Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
Переход от квантовой механики к классической . . . 363 13.1. Волны де Бройля. Фазовая и групповая скорость . . . . . . . 363 13.2. Что такое функция от операторов? . . . . . . . . . . . . . . . . 365 13.2.1. Степенные ряды и полиномы коммутирующих аргу- ментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 13.2.2. Функции одновременно диагонализуемых операторов . 366 13.2.3. Функции некоммутирующих аргументов . . . . . . . . 367 13.2.4. Производная по операторному аргументу . . . . . . . . 368 13.3. Теорема Эренфеста . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 13.3.1. Отличие от классического случая* . . . . . . . . . . . . 372 13.4. Теорема Геллмана – Фейнмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 13.5. Квазиклассическое приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 13.5.1. Как угадать и запомнить квазиклассическую волно- вую функцию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 13.5.2. Как вывести квазиклассическую волновую функцию . 377 13.5.3. Квазиклассическая волновая функция у точки поворота 379 13.5.4. Квазиклассическое квантование . . . . . . . . . . . . . 383 13.5.5. Спектральная плотность квазиклассического спектра . 384 13.5.6. Квазистационарные состояния в квазиклассике . . . . 386 13.5.7. Квазиклассическая вероятность туннелирования . . . . 388 13.5.8. Несколько слов об инстантонах** . . . . . . . . . . . . 390 13.6. Сохранение вероятности и уравнение непрерывности . . . . . 391 13.6.1. Как угадать и запомнить плотность потока вероятности 392 13.6.2. Многоч астич ный случ ай . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 13.6.3. Поток вероятности в присутствии электромагнитного поля* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 13.6.4. Почему координатное представление?** . . . . . . . . 395 13.7. От матрицы плотности к плотности вероятности** . . . . . . 395 О ГЛАВЛЕНИЕ xi Г ЛАВА 14. Симметрии-2* (группы и представления) . . . . . . . 398 14.1. Группы и их представления (л) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 14.2. Группы (л) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 14.2.1. Определение и смысл (л) . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 14.2.2. Коммутативность и некоммутативность (л) . . . . . . . 401 14.2.3. Подгруппы (л) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 14.2.4. Конеч ные группы (л) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 14.2.5. Стандартные матричные группы (л) . . . . . . . . . . . 405 14.3. «Симметрии-1» и «Симметрии-2». В ч¨ем различие?* . . . . . 406 14.3.1. Однопараметрические группы* . . . . . . . . . . . . . 406 14.3.2. Группы и алгебры Ли* . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 14.4. Представления групп (л) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 14.4.1. Существование* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 14.4.2. Приводимость и инвариантные подпространства (л) . . 410 14.4.3. Разложение представления в сумму неприводимых (л) 411 14.4.4. Умножение представлений (лф*) . . . . . . . . . . . . . 413 Г ЛАВА 15. Вращения и моменты . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 15.1. Группа вращений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 15.1.1. Что такое поворот (л) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 15.1.2. Квантовые вращения** . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 15.2. Представления вращений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 15.2.1. Орбитальные моменты . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 15.2.2. Спектр оператора ˆ j z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 15.2.3. Операторы ˆ j ± . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 15.2.4. Собственные векторы операторов ˆ j z , ˆ j 2 . . . . . . . . . 426 15.2.5. Орбитальные и спиновые моменты . . . . . . . . . . . 429 15.2.6. Коммутаторы моментов импульса . . . . . . . . . . . . 430 15.2.7. Лестничные операторы для осциллятора ˆ a ± и момен- та импульса ˆ j ± ** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 15.3. Спин 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 15.3.1. Матрицы Паули . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 15.3.2. Кватернионы** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 15.3.3. Геометрия чистых состояний кубита** . . . . . . . . . 439 15.3.4. Геометрия смешанных состояний кубита** . . . . . . . 440 15.4. Спин 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 15.4.1. Вращения для спина 1 и для векторов . . . . . . . . . . 443 15.4.2. Спин и поляризация фотона . . . . . . . . . . . . . . . 