Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
4.10. Операторы координаты и импульса Операторы координаты и импульса, на самом деле, уже были нами определены, т. к. мы уже задали для них наборы собственных чисел и бази- сы собственных функций. Здесь мы рассмотрим одномерный случай, когда пространство состояний в координатном представлении зада¨ется как L 2 ( R). 120 Г ЛАВА 4 В координатном представлении (в базисе собственных функций опера- тора координаты) базисные функции самого координатного базиса имеют вид, обычный для непрерывного спектра: φ x 0 (x) = φ x |φ x 0 = δ(x − x 0 ). В том же координатном представлении базис собственных функций опера- тора импульса зада¨ется волнами де Бройля: φ p 0 (x) = φ x |φ p 0 = 1 √ 2π¯ h e i ¯ h p 0 x В импульсном представлении (в базисе волн де Бройля) φ p 0 (p) = φ p |φ p 0 = δ(p − p 0 ). В том же импульсном представлении базис собственных функций операто- ра координаты зада¨ется комплексным сопряжением волн де Бройля: φ x 0 (p) = φ p |φ x 0 = φ x 0 |φ p ∗ = 1 √ 2π¯ h e − i ¯ h px 0 Таким образом, как уже упоминалось ранее, координатное и импульс- ное представление связаны друг с другом преобразованием Фурье (см. раз- дел 4.6.3). В сво¨ем представлении каждый оператор действует умножением на ар- гумент волновой функции (см. 4.7.3 «Базис собственных состояний»). Опе- раторы импульса в координатном и координаты в импульсном представ- лении задаются как дифференциальные операторы. (Проверьте, что при- вед¨енные выше базисные состояния являются собственными для этих опе- раторов!) ˆ x ψ(x) = x ψ(x), ˆ p ψ(x) = −i¯h ∂ ∂x ψ(x); ˆ p ψ(p) = p ψ(p), ˆ x ψ(p) = +i¯ h ∂ ∂p ψ(p). Коммутатор операторов ˆ p и ˆ x вне зависимости от представления име- ет вид: [ˆ x, ˆ p] = i¯ h. (4.64) Именно уравнение (4.64) можно считать «настоящим» определением координаты и импульса. (**) Строго говоря, область определения коммутатора [ˆ x, ˆ p] состоит из функций, которые остаются квадратично интегрируемыми после взятия 4.11. В АРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП 121 производной и умножения на x. Множество таких функций плотно в L 2 ( R). Тем не менее, в некоторых случаях область определения коммутатора [ˆ x, ˆ p] оказывается важной. Если мы будем рассматривать волновые функции пе- риодичные с периодом a, то в область определения коммутатора попадут только функции, для которых ψ(0) = ψ(a) = 0. И хотя такие функции также плотны в пространстве L 2 ([0, a]), собственные функции оператора импуль- са (при таких граничных условиях спектр импульса дискретен) в область определения коммутатора уже не попадают. Задача о неправильном коммутаторе Многие студенты поначалу считают коммутатор координаты и импуль- са так: [ˆ x, ˆ p] = ˆ xˆ p − ˆpˆx = x(−i¯h ∂ ∂x ) + i¯ h ∂ ∂x x 1 = −i¯hx ∂ ∂x лишний член + i¯ h. Найдите ошибку и не делайте такую ошибку сами. 4.11. Вариационный принцип Среднее значение энергии в состоянии |ψ может быть записано как среднее взвешенное от стационарных уровней энергии. Это позволяет зак- лючить, что минимальное среднее значение энергии не может быть меньше, чем энергия основного состояния (состояние с минимальной возможной энергией): E 0 = min ψ=0 ψ | ˆ H |ψ ψ |ψ (4.65) Аналогичные методы могут применяться и к другим эрмитовым опе- раторам, но для того, чтобы минимум (максимум) достигался, необходимо, чтобы спектр был ограничен снизу (сверху). 