Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
6.2.1. Об области применимости теоремы* Применяя осцилляторную теорему, необходимо следить за условиями е¨е применимости. Например, одномерная задача может решаться с гранич- ными условиями отличными от обнуления волновой функции на границе. Привед¨ем некоторые контрпримеры. • Если мы будем решать задачу о спектре свободной частицы на отрез- ке [0, a] с периодическими граничными условиями ψ(0) = ψ(a), ψ (0) = ψ (a), (6.10) то спектр (кроме основного состояния) будет дискретным и двухкратно вырожденным (стоячие волны де Бройля: синусы и косинусы с длиной волны, укладывающейся в отрезок целое число раз): E 0 = 0, ψ 0 (x) = 1 √ a ; E n = ¯ h 2 k 2 n 2m , ak n = 2πn, n = 1, 2, . . . , ψ n+ (x) = 2 a cos(k n x), ψ n − (x) = 2 a sin(k n x). (6.11) • Если мы будем решать задачу о спектре свободной частицы на отрез- ке [0, a] с антипериодическими граничными условиями ψ(0) = −ψ(a), ψ (0) = −ψ (a), то основное состояние станет двухкратно вырожденным: E n = ¯ h 2 k 2 n 2m , ak n = π(2n + 1), n = 0, 1, 2, . . . Собственные функции задаются теми же формулами (6.11). При этом одно из двух основных состояний (ψ 0+ ) будет менять знак в точке a 2 • Если мы будем решать задачу о спектре свободной частицы на отрез- ке [0, a] с периодическими граничными условиями со сдвигом фазы, например ψ(0) = iψ(a), ψ (0) = iψ (a), 6.2. О СЦИЛЛЯТОРНАЯ ТЕОРЕМА 171 то очевидно, что среди собственных функций (бегущих волн де Брой- ля) не будет ни одной вещественной и ни одной обращающейся в нуль. • Нарушение условий единственности решений стационарных уравне- ний Шр¨едингера с данными граничными условиями физически соот- ветствует тому, что область определения разделена бесконечно высо- кими стенками на несколько кусков, тогда в пределах каждого куска волновая функция зада¨ется независимо. В этом случае осцилляторная теорема применима для волновой функции, локализованной в преде- лах конкретного куска, но не для их объединения. 6.2.2. Нули основного состояния* Покажем, что основное состояние не имеет внутренних нулей, т. е. оно не меняет знак на всей области определения. Пусть ψ 0 ( ψ 0 = 1) — основное состояние. E 0 — средняя энергия в ос- новном состоянии. Согласно вариационному принципу (см. раздел 4.11.2) основное состояние соответствует минимуму средней энергии системы. Поскольку в одномерном случае дискретный спектр невырожден, состояние со средней энергией E 0 единственно с точностью до числового множителя: E 0 = ψ 0 | ˆ H |ψ 0 = ψ 1 | ˆ H |ψ 1 , ψ 0 |ψ 0 = ψ 1 |ψ 1 = 1 ⇒ ψ 1 = e iα ψ 0 , α ∈ R. Состояние, задающееся функцией ψ 1 (x) = |ψ 0 (x) | = ψ 0 (x) sgn(ψ 0 (x)), да¨ет ту же среднюю энергию: 4 ψ 1 | ˆ H |ψ 1 = ψ 1 (x) − ¯h 2 2m ψ 1 (x) + U (x)ψ 1 (x) dx = = ψ 0 (x) sgn(ψ 0 (x)) × × − ¯h 2 2m ψ 0 (x) sgn(ψ 0 (x)) + ψ 0 (x) sgn (ψ 0 (x)) + U (x)ψ 0 (x)sgn(ψ 0 (x)) dx = = ψ 0 (x) − ¯h 2 2m ψ 0 (x) + U (x)ψ 0 (x) dx = ψ 0 | ˆ H |ψ 0 = E 0 Добавки, связанные с δ-функцией (sgn ), обнуляются, т. к. попадают на нули функции ψ 0 (x) и умножаются на значение ψ 0 в данных точках. Таким образом, в силу невырожденности дискретных уровней в од- номерном случае, состояние ψ 1 отличается от исходного состояния ψ 0 на 4 Комплексное сопряжение не пишем, т. к. волновая функция вещественна. 