Главная страница
Навигация по странице:

  • 4.6.1. Разложение по базису в пространстве состояний, нормировка базисных векторов

  • 4.6.2. Природа состояний непрерывного спектра*

  • 4.6.3. Замена базиса

  • Замена базиса и унитарные операторы*

  • Преобразование Фурье

  • Другое преобразование Фурье*

  • Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику


    Скачать 4.31 Mb.
    НазваниеКак пониматьквантовую механику
    АнкорКак понимать квантовую механику.pdf
    Дата06.03.2018
    Размер4.31 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаКак понимать квантовую механику.pdf
    ТипКнига
    #16313
    страница12 из 52
    1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   52
    4.6. Базисы в пространстве состояний
    4.6.1. Разложение по базису в пространстве состояний, нормировка
    базисных векторов
    Собственно задавая чистое состояние
    |ψ как волновую функцию ψ(x)
    от какого-то набора переменных x, мы уже имеем дело с разложением век- тора состояния по некоторому базису.
    |ψ =
    U
    ψ(x)

    x dx +
    k
    ∈W
    ψ(k)

    k
    (4.30)
    Здесь

    x

    k
    — базисные кет-векторы непрерывного и дискретного спек- тров с номерами x и k соответственно. По непрерывному спектру (x
    ∈ U)
    ид¨ет интегрирование, а по дискретному (k
    ∈ W ) — суммирование.
    Базисные векторы с различными номерами ортогональны друг другу.
    Однако базисные векторы дискретного и непрерывного спектров нормиру- ются по-разному. Хотя в обоих случаях это нормировка на ядро единичного оператора
    9
    . То есть нормировка проводится так, чтобы компоненту векто- ра состояния (значение волновой функции) можно было бы получить как скалярное произведение:
    ψ(k) = φ
    k
    |ψ = φ
    k
    |
    U
    ψ(x)

    x dx + φ
    k
    |
    k
    ∈W
    ψ(k )

    k
    =
    =
    k
    ∈W
    ψ(k ) φ
    k

    k
    =
    k
    ∈W
    ψ(k ) δ
    kk
    ,
    ψ(x) = φ
    x
    |ψ = φ
    x
    |
    U
    ψ(x )

    x dx + φ
    x
    |
    k
    ∈W
    ψ(k)

    k
    =
    =
    U
    ψ(x ) φ
    x

    x dx =
    U
    ψ(x ) δ(x
    − x ) dx .
    9
    Ядро оператора — разложение оператора по базису. Подробнее см. раздел 4.7.6.

    4.6. Б
    АЗИСЫ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ
    91
    Прич¨ем условия нормировки для базисных векторов задают одновре- менно компоненты базисных векторов по базису, к которому эти векторы относятся, т. е. φ
    x
    0
    (x) = φ
    x

    x
    0
    , т. к. и то, и другое определяется скаляр- ным произведением выбранного базисного вектора на все векторы базиса.
    Таким образом, базисные векторы дискретного спектра нормируются на δ-символ:
    φ
    k

    l
    = δ
    kl
    = φ
    l
    (k).
    (4.31)
    То есть
    φ
    k

    l
    = 0,
    k = l,
    (4.32)
    φ
    k

    k
    = 1.
    (4.33)
    А базисные векторы непрерывного спектра нормируются на δ-функцию:
    φ
    x

    y
    = δ(x
    − y) = φ
    y
    (x).
    (4.34)
    То есть
    φ
    x

    y
    = 0,
    x = y,
    (4.35)
    φ
    x

    x
    =

    скалярное произведение не определено (расходится).
    (4.36)
    Для базисных векторов непрерывного спектра скалярный квадрат ока- зывается не определ¨ен, т. е. вероятности для состояния, описываемого таки- ми состояниями, не могут быть отнормированы на единицу! В этом состоит существенное отличие от базисных векторов дискретного спектра, которые нормированы на единицу и представляют собой вполне «хорошие» векторы чистых состояний.
    Строго говоря, базисные векторы непрерывного спектра вообще не от- носятся к пространству состояний
    H, поскольку для всех векторов состоя- ний задано скалярное произведение.
    Обратите внимание, что уравнения (4.32), (4.33) эквивалентны усло- вию нормировки (4.31), но аналогичные уравнения (4.35), (4.36) не экви- валентны условию нормировки (4.34) (бесконечности, в отличие от единиц,
    бывают разные). А учитывая, что δ-функция обладает свойством δ(ax) =
    =
    δ(x)
    |a|
    (для одномерной переменной x), мы видим, что нормировка одной- единственной функции непрерывного спектра невозможна. Нормируется сразу набор векторов непрерывного спектра, прич¨ем нормировка зависит от нумерации векторов: замена x
    → ax требует изменения нормировки ба- зисных φ
    x

