Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
Невырожденный дискретный спектр Пусть мы измеряем физическую величину, описываемую эрмитовым оператором ˆ A с дискретным невырожденным спектром. Т. е. ˆ A |ϕ k = α k |ϕ k , α k = α k , k = k , прич¨ем k — дискретный параметр. Набор ϕ k образует ортогональный базис, элементы которого можно нормировать на единицу, т. е. ϕ k |ϕ k = δ kk , (5.32) k |ϕ k ϕ k | = ˆ1. (5.33) Мы можем описать измерение, определяющее значение физической ве- личины ˆ A, т. е. определяющее в каком из состояний ϕ k находится система, следующим образом: • ˆ P k = |ϕ k ϕ k | — проектор на состояние ϕ k ; • проекторы описывают взаимоисключающие исходы, поскольку (из-за ортогональности состояний ϕ k ) ˆ P k ˆ P k = ˆ P k δ kk ; • p k = ψ | ˆ P k |ψ = ψ|ϕ k ϕ k |ψ — вероятность того, что в результате измерения система будет найдена в состоянии ϕ k и, соответственно, попад¨ет в это состояние (см. (4.29)); • эрмитов оператор ˆ P k можно трактовать как наблюдаемую, отвечаю- щую на вопрос «равна ли величина ˆ A значению α k (да=1, нет=0)?», или «какова вероятность того, что ˆ A равняется α k ?» 8 ; • ˆ1 = k ˆ P k — представление единичного оператора в виде суммы про- екторов; • используя предыдущий пункт, мы можем разложить исходную волно- вую функцию ψ по базису состояний ϕ k : |ψ = ˆ1|ψ = k ˆ P k |ψ = k |ϕ k ϕ k |ψ число = k ϕ k |ψ |ϕ k ; 8 Вероятность зада¨ется как среднее от оператора ˆ P k , а измерение наблюдаемой ˆ P k всегда да¨ет 0 или 1, поскольку только эти числа являются собственными, и только такие значения вероятности мы можем измерить в единичном опыте: вероятность после измерения всегда равна либо 1 (событие произошло), либо 0 (событие не произошло). 150 Г ЛАВА 5 • коэффициенты разложения ψ по ϕ k равны ϕ k |ψ и задают соответ- ствующие амплитуды вероятностей, как и положено компонентам вол- новой функции; • под действием проектора ˆ P k исходное состояние ψ превращается в нормированное на вероятность состояния φ k из раздела 4.5.2: ˆ P k |ψ = |ϕ k ϕ k |ψ число = ϕ k |ψ |ϕ k = φ k ; • оператор наблюдаемой может быть представлен в виде ˆ A = k α k ˆ P k Вырожденный дискретный спектр Случай вырожденного дискретного спектра отличается от невырож- денного тем, что некоторым собственным числам соответствует несколько линейно независимых собственных функций, т. е. ˆ A |ϕ kc = α k |ϕ kc , α k = α k , k = k . Дискретный параметр c = 1, . . . , n k нумерует собственные функции, отве- чающие данному собственному числу α k Мы снова можем выбрать набор ϕ kc так, чтобы он задавал ортонорми- рованный базис, т. е. ϕ kc |ϕ k c = δ kk δ cc , (5.34) k c |ϕ kc ϕ kc | = ˆ1. (5.35) В правилах из списка в разделе «Невырожденный дискретный спектр» следует заменить только первый пункт. Рассмотрение измерения для случая дискретного вырожденного спект- ра отличается только определением набора проекторов на собственные под- пространства оператора ˆ A, отвечающих выбранным k: ˆ P k = c |ϕ kc ϕ kc |, tr ˆ P k = n k Теперь проектор ˆ P k отображает волновые функции на подпространство размерности n k , натянутое на векторы из набора {|ϕ kc } n k c=1 Параметр c ∈ U k может быть и непрерывным, в этом случае изме- няется условие нормировки состояний, поскольку суммы по c заменяются 5.3. И ЗМЕРЕНИЕ 151 интегралами: ϕ kc |ϕ k c = δ kk δ(c − c ), (5.36) k U k |ϕ kc ϕ kc |dc = ˆ1, (5.37) ˆ P k = U k |ϕ kc ϕ kc |dc. (5.38) Непрерывный спектр Собственные состояния непрерывного спектра нормируются уже не на δ-символ, а на δ-функцию. В случае невырожденного спектра мы имеем: ˆ A |ϕ α = α |ϕ α , ϕ α |ϕ β = δ(α − β), |ϕ α ϕ α | dα = ˆ1. Функции |ϕ α как всякие функции непрерывного спектра не являются волновыми функциями из пространства H. 9 Мы можем формально написать оператор ˆ p α = |ϕ α ϕ α |, но этот опе- ратор отображает почти все элементы H на векторы, пропорциональные |ϕ α , т. е. не попадающие в H. Однако среднее от оператора ˆp α зада¨ет плот- ность вероятности обнаружения значения наблюдаемой ˆ A, близкого к α: (α) = ψ |ˆp α |ψ . Функция (α) определена почти при всех значения α, однако непосред- ственный физический смысл имеет не она, а интегралы от не¨е: P [a,b] = b a (α) dα = ψ | ⎛ ⎝ b a |ϕ α ϕ α | dα ⎞ ⎠ |ψ = ψ| ˆP [a,b] |ψ . 9 Собственные состояния непрерывного спектра не попадают в пространство состояний |ϕ α ∈ H, но попадают в оснащ¨енное гильбертово пространство |ϕ α ∈ D (4.37). То есть для почти всех состояний ( |ψ ∈ D, D плотно в H) определено скалярное произведение ϕ α |ψ . А также наоборот: скалярное произведение ψ(α) = ϕ α |ψ определено для всех |ψ ∈ H и поч ти всех α. Это скалярное произведение зада¨ет функцию ψ(α), которая представ- ляет разложение вектора |ψ по базису |ϕ α . Функция α → ψ(α) квадратично интегрируема (принадлежит L 2 ( R)), а элементы пространства L 2 ( R) определены с точностью до множества точек лебеговой меры ноль. 152 Г ЛАВА 5 Интеграл от «нехорошего» оператора ˆ p α уже является «хорошим» операто- ром-проектором (см. раздел 3.1.4 «Распределения вероятностей и волновые функции при измерении»): ˆ P [a,b] = b a ˆ p α dα = b a |ϕ α ϕ α | dα. Когда проектор ˆ P [a,b] действует на волновую функцию, представленную в как функция α, то из волновой функции «вырезается кусок» [a, b], а вне этого отрезка волновая функция обнуляется (3.9) (проверьте, используя ψ(α) = ϕ α |ψ ). Удобно определить проекторнозначную функцию ˆ P (a) = ˆ P ( −∞,a] . С е¨е помощью мы можем определить проекторы, отвечающие отрезкам: ˆ P (a,b] = ˆ P (b) − ˆ P (a). Такая функция хороша тем, что при всех значениях аргумента мы имеем «хорошие» (и даже ограниченные) эрмитовы операторы и можем, используя их, не задумываться о сложностях работы с непрерывным спектром. Как и в случае дискретного спектра, мы можем определить исходный оператор ˆ A через собственные числа и проекторы, но теперь вместо суммы надо писать интеграл: ˆ A = α |ϕ α ϕ α | dα. (5.39) Проекторнозначная мера** Последний интеграл (5.39) не совсем обычен, поскольку является пре- делом интегральных сумм, в которых вместо длин отрезков служат проек- торы: k α k α k+1 α k |ϕ α ϕ α | dα = k α k ( ˆ P (α k+1 ) − ˆ P (α k )). Это напоминает используемое в теории вероятности понятие интеграла по мере, но в обычном интеграле по мере используется числовая, а не проек- торнозначная функция: f (x) μ(dx) = lim δx →0 k f (x k )(M (x k+1 ) − M(x k )). 