Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
4.4. Умножение справа, слева, . . . сверху, снизу и наискосок** Мы привыкли записывать формулы в строчку. Точнее, если мы запи- сываем член, строящийся с помощью привычного коммутативного умноже- ния, мы «валим» все множители в кучу, не обращая внимание на их поря- док. Можно сказать, что для обычного коммутативного умножения множи- тели пишутся не в строчку, а «в точку». Для умножения некоммутативного множители пишутся уже именно в строчку: порядок множителей уже важен. Каждый сомножитель, если расписать его покомпонентно, имеет один или два индекса (дискретных или непрерывных) и мы аккуратно соединяем сомножители в цепочку по- парно, приравнивая второй индекс первого сомножителя первому индексу второго и суммирую (интегрируя) по ним: (ABC) il = jkl A ij B jk C kl Такое умножение компонент с суммированием (интегрированием) по соот- ветствующим парам индексов и да¨ет нам некоммутативное умножение мат- риц (операторов). Для такого умножения порядок сомножителей уже важен (от него зависит, какие индексы попадают в пару друг другу) и матрица A может действовать умножением на B как слева AB, так и справа BA: (AB) ik = j A ij B jk , (BA) ik = j B ij A jk Однако существуют объекты, компоненты которых нумеруются более чем двумя индексами. Многочисленные примеры таких объектов да¨ет нам тензорное исчисление. Впрочем, и в квантовой теории используется тен- зорное умножение, например при построении волновой функции сложной системы из волновых функций е¨е частей. Если объект имеет более двух индексов, то возникает неоднозначность в том, какие два из них использовать при построении цепочки матричных 4.4. У МНОЖЕНИЕ СПРАВА , СЛЕВА , . . . СВЕРХУ , СНИЗУ И НАИСКОСОК ** 81 умножений. Кроме того, даже после того, как мы договорились, какой ин- декс мы считаем «первым», а какой «последним», такой объект, вставлен- ный в цепочку, нес¨ет ещ¨е какие-то свободные индексы, по которым его можно умножить («сверху»? «снизу»? «наискосок»?) ещ¨е на ч то-то: D A B C n il = D m n jkm A ij B j m k C kl = jkm A ij B j m k C kl D m n Подобные «ветвящиеся строчки» действительно возникают в квантовой ме- ханике. Записывать такие «неодномерные» произведения можно по-разному: • Можно на языке дираковских обозначений. Это часто удобно, хотя необходимость упорядочить все множители в одну строчку и привно- сит неоднозначность. • Можно использовать индексные обозначения в тензорном духе. Это тоже часто удобно. Вся информация о порядке множителей при этом шифруется в индексах и сомножители можно писать в строчку в про- извольном порядке и свободно переставлять. По существу такие обоз- начения сводят «неодномерное» умножение к обычному коммутатив- ному. • Наконец, существуют различные диаграммные обозначения, при ко- торых сомножители произвольно располагаются на рисунке и со- единяются линиями, обозначающими пары соответствующих индек- сов. Такие обозначения наиболее наглядны, тем более что часто формула, описывающая процесс, совпадает с рисунком, этот про- цесс изображающим. (Пример такого рода — эквивалентность форму- лы (3.13) и рис. 3.5, см. также 3.2 «Возможно вс¨е, что может произойти (ф*)».) Ниже мы проиллюстрируем конкретными примерами все три подхода. 4.4.1. Диаграммные обозначения* В диаграммных обозначениях объекты (волновые функции, операто- ры, матрицы плотности) представляются в виде узлов, в которых сходится определ¨енное (для каждого сорта объекта) число линий. Вы можете себе представить такой объект как некое электронное устройство, из которо- го торчит k проводков. Каждый из проводков соответствует непрерывному или дискретному индексу (аргументу). 