    φ
    x

    a

    92
    Г
    ЛАВА
    4
    При работе с состояниями непрерывного и дискретного спектра обыч- но условие квадратичной интегрируемости волновой функции заменяют на более мягкое условие локальной (на любом конечном интервале) квадра- тичной интегрируемости и ограниченности на бесконечности.
    4.6.2. Природа состояний непрерывного спектра*
    Итак, рассматривая базисные векторы непрерывного спектра, мы невзначай вылезли из первоначально постулируемого пространства
    H квад- ратично интегрируемых (суммируемых) функций. Оказывается, что такие векторы вроде уже и не состояния, и скалярное произведение с их участием определено не всегда: когда надо посчитать соответствующую этому базис- ному вектору компоненту «хорошего» состояния ψ(x) = φ
    x
    |ψ , то скаляр- ное произведение определено, а когда надо посчитать скалярный квадрат
    φ
    x

    x
    — оно вдруг отказывается работать, но выда¨ет нечто осмысленное,
    если взять φ
    x

    y
    . Попытаемся понять, что же это такое с двух точек зре- ния: с точки зрения физики, и с точки зрения математики.
    С точки зрения физики ненормируемые состояния не могут быть реа- лизованы, поскольку суммарная вероятность всех исходов не должна пре- вышать единицу. Таким образом, состояния непрерывного спектра физичес- ки нереализуемы. Таким образом, если физическая величина имеет непре- рывный спектр возможных значений, то не существует состояний, в кото- рых е¨е значение из непрерывного спектра было бы определено однозначно.
    Это также означает, что значение величины из непрерывного спектра мо- жет быть измерено только с конечной точностью. Это относится, например,
    к состояниям, в которых определено значение координаты.
    Однако мы можем приближать функцию непрерывного спектра «хо- рошими» квадратично интегрируемыми функциями, и такое приближение будет в некотором смысле сходиться, т. е.
    ∀ψ ∈ D ⊂ H lim n
    →∞
    ψ
    n
    |ψ = φ
    x
    0
    |ψ = ψ(x
    0
    ).
    Например, мы можем приближать дельта-функцию узкими и высокими пря- моугольными импульсами или гауссовыми кривыми с единичным интегра- лом.
    Таким образом мы можем приближать невозможное состояние непре- рывного спектра, в котором x определ¨ен с бесконечной точностью «хоро- шими» состояниями, в которых x определ¨ен с конечной (но сколь угодно малой) неопредел¨енностью. Невозможное состояние непрерывного спект- ра при этом оказывается некоторой вполне законной идеализацией. Да, для

    4.6. Б
    АЗИСЫ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ
    93
    этого состояния полная вероятность оказывается бесконечной, а значит мы не можем считать абсолютные вероятности, однако мы можем считать от-
    носительные вероятности как отношения частот попадания какой-то вели- чины в те или иные интервалы.
    С точки зрения математики, упомянутая выше сходимость — сходи- мость в смысле слабого предела, т. е.
    wlim n
    →∞
    ψ
    n
    (x) = δ(x
    − x
    0
    ) = φ
    x
    0
    (x)

    ⇔ ∀ψ ∈ D ⊂ H lim n
    →∞
    ψ
    n
    |ψ = φ
    x
    0
    |ψ = ψ(x
    0
    ).
    Такую сходимость применяют для того, чтобы определить обобщ¨енные функции класса
    D как линейные функционалы над основными функция- ми класса
    D. Сходимость в слабом смысле в пространстве H совпадает со сходимостью по норме
    · , которую мы определили с помощью ска- лярного квадрата. Линейные функционалы над пространством
    H относятся к пространству
    H

    , которое изоморфно исходному и отождествляется с ним при эрмитовом сопряжении. Можно сказать, что пространство обобщ¨енных функций класса
    H совпадает с H

    . Поэтому в пространстве
    H ряды, приб- лижающие δ-функцию, расходятся. Нужное нам пространство основных функций не совпадает с исходным пространством состояний
    D = H. Что- бы расширить класс обобщ¨енных функций, нам надо сузить класс основ- ных функций: чем шире выбор в ψ, тем уже выбор в φ, при условии что интеграл типа скалярного произведения сходится
    φ

