Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
3.2. Возможно вс¨е, что может произойти (ф*) Представим себе следующий эксперимент, в котором частицы выле- тают из источника и попадают на фотопластинку, на которой возникает интерференционная картина. Пусть вначале между источником и фотоплас- тинкой нет никаких препятствий (рис. 3.6). Теперь поместим между фото- пластинкой и источником экран с двумя щелями (рис. 3.7). Чтобы получить амплитуду вероятности попадания частицы в некоторую точку пластинки, 3.2. В ОЗМОЖНО ВС ¨ Е , ЧТО МОЖЕТ ПРОИЗОЙТИ ( Ф *) 59 мы должны сложить амплитуды попадания частицы в заданную точку дву- мя различными способами: через первую щель и через вторую. Каждая из этих амплитуд вычисляется как произведение амплитуды попадания в со- ответствующую щель и условной амплитуды попадания из этой щели в за- данную точку пластинки A f = A 1 A 1 →f + A 2 A 2 →f (3.14) x w x ( ) Рис. 3.6. Частицы беспрепятственно падают на экран. Рис. 3.7. Интерференция на 2 щелях. 60 Г ЛАВА 3 x w x ( ) A 1 A 1 1 ® ' A 1' f ® A 2 A 2 2 ® ' A 2' f ® A 1 2 ® ' A 2 1 ® ' | + A A A 1 1 1 1 ® ® ' ' f + + A A A 1 1 2 2 ® ® ' ' f + + A A A 2 2 1 1 ® ® ' ' f + + A A A 2 2 2 2 ® ® ' ' f | 2 Рис. 3.8. Интерференция на 2 ширмах с 2 щелями каждая. Поставим после экрана с двумя щелями ещ¨е один экран с двумя щеля- ми (рис. 3.8). Теперь амплитуда попадания частицы в щели 1 и 2 опреде- ляется по аналогичным формулам: A 1 = A 1 A 1 →1 + A 2 A 2 →1 , A 2 = A 1 A 1 →2 + A 2 A 2 →2 (3.15) Если подставить эти формулы в (3.14), то получ ится сумма по всем комбинациям щелей, через которые может пройти частица по пути к фото- пластинке: A f = A 1 A 1 →1 A 1 →f + A 2 A 2 →1 A 1 →f + + A 1 A 1 →2 A 2 →f + A 2 A 2 →2 A 2 →f (3.16) Будем и далее добавлять между источником и фотопластинкой вс¨е но- вые и новые экраны, а в экранах будем делать вс¨е новые и новые ще- ли. Амплитуда вероятности попадания частицы в заданную точку фотопла- стинки да¨ется вс¨е более и более громоздкими суммами по всем возможным комбинациям щелей, через которые может пройти частица, а каждый член суммы зада¨ется длинным произведением условных амплитуд вероятности попадания частицы из одной точки в другую. В пределе мы можем поставить экраны всюду между источником и фо- топластинкой, а в каждом экране сделать щели тоже всюду (рис. 3.9). Это соответствует тому, что никаких экранов между источником и пластинкой больше нет, и мы вернулись к первоначальной ситуации. Зато теперь мы по- нимаем, что амплитуда попадания частицы из одной точки в другую может 3.2. В ОЗМОЖНО ВС ¨ Е , ЧТО МОЖЕТ ПРОИЗОЙТИ ( Ф *) 61 быть вычислена суммированием (интегрированием) амплитуд по всем воз- можным траекториям, по которым частица могла бы пройти. При формали- зации этих качественных рассуждений мы получим метод фейнмановских интегралов по траекториям, широко применяемый в современной кванто- вой теории. x w x ( ) A 1 A n f ® | exp( [ ( )/ ]) ( )| = ? iS x t Dx t h 2 =|lim | ?A A A 1 1 2 ® ® ' n f 2 Рис. 3.9. Снова, как в оптике, мы можем считать, что частица распространяется по всем траектория одновременно, а амплитуда вероятности зада¨ется как сумма (точнее интеграл) по всем возможным траекториям. Амплитуда вероятности зада¨ется как экспонента от действия вдоль траектории exp i ¯ h S[x(t)] = exp ⎛ ⎝ i ¯ h t 1 t 0 L(x, ˙ x) dt ⎞ ⎠. (3.17) Амплитуда быстро колеблется при переходе от траектории к траектории, поэтому вклад большинства траекторий взаимно уничтожается. Основной вклад, как правило, дают те траектории, около которых эти колебания за- медляются, т. е. те траектории, для которых действие S[x(t)] при малой вариации траектории δx(t) меняется мало, т. е. для траекторий, удовлетво- ряющих условию δS[x(t)] = S[x(t) + δx(t)] − S[x(t)] + o(δx) = = ∂ ∂ε S[x(t) + ε · δx(t)] ε=0 = 0, ∀δx(t). (3.18) В этом случае вклады соседних траекторий складываются с одинаковой фазой и усиливают друг друга. Условие (3.18) совпадает с принципом экс- 62 Г ЛАВА 3 тремального действия в теоретической механике, который, таким образом, в некотором смысле «выводится» из