172 Г ЛАВА 6 постоянный множитель, что возможно только когда ψ 0 нигде не меняет знака. Случай периодических граничных условий** Привед¨енное доказательство можно модифицировать для случая перио- дических граничных условий на отрезке (6.10), который выше приводился в качестве контрпримера. Мы не можем заранее утверждать, что основное состояние невырож- дено, поэтому состояние ψ 1 обязано иметь ту же энергию E 0 , но оно может оказаться основным состоянием. Пространство стационарных состояний с энергией E 0 — линейное про- странство, так что мы можем наряду с ψ 0 и ψ 1 рассматривать такие функ- ции, как ψ + (x) = ψ 0 + ψ 1 2 = ψ 0 (x) θ(ψ 0 (x)), ψ − (x) = ψ 0 − ψ 1 2 = ψ 0 (x) θ( −ψ 0 (x)). Здесь θ(x) = sgnx+1 2 — ступенька. Функции ψ + и ψ − совпадают с ψ 0 в об- ластях положительного (отрицательного) знака и тождественно равны ну- лю в областях противоположного знака. Существование отличных от нуля волновых функций, для которых в какой-то точке ψ(x 0 ) = ψ (x 0 ) = 0, на- рушает условия существования и единственности решения стационарного уравнения Шр¨едингера 5 , так что предположение о линейной независимости ψ 0 и ψ 1 не выполняется и мы приходим к выводу, что основное состояние одномерной системы с периодическими граничными условиями вообще не имеет нулей. Рис. 6.4. Юзеф Вроньский (1776–1853). [1897 г. Felix Valloton. W] Основное состояние должно быть невы- рожденным, т. к. две функции, имеющие по- стоянный знак в одинаковой области (в силу условия единственности), не могут быть орто- гональны друг другу. 6.2.3. Вронскиан (л*) Удобным инструментом для исследова- ния зависимости решений дифференциального уравнения является вронскиан (определитель Вроньского), введ¨енный Юзефом Вроньским. 5 Нарушение условий единственности упоминалось как один из примеров выше (см. 6.2.1 «Об области применимости теоремы*»). 6.2. О СЦИЛЛЯТОРНАЯ ТЕОРЕМА 173 Поскольку мы изучаем дифференциальные уравнения второго порядка, то и вронскиан нам понадобится второго порядка: W [ψ 1 , ψ 2 ] = ψ 1 ψ 2 ψ 1 ψ 2 = ψ 1 ψ 2 − ψ 2 ψ 1 (6.12) Если вронскиан обратился в ноль в точке x, это означает, что значения функций и их первых производных в точке x пропорциональны друг дру- гу. Для дифференциального уравнения второго порядка, зная функцию и е¨е производную в точке x, мы можем поставить задачу Коши и найти зна- чения функции на всей оси. Таким образом, если ψ 1 и ψ 2 являются ре- шениями уравнений Шр¨едингера для одного и того же потенциала и для одной и той же энергии, то (в силу того, что уравнения линейные, од- нородные, второго порядка) если вронскиан равен нулю в одной точке W [ψ 1 , ψ 2 ](x) = 0, то он равен нулю всюду и функции ψ 1 и ψ 2 пропорцио- нальны друг другу. Докажем более общее утверждение, описывающее зависимость врон- скиана от координаты для двух функций, являющихся решениями стацио- нарного уравнения Шр¨едингера: W [ψ 1 , ψ 2 ] = ψ 1 ψ 2 − ψ 2 ψ 1 = = ψ 1 2m 2 ¯ h 2 (U 2 (x) − E 2 )ψ 2 − ψ 2 2m 1 ¯ h 2 (U 1 (x) − E 1 )ψ 1 = = ψ 1 ψ 2 2 ¯ h 2 [m 2 (U 2 (x) − E 2 ) − m 1 (U 1 (x) − E 1 )]. Если m 1 = m 2 = m и U 1 (x) = U 2 (x), то соотношение упрощается: W [ψ 1 , ψ 2 ] = ψ 1 ψ 2 2m ¯ h 2 [E 1 − E 2 ]. (6.13) Проинтегрировав формулы (6.13), получаем W [ψ 1 , ψ 2 ](x 1 ) − W [ψ 1 , ψ 2 ](x 0 ) = 2m ¯ h 2 [E 1 − E 2 ] x 1 x 0 ψ 1 (x)ψ 2 (x) dx. (6.14) 6.2.4. Рост числа нулей с номером уровня* Применим формулу (6.14) для изменения вронскиана к двум последо- вательным нулям x 0 < x 1 дискретного стационарного состояния ψ 1 с энер- гией E 1 . Второе состояние ψ 2 пусть также будет дискретным собственным с энергией E 2 > E 1 174 Г ЛАВА 6 Функции ψ 1 (x) и ψ 2 (x) возьм¨ем вещественные, прич¨ем