82 Г ЛАВА 4 Проводки можно соединять попарно, прич¨ем соединяемые проводки могут относиться как к разным узлам, так и к одному узлу. Такое соеди- нение обозначает приравнивание соответствующих индексов и суммирова- ние/интегрирование по всему их диапазону. Однако проводки бывают разных сортов и соединяются они по сле- дующим правилам: • Каждый индекс/проводок является либо бра-, либо кет-индексом. Со- единять между собой можно только бра и кет. • Каждый индекс/проводок имеет свою область определения. Для соеди- няемых проводков области определения должны совпадать. • В некоторых случаях изоморфные области, определения относящиеся к разным степеням свободы или разным наблюдаемым считаются раз- личными, например, области определения координат x и y изоморф- ны R, но нам удобно считать, что это разные экземпляры веществен- ной оси, и запретить соединять соответствующие проводки/индексы. Тем более естественно считать различными области определения ко- ординатной и импульсной переменных. • В некоторых случаях удобно проводки/индексы объединять в много- жильные кабели/мультииндексы. Например, если у нас имеется части- ца со спином, то может быть удобно объединить все три координаты частицы и проекцию спина в один кабель/мультииндекс r = (x, y, z, σ). • Иногда линии (или выходы узлов) полезно подписывать соответствую- щими буквенными индексами, чтобы не перепутать порядок индексов и упростить перевод формул в другие обозначения. Таким образом, в диаграммных обозначениях формулы представляют- ся в виде диаграмм. Если диаграмма состоит из нескольких несвязанных кусков, то подразумевается, что они умножаются друг на друга. Диаграмма, в свою очередь, может рассматриваться как узел, несущий все внешние (оставшиеся не соедин¨енными) линии/проводки. Если у диаг- раммы нет внешних линий, то это число. Диаграммы с одинаковым набором внешних линий образуют линейное пространство (их можно умножать на комплексные числа и складывать). 4.4.2. Тензорные обозначения в квантовой механике* Если вы собираете сложную электронную схему без печатной платы, просто паяя проводки, торчащие из многочисленных узлов, то вам может 4.4. У МНОЖЕНИЕ СПРАВА , СЛЕВА , . . . СВЕРХУ , СНИЗУ И НАИСКОСОК ** 83 быть удобнее вместо схемы, изображающей ход проводков, просто поме- тить соответствующие проводки одинаковыми метками. Этому подходу соответствуют тензорные обозначения: узлы (буквы) несут верхние кет-индексы и нижние бра-индексы. Если в одном члене верхний индекс совпал с нижним, то соответствующие проводки/индексы соединяются/приравниваются и интегрируются или суммируются. Знак суммы или интеграла обычно при этом опускается. Индекс, который встречается в каждом члене формулы один раз, — свободный индекс. Индекс, который встречается в каждом члене формулы два раза (один раз сверху и один раз снизу), — немой индекс. В каждом члене формулы должен быть одинаковый набор свободных индексов. Если одинаковый индекс встретился в одном члене формулы два раза сверху или два раза снизу, то такая формула является бессмысленной. Чтобы случайно не приравнять индексы, имеющие разные области определения, их удобно обозначать буквами из разных алфавитов (или раз- ных участков одного алфавита). Тензорные обозначения в квантовой механике часто применяются в ви- де спинорных обозначений, когда объекты несут только спиновые индексы, каждый из которых пробегает два значения. 4.4.3. Дираковские обозначения для сложных систем* Дираковские обозначения соответствуют следующему правилу соеди- нения проводков/индексов: сперва выкладываются в определ¨енном порядке все бра-индексы, потом в обратном порядке выкладываются соответству- ющие кет-индексы, и начиная от середины их попарно соединяют. Таких серий бра-кет в одном члене может быть несколько. Например, если мы считаем матричный элемент для волновых функций с тремя индексами- аргументами, для случая, когда кет-вектор с тремя индексами представлен как произведение тр¨ех кет-векторов с одном индексом: ϕ | ϕ ijk ˆ A A kji qrs |ψ ψ s |ψ ψ r |ψ ψ q (4.18) Если оператор записан в виде тензорного произведения, то это предпола- гает упорядочение индексов, при котором сперва выписываются все кет- индексы, а потом все бра-индексы обоих операторов: ˆ A ⊗ ˆ B ( ˆ A ⊗ ˆ B) ik jl =A i j B k l , ( ˆ A ⊗ ˆ B) ( ˆ A ⊗ ˆ B) ik jl |ψ ψ j |ϕ ϕ l = ( ˆ A |ψ A i j ψ j )( ˆ B |ϕ B k l ϕ l ). 