    (x) ψ(x)dx.
    Другими словами, включение каждой новой функции в
    D накладывает дополнительное условие на все функции, которые могут быть включены в
    D .
    10
    Угловые скобки в дираковских обозначениях, помимо скалярного про- изведения волновых функций из пространства
    H, теперь могут обозначать и другую операцию: действие линейного функционала из
    D на волновую функцию из
    D. Получившаяся при этом конструкция
    D ⊂ H ⊂ D
    (4.37)
    называется оснащ¨енным гильбертовым пространством.
    10
    Это оста¨ется верным до тех пор, пока
    D плотно в H, если слишком сильно уменьшить D,
    то мы перестанем различать разные обобщ¨енные функции с точки зрения их действия на основные.

    94
    Г
    ЛАВА
    4
    Конкретный выбор пространства основных функций
    D зависит от ре- шаемой задачи.
    Однако мы ещ¨е не выяснили природу интеграла по непрерывному спектру в формуле (4.30), а также природу «скалярного произведения» сос- тояний непрерывного спектра друг на друга, в частности в формуле для нормировки (4.34).
    Про смысл «скалярного произведения» векторов непрерывного спект- ра друг на друга см. ниже в разделе 4.6.3 «Замена базиса», а также в разде- лах 4.7.1 «Ядро оператора» и 4.7.2 «Матричный элемент оператора».
    4.6.3. Замена базиса
    Прежде всего отметим, что формула (4.30) для разложения кет-вектора по базису сама по себе не позволяет вычислить какое бы то ни было число,
    поскольку она записана через другие кет-векторы. Чтобы получить из кет- вектора число (хотя бы его компоненту по какому-либо базису), его надо домножить слева на бра-вектор. Так и сделаем, умножим формулу (4.30)
    слева на некоторый базисный вектор ξ
    m
    | (непрерывного или дискретного спектра, из старого базиса
    {|φ
    x
    }
    x
    ∈U∪W
    , или из какого-либо другого):
    ξ
    m
    | ×

    ⎝|ψ =
    U
    ψ(x)

    x dx +
    x
    ∈W
    ψ(x)

    x

    ⎠,
    ψ(m) = ξ
    m
    |ψ =
    U
    ψ(x) ξ
    m

    x dx +
    x
    ∈W
    ψ(x) ξ
    m

    x
    =
    (4.38)
    =
    U
    ψ(x) φ
    x
    (m) dx +
    x
    ∈W
    ψ(x) φ
    x
    (m).
    Полученная формула (4.38) выражает компоненты ψ(m) вектора
    |ψ в но- вом базисе, через его же компоненты ψ(x) в старом базисе. При этом отображение записалось как линейное отображение одного векторного про- странства на другое с ядром, задаваемым скалярными произведениями ба- зисных векторов двух наборов друг на друга
    ξ
    m

    x
    . Это ядро имеет вполне конкретный смысл и является, вообще говоря, обобщ¨енной функ- цией от m и x. Как обобщ¨енная функция ξ
    m

    x может не иметь опре- дел¨енного значения при каких-то значениях переменных, но имеет смысл как форма записи линейного отображения. Даже если значение функции
    ξ
    m

    x при каких-то значениях аргумента определено, интеграл, формаль- но соответствующий скалярному произведению волновых функций непре-

    4.6. Б
    АЗИСЫ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ
    95
    рывного спектра, может расходиться. Например, скалярное произведение двух волн де Бройля, отвечающих различным значениям импульса в одно- мерном случае сводится к пределу, который не существует, но которому мы формально приписываем нулевое значение:
    ψ
    p
    1