выберем такой знак, чтобы ψ 1 (x) > 0 при x ∈ (x 0 , x 1 ). [ 0 ψ 1 (x 1 ) ψ 2 (x 1 ) − ψ 2 (x 1 ) 0 ψ 1 (x 1 )] W [ψ 1 ,ψ 2 ](x 1 ) − [ 0 ψ 1 (x 0 ) ψ 2 (x 0 ) − ψ 2 (x 0 ) 0 ψ 1 (x 0 )] W [ψ 1 ,ψ 2 ](x 0 ) = = ψ 2 (x 1 ) 0 ( −ψ 1 (x 1 )) + ψ 2 (x 0 ) 0 ψ 1 (x 0 ) = <0 2m ¯ h 2 [E 1 − E 2 ] x 1 x 0 >0 ψ 1 (x) ψ 2 (x) dx. Это равенство не может выполняться, если функция ψ 2 (x) не меняет знак на интервале (x 0 , x 1 ) хотя бы один раз. Таким образом, между любыми двумя нулями функции ψ 1 (x) (вклю- чая два нуля на границе области определения) найд¨ется хотя бы один ноль функции ψ 2 (x). Таким образом, число нулей стационарного состоя- ния ψ 2 (x), отвечающего большей энергии, строго больше, чем число нулей стационарного состояния ψ 1 (x). (*) Принадлежность состояний ψ 1 и ψ 2 к дискретному спектру важна для сходимости интеграла лишь в случае бесконечной области интегрируе- мости. Если x 0 и x 1 конечны, то от этого условия можно отказаться. Таким образом, между любыми двумя нулями вещественной функции непрерыв- ного спектра также будет хотя бы один ноль другой вещественной соб- ственной функции, отвечающей большей энергии. 6.2.5. Сокращение числа нулей* Для того, чтобы завершить доказательство осцилляторной теоремы (после того, как мы доказали рост числа нулей с ростом энергии), нам осталось показать, что если для некоторого одномерного гамильтониана ви- да (6.1) существует дискретное стационарное состояние ψ n с энергией E n , имеющее n внутренних нулей, то найд¨ется дискретное стационарное состо- яние ψ n −1 того же гамильтониана с числом внутренних нулей, равным n −1. Пусть x k , k = 1, . . . n, — внутренние нули функции ψ n . x 0 и x n+1 — границы области определения. Пусть нули пронумерованы в порядке воз- растания: −∞ x 0 < x 1 < . . . < x n внутренние нули < x n+1 + ∞. Если разделить ось x на n+1 интервалы (x k , x k+1 ) (k = 0, . . . , n), поставив в точ ках x k (k = 1, . . . , n) бесконечно высокие стенки, то в каждой из n + 1 6.2. О СЦИЛЛЯТОРНАЯ ТЕОРЕМА 175 получившихся потенциальных ям мы будем иметь дискретный спектр, для которого состояние ψ nk (x) = I (x k ,x k+1 ) (x) · ψ n (x), k = 0, . . . , n (характеристическая функция определена уравнением (3.10)), полученное ограничением ψ n на соответствующий интервал, станет основным, т. к. ψ n , ограниченное на соответствующий интервал, уже не имеет внутренних ну- лей. Покажем, при помощи вариационного принципа (см. раздел 4.11.2), что при расширении одной из ям за сч¨ет отодвигания стенки энергия ос- новного состояния строго убывает. При расширении ямы номер k средняя энергия, вычисленная для состояния ψ nk , не изменится, т. к. мы просто расширим область интегрирования вне (x k , x k 1 ), туда где ψ nk (x) ≡ 0. Та- ким образом, энергия основного состояния не увеличится. Однако функ- ция ψ nk (x) не может доставлять минимум гамильтониану расширенной ямы, т. к. она тождественно равна нулю на интервале, на который отод- винулась стенка, не удовлетворяет на этом интервале условию единствен- ности и не может быть собственной функцией. Значит энергия основного состояния при расширении ямы станет строго меньше. Если мы будем двигать стенки, то между двумя стенками спектр всегда будет только дискретным, а значит будет дискретным и основное состояние. Между стенкой и бесконечной точкой (если x 0 = −∞, или x n+1 = = + ∞) дискретный спектр заведомо сохранится, если мы не будем сдви- гать крайнюю левую стенку левее x 1 , а крайнюю