84 Г ЛАВА 4 При использовании дираковских обозначений для многочастичных систем надо внимательно следить за тем, сколько и каких индексов нес¨ет каждый объект (волновая функция, оператор), а также за тем, какой порядок индексов подразумевается. Например, если мы отбросим в формуле (4.18) два кет-множителя из тр¨ех, то получившаяся формула будет по-прежнему внешне напоминать матричный элемент (число), хотя на самом деле это вы- ражение нес¨ет два бра-индекса, т. е. является двухиндексным бра-вектором: ϕ | ϕ ijk ˆ A A kji qrs |ψ ψ s 4.4.4. Сравнение разных обозначений* • ψ i — кет-вектор |ψ ; • ϕ i — бра-вектор ϕ |; • ϕ i ψ i = ϕ |ψ — скалярное произведение бра на кет; • A i j — оператор ˆ A; • A i j ψ j — оператор действует на кет-вектор: ˆ A |ψ ; • A i j ϕ i — оператор действует на бра-вектор: ϕ | ˆ A; 4.4. У МНОЖЕНИЕ СПРАВА , СЛЕВА , . . . СВЕРХУ , СНИЗУ И НАИСКОСОК ** 85 • A i j ϕ i ψ j = ϕ | ˆ A |ψ — матричный элемент; • A i i = tr ˆ A — след оператора ˆ A; • A i j B j k C k i = tr( ˆ A ˆ B ˆ C) — след произведения операторов ˆ A ˆ B ˆ C; • ψ ij — кет-вектор |ψ = α |ξ α |χ α с двумя индексами; • ϕ ij — бра-вектор ϕ | = α ζ α | η α | с двумя индексами; • A i j ψ jk — оператор ˆ A действует на первый индекс (например, на первую степень свободы) кет-вектора |ψ : ˆ A ⊗ ˆ1|ψ = α ( ˆ A |ξ α ) |χ α ; • A i k ψ jk — оператор ˆ A действует на второй индекс (например, на вторую степень свободы) кет-вектора |ψ : ˆ1 ⊗ ˆ A |ψ = α |ξ α ( ˆ A |χ α ); 86 Г ЛАВА 4 • A ij kl — оператор ˆ A, действующий на волновых функциях с двумя ин- дексами; A • A ij kl ψ kl — оператор действует на кет-вектор: ˆ A |ψ (если индексы i, j и k, l попарно объединить в мультииндексы I = (i, j) и K = (k, l), то получится A I K ψ K ); • A ij il — частичный след оператора по первой паре индексов tr 1 ˆ A; • A ij kj — частичный след оператора по второй паре индексов tr 2 ˆ A. 4.5. Смысл скалярного произведения 4.5.1. Нормировка волновых функций на единицу Если мы хотим, чтобы суммарная вероятность всех возможных исхо- дов какого-то измерения была равна единице, то это можно записать в виде нормировочного условия (нормировки) для волновой функции: ψ |ψ = 1. (4.19) Если расписать скалярный квадрат через интеграл и сумму согласно (4.9), то мы получим интеграл от плотности вероятности ψ ∗ (x) ψ(x) для непре- рывного спектра (x ∈ U) и сумму вероятностей ψ ∗ (k) ψ(k) для дискретного спектра (k ∈ W ) ψ |ψ = U ψ ∗ (x) ψ(x) dx + k ∈W ψ ∗ (k) ψ(k) = 1. (4.20) 4.5. С МЫСЛ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 87 Здесь спектр физической величины — набор значений, которые эта ве- личина может принимать. Условие (4.19) называется нормировкой на единицу (или условием нор- мировки на единицу). Поскольку волновая функция определена с точностью до числового множителя, на единицу может быть отнормирована любая волновая функция с конечным скалярным квадратом: |ψ норм. = |ψ ψ |ψ Умножение на фазовый множитель e iα (α ∈ R, |e iα | = 1) не нарушает нормировку волновой функции. Нормировка на единицу волновой функции соответствует условию нормировки на единицу для распределения вероятностей: U (x) dx + k ∈W p(k) = 1. (4.21) Однако вспомним, что не всякое распределение вероятностей может быть нормировано на единицу. Иногда бывает полезно рассмотреть рас- пределение вероятностей, задающееся неинтегрируемой (несуммируемой) функцией. В этом случае мы можем говорить об относительных вероятнос- тях попадания случайной величины в тот или иной интервал. Например, если мы имеем равномерное распределение вероятностей на бесконечной прямой, то вероятности попадания точки в тот или иной интервал про- порционально его длине, но такое распределение не нормируемо на еди- ницу. Такие распределения не реализуемы на эксперименте, но являются полезными в теории. В квантовой механике равномерное распределение по координате естественным образом возникает при рассмотрении состояния с определ¨енным значением импульса p — волны де Бройля ψ p (r) = e ipr ¯ h (4.22) Ясно, что такая волновая функция не реализуема физически, т. к. части- ца должна быть равномерно «размазана» по бесконечному объ¨ему. Этой невозможности и соответствует ненормируемость такой волновой функции (точнее — ненормируемость на единицу). 