444 15.5. Сложение моментов* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 xii О ГЛАВЛЕНИЕ 15.5.1. Сложение спинов 1 2 + 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 15.5.2. Ч¨етность при сложении двух одинаковых спинов . . . 449 15.5.3. Сложение моментов j + 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 452 15.5.4. Сложение моментов 1 + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 453 Г ЛАВА 16. Задача двух тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 16.1. Законы сохранения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 16.2. Сведение к задач е одного тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 16.3. Сведение к задач е о радиальном движении . . . . . . . . . . . 458 16.3.1. Асимптотика r → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 16.3.2. Асимптотика r → ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 16.4. Атом водорода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 16.4.1. Кулоновские и атомные единицы . . . . . . . . . . . . 465 16.4.2. Решение безразмерного уравнения . . . . . . . . . . . . 467 16.4.3. Атом водорода в «старой квантовой механике»* . . . . 469 Г ЛАВА 17. Квантовая и классическая история. Вместо послесло- вия (ффф) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 17.1. Предварительные извинения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 17.2. Сослагательное наклонение в истории . . . . . . . . . . . . . 471 17.2.1. Классическая неустойчивая динамика . . . . . . . . . . 471 17.2.2. Квантовая многомировая история . . . . . . . . . . . . 472 17.2.3. Квантовая история и сознание . . . . . . . . . . . . . . 474 17.3. Неопредел¨енное ближайшее будущее . . . . . . . . . . . . . . 476 17.3.1. Приближение бифуркации . . . . . . . . . . . . . . . . 476 17.3.2. Перестройка спектра состояний . . . . . . . . . . . . . 476 17.4. Пост-какое-то общество . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 17.4.1. Постсельское общество . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 17.4.2. Постиндустриальное общество . . . . . . . . . . . . . . 480 17.4.3. Структура перехода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 17.5. Школоцентризм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 17.6. Заключ ительные извинения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486 Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 — Не может быть! — воскликнула Алиса. — Я этому поверить не могу! — Не можешь? — повторила Королева с жалостью. — Попробуй ещ¨е раз: вздохни поглубже и закрой глаза. Алиса рассмеялась. — Это не поможет! — сказала она. — Нельзя поверить в невозможное! — Просто у тебя мало опыта, — заметила Королева. — В тво¨ем возрасте я уделяла этому полчаса каждый день! В иные дни я успевала поверить в десяток невозможностей до завтрака! Льюис Кэрролл, «Сквозь зеркало и что там увидела Алиса, или Алиса в Зазеркалье» (Пер. Н. М. Демуровой) * * Интересны выходные данные книги: Льюис Кэрролл. Приключения Алисы в стране чудес. Сквозь зеркало и что там увидела Алиса, или Алиса в Зазерка- лье». — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1991. Как читать эту книгу и откуда она взялась На свете есть столь серь¨езные вещи, что говорить о них можно только шутя. Нильс Бор W Рис. 1. Сами создатели квантовой механики бы- ли людьми нескучными. Нильс Бор демонстрирует Вольфгангу Паули волчок «тип-топ». [Из книги Данин Д. С. Нильс Бор. — М.: Молодая гвардия, 1978 (серия ЖЗЛ)] Первоначально автор хотел просто соб- рать сво¨е изложение возникающих в кванто- вой механике вопросов, которые можно по- нять, но понимание которых требует отказа от ряда классических (доквантовых) предрассуд- ков, прочно ассоциируемых со здравым смыс- лом. Многие задачи, разбираемые на семина- рах по квантовой механике, являются на са- мом деле важными теоретическими вопроса- ми, поэтому данная книга постепенно стано- вится учебником по квантовой механике. На данный момент книга полностью покрывает программу первого семестра стандартного го- дового курса квантовой механики, читаемого студентам Московского физико-технического института (МФТИ), и некоторые темы второго семестра, а также содержит обсуждение ряда вопросов, выходящих за пределы программы, но пред- ставляющих интерес для любознательного читателя. Как любой учебник, претендующий на фундаментальность, этот текст содержит разделы, которые не нужны студенту, чья цель — сдать экзамен и забыть о квантовой механике как о страшном сне. Поэтому различные разделы книги имеют разный статус, который отражается в их заголовках: • Разделы, заголовки которых кончаются на «(ф)», — «философические», в них мало формул и много слов, обсуждающих физический и/или xvi К АК ЧИТАТЬ ЭТУ КНИГУ философский смысл квантовой механики в целом или отдельных