Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
Все эти утверждения не работают в квантовой механике!!! «Не работают» не значит, что это «вообще» неверные утверждения. В своей области применимости (в классической физике) они работают ве- ликолепно, но не в квантовой механике. Эти утверждения оказались не фун- даментальными свойствами природы или проявлениями «здравого смыс- ла», а феноменологическими обобщениями с очень широкой, но ограни- ченной областью применимости. Эти сложности связаны со структурой квантовой теории, в которой, как и в других неклассических теориях, анализ процесса измерения игра- ет принципиальную роль и позволяет/заставляет отказаться от некоторых привычных, но принципиально ненаблюдаемых понятий. 2.2. Квантовая механика — теория превращений Большинство перечисленных выше сбоев классической физической интуиции связаны с тем, что процесс изменения состояния квантовой системы невозможно детально проследить. Впервые физики столкнулись 2.2. К ВАНТОВАЯ МЕХАНИКА — ТЕОРИЯ ПРЕВРАЩЕНИЙ 29 с этим при попытках описания постулированных Бором (1913) квантовых скачков, при которых состояние атома изменяется скачком с испусканием или поглощением фотона. Прорыв был достигнут, когда Гайзенберг (1925) отказался от рассмот- рения деталей процесса и вв¨ел матрицы, связывающие между собой началь- ные и конечные состояния системы, которые превращаются друг в друга по некоторым правилам. Одна из основных идей квантовой механики состоит в том, что Квантовая механика — теория превращений Прич¨ем проследить процесс превращения нельзя. Мы уже сталкива- лись с превращениями в предыдущей главе, при обзоре физики элементар- ных частиц. Перечислим некоторые важные случаи превращений: • Любой процесс — превращение начального состояния в конечное. • Движение = изменение = превращение. • «Распад» элементарной частицы, или радиоактивного ядра — это пре- вращение. Исходная частица может не содержать внутри чего-либо по- хожего на продукты «распада», в которые она превращается в некото- рый момент времени (момент точно не определ¨енный, не определимый и вообще «размазанный» по времени). • Фундаментальные превращения — это элементарные превращения, на которые могут быть разложены все другие, более сложные превраще- ния. • Стандартные «4 фундаментальных взаимодействия» — это те фунда- ментальные превращения, которые меняют число частиц, есть и дру- гие фундаментальные превращения, которые число частиц не меняют (пример см. следующий пункт). • Осцилляции нейтрино (аналогично осцилляции кварков) — процесс взаимопревращений разных сортов нейтрино друг в друга. • Важное фундаментальное превращение — превращение элементарной частицы в себя с изменением координат или без изменения импульса (не забываем, что координата и импульс одновременно не определены). • Если процесс (превращение) может происходить разными способами (например, процесс может быть разными способами разложен на фун- даментальные взаимодействия), и мы не можем эти способы различить 30 Г ЛАВА 2 между собой, то реализуются все способы одновременно, т. е. все спо- собы дают вклад в процесс. • Если с системой ничего не произошло, то она вс¨е равно превратилась из начального состояния обратно в начальное. В процессе этого пре- вращения она могла подвергнуться каким-то нетривиальным превра- щениям, возможно одновременно разным превращениям (см. предыду- щий пункт). 2.3. Две ипостаси квантовой теории Квантовая механика — вероятностная теория. Однако это верно только наполовину. На самом деле квантовая механика состоит из двух частей со своими областями применимости (но обе части описывают превращения): • полностью детерминистическая теория замкнутой квантовой систе- мы — теория того, что никто не может видеть, — того, что происходит, когда замкнутая система ни с кем не взаимодействует, — унитарная эволюция (описывается уравнением Шр¨едингера); • вероятностная теория измерений, описывающая результат измерения (т. е. взаимодействия системы с измерительным прибором), но не опи- сывающая сам процесс измерения, может быть, в свою очередь, разби- та на две части: – вычисление вероятностей различных исходов измерения (правило Борна), – вычисление состояния системы после измерения: ∗ если результат измерения известен (селективное измерение), ∗ если результат измерения неизвестен (неселективное измере- ние). 