4.11.1. Вариационный принцип и уравнения Шр¨едингера** Мы можем написать (4.65) как условный минимум (но достижим он будет, только если основное состояние принадлежит дискретному спектру) E 0 = min ψ |ψ =1 ψ | ˆ H |ψ 122 Г ЛАВА 4 и искать условный минимум методом лагранжевых множителей E 0 = min ψ=0 ψ | ˆ H |ψ + E(1 − ψ|ψ ) E[ ψ|,|ψ ] То есть у нас есть функционал E[ ψ|, |ψ ] = ψ| ˆ H |ψ + E(1 − ψ|ψ ), если ψ(x) — комплексная функция, или E 1 [ψ] = (ψ | ˆ H |ψ) + E(1 − (ψ|ψ)), если ψ(x) — вещественная функция, а скобки обозначают вещественное скалярное произведение. Варьируя функционал по ψ |, |ψ и по E, получаем δ E = δψ| ˆ H |ψ − E|ψ стац. ур. Шр¨едингера + ψ | ˆ H − ψ|E сопр. ст. ур. Шр. |δψ + δE (1 − ψ|ψ ) нормировка Эта вариация обращается в ноль, если выполнено стационарное уравнение Шр¨едингера и условие нормировки на 1. 16 При этом лагранжев множитель оказывается собственным значением энергии. При записи функционала E в виде интеграла для стандартного гамиль- тониана ˆ H = ˆ p 2 2m + U (x) (ˆ p = −i¯h∇) E[ψ ∗ (x), ψ(x)] = ψ ∗ − ¯h 2 2m ψ + U (x) ψ ∗ ψ + E(1 − ψ ∗ ψ) dx = = ¯ h 2 2m ( ∇ψ ∗ ) ( ∇ψ) + U(x) ψ ∗ ψ + E(1 − ψ ∗ ψ) dx (4.66) мы получаем интегральный функционал, подобный функционалам, мини- мизация которых да¨ет условиях равновесия в статике. От действия в теоре- тической механике он отличается отсутствием времени. 16 Стационарные точки функционала дают все стационарные состояния, а не только основ- ное! Однако минимум достигается только на основном состоянии, а прочие дают седловые точки, при условии, что спектр неограничен сверху. Если спектр ограничен сверху, то кроме минимума появится ещ¨е и максимум, достигаемый на состоянии и наибольшей энергией. 4.11. В АРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП 123 Мы можем получить и нестационарное уравнение Шр¨едингера, если введ¨ем функционал действия S[ ψ(t)|, |ψ(t) ] = t 1 t 0 ψ(t) | ˆ H |ψ(t) − ψ(t)|i¯h ∂ ∂t |ψ(t) dt. В интегральном виде для того же стандартного гамильтониана S[ψ ∗ (x), ψ(x)] = ¯ h 2 2m ( ∇ψ ∗ ) ( ∇ψ) + U(x) ψ ∗ ψ − ψ ∗ i¯ h ∂ ∂t ψ dx dt. (4.67) Варьируя по ψ | и |ψ , получаем δ S = t 1 t 0 δψ(t) | ˆ H |ψ(t) − i¯h ∂ ∂t |ψ(t) ур. Шр¨едингера + ψ(t) | ˆ H + i¯ h ∂ ∂t ψ(t) | сопр. ур. Шр¨едингера |δψ(t) dt. Таким образом, мы можем получить уравнение Шр¨едингера из действия, как уравнение теории поля в расширенном (с добавлением времени, как дополнительной координаты) конфигурационном пространстве. 4.11.2. Вариационный принцип и основное состояние В некоторых случаях может быть удобно искать точную или при- ближ¨енную волновую функцию основного состояния, минимизируя сред- нюю энергию (4.65). Мы можем искать минимум среди волновых функций ψ(λ) опре- дел¨енного вида, параметризуемых конечным числом параметров λ, тогда задача становится задачей поиска минимума функции нескольких перемен- ных. Если вид волновых функций, среди которых ищется минимум, удачно угадан, то полученная волновая функция может оказаться хорошим приб- лижением к реальной волновой функции основного состояния: E 0 ≈ min λ ψ(λ) | ˆ H |ψ(λ) ψ(λ) |ψ(λ) Также иногда может быть полезен тот факт, что средняя энергия по любому состоянию да¨ет оценку сверху на энергию основного состояния: E 0 ψ | ˆ H |ψ ψ |ψ (4.68) 124 Г ЛАВА 4 Например, чтобы доказать наличие отрицательных собственных значений, достаточно предъявить одно состояние (не обязательно собственное!), сред- няя энергия в котором отрицательна. 