Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
неэквивалентные определе- ния: • Вакуум-2 — это состояние квантованного поля, в котором отсутствуют возбуждения (частицы или квазичастицы). • Вакуум-3 — это состояние квантованного поля с минимальной энер- гией. Таким образом, мы располагаем по крайней мере тремя неэквивалент- ными определениями вакуума. Если вакуум-2 или вакуум-3 не соответствует вакууму-1, то он явно противоречит теории относительности. Такой вакуум не годится на роль вакуума фундаментальной теории, но он может появляться в теориях кон- денсированного состояния как некоторое фоновое состояние среды, по ко- торому распространяются различные возбуждения (частицы или квазичас- тицы). Если вакуум-2 не является вакуумом-3, то это означает, что мы выбра- ли неправильный вакуум (неправильный фон), случайные возбуждения де- лают это состояние неустойчивым, и оно самопроизвольно свалится в дру- гое состояние с более низкой энергией. Выбор такого неправильного вакуу- ма означает не только неправильное определение фона, по которому бегают возбуждения, но и неправильное определение самих этих возбуждений, раз они отсчитываются от неправильного фона. Выбирая неправильный ваку- ум, мы неправильно считаем сколько частиц присутствует в интересую- щем нас состоянии поля. Часто неправильный выбор вакуума связан с тем, что настоящий вакуум-3 менее симметричен, чем вакуум-2, и поэтому его сложнее найти. Такую ситуацию называют спонтанным нарушением сим- метрии. Модели поля Хиггса строят как раз таким образом, чтобы минимальная энергия соответствовала однородному ненулевому потенциалу. Для этого в плотность энергии поля вводится член, вида потенциал «мексиканская 20 Г ЛАВА 1 шляпа» U (Φ) = a |Φ| 4 − b|Φ| 2 Если вакуум-1 не является вакуумом-3, то его называют псевдовакуу- мом. Он может существовать какое-то время, воспринимаясь как настоящий вакуум, после чего спонтанно разрушится, высвободив избыток энергии в виде частиц, которые будут возбуждениями уже на фоне другого вакуума, с более низкой энергией. В современной теории Большого взрыва распад псевдовакуума связывают с завершением стадии инфляции (экспоненциаль- ного раздувания ранней Вселенной) и рождением во Вселенной вещества. Для того чтобы существовало состояние вакуум-3, необходимо, чтобы спектр возможных значений энергии квантованного поля был ограничен снизу. Для многих теорий эта ограниченность очевидна, но для гравита- ционного поля это не так. Гравитация описывает притяжение частиц, из- за чего гравитационная энергия, как правило, отрицательна. Достигает ли она минимума, или может неограниченно уходить в область отрицательных значений? Поскольку у нас пока нет квантовой теории гравитации, ответа на этот вопрос мы пока не знаем. Если энергия гравитационного поля не ограничена снизу, то вакуум-3 вообще не существует. В этом случае может оказаться, что каждый очередной вакуум-1 — это на самом деле псевдова- куум, распад которого может порождать вс¨е новые и новые частицы (или даже Вселенные). 1.2. Откуда пошла квантовая теория В начале XX века, когда создавалась квантовая механика, физики не знали большую часть того зоопарка частиц, которые рождаются на ускори- телях сегодня. Из четыр¨ех известных сегодня взаимодействий было извест- но только два «школьных»: гравитационное и электромагнитное. Постепенно становилось понятно, что должно быть ещ¨е какое-то «ядерное взаимодействие», связанное с взаимодействием частиц внутри атомных ядер. По мере развития физики различие в скоростях ядерных ре- акций подсказало, что ядерных взаимодействий на самом деле два — силь- ное («склеивающее» частицы в ядрах) и слабое (отвечающее за β-распад). Первоначально квантовая механика была теорией фотонов и нереля- тивистских заряженных частиц (электронов и атомных ядер). Более того, тяж¨елые (по сравнению с электронами) атомные ядра в большинстве пер- воначальных задач можно было рассматривать как классические объекты. Так что первоначальные объекты квантовой механики — фотоны и нерелятивистские электроны во внешних полях. Этот сравнительно узкий 1.3. К ВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И СЛОЖНЫЕ СИСТЕМЫ 21 Рис. 1.9. Электронные орбитали для молекулы воды — попытка изобразить волно- вую функцию валентных электронов. раздел физики охватывает львиную часть всех задач, которые нужны чело- вечеству в повседневной жизни, потому что вс¨е окружающее нас обычное вещество состоит именно из этих ингредиентов. Квантовая механика стала физической основой химии, отобрав у химии некоторые разделы, такие как спектроскопия и теория химической связи. Получил объяснения открытый Менделеевым в 1869 году периодический закон. Те «воздушные шарики»– орбитали, которыми морочат нам голову химики, — всего лишь попытка дать представление о квантовомеханических эффектах, не прибегая к кван- товой механике. Однако полностью свести химию к физике так и не удалось, по при- чине очень быстрого роста (существенно более быстрого, чем в классичес- кой физике) вычислительной сложности квантовомеханических расч¨етов с ростом числа частиц. 