2.3.1. Когда наблюдатель отвернулся . . . А дальше ид¨ет коридор. Если распахнуть дверь в нашей гостиной пошире, можно увидеть кусочек коридора в том доме, он совсем такой же, как у нас. Но, кто знает, вдруг там, где его не видно, он совсем другой? Льюис Кэрролл, «Алиса в Зазеркалье» Уравнение Шр¨едингера не содержит ничего вероятностного. Оно пол- ностью описывает, как меняется со временем волновая функция, а волновая 2.3. Д ВЕ ИПОСТАСИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ 31 функция полностью описывает состояние системы. Более полное описа- ние невозможно, поэтому волновую функцию часто называют просто сос- тояние (или чистое состояние, см. ниже сноску 2). Кто-то может возра- зить, что как раз волновая функция описывает вероятности, но уравнение Шр¨едингера об этом «не знает», в этом разделе теории ничто не побуж- дает нас к использованию вероятностей, вероятности появятся, когда мы займ¨емся теорией измерений. Рис. 2.1. Эрвин Рудольф Йозеф Алек- сандр Шр¨едингер (1887–1961). W Волновая функция — максимально полное опи- сание системы в квантовой механике. Прич¨ем урав- нение Шр¨едингера позволяет по волновой функции, заданной в один момент времени, предсказывать е¨е поведение как впер¨ед, так и назад по времени, ес- ли система не подвергалась внешним возмущени- ям/измерениям (в данном случае это практически од- но и то же). Пока квантовая система эволюционирует сама по себе, квантовая механика даже более детерми- нистична, чем классическая, поскольку уравнение Шр¨едингера устойчиво по начальным данным: если в начальный момент времени волновая функция зада- на с некоторой ошибкой, то величина этой ошибки 1 не меняется со временем. Только для этого система должна быть замкнутой, т. е. наблюдателю мало «от- вернуться», ему надо ещ¨е и «выключ ить свет», изо- лировав систему от окружения. 2.3.2. На наших глазах . . . Совсем по-другому вед¨ет себя система, когда мы е¨е наблюдаем, т. е. подвергаем некоторому неконтролируемому внешнему воздействию. Имен- но в процессе измерения волновая функция проявляет свою вероятностную природу, и проявляется необратимость, свойственная квантовой механике. Состояние системы меняется скачком, и после измерения мы с некоторыми вероятностями имеем разные волновые функции 2 и различ ные результаты измерения. 1 Заданная как норма в пространстве L 2 . Необходимые для квантовой механики свойства и определения для пространства L 2 будут даны ниже. 2 Состояния, когда система с некоторыми вероятностями описывается разными волновыми функциями, называются смешанными состояниями. Смешанные состояния удобно описывать с помощью матриц плотности, о которых ещ¨е будет идти речь далее. 32 Г ЛАВА 2 Для того, чтобы измерение произошло, не важно, смотрит ли наблю- датель на стрелку прибора, и есть ли у прибора вообще стрелка. То, что наблюдатель отвернулся, не отменяет наблюдения 3 . Если вы наблюдаете процесс невооруж¨енным глазом, то для прекращения измерения мало за- крыть глаза, надо ещ¨е и выключ ить свет. Важно, ч то исследуемая кванто- вая система подверглась неконтролируемому взаимодействию с внешней макроскопической средой. Неконтролируемость взаимодействия делает его необратимым, и обеспечивается эта неконтролируемость тем, что среда со- держит макроскопически большое количество частиц. При этом, непосред- ственно в контакт с исследуемым объектом может вступать одна частица, но в процессе дальнейшей передачи сигнала и его усиления (если такое усиление нужно) в процесс вовлекается вс¨е больше и больше частиц. Ес- ли у прибора есть стрелка, то в результате макроскопический наблюдатель сможет поставить единичку в одну или другую колонку лабораторного жур- нала. Рис. 2.2. Макс Борн (1882–1970). W В некоторых случаях результат измерения мож- но предсказывать однозначно. Однако для этого вол- новая функция и измеряемая величина должны быть связаны определ¨енным соотношением, тогда говорят, что данная величина определена в данном состоянии. Для того же состояния системы (той же волновой функции) можно подобрать другую величину, изме- рение которой уже не будет однозначно предсказуе- мо. (Например из соотношения неопредел¨енности следует, что чем точнее определ¨ен импульс, тем силь- нее частица «размазана» по координате.) Вероятность того или иного исхода измерения физической величины описывается правилом Бор- на, связывающим квадрат модуля волновой функции (амплитуды вероятности) |ψ(x)| 2 с вероятностью результата измерения. Это правило, которое мы (в простейшем случае) «угадаем» при анализе смыс- ла комплексной амплитуды электромагнитной волны (2.7.2 «Комплексная амплитуда в оптике и число фотонов (ф*)»), является универсальным. Таким образом, состояние системы (заданное, например, волновой функцией) может меняться со временем двумя принципиально различными способами: предсказуемо без взаимодействия с окружением и непредсказуе- мо при измерении. 3 Знание наблюдателем результата измерения различает селективное измерение от неселек- тивного, но такое различие, основанное на незнании, уже полностью описывается на языке классической теории вероятностей. 