2 + b 2 : 4 4πa 2 b 2 a 2 + b 2 φ c = 2ab a 2 + b 2 ·e − Q 2 2(a 2 +b 2 ) = 4 4πa 2 b 2 a 2 + b 2 1 4 π(a 2 + b 2 ) ·e − Q 2 2(a 2 +b 2 ) Если f зада¨ется прямоугольным импульсом, f (Q − Q 0 ) = 1 2 δQ 1, |Q − Q 0 | δQ, 0, |Q − Q 0 | > δQ, а φ 0 — гауссовым пакетом φ 0 = 1 4 √ πa 2 · e − Q 2 2a 2 , то в результате мы получаем сглаженный «почти прямоугольный» импульс шириной 2 δQ с размытыми краями (a — ширина размытия), локализован- ный около точки Q 0 : F (q) = 1 2 δQ +δQ −δQ 1 4 √ πa 2 · e − (Q −Q0− T τ q)2 2a2 dQ. Ранее (уравнение (3.9) в разделе 3.1.4 «Распределения вероятностей и вол- новые функции при измерении») мы уже постулировали, что при измере- нии волновая функция умножается на прямоугольный импульс (характерис- тическую функцию), который «вырезает» из не¨е часть, соответствующую диапазону, в который попала измеренная величина. Теперь, пут¨ем анали- за квантового процесса измерения с точки зрения квантовой механики, мы 3 Св¨ертка (f ∗ g) двух функций f и g определяется соотношением (f ∗ g)(t) = R f (τ ) g(t − τ) dτ. 250 Г ЛАВА 8 получили обобщение этого правила, которое допускает замену прямоуголь- ного импульса на сглаженный импульс, либо на волновую функцию общего вида 4 Мы сдвинули границу между системой и наблюдателем, включив в сис- тему «стрелку» прибора. Взаимодействие системы и стрелки мы рассмот- рели в рамках унитарной квантовой механики (с помощью оператора эво- люции). Однако результат измерения положения стрелки наблюдателем мы снова были вынуждены постулировать как неунитарный процесс, не опи- сываемый унитарной квантовой механикой. Таким образом, мы «вывели» проекционный постулат для системы, но в качестве исходного положения использовали аналогичный проекционный постулат, но уже для стрелки прибора. Тем не менее, новый проекционный постулат имеет более общий вид, чем исходный. Теперь волновые функции, получаемые при взаимоисключающих результатах измерения, могут быть уже не ортогональными. Однако по-прежнему конечная волновая функция линейна по начальной. 8.3. Возможна ли иная теория измерений? (фф) Прежде всего следует отметить, что теория измерений состоит из двух частей: • формула для вероятности определ¨енного исхода измерения; • формула для волновой функции после измерения с определ¨енным исхо- дом (проекционный постулат). Статус этих двух частей теории измерений в рамках квантовой меха- ники различен. Формула для вероятностей едва ли может быть модифицирована. По всей видимости она столь же фундаментальна, как унитарная эволюция. Единственность этой формулы была выведена при определ¨енных предпо- ложениях Эвереттом (см. раздел 8.3.1 «Эвереттовский “вывод” теории из- мерений (фф*)»). Ниже мы продемонстрируем «ж¨есткость» этой формулы с точки зрения отсутствия релятивистских парадоксов. Проекционный постулат является естественным приближением. Мы можем рассматривать модифицированные теории измерений, в которых 4 Замена характеристической функции на функцию R → [0, 1] общего вида соответствует замене обычного множества, неч¨етким множеством (fuzzy set), когда для точек определяется не принадлежность/непринадлежность к множеству, а вероятность принадлежности. Впрочем, классические неч¨еткие множества не позволяют описать умножение на волновую функцию произвольного вида, а значит уместнее рассматривать квантовые (неч¨еткие) множества, для попадания точек в которые зада¨ется не вероятность, а амплитуда вероятности. 