4.5.2. Физический смысл скалярного квадрата. Нормировка на вероятность Таким образом, мы можем считать, что физический смысл скалярного квадрата волновой функции — полная вероятность. Обычно мы нормиру- 88 Г ЛАВА 4 ем волновую функцию на единицу, но, рассматривая волновую функцию после измерения, может быть удобно нормировать волновую функцию на вероятность рассматриваемого исхода. Если до измерения система находилась в состоянии |ψ , в результа- те измерения некоторой дискретной величины k система попадает в одно из ортогональных состояний |φ k . Прич¨ем, мы можем отнормировать эти состояния так, что |ψ = k |φ k , (4.23) φ k |φ k = p k δ kk , (4.24) ψ |ψ = k,k φ k |φ k = k p k = 1, (4.25) где p k — вероятность исхода номер k. 7 Волновые функции |φ k получаются из |ψ с помощью соответствую- щего данной измеряемой величины набора проекторов ˆ P k : |φ k = ˆ P k |ψ , (4.26) ˆ P k ˆ P k = ˆ P k δ kk , (4.27) k ˆ P k = ˆ 1. (4.28) Проекторы ˆ P k отображают векторы состояния на одномерное под- пространство, если для данного k существует только одно линейно- независимое собственное состояние (невырожденное состояние). В общем случае размерность области значений оператора ˆ P k может быть произволь- ной, в том числе бесконечной. Мы могли бы попытаться вообще запретить использование волновых функций, которые не нормированы на единицу, но это было бы не удоб- но, поскольку множество единичных векторов не образует линейного про- странства. Вместо этого мы считаем, что все волновые функции, отличаю- щиеся друг от друга на числовой множитель, описывают одно и то же фи- зическое состояние. Это позволяет отнормировать на единицу любое сос- тояние с конечным скалярным квадратом, заменив |ψ на e iα |ψ √ ψ |ψ , α ∈ R, 7 Напоминаем, что δ kk = 1, k = k , 0, k = k — символ Кронекера. 4.5. С МЫСЛ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 89 e iα , — произвольный фазовый множитель. Таким образом даже нормировка оставляет возможность описывать одно физическое состояние разными (по- лучаемыми друг из друга умножением на фазовый множитель) волновыми функциями. 4.5.3. Физический смысл скалярного произведения В данном разделе мы снова получим и обсудим выводы раздела 3.1.5 «Амплитуда при измерении и скалярное произведение». Вероятность p k некоторого исхода измерения из раздела 4.5.2 можно записать в следующем виде: φ k |ψ = φ k | k |φ k = k φ k |φ k = k p k δ kk = p k Однако при этом начальная волновая функция ψ и конеч ная — φ k нормиро- ваны по-разному: одна на единицу, а другая на вероятность. Если обе волновые функции, начальную ψ и конеч ную φ, отнормиро- вать на единицу, то скалярное произведение да¨ет амплитуду вероятности того, что система, находившаяся в состоянии ψ, будет обнаружена в состоя- нии ϕ. Другими словами, мы имеем систему в состоянии ψ и ставим опыт, который должен ответить на вопрос: «А не находится ли система в сос- тоянии ϕ?» Прич¨ем если ответ будет положительным, то система и в самом деле окажется в этом состоянии. Скалярное произведение A ϕψ = ϕ |ψ зада¨ет соответствующую амплитуду вероятности 8 Сама вероятность имеет вид p ϕψ = | ϕ|ψ | 2 = ψ |ϕ ϕ|ψ = = ψ |(|ϕ ϕ|)|ψ = ψ| ˆ P ϕ |ψ = tr( ˆ P ψ ˆ P ϕ ), (4.29) 8 В классической теории мы бы имели всегда вероятность 0 для несовпадающих чистых состояний (состояний с определ¨енными значениями координат и импульсов) и вероятность 1 для совпадающих чистых состояний. В квантовой теории мы можем подобрать такой набор состояний, что квадрат каждого равен 1, а скалярное произведение разных состояний бу- дет давать 0. Прич¨ем мы сможем задать базис из таких взаимоисключающих состояний. Но поскольку пространство состояний является линейным пространством, в него будут попа- дать и всевозможные линейные комбинации базисных векторов, которые соответствуют тому, что различные взаимоисключающие состояния имеют место одновременно с некоторой амп- литудой вероятности. В классической механике мы тоже можем получать при измерении различные значения с некоторыми вероятностями, для смешанных состояний, задаваемых распределениями вероятностей. |