2.4. П РИНЦИП СООТВЕТСТВИЯ ( Ф ) 33 2.4. Принцип соответствия (ф) Для того, чтобы состыковать квантовую теорию с над¨ежно установ- ленными и многократно подтвержд¨енными экспериментом и практикой за- конами классической физики и определить пределы применимости класси- ческой физической интуиции, Нильс Бор вв¨ел в 1923 году принцип соот- ветствия: Если при описании явления применимы две разные теории, то предсказания результатов эксперимента должны соответствовать друг другу. Однако язык, на котором теории описывают одно и то же явле- ние, может быть совершенно различен, и установление соответствия меж- ду различными описаниями может само по себе быть нетривиальной задачей. Также нетривиальной задачей является выяснение того, в ка- ких именно пределах предсказания теорий совпадают. Установление этих пределов важно для определения области применимости каждой тео- рии. Принцип соответствия — не физический, а общефилософский прин- цип. Применительно к квантовой механике его обычно формулируют так: Поведение квантовой системы в пределе больших квантовых чисел со- ответствует поведению аналогичной классической системы. Рис. 2.3. Нильс Хенрик Давид Бор (1885–1962). W Иногда общий принцип формулируют так: Новая теория должна в некотором пределе вос- производить предсказания старой, проверенной тео- рии. Однако такую формулировку следует считать слишком узкой, т. к. новая теория не всегда пере- крывает область применимости старой теории пол- ностью. На сегодняшний день у нас нет одной «са- мой современной» фундаментальной физической тео- рии, а есть несколько хороших фундаментальных фи- зических теорий, каждая из которых хорошо работает в своей области применимости и согласуется с други- ми теориями там, где их области применимости пере- секаются. Вот некоторые примеры теорий и примене- ния к ним принципа соответствия: • Ньютоновская механика (НМ) — общий предел для всех современных физических теорий для расстояний, врем¨ен, масс не слишком больших и не слишком малых, и скоростей много меньше скорости света. 34 Г ЛАВА 2 • Специальная теория относительности (СТО) полностью воспроизво- дит ньютоновскую механику в пределе малых скоростей. • Общая теория относительности (ОТО) полностью воспроизводит СТО в пределе малых масс, врем¨ен и расстояний (в малой области пространства-времени). • Нерелятивистская квантовая механика (КМ) полностью воспроизво- дит НМ в пределе больших расстояний, врем¨ен, действий (действие должно быть большое в единицах ¯ h, расстояние — в волнах де Бройля и т. д.). • Квантовая теория поля (КТП) (в виде стандартной модели) полно- стью воспроизводит КМ в пределе малых скоростей и энергий, пол- ностью воспроизводит СТО в пределе больших расстояний, врем¨ен, действий (как КМ воспроизводит НМ). КТП согласуется с ОТО в пре- деле слабых гравитационных полей, но для сильных гравитационных полей современная КТП не работает. Мы видим, что среди перечисленных теорий две «самые современ- ные»: ОТО и КТП. Они согласуются между собой, но ни одна не покрывает другую полностью. Конечно, физики мечтают открыть теорию, которая бы воспроизводила в соответствующих пределах и ОТО, и КТП. Есть разные претенденты на роль такой теории, но среди них пока нет общепризнан- ного. 2.5. Несколько слов о классической механике (ф) Счастливец Ньютон, ибо картину мира можно установить лишь однажды. Жозеф Луи Лагранж Классическая ньютоновская механика столетиями считалась абсолют- но точной и окончательной физической теорией. С начала XX века ока- залось, что на самом деле она описывает предельный случай не слишком больших и не слишком малых расстояний, врем¨ен, масс, скоростей. В сво- ей области применимости, где классическая механика великолепна, она ис- пользуется до сих пор и будет использоваться всегда. И, согласно принципу соответствия, любая физическая теория должна быть проверена на соответ- ствие с ньютоновской механикой. 2.5. Н ЕСКОЛЬКО СЛОВ О КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ ( Ф ) 35 2.5.1. Вероятностная природа классической механики (ф) Очень трудно сделать точный прогноз, особенно о будущем. Нильс Бор W Уравнение Шр¨едингера всегда устойчиво по начальным данным. В классической механике большинство интересных систем неустойчиво, т. е. первоначальная малая ошибка в начальных данных экспоненциаль- но нарастает со временем. Например, по оценке для тороидальной Зем- ли характерное время, за которое малые возмущения состояния двумерной атмосферы увеличиваются в e раз, составляет порядка одной недели: «На- пример, для вычисления погоды на два месяца впер¨ед нужно иметь в запасе пять знаков точности. Практически это означает, что вычислять погоду на такой срок невозможно» 4 Рис. 2.4. Аттрактор («бабочка») Лоренца — классический пример того, как детерми- нистическая динамика порождает хаос. Витки кривой проходят сколь угодно близко друг к другу, в результате чего сколь угодно малая ошибка приводит к тому, что со временем мы ошиб¨емся «лепестком». Первоначально аттрактор Лоренца возник при численном исследовании простейшей модели погоды. В реальности устойчивая механическая система, тем более разрешимая аналитически, — редкая удача. Практически каждая такая система является хорошим нулевым приближением для некоторого класса задач, отталкива- ясь от которого можно строить теорию возмущений, внося малые поправки в уравнения и их решения. 