8.3. В ОЗМОЖНА ЛИ ИНАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ ? ( ФФ ) 251 проекционный постулат измен¨ен (см. правило (8.1) в разделе 8.2.1 «Изме- рительный прибор по фон Нейману**»), или выводится из иных постула- тов. (Если эти «иные постулаты» представляются кому-то более естествен- ными.) Помимо фундаментальных аспектов теории следует помнить и о прос- той корректности е¨е применения: при анализе конкретного эксперимента надо аккуратно исследовать, какие именно физические величины мы мерим н а самом деле. 8.3.1. Эвереттовский «вывод» теории измерений (фф*) Если строить теорию измерений, опираясь только на те понятия, кото- рые уже были введены для описания эволюции замкнутой системы (линей- ное пространство чистых состояний, на котором задано скалярное произве- дение), то формула для вероятностей фиксируется однозначно при некото- рых разумных (по крайней мере пока) предположениях. Такого рода вывод был проделан Х. Эвереттом. Мы обобщим этот вы- вод и сформулируем в виде теоремы, явно оговорив условия, которые были опущены Эвереттом. Теорема Эверетта. Вероятность исходу измерения может быть при- писана единственным способом p φψ = | φ|ψ | 2 ψ 2 φ 2 = ψ |φ φ|ψ ψ |ψ φ|φ , (8.2) при условии, что: • вероятность исхода p φψ ∈ [0, 1] определяется только векторами сос- тояния до измерения |ψ и после измерения |φ , прич¨ем состояния определяются с точностью до ненулевого множителя; • зависимость вероятности от состояний непрерывна; • вероятность инвариантна относительно произвольных унитарных пре- образований пространства состояний; • p ψψ = 1; • суммарная вероятность равна 1, т. е. если дан максимальный набор вза- имоисключающих чистых состояний |φ i (ортогональный базис), то суммарная вероятность равна 1: i p φ i ψ = 1; • размерность пространства состояний не меньше 3. 252 Г ЛАВА 8 Д ОКАЗАТЕЛЬСТВО Поскольку состояния определены с точностью до ненулевого множи- теля, мы можем перейти к рассмотрению векторов состояний | ˜ ψ , | ˜φ , | ˜φ i , нормированных на единицу. Более того, мы можем считать, что скалярное произведение ˜ φ | ˜ ψ вещественно и неотрицательно, т. е. ˜ φ | ˜ ψ = | ˜φ| ˜ ψ |. Поскольку формула не должна зависеть от унитарных преобразований, ис- комая вероятность p φψ = p ˜ φ ˜ ψ должна выражаться через скалярное произ- ведение ˜ φ | ˜ ψ , т. е. p φψ = g( | ˜φ| ˜ ψ | 2 ) = g ψ |φ φ|ψ ψ |ψ φ|φ Для суммарной вероятности получаем i g( | ˜φ i | ˜ ψ | 2 ) = 1 = ˜ ψ 2 = i | ˜φ i | ˜ ψ | 2 g 0 ( | ˜ φ | ˜ ψ | 2 ) Ясно, что функция g 0 ( | ˜φ| ˜ ψ | 2 ) = | ˜φ| ˜ ψ | 2 удовлетворяет этому условию. Заметим, что g(0) = 0, т. к., выбрав |φ 1 = |ψ , мы получаем 1 = 1 g(1) + i=1 g(0). Покажем, что функция g единственна. Мы всегда можем выбрать векторы |φ i так, чтобы |ψ принадлежал плоскости, натянутой на |φ 1 и |φ 2 . Отсюда получаем, что g(x) + g(1 − x) = 1, x = | φ 1 |ψ | 2 ∈ [0, 1]. Отсюда g( 1 2 ) = 1 2 Мы всегда можем выбрать векторы |φ i так, чтобы |ψ принадлежал пространству, натянутому на |φ 1 , |φ 2 и |φ 3 . Пусть | φ 3 |ψ | 2 = 1 2 . Отсюда получаем, что g(x) + g( 1 2 − x) + 1 2 = 1, x = | φ 1 |ψ | 2 ∈ [0, 1 2 ]. Отсюда g( 1 4 ) = 1 4 : g( 1 4 ) 1 / 4 + g( 3 4 ) = 1 ⇒ g( 3 4 ) = 3 4 8.3. В ОЗМОЖНА ЛИ ИНАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ ? ( ФФ ) 253 Аналогично беря значение | φ 3 |ψ | 2 в уже установленных точках, мы мо- жем показать, что