квантовой механики. При суммировании амплитуд свой вклад вносят и траектории, невоз- можные с классической точки зрения, например в рассматриваемом выше примере мы учитывали траектории, на которых частица сама собой разво- рачивается в пустом пространстве, нарушая, тем самым, закон сохранения импульса. Следует учитывать и траектории, для прохождения которых у си- стемы не хватает энергии. С этим связан туннельный эффект, позволяю- щий частице с некоторой вероятностью проходить через потенциальный барьер, для преодоления которого у не¨е недостаточно энергии. Метод интегралов по путям естественно обобщается на процессы, в ходе которых частицы могут рождаться, уничтожаться и превращать- ся друг в друга. В этом случае надо дополнительно просуммировать по всем возможным процессам взаимопревращений частиц. Так, например, для описания рассеяния электрона на электроне надо суммировать ампли- туды процессов на рис. 3.10. + + + + + + Рис. 3.10. Рассеяние электрона на электроне определяется как суперпозиция сле- дующих процессов: электроны свободно движутся; электроны свободно движут- ся, но мы их перепутали (поскольку электроны принципиально неразличимы, надо суммировать амплитуды, а не вероятности), электроны обменялись одним виртуаль- ным фотоном (для которого энергия и импульс связаны «неправильным образом»), электроны обменялись одним виртуальным фотоном и перепутались, электроны об- менялись сперва одним фотоном, а потом вторым, электроны испустили по фотону, и каждый поглотил «чужой» фотон, и т. д. (**) Диаграммы на рис. 3.10 являются на самом деле формулами. Каж- дая линия изображает распространение частицы между начальным и конеч- ным состояниями всеми возможными способами. Интеграл по траекториям, соответствующий одной такой линии (пропагатор), мы можем вычислить один раз, а далее использовать готовое выражение. После этого вычисле- ние амплитуды процесса будет сводиться к суммированию всех возможных 3.2. В ОЗМОЖНО ВС ¨ Е , ЧТО МОЖЕТ ПРОИЗОЙТИ ( Ф *) 63 диаграмм, в которых имеются два начальных электрона, два конечных, а все вершины имеют вид как на рис. 3.11 3 Рис. 3.11. Вершина для взаимодей- ствия электрона с электромагнитным полем. Рис. 3.12. Ричард Филлипс Фейнман (1918–1988). Такие рисунки и соответствующие им амплитуды называются диаграм- мами Фейнмана. Здесь ровные линии со стрелками обозначают электроны и позитроны, а волнистые — фотоны. Всевозможных промежуточных про- цессов бесконечно много, но, как правило (в хороших теориях), хорошее приближение получается суммированием первых самых простых диаграмм Фейнмана. Подобный набор картинок, изображающих протекание процесса всеми возможными способами, зада¨ет для этого процесса ряд теории воз- мущений, прич¨ем степень малости вклада каждой диаграммы определяется числом вершин (каждая вершина — множитель). 3.2.1. Большое в малом (ф*) Конечно, это были совсем не пч¨елы; по правде говоря, это были слоны, в ч¨ем Алиса очень скоро убедилась. Льюис Кэрролл, «Алиса в Зазеркалье» Мы можем придти к следующему общефилософскому заключению. В квантовой системе, как правило, может произойти вс¨е, что не запреще- но законами сохранения, хотя и с различными амплитудами вероятности. Так, если мы столкн¨ем на ускорителе две частицы с энергией, достаточной для рождения зел¨еного слоника, то с некоторой ненулевой вероятностью зел¨еный слоник возникнет (хотя эта вероятность будет заметно меньше, чем 3 Поскольку здесь важна идея вычисления амплитуды как суммы амплитуд всех возможных процессов, мы не останавливаемся на деталях диаграммной техники. 