4.11.3. Вариационный принцип и возбужд¨енные состояния* Точно так же как при поиске основного состояния, мы можем искать первое возбужд¨енное состояние и оценивать его энергию, если ограничим поиск минимума подпространством, ортогональным основному состоянию: E 1 = min ψ=0, ψ 0 |ψ =0 ψ | ˆ H |ψ ψ |ψ (4.69) Аналогично можно искать и последующие состояния: E n = min ψ=0, ψ k |ψ | k ψ | ˆ H |ψ ψ |ψ (4.70) Однако, если основное и последующие состояния определены не точ- но, то такой метод да¨ет дополнительные ошибки, за сч¨ет того, что в резуль- тате подпространство, выделенное условием ˜ ψ k |ψ | k где ˜ ψ k — приближ¨енные собственные состояния, окажется не ортогонально настоящим собственным состояниям ψ k Г ЛАВА 5 Принципы квантовой механики 5.1. Квантовая механика замкнутой системы Эволюция замкнутой системы в квантовой механике (2.3.1 «Когда наб- людатель отвернулся . . . ») — самая простая для понимания часть теории. Здесь нет никаких непонятностей и вероятностей: эволюция системы оди- наково хорошо предсказуема как впер¨ед, так и назад по времени. Эволюция замкнутой системы — вращение пространства состояний. В отличие от привычного нам двумерного или тр¨ехмерного вращения, вра- щение пространства состояний (которое, как правило, бесконечномерно) может быть задано как поворот в плоскости только для бесконечномалых врем¨ен (на этом основана 7.4.2 «Теорема Халфина»). В общем случае (для независящего от времени гамильтониана) мы можем представить наше про- странство состояний как сумму одномерных комплексных (т. е. двумерных вещественных) подпространств и в каждом таком пространстве эволюция будет описываться как обычное вращение в плоскости с определ¨енной уг- ловой скоростью. Эволюция замкнутой системы может рассматриваться как симмет- рия — сдвиг по времени, порождаемый оператором энергии (гамильтониа- ном). Далее в главе 11 «Симметрии-1 (теорема Н¨етер)» мы проделаем по- хожие выкладки для сдвига по координате и оператора импульса. 5.1.1. Унитарная эволюция и сохранение вероятности Когда квантовая система свободно эволюционирует, не подвергаясь внешним воздействиям, в момент времени t 1 е¨е состояние (волновая функ- ция) ψ(t 1 ) должно выражаться через состояние ψ(t 0 ) в предшествующий момент времени t 0 . При этом суммарная вероятность должна сохраняться, т. е., вспоминая смысл скалярного квадрата волновой функции, ψ(t 0 ) |ψ(t 0 ) = ψ(t 1 ) |ψ(t 1 ) = 1. (5.1) 126 Г ЛАВА 5 Предположим, что для свободной эволюции квантовой системы вы- полняется принцип суперпозиции, т. е. если χ(t 0 ) = αψ(t 0 ) + βϕ(t 0 ), то χ(t 1 ) = αψ(t 1 ) + βϕ(t 1 ) с теми же коэффициентами α и β. Это означает, что волновая функция, описывающая систему в момент времени t 1 , полу- чается из волновой функции, описывающей систему в момент времени t 0 , с помощью некоторого линейного оператора ˆ U (t 1 , t 0 ), называемого опера- тором эволюции: ψ(t 1 ) = ˆ U (t 1 , t 0 )ψ(t 0 ), ϕ(t 1 ) = ˆ U (t 1 , t 0 )ϕ(t 0 ) и т. д. Операторы эволюции должны образовывать семейство, удовлетворяющее следующим условиям: ˆ U (t 0 , t 0 ) = ˆ 1, ˆ U (t 2 , t 1 ) ˆ U (t 1 , t 0 ) = ˆ U (t 2 , t 0 ), t 2 t 1 t 0 Условие (5.1) да¨ет ψ(t 1 ) |ψ(t 1 ) = ψ(t 0 ) | ˆ U † (t 1 , t 0 ) ˆ U (t 1 , t 0 ) |ψ(t 0 ) = 1. (5.2) Поскольку (5.2) должно выполняться для всякого состояния ψ(t 0 ), это мо- жет быть записано как условие на оператор эволюции ˆ U † (t 1 , t 0 ) ˆ U (t 1 , t 0 ) = ˆ 1. (5.3) Условие (5.3) очень похоже на условие унитарности, но это ещ¨е не оно. Это