1.3. Квантовая механика и сложные системы Мы уже упоминали, что с ростом числа частиц сложность квантовых вычислений раст¨ет существенно быстрее, чем сложность классических вы- числений. Тем не менее, квантовая механика успешно применяется в стати- стической физике и, в частности, в физике конденсированного состояния. При этом оказывается, что очень многие (почти все) макроскопические явления могут быть объяснены только с привлечением квантовой теории. 1.3.1. Феноменология и квантовая теория Мы можем в рамках классической теории описывать, например, на- магниченность, но только на феноменологическом уровне: кто-то должен 22 Г ЛАВА 1 экспериментально промерить эмпирические зависимости намагниченности от поля, температуры и т. д., после чего из экспериментальных данных бу- дут извлечены несколько подгоночных параметров, которые будут вставле- ны в теорию. Если такая феноменологическая теория построена с уч¨етом общих законов термодинамики, то на макроуровне она будет замечательно работать, но ответить на вопрос о том, почему подгоночные параметры тео- рии оказались именно такими, классический (т. е. неквантовый) теоретик не может. Квантовая теория позволяет вывести из первых принципов (хотя бы в принципе, но часто и на практике) те параметры феноменологической теории, которые классические физики могли получать только из экспери- мента как подгоночные. Зная, например, что в атоме углерода содержит- ся по 6 штук протонов, нейтронов и электронов, мы можем попробовать определить спектр углерода, его кристаллическую реш¨етку, тепло¨емкость, проводимость, точки и параметры фазовых переходов и т. д. Конечно, будут получаться громоздкие уравнения, но квантовая механика, по крайней ме- ре, говорит нам как эти уравнения записать. А дальше нам надо упростить получившиеся уравнения так, чтобы их можно было решить, и при этом они продолжали адекватно описывать интересующие нас явления. Возмож- но, нам это не удастся, но даже в этом случае у нас есть веские основания утверждать, что квантовая теория должна описывать эти явления, хотя мы пока не можем это показать. 1.3.2. Макроскопические квантовые явления Все макроявления можно считать квантовыми, но некоторые из них более квантовые, чем другие. Это явления, которые с макроскопической точки зрения выглядят слишком необычно. К макроскопическим квантовым явлениям обычно относят: • индуцированное излучение и связанные с ним явления (лазеры); • сверхпроводимость: – квантование магнитного потока через сверхпроводник; – суперпозиция токовых состояний (ток теч¨ет по кольцу сразу в обе стороны); • сверхтекучесть: – вихревые нити; – течение сверхтекучей и нормальной фазы в одном объ¨еме в раз- ные стороны. 1.3. К ВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И СЛОЖНЫЕ СИСТЕМЫ 23 Список, разумеется, неполон, в том числе и потому, что раз уж вся физика в основе своей квантовая, то относить ли то или иное макроскопическое явление к квантовым во многом зависит от произвола конкретного автора. Особенно много неясностей с макроскопическими квантовыми явле- ниями возникает тогда, когда к физике примешивается философия (интер- претации квантовой теории), а возможность проверить слова эксперимен- том в настоящее время отсутствует. Например, ряд авторов (в том числе Роджер Пенроуз) полагает, что макроскопическим квантовым явлением яв- ляется сознание человека. Сверхтекучесть и сверхпроводимость Рис. 1.10. П¨етр Леонидович Капица (1894–1984). На всякий случай напомним читателю, чт´о из себя представляют явления сверхтеку- чести и сверхпроводимости. Сверхтекучесть жидкого гелия была от- крыта в 1937 году П. Л. Капицей. В сверхтекучем состоянии жидкость вед¨ет себя так, как будто один и тот же объ¨ем зани- мают две разные жидкости, одна из которых имеет нулевую вязкость, а другая — нормаль- ная (вязкая) жидкость. Нормальная и сверх- текучая