правую — правее x n , т. к. асимптотика на бесконечности не может «испортится» при понижении уровня энергии. Чтобы доказать существование состояния ψ n −1 , над достаточно пока- зать, что мы можем выкинуть одну из n стенок, которые мы поставили в точ ки x k , а оставшиеся так расставить на интервале (x 1 , x n ) в точ ках y k (k = 1, . . . , n −1), чтобы энергии основных уровней во всех n ямах совпали друг с другом. Тогда искомую функцию всегда можно записать как линей- ную комбинацию функций основных состояний ψ n −1,k (k = 0, . . . , n − 1) в ямах между новыми положениями стенок: ψ n −1 (x) = n −1 k=0 c n −1,k ψ n −1,k (x). Значения функций ψ n −1,k (x) вне соответствующих интервалов (y k , y k+1 ) равны нулю, а коэффициенты c n −1,k подбираются так, чтобы обеспечить в точ ках y k непрерывность первой производной ψ n −1 176 Г ЛАВА 6 Покажем, что расстановка n −1 стенки, при которой энергия основных состояний во всех n ямах одинакова, действительно существует. Для этого мы сделаем естественное предположение, что энергия основного состояния непрерывно зависит от положения бесконечно высоких стенок, е¨е ограни- чивающих. Пусть стенки перемещаются по следующим правилам: 0) Начн¨ем с конфигурации с выкинутой первой стенкой. То есть пусть стенки стоят в точках y k (0) = x k+1 (k = 1, . . . , n − 1). 1) На шаге номер k (k = 1, . . . , n − 1) мы передвигаем стенку но- мер k влево настолько, чтобы уравнять энергии основных состояний в ямах справа и слева от справа от не¨е. В результате мы получаем конфигурацию стенок y k (1), в которой энергии основных состояний в яме k монотонно возрастают справа налево при k = 0, . . . , n − 2, а в последних двух ямах основные уровни совпадают, прич¨ем E n −1,n−2 (1) = E n −1,n−1 (1) < E n 2) Повторяем шаг 1) бесконечно много раз. 3) В результате все мы получаем некоторую предельную конфигура- цию стенок y k (k = 1, . . . , n −1). Предел обязан существовать, т. к. все стен- ки сдвигаются только влево, и не одна и из них не сдвигается левее, чем x 1 , т. к. сдвиг левее, чем x 1 , означает, что E n −1,0 > E n , что невозможно. 6.2.6. Завершение доказательства* Мы показали, что если состояние дискретного спектра имеет n внут- ренних нулей, то мы можем построить состояние, имеющее n − 1 нуль. Уменьшая число нулей на каждом шаге на один, мы убеждаемся, что в дис- кретном спектре число внутренних нулей меняется с шагом единица от нуля (для основного состояния) до некоторого максимального числа или бесконечности. Доказанное ранее утверждение, что число нулей в непрерывном спект- ре раст¨ет с ростом энергии, теперь означает, что число нулей нумерует дискретные уровни подряд в порядке возрастания энергии. Нули функции ψ n+1 должны чередоваться с нулями ψ n , т. к. нам нужен нуль на каждом промежутке между нулями функции ψ n , а таких промежут- ков имеется ровно n + 1. Таким образом, осцилляторная теорема доказана. 6.3. Одномерная задача рассеяния 6.3.1. Постановка задачи В одномерном случае, когда потенциал на бесконечностях имеет конеч- ные пределы, может быть поставлена одномерная задача рассеяния, в кото- 6.3. О ДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ 177 рой для падающей частицы с определ¨енной энергий надо определить с ка- кой вероятностью она пройд¨ет через потенциал, а с какой вероятностью отразится обратно. U x E ( ), U 1 U + U – U 0 x e ikx re –ikx de ik'x Рис. 6.5. Асимптотики волновой функции на бесконечностях в одномерной задаче