5.3. И ЗМЕРЕНИЕ 153 Здесь μ(dx) = M (x + dx) − M(x) — мера. Мера конечного полуинтервала имеет вид μ((a, b]) = M (b) −M(a). Для гладкой монотонно-возрастающей функции M интеграл по мере сводится к обычному интегралу: f (x) μ(dx) = f (x) M (x) dx, для гладкой функции M мера любой точки равно нулю. Однако, если монотонно-возрастающая кусочно-гладкая функция M имеет скачки, то мера точки скачка отлична от нуля μ( {a}) = M(a+) − − M(a−). Интеграл по мере теперь состоит из двух членов: обычного ин- теграла и взвешенной суммы по точкам скачков x k f (x) μ(dx) = f (x) M (x) dx + x k f (x k ) μ( {x k }). Такого рода интегралы нам уже встречались, когда мы рассматривали опе- раторы, имеющие как дискретный спектр, так и непрерывный спектр. Аналогично мы можем определить проекторнозначную меру с помо- щью монотонно-возрастающей проекторнозначной функции ˆ P (α). Монотонность проекторнозначной функции означает, что с ростом α раст¨ет подпространство, на которое проецирует проектор: ˆ P (α) H ⊃ ⊃ ˆ P (β) H, если α > β. Это свойство удобно записать так: ˆ P (α) ˆ P (β) = ˆ P (β) ˆ P (α) = ˆ P (min(α, β)). Как и функция M , функция ˆ P может испытывать скачки в точках, отвечаю- щих дискретному спектру: ˆ P ( {α k }) = ˆ P (α k +) − ˆ P (α k −) = 0. Интеграл по проекторнозначной мере позволяет представить эрмитов опе- ратор в виде интеграла, который сводится и интегралу по непрерывному спектру и сумме по дискретному: ˆ A = α(k) ˆ P A (dk) = α ∈U α |ϕ α ϕ α | dα + α ∈W α |ϕ α ϕ α |. Проекторнозначная мера ˆ P A (индекс A показывает, с каким эрмитовым оператором эта мера связана) позволяет рассматривать единым образом дискретный и непрерывный спектры. При этом все рассматриваемые опе- раторы являются эрмитовыми операторами на H и нам нет необходимости обращаться к оснащ¨енному гильбертовому пространству. 154 Г ЛАВА 5 5.3.2. Селективное и неселективное измерение* Выше мы уже упоминали, что квантовое измерение происходит вне зависимости от того, смотрит ли наблюдатель на стрелку прибора и есть вообще ли у прибора стрелка (2.3.2 «На наших глазах . . . »). В разделе 5.3.1 «Проекционный постулат» мы предполагали, что ре- зультат измерения известен, и сохраняли в волновой функции или матрице плотности только ту часть, которая соответствует случившемуся результату измерения. Это селективное измерение. Неселективное измерение не да¨ет наблюдателю информации о том, че- му равна измеряемая величина. Наблюдатель лишь знает чему равна веро- ятность того или иного исхода. Для каждого конкретного исхода он мог бы задать волновую функцию, но он не знает какой именно исход состоялся. Любое измерение до того, как оно проведено, или до того, как до нас дошла информация об исходе измерения, следует рассматривать как неселективное. Состояние после неселективного измерения в случае общего положе- ния описывается не волновой функцией, а матрицей плотности, даже если первоначальное состояние было чистым. При известном исходе измерения k (селективное измерение) нормиро- ванная на вероятность матрица плотности после измерения выражается как ˆ ρ k = ˆ P k ˆ ρ до ˆ P k ∈ H k ⊗ H ∗ k , tr ˆ ρ k = p k При неизвестном исходе измерения (неселективное измерение) нам надо просуммировать матрицы плотности по всем возможным исходам: ˆ ρ н. с. = k ˆ P k ˆ ρ до ˆ P k , tr ˆ ρ н. с. = 1. (5.40) Веса, соответствующие вероятностям исходов, здесь не нужны, т. к. ˆ ρ k нор- мированы на вероятности. Если матрица плотности записана в базисе собственных векторов из- меряемой величины, то после неселективного измерения матрица стано- вится блочно-диагональной — все диагональные блоки, отвечающие опре- дел¨енному k, сохраняются, все недиагональные блоки