условие необходимо для унитарности, но достаточно только в конеч- номерном случае 1 Чтобы получить для оператора эволюции унитарность для бесконеч- номерного пространства состояний, можно добавить одно из следующих дополнительных условий: 1 В бесконечномерном случае легко построить оператор ˆ A, для которого ˆ A † ˆ A = ˆ 1, но ˆ A ˆ A † = ˆ 1. Пусть состояния ψ n , n = 0, 1, 2, . . . , образуют базис в пространстве состояний. Определим оператор ˆ A условием ˆ A |ψ n = |ψ n+1 . Базисные матричные элементы оператора ˆ A имеют вид A m,n = ψ m | ˆ A |ψ n = δ m,n+1 . Ненулевые матричные элементы оператора ˆ A † получаются комплексным сопряжением и транспонированием: A † n,m = ψ n | ˆ A † |ψ m = = δ n+1,m = A ∗ m,n . Это позволяет записать действие оператора ˆ A † на базисные векторы: ˆ A † |ψ n = |ψ n −1 , n = 1, 2, . . . , и ˆ A † |ψ 0 = 0. Действуя операторами ˆ A † ˆ A и ˆ A ˆ A † на базисные векторы, получаем ˆ A † ˆ A |ψ n = |ψ n , как и полагается единичному оператору. Но ˆ A ˆ A † |ψ n = |ψ n только для n = 0, тогда как ˆ A ˆ A † ψ 0 = 0, т. е. ˆ A ˆ A † = ˆ 1 − |ψ 0 ψ 0 |. 5.1. К ВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ 127 • Просто потребовать унитарности операторов ˆ U (t 1 , t 0 ). Это условие самое сильное, даже избыточное, оно предполагает одновременно ˆ U † ˆ U = ˆ 1 и ˆ U ˆ U † = ˆ 1. Но первое из этих условий уже было пред- положено ранее. • Потребовать дополнительно ˆ U ˆ U † = ˆ 1. • Потребовать существования обратного оператора ˆ U −1 . Тогда из ранее выведенного условия ˆ U † ˆ U = ˆ 1 получаем ˆ U −1 = ˆ U † • Потребовать, чтобы любое конечное состояние в момент времени t 1 могло быть получено с помощью оператора ˆ U (t 1 , t 0 ) из какого-то на- чального состояния в момент времени t 0 (на самом деле это предыду- щее условие, сформулированное другими словами). • Потребовать, чтобы временная эволюция квантовой системы была об- ратима по времени. Таким образом, мы можем сказать, что унитарность свободной эво- люции квантовой системы следует из тр¨ех фундаментальных положений квантовой теории: линейность, сохранение вероятности, обратимость времени. Унитарная эволюция при таком подходе оказывается более фун- даментальным положением, чем уравнение Шр¨едингера. Обеспечив унитарность оператора эволюции при помощи одного из вышеперечисленных условий, мы можем отказаться от условия t 1 t 0 и на равных основаниях рассматривать эволюцию впер¨ед и назад по времени. Теперь ˆ U (t 0 , t 1 ) = ˆ U −1 (t 1 , t 0 ) = ˆ U † (t 1 , t 0 ), а условие ˆ U (t 2 , t 1 ) ˆ U (t 1 , t 0 ) = ˆ U (t 2 , t 0 ) выполняется для любых моментов времени t 0 , t 1 , t 2 Для автономных систем, т. е. для систем, поведение которых не зависит от времени явно, мы можем произвольно сдвигать начальный и конечный моменты времени на одинаковую величину, т. е. оператор эволюции зависит только от разности врем¨ен: ˆ U (t 1 , t 0 ) = ˆ U t 1 −t 0 Для таких систем операторы эволюции образуют однопараметрическую группу с параметром времени t. Для этой группы умножение/обраще- ние/единица для операторов соответствуют сложению/изменению 128 Г ЛАВА 5 знака/нулю параметра: ˆ U t 1 ˆ U t 2 = ˆ U t 1 +t 2 , (5.4) ˆ U −1 t = ˆ U −t , (5.5) ˆ U 0 = ˆ 1. (5.6) Для такой однопараметрической группы операторов эволюции мы мо- жем брать как непрерывное время, t ∈ R, так и дискретное 2 t/τ ∈ Z. 5.1.2. Унитарная эволюция матрицы плотности* Эволюция замкнутой системы может быть описана