g k 2 n = k 2 n , n = 0, 1, 2, . . . , k = 0, 1, . . . , 2 n Это множество точек плотно на отрезке [0, 1]. Из непрерывности функции g заключаем, что g(x) = x, x ∈ [0, 1]. Обсуждение Мы доказали теорему Эверетта, использовав весьма общие и естествен- ные предположения. Если мы «верим в квантовую механику», т. е. если мы считаем, что разработанная для описания замкнутых систем унитар- ная квантовая механика в самом деле позволяет описать Вселенную вокруг нас, и нам не требуется вводить в теорию никаких новых ингредиентов, то теорема должна нас убедить, что никаких других формул для квантовой вероятности в принципе не может быть. Однако в названии этого раздела слово «вывод» было взято в кавыч- ки. Дело в том, что у нас нет достаточных оснований полагать, что про- цесс измерения описывается на языке унитарной квантовой механики, без введения дополнительных структур. Например, если процесс измерения ха- рактеризуется не только начальным и конечным состояниями системы, но и какими-то выделенными состояниями, характеризующими измеритель- ную установку, то привед¨енное доказательство теоремы уже не работает (квантовая механика при этом могла бы даже оставаться унитарной). Тем более теорема не должна работать, если мы рассмотрим какое-либо нели- нейное обобщение квантовой теории. 8.3.2. «Ж¨есткость» формулы для вероятностей (фф) Можем ли мы тем или иным способом (см., например, раздел 9.3.9 «Ак- тивное сознание (фф*)») управлять квантовыми случайностями, или хотя бы изменить квантовые вероятности по сравнению со стандартной форму- лой |ψ n | 2 ? Продемонстрируем на примере измерения системы (кубита), имеющей два базисных состояния |0 и |1 , что управление вероятностями привело бы к возможности передавать информацию на расстоянии со сколь угодно большой скоростью, грубо нарушая постулаты специальной теории отно- сительности. Пусть наш кубит находится в состоянии, зацепленном с другим куби- том: |Ψ = |0 |0 + |1 |1 √ 2 (8.3) 254 Г ЛАВА 8 Пусть первый кубит находится у Алисы, а второй у Бориса. Алиса измеряет состояние своего кубита в базисе |0 , |1 . При этом кубит Бориса оказывается в том же состоянии, что и кубит Алисы: |Ψ −→ |0 |0 или |1 |1 . Таким образом, управляя результатом своего измерения, Алиса тем самым управляет результатом измерения, которое чуть позже производит Борис над своим кубитом. Мы видим, что если почти на полпути между Алисой и Борисом есть источник запутанных кубитов, которые прилетают к Алисе чуть-чуть рань- ше, то Алиса может передавать Борису информацию на любое расстояние со сколь угодно малой задержкой! Для такой передачи не надо даже полнос- тью управлять результатом измерения, достаточно лишь чуть-чуть сдви- нуть вероятность в желаемую сторону, тогда, повторив передачу несколько раз, удастся передать Борису любое сообщение, закодировав его состояния- ми |0 и |1 . А если сделать преобразование Лоренца, то окажется, что управляя вероятностями, Алиса может передавать информацию не только со сверхсветовой скоростью, но и в прошлое. Полученные противоречия со специальной теорией относительности позволяют сделать заключение, что квантовая формула для вероятностей является очень «ж¨естким» элементом квантовой теории. Попытки е¨е мо- дифицировать наверняка приведут к проблемам с причинностью (причина позже следствия). Соответствующая теорема о квантовой телепатии до- казывается ниже в разделе 8.3.3. |