обнуляются. Матрица до измерения: ˆ ρ = ˆ 1ˆ ρˆ 1 = k ˆ P k ˆ ρ k ˆ P k = k,k ˆ P k ˆ ρ ˆ P k 5.3. И ЗМЕРЕНИЕ 155 Недиагональные слагаемые ˆ P k ˆ ρ ˆ P k , k = k , после измерения обнуляются и из двойной суммы оста¨ется сумма диаго- нальных элементов (5.40). Можно сказать, что неселективное измерение обнуляет члены, связанные квантовой интерференцией, но не трогает чле- нов, связанных с классическими вероятностями. (ф) Состояние системы после селективного измерения в принципе не предсказуемо (можно предсказать лишь вероятности исходов). Состояние системы после неселективного измерения, заданное как матрица плотно- сти, предсказуемо заранее, оно содержит все возможные результаты изме- рений. (фф*) В литературе при обсуждении процедуры измерения много пу- таницы между селективным и неселективным измерением. В частности, вопрос о природе выбора системой того или иного исхода измерения (т. е. вопрос о квантовых вероятностях, имеющий смысл только для селектив- ного измерения) часто (почти всегда) подменяется выводом в том или ином приближении формулы (5.40) для неселективного измерения. 5.3.3. Приготовление состояния Процедура измерения превращает состояние системы в собственное для некоторого эрмитового оператора (наблюдаемой). Формально мы мо- жем придумать эрмитов оператор ˆ P φ , для которого собственным состояни- ем будет любое напер¨ед заданное состояние |φ , прич¨ем данное состояние будет невырожденным, например: ˆ P φ = |φ φ|. При измерении наблюдаемой ˆ P φ мы получаем одно из двух значений: ли- бо 0, либо 1 (мы считаем, φ = 1). В последнем случае система попадает в состояние |φ . Таким образом, имея исходную систему в произвольном состоянии и измеряя некоторую, специально подобранную физическую величину, мы при благоприятном исходе измерения помещаем систему в нужное нам сос- тояние. Описанная процедура измерения с последующим отбором называется приготовлением состояния. Например, мы можем приготовить фотоны в состоянии с опре- дел¨енной линейной поляризацией, пропустив их через поляризатор. Часть 156 Г ЛАВА 5 фотонов при этом окажется забракованной (поглотится или отразится, в за- висимости от устройства поляризатора). Разумеется, приготовление состояния срабатывает не всегда, а с веро- ятностью | ψ|φ | 2 , которая в случае общего положения отлична от нуля. Не всегда уда¨ется придумать физический эксперимент, измеряющий искусственно сконструированную наблюдаемую. В некоторых случаях та- кой эксперимент может оказаться запрещ¨ен законами сохранения. Г ЛАВА 6 Одномерные квантовые системы Случай одномерного движения квантовой частицы является одним из самых простых в квантовой механике 1 . Кроме того, одномерные задачи час- то возникают в процессе решения более сложных задачпри разделении переменных. Наличие для одномерного случая удобных свойств и интерес- ных теорем окончательно убеждает в необходимости посвятить одномерию отдельную главу. На протяжении этой главы мы будем исследовать гамильтониан для частицы в потенциале U (x), который может быть записан так: ˆ H = ˆ p 2 2m + U (ˆ x), ˆ H = − ¯h 2 2m ∂ 2 ∂x 2 + U (x). (6.1) 6.1. Структура спектра 6.1.1. Откуда бер¨ется спектр? Соответствующее гамильтониану (6.1) стационарное уравнение Шр¨е- дингера имеет вид − ¯ h 2 2m ψ (x)+U (x) ψ(x) = E ψ ⇔ ψ (x)+ 2m ¯ h 2 (E −U(x)) ψ(x) = 0. (6.2) Задача нахождения спектра этого уравнения в математике называется зада- чей Штурма – Лиувилля. Она была заранее 2 исследована Жозефом Лиувил- лем и Шарлем Штурмом ещ¨е в XIX веке (1837–1841 гг.). Потенциал U (x) мы будем считать непрерывным или кусочно-непре- рывным. 