Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
4.6. Базисы в пространстве состояний 4.6.1. Разложение по базису в пространстве состояний, нормировка базисных векторов Собственно задавая чистое состояние |ψ как волновую функцию ψ(x) от какого-то набора переменных x, мы уже имеем дело с разложением век- тора состояния по некоторому базису. |ψ = U ψ(x) |φ x dx + k ∈W ψ(k) |φ k (4.30) Здесь |φ x |φ k — базисные кет-векторы непрерывного и дискретного спек- тров с номерами x и k соответственно. По непрерывному спектру (x ∈ U) ид¨ет интегрирование, а по дискретному (k ∈ W ) — суммирование. Базисные векторы с различными номерами ортогональны друг другу. Однако базисные векторы дискретного и непрерывного спектров нормиру- ются по-разному. Хотя в обоих случаях это нормировка на ядро единичного оператора 9 . То есть нормировка проводится так, чтобы компоненту векто- ра состояния (значение волновой функции) можно было бы получить как скалярное произведение: ψ(k) = φ k |ψ = φ k | U ψ(x) |φ x dx + φ k | k ∈W ψ(k ) |φ k = = k ∈W ψ(k ) φ k |φ k = k ∈W ψ(k ) δ kk , ψ(x) = φ x |ψ = φ x | U ψ(x ) |φ x dx + φ x | k ∈W ψ(k) |φ k = = U ψ(x ) φ x |φ x dx = U ψ(x ) δ(x − x ) dx . 9 Ядро оператора — разложение оператора по базису. Подробнее см. раздел 4.7.6. 4.6. Б АЗИСЫ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ 91 Прич¨ем условия нормировки для базисных векторов задают одновре- менно компоненты базисных векторов по базису, к которому эти векторы относятся, т. е. φ x 0 (x) = φ x |φ x 0 , т. к. и то, и другое определяется скаляр- ным произведением выбранного базисного вектора на все векторы базиса. Таким образом, базисные векторы дискретного спектра нормируются на δ-символ: φ k |φ l = δ kl = φ l (k). (4.31) То есть φ k |φ l = 0, k = l, (4.32) φ k |φ k = 1. (4.33) А базисные векторы непрерывного спектра нормируются на δ-функцию: φ x |φ y = δ(x − y) = φ y (x). (4.34) То есть φ x |φ y = 0, x = y, (4.35) φ x |φ x = ∞ скалярное произведение не определено (расходится). (4.36) Для базисных векторов непрерывного спектра скалярный квадрат ока- зывается не определ¨ен, т. е. вероятности для состояния, описываемого таки- ми состояниями, не могут быть отнормированы на единицу! В этом состоит существенное отличие от базисных векторов дискретного спектра, которые нормированы на единицу и представляют собой вполне «хорошие» векторы чистых состояний. Строго говоря, базисные векторы непрерывного спектра вообще не от- носятся к пространству состояний H, поскольку для всех векторов состоя- ний задано скалярное произведение. Обратите внимание, что уравнения (4.32), (4.33) эквивалентны усло- вию нормировки (4.31), но аналогичные уравнения (4.35), (4.36) не экви- валентны условию нормировки (4.34) (бесконечности, в отличие от единиц, бывают разные). А учитывая, что δ-функция обладает свойством δ(ax) = = δ(x) |a| (для одномерной переменной x), мы видим, что нормировка одной- единственной функции непрерывного спектра невозможна. Нормируется сразу набор векторов непрерывного спектра, прич¨ем нормировка зависит от нумерации векторов: замена x → ax требует изменения нормировки ба- зисных φ x → φ x √ a 92 Г ЛАВА 4 При работе с состояниями непрерывного и дискретного спектра обыч- но условие квадратичной интегрируемости волновой функции заменяют на более мягкое условие локальной (на любом конечном интервале) квадра- тичной интегрируемости и ограниченности на бесконечности. 4.6.2. Природа состояний непрерывного спектра* Итак, рассматривая базисные векторы непрерывного спектра, мы невзначай вылезли из первоначально постулируемого пространства H квад- ратично интегрируемых (суммируемых) функций. Оказывается, что такие векторы вроде уже и не состояния, и скалярное произведение с их участием определено не всегда: когда надо посчитать соответствующую этому базис- ному вектору компоненту «хорошего» состояния ψ(x) = φ x |ψ , то скаляр- ное произведение определено, а когда надо посчитать скалярный квадрат φ x |φ x — оно вдруг отказывается работать, но выда¨ет нечто осмысленное, если взять φ x |φ y . Попытаемся понять, что же это такое с двух точек зре- ния: с точки зрения физики, и с точки зрения математики. С точки зрения