е¨е разделов. Эти разделы могут быть полезны с точки зрения понима- ния. Читатель, не знающий и не желающий знать, как в квантовой механике делаются конкретные вычисления, может ограничиться эти- ми разделами. Наиболее «философические» разделы, т. е. те, где рас- суждения наиболее шатки и наименее проверяемы опытом, помечены «(фф)». Философические разделы, в которых рассуждения подкреп- ляются формулами, пусть и не строгими, обозначаются как «(ф*)», «(фф*)», «(ф**)» или «(фф**)» в зависимости от степени философич- ности и математичности. Все философические разделы можно пропус- кать при чтении, хотя такие пропуски (особенно для разделов с малым числом букв «ф») могут затруднить понимание материала. • Разделы, помеченные зв¨ездочкой «*», означают материал, который можно пропустить при первом чтении. Обычно в них содержится мате- риал, уводящий в сторону от основного сюжета. Такой материал может также помещаться в сноски. На втором/третьем заходе с этими разде- лами лучше ознакомиться. Двумя зв¨ездочками «**» помечены разделы, которые можно пропускать при любой степени проработки текста. Хо- тя, пропуская эти разделы, вы рискуете не узнать что-то такое, о ч¨ем большинство учебников умалчивает как об очевидных и/или бесполез- ных фактах. Зв¨ездочкой в квадратных скобках [ ∗] отмечаются неко- торые необязательные при первом чтении формулы. Зв¨ездочка также сопровождает ссылки на такие формулы. • Разделы, заголовки которых кончаются на «(л)», — «ликбезовские». В них напоминается то, что вы, по идее, должны бы знать. Даже если вы уверены, что и в самом деле это знаете, то возможно имеет смысл просмотреть такой раздел хотя бы по диагонали, чтобы вспомнить ма- териал, понять в каком контексте его прид¨ется применять далее и какие обозначения будут использоваться. Те же символы могут помечать не целые разделы, а отдельные абзацы. Многие ссылки на оригинальные публикации автор не проверял лич- но, а списал из интернета (преимущественно из Википедии). Однако все (кроме особо оговоренных случаев) эпиграфы списаны из тех самых книг, на которые ид¨ет ссылка (иногда из электронных версий, а иногда из бу- мажных). Также все математические/физические выкладки и рассуждения автор проделал/проверил сам (с той или иной степенью строгости). Фотографии и рисунки, взятые из Википедии (http://ru.wikipedia.org/) или Викисклада (http://commons.wikimedia.org/), помечены буквой «W» в конце подписи к рисунку, аналогично помечены эпиграфы, проверенные по Википедии или Викицитатнику (http://ru.wikiquote.org/). 1. Б ЛАГОДАРНОСТИ xvii 1. Благодарности В написании книги автору помогали многие люди. Они указывали на ляпы и опечатки, давали советы и консультации по специальным вопросам, просто подтверждали нужность такой книги. В первую очередь я хочу выразить глубокую благодарность за помощь и поддержку моим родителям: отцу Геннадию Васильевичу Иванову, бла- годаря которому я решил стать физиком (ещ¨е до того, как понял, что это значит), и матери Валентине Михайловне Ивановой, которая первая заме- тила у меня страсть к преподаванию. Из коллег в первую очередь я хочу выразить благодарность моему Учи- телю Игорю Васильевичу Воловичу, относящемуся к тем Уч¨еным, кто ви- дит в формулах не только математический и физический смыслы, но также философский смысл и педагогическое значение. Хочу выразить благодарность всем сотрудникам Отдела математичес- кой физики Математического института им. В. А. Стеклова РАН, во главе с патриархом отдела и института Василием Сергеевичем Владимировым за плодотворную научную и человеческую атмосферу, в которую я имел счастье погрузиться, начиная с 5-го курса МФТИ. Также хочу выразить благодарность всем сотрудникам кафедры теоре- тической физики МФТИ и особенно Н. Н. Пастушковой за создание научно- педагогической и человеческой среды, которая вызвала появление этой книги. Помощь советами, консультациями, дискуссиями и критикой мне оказали: И. В. Волович , Ю. М. Белоусов, В. И. Манько, Г. С. Ирошников, О. И. Толстихин, С. В. Козырев, Е. И. Зеленов. Дали разв¨ернутые дружески- критические отзывы: Л. А. Моргун, С. Петренко, С. Шушкевич. Прочитали бета-версию и объяснили, что такая книга непременно нужна и должна быть издана несмотря на или, наоборот, по причине своего непривычного и личного стиля изложения В. Б. Гейшкенбейн, В. М. Вайнберг, Н. Г. Мар- чук. На ляпы и опечатки указали: М. А. Энтин, Г. А. Гимранов, А. В. Зыков, А. В. Зыкова, А. Н. Волощук, С. Г. Абаимов и другие. Не все замечания и критика были учтены. В некоторых случаях я осо- знанно (хотя, возможно, и опрометчиво) отказался от внесения исправле- ний, за что приношу коллегам свои извинения. Отдельную благодарность хочу выразить издательству РХД и лично директору