4 В. И. Арнольд, «Математические методы классической механики», Добавление 2: «Геоде- зические левоинвариантных метрик». 36 Г ЛАВА 2 Неустойчивость уравнений классической механики работает как свое- образный микроскоп, который вытягивает на макроуровень вс¨е более и бо- лее мелкие возмущения первоначальной системы. Это приводит к тому, что классическая механика позволяет делать предсказания на сколь угод- но длинные сроки только тому, кто знает начальные данные с бесконечной точностью, т. е. может оперировать с бесконечным объ¨емом информации 5 (Этот «кто-то» носит гордое имя Демона Лапласа.) На достаточно больших временах (по сравнению с характерным вре- менем нарастания возмущений) классическая механическая система «забы- вает» начальные данные (за исключением «хороших»=аддитивных сохра- няющихся величин, таких как энергия), и мы можем делать для не¨е лишь вероятностные предсказания. 2.5.2. Ересь аналитического детерминизма и теория возмущений (ф) . . . в пространстве ничего не пропадает; если ты оставишь в н¨ем портсигар, так достаточно рассчитать элементы его траектории, прибыть на то же место в надлежащее время, и портсигар, следуя по своей орбите с астрономической точностью, попад¨ет к тебе в руки в заранее рассчитанную секунду. С. Лем, рассказ «Патруль», серия «Приключения зв¨ездного навигатора Пиркса» Рис. 2.5. Демон Ла- пласа (Laplace No Ma) по версии японских мультипликаторов. [ c P-G/R] Простейшие классические механические систе- мы, такие как гармонический осциллятор, часто бы- вают и устойчивы, и аналитически решаемы, и тем самым, вдвойне не типичны. Это одна из причин то- го, за что их любят в школе и на младший курсах. Ко- нечно, приятно, когда уравнения решаются аналити- чески. Именно точные аналитические решения про- изводят впечатление наиболее «настоящих». Кому-то возможно кажется, что все уравнения должны так решаться. Такую точку зрения в комбинации с ла- пласовским детерминизмом можно было бы назвать «аналитическим детерминизмом». Сам Лаплас «ана- литического детерминизма», скорее всего, не придер- 5 Чтобы задать произвольное вещественное число, необходимо знать бесконечное количе- ство цифр после запятой. В теории случайных процессов вещественное число является одной из стандартных моделей случайного процесса, поскольку с помощью вещественных чисел из отрезка [0, 1] можно пронумеровать все бесконечные последовательности цифр. 2.6. Т ЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА КЛАССИЧЕСКАЯ И КВАНТОВАЯ ( Ф ) 37 живался, и своего демона придумал исключительно как мысленный экс- перимент, ведь в своих астрономических вычислениях ему приходилось вместо точных аналитических решений пользоваться последовательными приближениями теории возмущений. Теория возмущений сегодня строится в рамках различных физических теорий, но исторически первой была как раз небесная механика. Основ- ную идею теории возмущений можно описать так: мы упрощаем изучае- мую систему настолько, чтобы появились простые решения (так называе- мые «невозмущ¨енные решения», очень приятно, когда это точные анали- тические решения), после чего ищем решения исходной системы в виде «невозмущ¨енные решения» + «поправки». Например, рассматривая движение планет, лун, комет и других тел сол- нечной системы, мы сперва учитываем только притяжение планет к Солнцу и лун к соответствующим планетам, считая при этом Солнце, планеты и лу- ны материальными точками и пренебрегая ускорениями планет при расч¨ете движения лун. В этом приближении планеты и луны движутся по замкну- тым эллиптическим орбитам, в соответствии с законами Кеплера. После этого мы начинаем вводить разные поправки: учитываем те силы грави- тационного притяжения и силы инерции, которыми первоначально прене- брегли, учитываем, что небесные тела не точки, а стало быть действуют ещ¨е и приливные силы, что приливные силы могут вызывать в веществе трение и переводить механическую энергию в тепловую, что кометы при движении вблизи Солнца теряют вещество и т. д. и т. п. Первым крупным успехом классической теории возмущений следует, вероятно, считать открытие в 1846 году планеты Нептун, ранее предсказан- ной на основе анализа возмущений других планет. На сегодня понятно, что в большинстве теорий (как классических, так и квантовых) точное аналитическое решение — скорее счастливое исключе- ние, чем правило. Тем не менее, кажется, что бессознательный аналитичес- кий детерминизм продолжает оставаться мировоззрением многих людей, которые далеки от науки, но «верят в науку». Во всяком случае, в художе- ственной литературе подобные настроения частенько проскальзывают. |