физики ненормируемые состояния не могут быть реа- лизованы, поскольку суммарная вероятность всех исходов не должна пре- вышать единицу. Таким образом, состояния непрерывного спектра физичес- ки нереализуемы. Таким образом, если физическая величина имеет непре- рывный спектр возможных значений, то не существует состояний, в кото- рых е¨е значение из непрерывного спектра было бы определено однозначно. Это также означает, что значение величины из непрерывного спектра мо- жет быть измерено только с конечной точностью. Это относится, например, к состояниям, в которых определено значение координаты. Однако мы можем приближать функцию непрерывного спектра «хо- рошими» квадратично интегрируемыми функциями, и такое приближение будет в некотором смысле сходиться, т. е. ∀ψ ∈ D ⊂ H lim n →∞ ψ n |ψ = φ x 0 |ψ = ψ(x 0 ). Например, мы можем приближать дельта-функцию узкими и высокими пря- моугольными импульсами или гауссовыми кривыми с единичным интегра- лом. Таким образом мы можем приближать невозможное состояние непре- рывного спектра, в котором x определ¨ен с бесконечной точностью «хоро- шими» состояниями, в которых x определ¨ен с конечной (но сколь угодно малой) неопредел¨енностью. Невозможное состояние непрерывного спект- ра при этом оказывается некоторой вполне законной идеализацией. Да, для 4.6. Б АЗИСЫ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ 93 этого состояния полная вероятность оказывается бесконечной, а значит мы не можем считать абсолютные вероятности, однако мы можем считать от- носительные вероятности как отношения частот попадания какой-то вели- чины в те или иные интервалы. С точки зрения математики, упомянутая выше сходимость — сходи- мость в смысле слабого предела, т. е. wlim n →∞ ψ n (x) = δ(x − x 0 ) = φ x 0 (x) ⇔ ⇔ ∀ψ ∈ D ⊂ H lim n →∞ ψ n |ψ = φ x 0 |ψ = ψ(x 0 ). Такую сходимость применяют для того, чтобы определить обобщ¨енные функции класса D как линейные функционалы над основными функция- ми класса D. Сходимость в слабом смысле в пространстве H совпадает со сходимостью по норме · , которую мы определили с помощью ска- лярного квадрата. Линейные функционалы над пространством H относятся к пространству H ∗ , которое изоморфно исходному и отождествляется с ним при эрмитовом сопряжении. Можно сказать, что пространство обобщ¨енных функций класса H совпадает с H ∗ . Поэтому в пространстве H ряды, приб- лижающие δ-функцию, расходятся. Нужное нам пространство основных функций не совпадает с исходным пространством состояний D = H. Что- бы расширить класс обобщ¨енных функций, нам надо сузить класс основ- ных функций: чем шире выбор в ψ, тем уже выбор в φ, при условии что интеграл типа скалярного произведения сходится φ ∗ (x) ψ(x)dx. Другими словами, включение каждой новой функции в D накладывает дополнительное условие на все функции, которые могут быть включены в D . 10 Угловые скобки в дираковских обозначениях, помимо скалярного про- изведения волновых функций из пространства H, теперь могут обозначать и другую операцию: действие линейного функционала из D на волновую функцию из D. Получившаяся при этом конструкция D ⊂ H ⊂ D (4.37) называется оснащ¨енным гильбертовым пространством. 10 Это оста¨ется верным до тех пор, пока D плотно в H, если слишком сильно уменьшить D, то мы перестанем различать разные обобщ¨енные функции с точки зрения их действия на основные. 94 Г ЛАВА 4 Конкретный выбор пространства основных функций D зависит от ре- шаемой задачи. Однако мы ещ¨е не выяснили природу интеграла по непрерывному спектру в формуле (4.30), а также природу «скалярного произведения» сос- тояний непрерывного спектра друг на друга, в частности в формуле для нормировки (4.34). Про смысл «скалярного произведения» векторов непрерывного спект- ра друг на друга см. ниже в разделе 4.6.3 «Замена базиса», а также в разде- лах 4.7.1 «Ядро оператора» и 4.7.2 «Матричный элемент оператора». 