Алексею Владимировичу Борисову за то, что выход книги на бумаге, не помешает свободному доступу к электронной версии на русском языке. Работа по написанию данной книги была частично поддержана грантами РФ- ФИ 11-01-00828-а и НШ-2928.2012.1. xviii К АК ЧИТАТЬ ЭТУ КНИГУ 2. О распространении данной книги Целью автора при написании данной книги является популяризация квантовой механики и обсуждение е¨е основополагающих идей среди сту- дентов, а также профессионалов и любителей науки. Если человек читает книгу, чтобы разобраться в квантовой механи- ке, то было бы странно брать с него за это деньги, наоборот, обще- ство должно доплачивать за такие благородные побуждения. Такого ро- да доплата обычно называется «студенческая стипендия» или «зарплата» уч¨еного/преподавателя. К сожалению, объ¨ем подобных выплат в современ- ной России плохо соотносится с типичными ценами книг по квантовой механике (книга такого объ¨ема обычно стоит от 500 руб.). Автор обещает, что текущая стабильная версия книги на русском языке будет доступна для свободного скачивания с интернет-странички Межпред- метного семинара кафедры теоретической физики МФТИ (http://mezhpr.fizteh.ru/), либо с другой интернет-странички. Автор не на- мерен брать на себя каких-либо обязательств (перед издателями, работода- телями или кем-либо ещ¨е), которые препятствовали бы этому. В договоре с издательсвом «Регулярная и хаотическая динамика» (г. Ижевск), специально оговор¨ена возможность свободного доступа к элек- тронной версии книги на интернет-портале Московского физико-техниче- ского института (государственного университета) и на личном интернет- сайте автора. Обещания автора, касающиеся свободного доступа к электронному тексту книги, относятся только к русской версии. М. Г. Иванов P.S. Если вы получили книгу из какого-либо места, отличного от ин- тернет-странички Межпредметного семинара кафедры теоретической фи- зики МФТИ (например с торрентов или на бумаге), проверьте, нет ли в раз- деле «библиотека» интернет-странички Межпредметного семинара более свежей версии (см. http://mezhpr.fizteh.ru/biblio/q-ivanov.html). Г ЛАВА 1 Место квантовой теории в современной картине мира (фф) Теоретическая физика достигла таких высот, что (мы) можем рассчитать даже то, что невозможно себе представить. Л. Д. Ландау W Квантовая теория возникла как фундаментальная теория микрообъек- тов. Однако, если эта теория действительно фундаментальна, то е¨е область применимости должна быть шире. Насколько шире? Никто пока что не знает. Но мы можем сказать, в каких разделах физики мы заведомо не можем обойтись без квантовой теории. Краткому популярному обзору этих заведо- мо квантовых разделов физики и их основных объектов мы и посвятим эту главу. О самой квантовой механике не будет сказано практически ничего. Читать (или не читать) эту главу можно независимо от остальной кни- ги, как научно-популярное введение, доступное для понимания любозна- тельного школьника. 1.1. Вглубь вещества Итак, большая часть вещества, с которым нам приходится иметь де- ло, состоит из молекул и атомов. Кроме молекул и атомов в повседневной жизни нам приходится сталкиваться только с электромагнитным и грави- тационным полем. Молекулы состоят из атомов. Каждый отдельный атом состоит из ядра и некоторого количества электронов (e — электрический заряд равен −1 в единицах элементарно- го заряда). Атомные ядра состоят из протонов (p — заряд +1) и нейтронов (n — заряд 0), которые «склеены» между собой с помощью глюонов (квантов 2 Г ЛАВА 1 сильного взаимодействия). Впрочем, пока мы не рассматриваем ядерные реакции, внутреннюю жизнь атомного ядра можно не учитывать. Протоны и нейтроны состоят из u (заряд 2 3 ) и d (заряд − 1 3 ) кварков (p = uud, n = udd). Одиночных кварков не бывает. Они входят только в состав составных частиц с целым электрическим зарядом. Кварки и электроны считаются истинно элементарными частицами: они ни из чего не состоят, но могут превращаться в другие частицы 1 Этих частиц и кванта электромагнитного поля (фотона) достаточ но для построения всего «обычного» вещества в земных условиях. Если нам нужны ещ¨е и «обычные» ядерные реакции (чтобы зажечь Солнце), то пона- добится ещ¨е ч етв¨ертая частица ν e — электронное нейтрино. Электронное нейтрино можно описать как электрон без электрического заряда (и это не просто шутка). Перечисленные четыре частицы (u, d, ν e , e) образуют первое поколе- ние истинно элементарных фермионов, однако есть ещ¨е второе и третье поколения, частицы которых аналогичны описанным частицам, но имеют большую массу (их можно рассматриваться как аналоги или возбужд¨енные состояния соответствующих частиц первого поколения). Каждому фунда- ментальному фермиону соответствует своя античастица. |