    p
    2
    =
    +

    −∞
    e

    ip
    1
    x
    ¯
    h e
    ip
    2
    x
    ¯
    h dx =
    +

    −∞
    e i(p
    2
    −p
    1
    )x
    ¯
    h dx =
    =
    lim
    R
    →+∞
    +R
    −R
    e i(p
    2
    −p
    1
    )x
    ¯
    h dx
    2
    sin
    (
    p2−p1
    ¯
    h
    R
    )
    (p
    2
    −p
    1
    )/¯
    h
    = 0.
    (4.39)
    Замена базиса и унитарные операторы*
    Мы описали замену базиса как отображение из одного векторного про- странства в другое
    G :
    H
    1
    → H
    2
    Здесь
    H
    1
    и
    H
    2
    — два векторных пространства, элементами которых явля- ются наборы компонент вектора состояния из пространства
    H по базисам номер 1 и номер 2. Конечно, пространства
    H, H
    1
    и
    H
    2
    одинаковы (изо- морфны), но иногда бывает полезно различать сам вектор состояния и его представление через набор компонент.
    Если оба векторных пространства
    H
    1
    и
    H
    2
    «устроены» одинаково, т. е.
    если мы можем пронумеровать векторы дискретного спектра обоих бази- сов и установить между ними взаимно-однозначное соответствие, прону- меровать векторы непрерывного спектра обоих базисов и также установить между ними взаимно-однозначное соответствие, то такая одинаковая нуме- рация устанавливает естественное отображение между элементами обоих векторных пространств:
    J :
    H
    1
    → H
    2
    ,
    J
    −1
    :
    H
    2
    → H
    1
    При этом у нас появляется возможность рассматривать те же формулы не как замену базиса (отображение вектора из
    H
    1
    в
    H
    2
    ), а как преобразо- вание вектора, т. е. отображение вектора из
    H
    1
    на другой вектор того же пространства
    H
    1
    :
    ˆ
    U = J
    −1
    G :
    H
    1
    → H
    1

    96
    Г
    ЛАВА
    4
    Поскольку такое преобразование взаимно-однозначно (
    ⇒обратимо)
    и сохраняет скалярное произведение (оба базиса одинаково нормированы),
    то оно называется унитарным преобразованием и описывается унитарным
    оператором ˆ
    U .
    Наоборот, если M
    1
    :
    H → H
    1
    зада¨ет компоненты вектора состояния по некоторому базису, а ˆ
    U :
    H → H — унитарный оператор, то M
    2
    =
    = M
    1
    ˆ
    U :
    H → H
    1
    зада¨ет компоненты вектора состояния по новому базису.
    Для любого базиса любой унитарный оператор зада¨ет некоторую за-
    мену базиса на новый базис, «устроенный» так же как исходный, и наобо-
    рот, любая замена базиса, при которой оба базиса «устроены» одинако-
    во, зада¨ет унитарный оператор.
    Унитарное преобразование — обобщение поворота, а унитарный
    оператор — обобщение матрицы поворота.
    Если базисы «устроены» различно, например в одном векторы нуме- руются дискретным индексом, а в другом — непрерывным, то такую замену базиса нельзя естественным образом представить как унитарное преобра- зование
    11
    Преобразование Фурье
    Рассмотрим пространство L
    2
    (
    R) и базис, состоящий из волн де Бройля
    (состояний с определ¨енным импульсом ¯
    hk):
    ξ
    k
    (x) =
    1


    e ikx
    = φ
    x

    k
    ,
    k
    ∈ R.
    Здесь φ
    x
    0
    (x) = δ(x
    −x
    0
    ) — волновые функции исходного базиса (состояния с определ¨енным значением координаты x
    0
    ).
    Переход к новому базису соответствует преобразованию Фурье. Этот базис является ортонормированным, т. е.
    ξ
    k

    l
    = δ(k
    − l).
    Хотя матричный элемент ξ
    k

    l является обобщ¨енной функцией, при k = l она имеет хорошо определ¨енное (нулевое) значение, однако соответствую-
    11
    В некоторых книгах унитарными операторами называют также отображение одного про- странства на другое. Однако в данном пособии унитарные преобразования понимаются как отображение пространства на себя, для того чтобы любое преобразование можно было бы рассматривать двояким образом: как активное преобразование (преобразование вектора), ли- бо как пассивное преобразование (замена базиса).

    4.6. Б
    АЗИСЫ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ
    97
    щий интеграл
    ξ
    k

    l
    =
    1 2π
    +

    −∞
    e i(l
    −k)x dx расходится (см. (4.39)). При стремлении к бесконечности пределов интег- рирования
    +R
    −R
    e i(l
    −k)x dx =
    2 sin((l
    − k)R)
    l
    − k
    ,
    R
    → +∞
    значение интеграла колеблется, но не стремится к какому-либо пределу. Мы можем домножить подынтегральное выражение на какой-либо регуляри- зующий фактор, например e
    −α|x|
    , после чего перейти к пределу α
    → +0,
    но смысл формулы ξ
    k

    l
    = δ(k
    − l) не в этом, а в том, что скалярное произведение для функций и их преобразования Фурье записывается оди- наково:
    φ
    |ψ =
    +