64 Г ЛАВА 3 Рис. 3.13. Зазеркальный слон. Рис. 3.14 — Взгляни-ка на то облачко, . . . — Это вьются Бегемошки. . . . — А что они едят? — снова спросила Алиса. — Мелкую рыб¨ешку и лягушек! . . . — А если рыбок не будет? . . . — Тогда они, конечно, умрут, . . . — И часто так бывает? — Всегда, . . . . Льюис Кэрролл, «Алиса в Зазеркалье» Как и бегемошкам, виртуальным частицам не хватает энергии, чтобы суще- ствовать, и они всегда распадаются4 вероятность самопроизвольной сборки слоника из отдельных атомов в ре- зультате броуновского движения, а среднее время ожидания такого события на много порядков превысит возраст Вселенной). Но даже если энергия нашего ускорителя недостаточна для рождения зел¨еных слонов, то в про- цессе столкновения двух частиц зел¨еный слоник может возникнуть в про- межуточном состоянии, чтобы потом распасться (аналогично прохождению частицы при туннельном эффекте через потенциальный барьер, высота ко- торого превышает энергию частицы). Правда существовать такой вирту- альный слоник сможет очень короткое время, определяемое соотношением неопредел¨енности δE · δt ∼ ¯h, (3.19) где δE — энергия, которой нам не хватает, чтобы создать слоника, δt — время его существования, а ¯ h — постоянная Планка. Хотя вклад процессов с участием виртуальных слоников в рассеяние элементарных частиц исче- зающе мал, но другие, не столь тяж¨елые, объекты действительно начина- ют заметно (измеримо) влиять на жизнь элементарных частиц на энергиях много меньших, чем энергия, необходимая для их рождения. Так, например, при β-распаде свободного нейтрона (см. рис. 3.15 5 ) он испускает виртуальный калибровочный W − бозон, который тяжелее 4 Рисунки слона и бегемошки художника И. И. Казаковой воспроизведены по изданию Лью- ис Кэрролл «Приключения Алисы в стране чудес; Алиса в Зазеркалье», Петрозаводск: Каре- лия, 1979. 5 Сплошная стрелка — фермион (длинная — барион, короткая — лептон), прозрачная стрел- ка — заряд. Для античастицы сплошная стрелка рисуется на заднем конце. Для заряженной частицы прозрачная стрелка рисуется на переднем конце для положительного заряда, и на 3.2. В ОЗМОЖНО ВС ¨ Е , ЧТО МОЖЕТ ПРОИЗОЙТИ ( Ф *) 65 нейтрона в 80 раз, и энергии на образование которого у нейтрона «по- честному» нет. В процессе испускания W − нейтрон n превращается в про- тон p (который лишь чуть-чуть легче нейтрона), а W − очень быстро рас- падается на электрон e − и электронное антинейтрино ¯ ν e . Поскольку для настоящего рождения W − бозона не хватает очень большого количества энергии, время существования W − крайне мало, а время жизни свободно- го нейтрона очень велико — почти 15 минут 6 p + n W – e – V e Рис. 3.15. Распад нейтрона. Изображена диаграмма, дающая главный вклад в амп- литуду процесса. Виртуальный W − выступает в роли бегемошки с рис. 3.14. Принцип «возможно вс¨е, что разрешено законами сохранения» «объяс- няет» нестабильность всех частиц, которым есть куда распадаться. Нейтро- ну энергетически выгодно распасться на протон, электрон и электронное антинейтрино, никакие законы сохранения ему этого не запрещают, вот он это и делает. Протон, конечно, тоже может испустить виртуальный W + и превра- титься в нейтрон, с дальнейшим распадом W + → ¯eν e , вот только для того, чтобы нейтрон, позитрон и нейтрино стали реальными частицами, им не хватает энергии, а потому им надо быстро-быстро (за время, отводимое со- отношением неопредел¨енности) собраться обратно в протон и сделать вид, что вс¨е так и было. (Как показывает квантовая теория поля, подобные про- цессы действительно влияют на свойства элементарных частиц.) Аналогично все фермионы второго и третьего поколений могут (че- рез слабое взаимодействие) превратиться в фермионы первого поколения (которым дальше распадаться некуда), и поэтому они так делают. заднем — для отрицательного. Непрерывность стрелок каждого типа позволяют проследить сохранение электрического заряда, барионного и лептонного квантовых чисел. 6 Внутри стабильного атомного ядра условия иные, и нейтрон может жить неограниченно долго. Г ЛАВА 4 Математические понятия квантовой теории . . . между математическими понятиями подчас возникают совершенно неожиданные связи и . . . именно эти связи позволяют нам удивительно точно и адекватно описывать различные явления природы. . . . в силу последнего обстоятельства (поскольку мы не понимаем причин, делающих математические понятия столь эффективными) мы не можем утверждать, является ли теория, сформулированная на языке этих понятий, единственно возможной. Юджин Вигнер, «Непостижимая эффективность математики в естественных