компоненты беспрепятственно текут друг сквозь друга. При различных способах измерения сверх- текучая жидкость демонстрирует нулевую, ли- бо отличную от нуля вязкость, поскольку к по- добной двухкомпонентной жидкости понятие вязкости в классическом смысле не применимо. При движении тела в среде нормальная компонента созда¨ет силу сопротивления, и мы видим ненулевую вязкость. При тече- нии жидкости через капилляры поток определятся почти исключительно сверхтекучей компонентой, и мы видим нулевую вязкость. Сверхтекучая жидкость при прохождении через капилляр охлаждается, т. к. сверхтекучей компоненте можно приписать нулевую температуру, а через капилляр про- ходит главным образом она. Сверхтекучую жидкость нельзя рассматривать как механическую смесь двух фаз, мы не можем сказать, что одни частицы относятся к сверхтеку- чей компоненте, а другие к нормальной. При описании сверхтекучей жид- кости степени свободы, относящиеся к обоим компонентам, нельзя связать с отдельными частицами — это коллективные степени свободы, описываю- 24 Г ЛАВА 1 щие коллективные возбуждения (квазичастицы), параметры которых (мас- са, спин, заряд) отличны от параметров отдельных частиц жидкости. Сверхпроводимость — сверхтекучесть электронной жидкости в сверх- проводнике. Квазичастицы сверхпроводящей компоненты отчасти ведут се- бя как связанные состояния двух электронов (куперовские пары). Притяже- ние электронов в паре обеспечивается за сч¨ет взаимодействия с колебания- ми кристаллической реш¨етки (за сч¨ет обмена фононами). Переход в сверхпроводящее состояние открыл в 1911 году Камерлинг- Оннес для ртути (температура перехода 4,1 К). В настоящее время (согласно Википедии) наиболее высокая подтвержд¨енная температура перехода по- лучена для Hg 12 Tl 3 Ba 30 Ca 30 Cu 45 O 127 — 138 К при нормальном давлении и 164 К при давлении 3,5 · 10 5 атм. Рис. 1.11. Хейке Камерлинг– Оннес в 1878 г. (1853–1926). W Переходы в сверхпроводящее (сверхтеку- чее) состояние в отсутствие внешних полей являются фазовыми переходами второго рода, т. е. в точке перехода нормальное и сверхтеку- чее (сверхпроводящее) состояния не различа- ются: концентрация сверхтекучей компоненты в точке перехода равна нулю, и становится от- лична от нуля при более глубоком охлаждении. Сверхтекучая (сверхпроводящая) компо- нента рассматривается как бозе-конденсат ква- зичастиц (коллективных возбуждений) среды. Все квазичастицы конденсата описываются общей волновой функцией, квадрат которой зада¨ет концентрацию квазичастиц. Именно эту волновую функцию обычно выбирают в каче- стве параметра порядка при рассмотрении фа- зового перехода. Поскольку бозе-конденсации могут подвергаться только бозоны, квазичастицы конденсата всегда имеют целый спин, даже если жидкость состоит из фермионов, как электронная жидкость (квазичастицы конденсата — куперовские пары) или жидкий He 3 Поскольку состояние большого количества частиц описывается одной волновой функцией, то многие квантовые явления, которые обычно отно- сятся к микросистемам, здесь оказываются макроскопическими. 1.3.3. Вымораживание степеней свободы Из тр¨ех перечисленных выше макроскопических квантовых явлений два связаны с физикой низких температур. Это не случайно. Дискретность 1.3. К ВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И СЛОЖНЫЕ СИСТЕМЫ 25 уровней энергии в связанной квантовой системе приводит к тому, что очень высокие уровни энергии (E T , точ нее e − E T 1) практически не игра- ют роли, и связанные с этими уровнями энергии степени свободы можно не рассматривать. Таким образом, по мере уменьшения температуры «выклю- чаются» сильновозбужд¨енные состояния и поведение системы становится вс¨е проще и проще с квантовой точки зрения, т. е. квантовые явления про- являются вс¨е более и более отч¨етливо. Какие температуры считать низкими зависит от того, какие свойства для какой системы мы рассматриваем. Если нас интересует вырождение электронного газа в металле (распределение электронов по энергиям в ви- де ступеньки), то комнатная температура (300 K) может считаться низкой, а если нас интересует явление сверхпроводимости, то тот же металл, как правило, прид¨ется охладить до температуры в несколько кельвинов. В более плотно упакованных средах уровни энергии выше, соответ- ственно вымораживание происходит при более высоких температурах. Это можно понять из соотношения неопредел¨енностей δx · δp c¯ h, c ∼ 1. В плотной среде частица «зажата» соседями и δx для характерных