4.6.3. Замена базиса Прежде всего отметим, что формула (4.30) для разложения кет-вектора по базису сама по себе не позволяет вычислить какое бы то ни было число, поскольку она записана через другие кет-векторы. Чтобы получить из кет- вектора число (хотя бы его компоненту по какому-либо базису), его надо домножить слева на бра-вектор. Так и сделаем, умножим формулу (4.30) слева на некоторый базисный вектор ξ m | (непрерывного или дискретного спектра, из старого базиса {|φ x } x ∈U∪W , или из какого-либо другого): ξ m | × ⎛ ⎝|ψ = U ψ(x) |φ x dx + x ∈W ψ(x) |φ x ⎞ ⎠, ψ(m) = ξ m |ψ = U ψ(x) ξ m |φ x dx + x ∈W ψ(x) ξ m |φ x = (4.38) = U ψ(x) φ x (m) dx + x ∈W ψ(x) φ x (m). Полученная формула (4.38) выражает компоненты ψ(m) вектора |ψ в но- вом базисе, через его же компоненты ψ(x) в старом базисе. При этом отображение записалось как линейное отображение одного векторного про- странства на другое с ядром, задаваемым скалярными произведениями ба- зисных векторов двух наборов друг на друга ξ m |φ x . Это ядро имеет вполне конкретный смысл и является, вообще говоря, обобщ¨енной функ- цией от m и x. Как обобщ¨енная функция ξ m |φ x может не иметь опре- дел¨енного значения при каких-то значениях переменных, но имеет смысл как форма записи линейного отображения. Даже если значение функции ξ m |φ x при каких-то значениях аргумента определено, интеграл, формаль- но соответствующий скалярному произведению волновых функций непре- 4.6. Б АЗИСЫ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ 95 рывного спектра, может расходиться. Например, скалярное произведение двух волн де Бройля, отвечающих различным значениям импульса в одно- мерном случае сводится к пределу, который не существует, но которому мы формально приписываем нулевое значение: ψ p 1 |ψ p 2 = + ∞ −∞ e − ip 1 x ¯ h e ip 2 x ¯ h dx = + ∞ −∞ e i(p 2 −p 1 )x ¯ h dx = = lim R →+∞ +R −R e i(p 2 −p 1 )x ¯ h dx 2 sin ( p2−p1 ¯ h R ) (p 2 −p 1 )/¯ h = 0. (4.39) Замена базиса и унитарные операторы* Мы описали замену базиса как отображение из одного векторного про- странства в другое G : H 1 → H 2 Здесь H 1 и H 2 — два векторных пространства, элементами которых явля- ются наборы компонент вектора состояния из пространства H по базисам номер 1 и номер 2. Конечно, пространства H, H 1 и H 2 одинаковы (изо- морфны), но иногда бывает полезно различать сам вектор состояния и его представление через набор компонент. Если оба векторных пространства H 1 и H 2 «устроены» одинаково, т. е. если мы можем пронумеровать векторы дискретного спектра обоих бази- сов и установить между ними взаимно-однозначное соответствие, прону- меровать векторы непрерывного спектра обоих базисов и также установить между ними взаимно-однозначное соответствие, то такая одинаковая нуме- рация устанавливает естественное отображение между элементами обоих векторных пространств: J : H 1 → H 2 , J −1 : H 2 → H 1 При этом у нас появляется возможность рассматривать те же формулы не как замену базиса (отображение вектора из H 1 в H 2 ), а как преобразо- вание вектора, т. е. отображение вектора из H 1 на другой вектор того же пространства H 1 : ˆ U = J −1 G : H 1 → H 1 96 Г ЛАВА 4 Поскольку такое преобразование взаимно-однозначно ( ⇒обратимо) и сохраняет скалярное произведение (оба базиса одинаково нормированы), то оно называется унитарным преобразованием и описывается унитарным оператором ˆ U . Наоборот, если M 1 : H → H 1 зада¨ет компоненты вектора состояния по некоторому базису, а ˆ U : H → H — унитарный оператор, то M 2 = = M 1 ˆ U : H → H 1 зада¨ет компоненты вектора состояния по новому базису. Для любого базиса любой унитарный оператор зада¨ет некоторую за- мену базиса на новый базис, «устроенный» так же как исходный, и наобо- рот, любая замена базиса, при которой оба базиса «устроены» одинако- во, зада¨ет унитарный оператор. Унитарное преобразование — обобщение поворота, а унитарный оператор — обобщение матрицы поворота. Если базисы «устроены» различно, например в одном векторы нуме- руются дискретным индексом, а в другом — непрерывным, то такую замену базиса нельзя естественным образом представить как унитарное преобра- зование 11 Преобразование Фурье Рассмотрим пространство L 2 ( R) и базис, состоящий из волн де Бройля (состояний с определ¨енным импульсом ¯ hk): ξ k (x) = 1 √ 2π e ikx = φ x |ξ k , k ∈ R. Здесь φ x 0 (x) = δ(x −x 0 ) — волновые функции исходного базиса (состояния с определ¨енным значением координаты x 0 ). Переход к новому базису соответствует