науках» В этой главе вводятся основные математические понятия, на языке ко- торых квантовую механику удобно излагать и понимать. Попутно вводимые понятия обсуждают с разных точек зрения: различные обозначения, связь между понятиями, физический смысл, применение, аналогии с простей- шими случаями (которые, вероятно, известны читателю), отличия от таких простейших случаев и природа этих отличий . . . Математический аппарат вводится с запасом (хотя это и не единствен- ная математическая глава в книге), так что при первом чтении настоятель- но рекомендуется не пытаться изучить вс¨е, а, пропуская непонятные места (особенно помеченные зв¨ездочками), побыстрее перейти в главе 5 «Прин- ципы квантовой механики». 4.1. Пространство волновых функций 4.1.1. Функцией каких переменных является волновая функция? Волновая функция может зависеть от времени, но эту зависимость мы пока не рассматриваем, а бер¨ем систему в фиксированный момент времени. 4.1. П РОСТРАНСТВО ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ 67 Распределение вероятностей для классической механической системы можно записать как функцию от координат и импульсов всех входящих в систему частиц (x, p), т. е., если вспомнить терминологию теоретической механики, как функцию от точки фазового пространства 1 В квантовой механике мы не можем одновременно измерить коорди- нату и соответствующий этой координате импульс. Аргументом волновой функции должен быть максимальный набор одновременно измеримых вели- чин, поэтому волновая функция не может зависеть одновременно от всех координат и импульсов. Волновая функция может быть представлена как функция от всех коор- динат всех частиц системы 2 , т. е., если вспомнить терминологию теоретиче- ской механики, как функцию от точки конфигурационного пространства 3 Впрочем, задание волновой функции как функции на конфигураци- онном пространстве — координатное представление — это лишь одно из возможных представлений. Мы можем, например, задать волновую функ- цию как функцию на пространстве импульсов — импульсное представле- ние (аргументы — все импульсы, всех частиц системы) получается из ко- ординатного представления преобразованием Фурье. Число всевозможных представлений волновой функции бесконечно, подобно тому, как бесконеч- но число базисов, по которым можно раскладывать векторы. Это сравнение не случайно. Далее мы будем рассматривать волновые функции как век- торы. Важно отметить, что волновая функция описывает не отдельную частицу, а систему в целом. Если мы имеем систему из 10 частиц, то она описывается не 10 волновыми функциями, от 3 переменных каждая, а одной волновой функцией, от 30 переменных (что гораздо сложнее для вычислений). Действительно, информация, необходимая для описания си- стемы, раст¨ет с числом частиц не как арифметическая прогрессия, как было в классической механике, а как геометрическая. (*) Если мы описываем одну частицу в тр¨ехмерном пространстве, то для приближ¨енного задания е¨е состояния в классической механике надо за- дать 6 · K цифр (3 координаты и 3 импульса, на каждое число считаем по K десятичных знаков), а в квантовой механике — L 3 · 2K цифр (по K деся- тичных знаков для вещественной и мнимой части каждого из значений вол- 1 Точка фазового пространства зада¨ется значениями всех обобщ¨енных координат и импуль- сов системы. 2 Для бесспиновых частиц. Для частиц со спином полный набор одновременно измеримых переменных будет включать, например, проекции спинов всех частиц на какое-то направление, или какие-то другие спиновые переменные. 3 Точка конфигурационного пространства зада¨ется заданием всех обобщ¨енных координат системы. 