состоя- ний мало. Соответственно, велико δp и велики характерные энергии. Следуя А. Ф. Андрееву 15 (с небольшими модификациями), перечислим некоторые этапы «вымораживания» степеней свободы по мере снижения температуры системы: • 10 10 K — отдельные протоны и нейтроны объединяются в атомные ядра — вымораживается независимое движение протонов и нейтронов; • 10 4 K — отдельные атомные ядра и электроны (плазма) объединяются в атомы — вымораживается (частично) независимое движение электро- нов и ядер; • отдельные атомы объединяются в молекулы — вымораживается неза- висимое движение атомов, оста¨ется движение молекулы как целого и колебания атомов вдоль химических связей (химические связи как пружинки; на языке теоретической механики — это собственные коле- бания); • прекращаются колебания атомов внутри молекулы; 15 А. Ф. Андреев «Последние достижения и актуальные проблемы в физике низких темпера- тур», обзорная лекция для студентов МФТИ, прочитанная 25 марта 2009 г. на Межпредметном семинаре. См. http://theorphys.fizteh.ru/subscription/RassylMejPred/mejprs25mar2009.html. 26 Г ЛАВА 1 • газ конденсируется в жидкость или тв¨ердое тело — вымораживает- ся независимое движение молекул, остаются коллективные колебания (например, звук), при которых каждая степень свободы описывает об- щее колебание всего образца (снова собственные колебания), т. е. сто- ячую или бегущую волну с частотой ω (такая волна описывается как совокупность квазичастиц с энергией ¯ hω, для звука — это фононы); • при дальнейшем понижении температуры вымораживаются коллектив- ные колебания с более высокими частотами. Детали того, какие именно коллективные возбуждения и как выморажи- ваются при низких температурах, зависят от того, какое вещество мы ис- следуем. Это могут быть, например, волны намагниченности, или волны де Бройля для частиц сверхтекучей фазы и др. Часто остающиеся после вымораживания коллективные степени свободы могут интерпретироваться в терминах движения сложных частиц (составных элементарных частиц, атомных ядер, атомов, молекул, тв¨ердых тел) или квазичастиц (фононов, куперовских пар, надконденсатных электронов и т. д.). Г ЛАВА 2 От классики к квантовой физике Если я видел дальше других, то потому, что стоял на плечах гигантов. Исаак Ньютон W Квантовая механика существенно отличается от классической (докван- товой) физики: идейно квантовая механика устроена по-другому. При этом многие классические идеи находят сво¨е применение, но в другом, часто неожиданном контексте. Многие «мелочи» (точные определения «очевид- ных» понятий, «чисто технические» оговорки и т. п.) при этом оказываются ключевыми. В этой главе почти популярно обсуждаются принципиальные сходства и различия классической и квантовой физики, для понимания которых не требуется знания квантовой механики. Как и глава 1 «Место квантовой теории в современной картине ми- ра (фф)», большая часть этой главы может (не)читаться отдельно от осталь- ной книги. Обязательным для понимания последующих глав является только опи- сание структуры квантовой механики в разделе 2.3 «Две ипостаси кванто- вой теории». 2.1. «Здравый смысл» и квантовая механика В действительности вс¨е не так, как на самом деле. Станислав Ежи Лец, «Неприч¨есанные мысли» Многое из того, что кажется школьнику обязательными свойствами любой физической теории, неприменимо в квантовой физике. Вот несколь- ко таких общих положений, которые великолепно работали столетиями, ка- 28 Г ЛАВА 2 зались настолько естественными для любой научной теории, что даже не оговаривались явно, но перестали работать в квантовой физике: • Точечная частица находится в некоторой единственной точке простран- ства в любой момент времени, иначе это не точечная частица. • Если провести над системой измерение, то мы станем лучше знать е¨е состояние, если мерить достаточно аккуратно. • Измерение всегда можно провести сколь угодно аккуратно, по крайней мере в принципе можно. • Наука объективна в том смысле, что при изучении любого объекта мы можем исключить из рассмотрения субъекта, который этот объект изучает и измеряет. • Если измерение говорит нам «ДА» (система определ¨енно обладает некоторым свойством), то такое же измерение над другой такой же системой в таком же состоянии тоже обязательно даст «ДА» (детер- минизм). • Для того, чтобы состояние системы изменилось, надо, чтобы что-то провзаимодействовало именно с этой системой. • Состояния всех подсистем однозначно определяют состояние системы в целом. |