1 Одномерное движение — не самый простой случай. Пространство состояний для такой системы L 2 ( R) бесконечномерно и изоморфно любому другому бесконечномерному сепа- рабельному гильбертову пространству. Самое маленькое пространство состояний квантовой системы — C 2 соответствует спину 1 2 , или любой другой двухуровневой системе. 2 Заранее, с точки зрения квантовой теории. 158 Г ЛАВА 6 Рис. 6.1. Шарль Франсуа Штурм (1803–1855). W При каждом значении E это линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет два линейно независимых решения. Од- нако физический смысл стационарных состоя- ний имеют только те решения, которые можно отнормировать на 1 (дискретный спектр), либо на δ-функцию (непрерывный спектр). Таким образом, мы обнаруживаем, что при данном конкретном значении E из дву- мерного пространства решений физический смысл имеет только некоторое подпростран- ства размерности 2, 1, или 0 (в последнем случае нетривиальных решений нет совсем). Обычно условие нормируемости (на δ-функцию или на 1) можно за- менить условием ограниченности. 6.1.2. Вещественность собственных функций Поскольку функция U (x) вещественна, для всякого решения ψ(x) диф- ференциального уравнения (6.2) (как и аналогичного уравнения в про- странстве любой размерности!) функции ψ ∗ (x), Re ψ(x) = ψ(x) + ψ ∗ (x) 2 , Im ψ(x) = ψ(x) − ψ ∗ (x) 2i также являются решениями. Прич¨ем из ограниченности, или нормируемо- сти ψ(x) следует ограниченность или нормируемость для тех функций из набора ψ ∗ , Re ψ и Im ψ, которые не равны тождественно нулю. Благодаря этому при исследовании спектра мы можем ограничиться вещественными решениями. 6.1.3. Структура спектра и асимптотика потенциала Пусть потенциал U (x) имеет пределы на обоих бесконечностях: U − = lim x →−∞ U (x), U + = lim x →+∞ U (x). Также нам может понадобиться значение потенциала в нижней и верхней точках: U 0 = min x ∈ R U (x), U 1 = max x ∈ R U (x). 6.1. С ТРУКТУРА СПЕКТРА 159 Пусть, для определ¨ености, U − U + , тогда эти четыре точки расположены на шкале энергий в следующем порядке: U 0 U − U + U 1 При x → ±∞ уравнение Шр¨едингера стремится к виду ψ (x) + 2m ¯ h 2 (E − U ± ) ψ(x) = 0. (6.3) Его решение зада¨ется волнами де Бройля при E > U ± , или веществен- ными экспонентами при E < U ± : e ±ikx , k = 1 ¯ h 2m(E − U ± ) ; e ±κx , κ = 1 ¯ h 2m(U ± − E). Обе волны де Бройля ограничены, хотя и квадратично не интегрируемы. Это означает, что при E > U − мы не сможем отнормировать волновую функцию на 1, а значит в этом диапазоне не может быть состояний дис- кретного спектра. При E U + асимптотики на обоих бесконечностях всегда ограниче- ны, с какими бы коэффициентами мы не комбинировали волны де Бройля. Это означает, что в этом диапазоне энергий все значения E принадлежат к непрерывному спектру, являются двухкратно вырожденными. При U + > E > U − на + ∞ мы вместо волн де Бройля получаем веще- ственные экспоненты. Из этих двух асимптотик только одна e −κx ограниче- на, а другая e +κx неограниченно возрастает. Таким образом на асимптотику на + ∞ ψ(x) ∼ c − e −κx + c + e +κx , x → +∞, накладывается |