    −∞
    φ

    (x)ψ(x)dx =
    +

    −∞
    φ

    (k)ψ(k)dk,
    φ

    (k) = φ

    k
    =
    +

    −∞
    φ

    (x)
    e ikx


    dx,
    ψ(k) = ξ
    k
    |ψ =
    +

    −∞
    e
    −ikx


    ψ(x)dx.
    Поскольку
    |ψ =
    +

    −∞
    ψ(x)

    x dx =
    +

    −∞
    ψ(k)

    x dk мы можем удобно за- писать друг через друга ψ(k) = ξ
    k
    |ψ и ψ(x) = φ
    x
    |ψ , используя яд- ро ξ
    k

    x
    = φ
    x

    k

    :
    ψ(k) =
    +

    −∞
    ξ
    k

    x
    ψ(x)dx,
    ψ(x) =
    +

    −∞
    e ikx


    ψ(k)dk =
    +

    −∞
    φ
    x

    k
    ψ(k)dk.
    Если величина x безразмерна, то k тоже безразмерна и мы можем рассмат- ривать преобразование Фурье по своему выбору как замену базиса, либо как унитарное преобразование. Если же x и k размерны, то мы можем рас- сматривать преобразование Фурье как замену базиса, но не можем рассмат- ривать их как унитарное преобразование, впрочем, мы всегда можем обез- размерить переменные, разделив x и умножив k на некоторую константу x
    0
    с размерностью x.

    98
    Г
    ЛАВА
    4
    Часто в физике в качестве аргумента преобразования Фурье выбирает- ся не волновое число k, а импульс p = ¯
    hk. В этом случае нормированные волновые функции нового базиса должны быть поделены на

    ¯
    h:
    ξ
    p
    (x) =
    1

    2π¯
    h e
    i
    ¯
    h px
    ,
    p
    ∈ R.
    Другое преобразование Фурье*
    Определ¨енное выше преобразование Фурье отличается от обратного преобразования Фурье только знаком в комплексной экспоненте, однако наличие нормировочного множителя
    1


    , или
    1

    2π¯
    h
    , часто неудобно. Тем более, что без этого множителя волновая функция ψ
    p
    (x) = e ikx
    = e i
    ¯
    h px оказывается отнормирована на одну частицу, на единицу объ¨ема.
    Избавиться от корней можно, переопределив скалярное произведение в импульсном представлении:
    φ
    |ψ =
    +

    −∞
    φ

    (p)ψ(p)
    dp
    2π¯
    h
    (4.40)
    Можно сказать, что мы ввели в пространстве импульсов/волновых чи- сел меру вида dp
    2π¯
    h
    =
    dk

    . То есть интегрирование по импульсу всегда вед¨ется по такой мере. Если размерность пространства импульсов n, то такая мера имеет вид d
    n p
    (2π¯
    h)
    n
    =
    d n
    k
    (2π)
    n
    Теперь мы можем записывать преобразование Фурье и обратное пре- образование Фурье без корней:
    ψ(p) = φ
    p
    |ψ =
    e

    i
    ¯
    h px
    ψ(x)dx,
    φ
    p
    (x) = e

    i
    ¯
    h px
    = φ
    x

    p
    ,
    ψ(x) = φ
    x
    |ψ =
    e i
    ¯
    h px
    ψ(p)
    dp
    2π¯
    h
    ,
    φ
    x
    (p) = e i
    ¯
    h px
    = φ
    p

    x
    = φ
    x

    p

    Условия нормировки для импульсного базиса и для координатного базиса имеют различный вид:
    φ
    x

    x
    = φ
    x
    (x) = δ(x
    − x ),
    φ
    p

    p
    = φ
    p
    (p) = 2π¯
    h δ(p
    − p ).
    Именно такие соглашения предпочитают в большинстве книг физики.
    Это весьма удобно: все дифференциалы импульса делятся на 2π¯
    h, и ника-

    4.7. О
    ПЕРАТОРЫ
    99
    ких корней не возникает. Однако при этом прямое и обратное преобразо- вания Фурье выглядят различно, различаются условия нормировки, а про- странство волновых функций в координатном и импульсном представле- нии различаются даже после обезразмеривания, что затрудняет рассмотре- ние преобразований Фурье в качестве унитарных преобразований. По этой причине математики часто предпочитают преобразование Фурье в том ви- де, в котором они приведены в разделе 4.6.3.
    1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   52


    написать администратору сайта