68 Г ЛАВА 4 новой функции в L 3 узлов реш¨етки L ×L×L). Если мы увеличиваем число частиц в классической задаче, то число необходимых для описания системы цифр раст¨ет пропорционально числу частиц N , т. е. требуется 6N · K цифр. (*) Для квантовой системы число цифр оказывается (L 3 ) N · K. Даже для сравнительно небольшой реш¨етки 100 × 100 × 100 объ¨ем информации раст¨ет в 10 6 раз при добавлении каждой новой частицы. По этой причине в квантовой механике систем многих частиц (таких как сколько-нибудь сложные атомы, молекулы, конденсированные среды и т. п.) для расч¨етов приходится использовать те или иные приближения, например, приближе- ние среднего поля, когда рассматривается одночастичная задача, а влияние всех остальных частиц учитывается через эффективное поле, в котором движется частица 4 Часто пишут, что для системы, состоящей из невзаимодействующих подсистем, можно определить отдельные волновые функции для этих подсистем. Понимать это надо следующим образом. Пусть полный на- бор одновременно измеримых переменных (x 1 , x 2 ) состоит из перемен- ных (x 1 ), описывающих первую подсистему, и переменных (x 2 ), описы- вающих вторую. Тогда волновую функцию всей системы можно записать как Ψ 12 (x 1 , x 2 ). И если в некоторый момент времени Ψ 12 (x 1 , x 2 ) = ψ 1 (x 1 ) · ψ 2 (x 2 ), (4.1) то и в последующие моменты времени волновая функция системы записы- вается как произведение функций, описывающих подсистемы. Это анало- гично поведению распределений вероятности в классической механике. Запись (4.1) волновой функции системы через функции подсистемы называют тензорным произведением и записывают как Ψ 12 = ψ 1 ⊗ ψ 2 (4.2) В общем случае (если ψ 1 = ψ 2 ) Ψ 12 = Ψ 21 = ψ 2 ⊗ ψ 1 , т. к. Ψ 21 (x 1 , x 2 ) = = ψ 2 (x 1 ) · ψ 1 (x 2 ). Однако в общем случае волновая функция Ψ 12 уже не может быть записана в виде произведения, хотя она и представима в виде суммы (или 4 Само по себе уравнение Шр¨едингера, описывающее эволюцию квантовой системы во вре- мени, линейно, но в приближении среднего поля большое количество частиц описывается од- ной волновой функцией, которая описывает фон, на котором движется каждая из частиц. Из-за этого параметры уравнения начинают зависеть от волновой функции и уравнение становится нелинейным. Таким образом, если вы где-то встретили нелинейное уравнение Шр¨едингера, то его написание, в большинстве случаев, вызвано не желанием обобщить одночастичное урав- нение Шр¨едингера, а желанием приближ¨енно решить многочастичное уравнение. 4.1. П РОСТРАНСТВО ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ 69 интеграла) от нескольких таких произведений Ψ 12 (x 1 , x 2 ) = i ψ (i) 1 (x 1 ) · ψ (i) 2 (x 2 ) ⇔ Ψ 12 = i ψ (i) 1 ⊗ ψ (i) 2 (4.3) На самом деле, в классической механике мы имеем похожий эффект, если описываем систему, не задавая координаты и импульсы всех частиц, а задавая распределение вероятностей нахождения у системы того или иного набора координат и импульсов. Задание распределений вероятно- сти для отдельных величин достаточно для предсказания вероятностей раз- личных исходов любого процесса, только если эти величины независимы. Тогда ρ 12 (x 1 , x 2 ) = ρ 1 (x 1 ) · ρ 2 (x 2 ) ⇔ ρ 12 = ρ 1 ⊗ ρ 2 (4.4) Если между величинами есть вероятностные корреляции (т. е. знание одной величины изменяет распределение вероятностей другой), то распределение ρ 12 уже не может быть записано в виде произведения, хотя оно и предста- вимо в виде суммы (или интеграла) от нескольких таких произведений ρ 12 (x 1 , x 2 ) = i ρ (i) 1 (x 1 ) · ρ (i) 2 (x 2 ) ⇔ ρ 12 = i ρ (i) 1 ⊗ ρ (i) 2 . (4.5) Когда такое распределение вероятностей эволюционирует со време- нем, то независимые в начальный момент времени переменные, если они относятся к взаимодействующим друг с другом подсистемам, как прави- ло, становятся коррелированы, и распределение вероятностей (волновая функция), которое сначала записывалось в виде произведения (фактори- зовалось), уже не факторизуется. Это относится как к классическим, так и к квантовым системам. Таким образом, описание составных систем в классической и кванто- вой механике производится аналогично, если мы используем в обоих слу- чаях вероятности (амплитуды вероятностей), однако в классической меха- нике мы можем, хотя бы теоретически, обойтись без вероятностей, задавая точные значения координат и импульсов, а для квантовой механики зада- ние волновой функции (т. е. амплитуд всевозможных взаимоисключающих исходов) является наиболее полным возможным описанием системы. |