рассеяния. Одномерная задача рассеяния ставится для энергии из непрерывного спектра, прич¨ем, как мы увидим далее, нетривиальное решение возможно только для вырожденного значения энергии. Одномерная задача рассеяния ставится как задача определения асимп- тотики на бесконечности (там, где потенциал выходит на константу) реше- ния стационарного уравнения Шр¨едингера определ¨енного вида: ψ + 2m ¯ h 2 (E − U(x)) = 0, (6.15) ψ(x) → e ikx падающая волна + r e −ikx отраж¨енная волна , x → −∞, ψ(x) → d e ik x прошедшая волна , x → +∞, k = 1 ¯ h 2m(E − U − ), k = 1 ¯ h 2m(E − U + ). Из задачи (6.15) определяются амплитуда отражения r и амплитуда прохождения d. Падающая, отраж¨енная и прошедшая волны ненормируе- мы на 1. Падающая волна отнормирована на единичную (относительную) вероятность на единицу длины. В отраж¨енной и рассеянной волнах вероят- ность (относительная) на единицу длины составляет |r| 2 и |d| 2 . В падающей 178 Г ЛАВА 6 и отраж¨енной волнах частица имеет импульс +¯ hk и −¯hk. В прошедшей волне — +¯ hk . Скорость (классическая, или групповая) пропорциональна импульсу, таким образом, отношение потоков в отраж¨енной волне и падаю- щей волне (коэффициент отражения) совпадает с отношением вероятнос- тей. Отношение потоков в прошедшей и падающей волнах (коэффициент прохождения) отличается от отношения вероятностей на отношения скорос- тей частиц (импульсов, или волновых чисел). То есть коэффициенты (вероятности) отражения R и прохождения D определяются так: R = |r| 2 , D = k k |d| 2 (6.16) Поскольку частица не может исчезнуть или быть захваченной потенциалом (т. к. энергия сохраняется), R + D = 1 (ниже мы это строго докажем). 6.3.2. Пример: рассеяние на ступеньке Рассмотрим одномерную задачу рассеяния на потенциале ступенька: U (x) = 0, x 0, V, x > 0. В данном случае асимптотическое поведение волновой функции (6.15) начинается непосредственно от нуля: ψ(x) = e ikx + re −ikx , ψ (x) = ik e ikx − re −ikx , x 0, k = 1 ¯ h √ 2mE, ψ(x) = de ik x , ψ (x) = ik de ik x , x 0, k = 1 ¯ h 2m(E − V ). Нам оста¨ется сшить волновую функцию в нуле, используя условия непре- рывности самой функции и е¨е первой производной: ψ( −0) = 1 + r = ψ(+0) = d, ψ ( −0) = ik(1 − r) = ψ (+0) = ik d. Получаем систему 1 + r = d, 1 − r = k k d ⇒ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ d = 2k k + k , r = k − k k + k (6.17) Из амплитуд выражаем коэффициенты прохождения и отражения R = |r| 2 = k − k k + k 2 , D = k k |d| 2 = 4kk |k + k | 2 6.3. О ДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ 179 Для полученного ответа выполняются следующие свойства: • R + D = 1 — сохранение вероятности; • при V = 0 (ступенька исчезает) k = k , частица проходит без рассея- ния: R = 0, D = 1; • при E → +∞ получаем k k → 1, частица проходит без рассеяния: R → 0, D → 1; • при V > E волновое число k — мнимое, частица полностью отража- ется: R = 1, D — мнимое, что означает «неправильную» (экспонен- циальную) асимптотику при x > 0, т. е. вместо мнимого D следует брать D = 0; 6 • если рассмотреть рассеяние справа налево, или, что равносильно, за- менить V на −V , а E на E −V , т. е. поменять местами k и k , то R и D не изменятся (неизменность D и R при изменении направления рас- сеяния в общем случае доказывается далее в разделе 6.3.5 «Рассеяние слева направо и справа налево**»). Проверка этих общих свойств для конкретного потенциала может при- меняться как простейший самоконтроль полученного решения одномерной задачи рассеяния. |