на языке матрицы плотности. Согласно (4.59) матрица плотности может быть представлена в виде ˆ ρ = k |ψ k p k ψ k |. С уч¨етом того, что |ψ k (t 1 ) = ˆ U (t 1 , t 0 ) |ψ k (t 0 ) , ψ k (t 1 ) | = ψ k (t 0 ) | ˆ U † (t 1 , t 0 ), получаем ˆ ρ(t 1 ) = ˆ U (t 1 , t 0 ) ˆ ρ(t 0 ) ˆ U † (t 1 , t 0 ). Это преобразование не нарушает требуемых свойств матрицы плотности, в частности нормировка матрицы плотности сохраняется: tr ˆ ρ(t 1 ) = tr[ ˆ U (t 1 , t 0 ) ˆ ρ(t 0 ) ˆ U † (t 1 , t 0 )] = tr[ˆ ρ(t 0 ) ˆ U † (t 1 , t 0 ) ˆ U (t 1 , t 0 ) ˆ 1 ] = tr ˆ ρ(t 0 ). 5.1.3. (Не)унитарная эволюция***** На самом деле мы можем отказаться от условия обратимости кванто- вой эволюции и рассматривать квантовую эволюцию, ограничившись усло- вием сохранения вероятности (5.3) (изометричность). Мы можем сделать это благодаря тому, что пространства состояний в разные моменты време- ни можно считать различными пространствами, не все состояния в которых имеют физический смысл. 2 Дискретное время может быть полезно при численных квантовомеханических расч¨етах. При этом вместо того, чтобы переходить к разностному аналогу временного уравнения Шр¨едингера и следить за сохранением вероятности, более правильно стартовать с унитарной эволюции с дискретным временем, как с понятия более фундаментального. 5.1. К ВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ 129 Рассмотрение пространства состояний в разные моменты времени как разных пространств естественно всегда, когда мы рассматриваем завися- щую от времени замену базиса, связанную, например, со сдвигом нуле- вого уровня энергии, калибровочными преобразованиями или с перехо- дом между представлениями Шр¨едингера, Гайзенберга и Дирака. Одна- ко обычно пространства состояния в разные моменты времени связыва- ют друг с другом с помощью унитарных отображений, мы же в дан- ном разделе воспользуемся тем, что бесконечномерное пространство всег- да может быть отображено один к одному на некоторое сво¨е подпрост- ранство. Зафиксируем некоторый начальный момент времени t = 0 и будем сч и- тать, что при t = 0 все векторы пространства состояний H имеют физичес- кий смысл. В момент времени t физический смысл имеют только векторы, которые получаются из векторов в начальный момент времени с помощью оператора эволюции ˆ U t , т. е. принадлежат к подпространству H t = ˆ U t H 0 ⊂ H 0 = H. Однако такие подпространства в разные моменты времени изоморфны H t H 0 , т. е. между ними можно установить взаимно-однозначное со- ответствие ˆ A t H t = H. С помощью оператора ˆ A t мы можем переписать нашу неунитарную эволю- цию в эквивалентной унитарной форме, отбросив все нефизические сос- тояния. Новый оператор эволюции ˜ U t уже унитарен ˜ U t = ˆ A t ˆ U t Ясно, что мы можем, используя этот при¨ем, не только сделать из любо- го изометричного оператора эволюции унитарный, но и из любого унитар- ного оператора изометричный, добавив в пространства состояний в разные моменты времени некоторое количество «нефизических» измерений. Таким образом, мы можем рассматривать условие обратимости кван- товой эволюции как чисто техническое условие, оставив вместо него более слабое и более физичное условие изометричности (сохранения вероятнос- ти). При рассмотрении эволюции замкнутой системы новый подход не поз- воляет получить каких-либо новых результатов, однако он может оказаться полезен для обобщений, описывающих процессы с незамкнутыми система- ми (например, измерения). |