преобразованию Фурье. Этот базис является ортонормированным, т. е. ξ k |ξ l = δ(k − l). Хотя матричный элемент ξ k |ξ l является обобщ¨енной функцией, при k = l она имеет хорошо определ¨енное (нулевое) значение, однако соответствую- 11 В некоторых книгах унитарными операторами называют также отображение одного про- странства на другое. Однако в данном пособии унитарные преобразования понимаются как отображение пространства на себя, для того чтобы любое преобразование можно было бы рассматривать двояким образом: как активное преобразование (преобразование вектора), ли- бо как пассивное преобразование (замена базиса). 4.6. Б АЗИСЫ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ 97 щий интеграл ξ k |ξ l = 1 2π + ∞ −∞ e i(l −k)x dx расходится (см. (4.39)). При стремлении к бесконечности пределов интег- рирования +R −R e i(l −k)x dx = 2 sin((l − k)R) l − k , R → +∞ значение интеграла колеблется, но не стремится к какому-либо пределу. Мы можем домножить подынтегральное выражение на какой-либо регуляри- зующий фактор, например e −α|x| , после чего перейти к пределу α → +0, но смысл формулы ξ k |ξ l = δ(k − l) не в этом, а в том, что скалярное произведение для функций и их преобразования Фурье записывается оди- наково: φ |ψ = + ∞ −∞ φ ∗ (x)ψ(x)dx = + ∞ −∞ φ ∗ (k)ψ(k)dk, φ ∗ (k) = φ |ξ k = + ∞ −∞ φ ∗ (x) e ikx √ 2π dx, ψ(k) = ξ k |ψ = + ∞ −∞ e −ikx √ 2π ψ(x)dx. Поскольку |ψ = + ∞ −∞ ψ(x) |φ x dx = + ∞ −∞ ψ(k) |ξ x dk мы можем удобно за- писать друг через друга ψ(k) = ξ k |ψ и ψ(x) = φ x |ψ , используя яд- ро ξ k |φ x = φ x |ξ k ∗ : ψ(k) = + ∞ −∞ ξ k |φ x ψ(x)dx, ψ(x) = + ∞ −∞ e ikx √ 2π ψ(k)dk = + ∞ −∞ φ x |ξ k ψ(k)dk. Если величина x безразмерна, то k тоже безразмерна и мы можем рассмат- ривать преобразование Фурье по своему выбору как замену базиса, либо как унитарное преобразование. Если же x и k размерны, то мы можем рас- сматривать преобразование Фурье как замену базиса, но не можем рассмат- ривать их как унитарное преобразование, впрочем, мы всегда можем обез- размерить переменные, разделив x и умножив k на некоторую константу x 0 с размерностью x. 98 Г ЛАВА 4 Часто в физике в качестве аргумента преобразования Фурье выбирает- ся не волновое число k, а импульс p = ¯ hk. В этом случае нормированные волновые функции нового базиса должны быть поделены на √ ¯ h: ξ p (x) = 1 √ 2π¯ h e i ¯ h px , p ∈ R. Другое преобразование Фурье* Определ¨енное выше преобразование Фурье отличается от обратного преобразования Фурье только знаком в комплексной экспоненте, однако наличие нормировочного множителя 1 √ 2π , или 1 √ 2π¯ h , часто неудобно. Тем более, что без этого множителя волновая функция ψ p (x) = e ikx = e i ¯ h px оказывается отнормирована на одну частицу, на единицу объ¨ема. Избавиться от корней можно, переопределив скалярное произведение в импульсном представлении: φ |ψ = + ∞ −∞ φ ∗ (p)ψ(p) dp 2π¯ h (4.40) Можно сказать, что мы ввели в пространстве импульсов/волновых чи- сел меру вида dp 2π¯ h = dk 2π . То есть интегрирование по импульсу всегда вед¨ется по такой мере. Если размерность пространства импульсов n, то такая мера имеет вид d n p (2π¯ h) n = d n k (2π) n Теперь мы можем записывать преобразование Фурье и обратное пре- образование Фурье без корней: ψ(p) = φ p |ψ = e − i ¯ h px ψ(x)dx, φ p (x) = e − i ¯ h px = φ x |φ p , ψ(x) = φ x |ψ = e i ¯ h px ψ(p) dp 2π¯ h , φ x (p) = e i ¯ h px = φ p |φ x = φ x |φ p ∗ Условия нормировки для импульсного базиса и для координатного базиса имеют различный вид: φ x |φ x = φ x (x) = δ(x − x ), φ p |φ p = φ p (p) = 2π¯ h δ(p − p ). Именно такие соглашения предпочитают в большинстве книг физики. Это весьма удобно: все дифференциалы импульса делятся на 2π¯ h, и ника- 4.7. О ПЕРАТОРЫ 99 ких корней не возникает. Однако при этом прямое и обратное преобразо- вания Фурье выглядят различно, различаются условия нормировки, а про- странство волновых функций в координатном и импульсном представле- нии различаются даже после обезразмеривания, что затрудняет рассмотре- ние преобразований Фурье в качестве унитарных преобразований. По этой причине математики часто предпочитают преобразование Фурье в том ви- де, в котором они приведены в разделе 4.6.3. |