Главная страница
Навигация по странице:

  • Задача о неправильном коммутаторе

  • 4.11. Вариационный принцип

  • 4.11.1. Вариационный принцип и уравнения Шр¨едингера**

  • 4.11.2. Вариационный принцип и основное состояние

  • 4.11.3. Вариационный принцип и возбужд¨енные состояния*

  • Принципы квантовой механики 5.1. Квантовая механика замкнутой системы

  • 5.1.2. Унитарная эволюция матрицы плотности*

  • 5.1.3. (Не)унитарная эволюция*****

  • Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику


    Скачать 4.31 Mb.
    НазваниеКак пониматьквантовую механику
    АнкорКак понимать квантовую механику.pdf
    Дата06.03.2018
    Размер4.31 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаКак понимать квантовую механику.pdf
    ТипКнига
    #16313
    страница15 из 52
    1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   ...   52
    4.10. Операторы координаты и импульса
    Операторы координаты и импульса, на самом деле, уже были нами определены, т. к. мы уже задали для них наборы собственных чисел и бази- сы собственных функций. Здесь мы рассмотрим одномерный случай, когда пространство состояний в координатном представлении зада¨ется как L
    2
    (
    R).

    120
    Г
    ЛАВА
    4
    В координатном представлении (в базисе собственных функций опера- тора координаты) базисные функции самого координатного базиса имеют вид, обычный для непрерывного спектра:
    φ
    x
    0
    (x) = φ
    x

    x
    0
    = δ(x
    − x
    0
    ).
    В том же координатном представлении базис собственных функций опера- тора импульса зада¨ется волнами де Бройля:
    φ
    p
    0
    (x) = φ
    x

    p
    0
    =
    1

    2π¯
    h e
    i
    ¯
    h p
    0
    x
    В импульсном представлении (в базисе волн де Бройля)
    φ
    p
    0
    (p) = φ
    p

    p
    0
    = δ(p
    − p
    0
    ).
    В том же импульсном представлении базис собственных функций операто- ра координаты зада¨ется комплексным сопряжением волн де Бройля:
    φ
    x
    0
    (p) = φ
    p

    x
    0
    = φ
    x
    0

    p

    =
    1

    2π¯
    h e

    i
    ¯
    h px
    0
    Таким образом, как уже упоминалось ранее, координатное и импульс- ное представление связаны друг с другом преобразованием Фурье (см. раз- дел 4.6.3).
    В сво¨ем представлении каждый оператор действует умножением на ар- гумент волновой функции (см. 4.7.3 «Базис собственных состояний»). Опе- раторы импульса в координатном и координаты в импульсном представ- лении задаются как дифференциальные операторы. (Проверьте, что при- вед¨енные выше базисные состояния являются собственными для этих опе- раторов!)
    ˆ
    x ψ(x) = x ψ(x),
    ˆ
    p ψ(x) =
    −i¯h

    ∂x
    ψ(x);
    ˆ
    p ψ(p) = p ψ(p),
    ˆ
    x ψ(p) = +i¯
    h

    ∂p
    ψ(p).
    Коммутатор операторов ˆ
    p и ˆ
    x вне зависимости от представления име- ет вид:

    x, ˆ
    p] = i¯
    h.
    (4.64)
    Именно уравнение (4.64) можно считать «настоящим» определением координаты и импульса.
    (**)
    Строго говоря, область определения коммутатора [ˆ
    x, ˆ
    p] состоит из функций, которые остаются квадратично интегрируемыми после взятия

    4.11. В
    АРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП
    121
    производной и умножения на x. Множество таких функций плотно в L
    2
    (
    R).
    Тем не менее, в некоторых случаях область определения коммутатора [ˆ
    x, ˆ
    p]
    оказывается важной. Если мы будем рассматривать волновые функции пе- риодичные с периодом a, то в область определения коммутатора попадут только функции, для которых ψ(0) = ψ(a) = 0. И хотя такие функции также плотны в пространстве L
    2
    ([0, a]), собственные функции оператора импуль- са (при таких граничных условиях спектр импульса дискретен) в область определения коммутатора уже не попадают.
    Задача о неправильном коммутаторе
    Многие студенты поначалу считают коммутатор координаты и импуль- са так:

    x, ˆ
    p] = ˆ

    p
    − ˆpˆx = x(−i¯h

    ∂x
    ) + i¯
    h

    ∂x x
    1
    =
    −i¯hx

    ∂x лишний член
    + i¯
    h.
    Найдите ошибку и не делайте такую ошибку сами.
    4.11. Вариационный принцип
    Среднее значение энергии в состоянии
    |ψ может быть записано как среднее взвешенное от стационарных уровней энергии. Это позволяет зак- лючить, что минимальное среднее значение энергии не может быть меньше,
    чем энергия основного состояния (состояние с минимальной возможной энергией):
    E
    0
    = min
    ψ=0
    ψ
    | ˆ
    H

    ψ

    (4.65)
    Аналогичные методы могут применяться и к другим эрмитовым опе- раторам, но для того, чтобы минимум (максимум) достигался, необходимо,
    чтобы спектр был ограничен снизу (сверху).
    4.11.1. Вариационный принцип и уравнения Шр¨едингера**
    Мы можем написать (4.65) как условный минимум (но достижим он будет, только если основное состояние принадлежит дискретному спектру)
    E
    0
    =
    min
    ψ
    |ψ =1
    ψ
    | ˆ
    H


    122
    Г
    ЛАВА
    4
    и искать условный минимум методом лагранжевых множителей
    E
    0
    = min
    ψ=0
    ψ
    | ˆ
    H
    |ψ + E(1 − ψ|ψ )
    E[ ψ|,|ψ ]
    То есть у нас есть функционал
    E[ ψ|, |ψ ] = ψ| ˆ
    H
    |ψ + E(1 − ψ|ψ ),
    если ψ(x) — комплексная функция, или
    E
    1
    [ψ] = (ψ
    | ˆ
    H
    |ψ) + E(1 − (ψ|ψ)),
    если ψ(x) — вещественная функция, а скобки обозначают вещественное скалярное произведение.
    Варьируя функционал по ψ
    |, |ψ и по E, получаем
    δ
    E = δψ| ˆ
    H
    |ψ − E|ψ
    стац. ур. Шр¨едингера
    +
    ψ
    | ˆ
    H
    − ψ|E
    сопр. ст. ур. Шр.
    |δψ + δE (1 − ψ|ψ )
    нормировка
    Эта вариация обращается в ноль, если выполнено стационарное уравнение
    Шр¨едингера и условие нормировки на 1.
    16
    При этом лагранжев множитель оказывается собственным значением энергии.
    При записи функционала
    E в виде интеграла для стандартного гамиль- тониана ˆ
    H =
    ˆ
    p
    2 2m
    + U (x) (ˆ
    p =
    −i¯h∇)
    E[ψ

    (x), ψ(x)] =
    ψ

    − ¯h
    2 2m
    ψ + U (x) ψ

    ψ + E(1
    − ψ

    ψ)
    dx =
    =
    ¯
    h
    2 2m
    (
    ∇ψ

    ) (
    ∇ψ) + U(x) ψ

    ψ + E(1
    − ψ

    ψ) dx
    (4.66)
    мы получаем интегральный функционал, подобный функционалам, мини- мизация которых да¨ет условиях равновесия в статике. От действия в теоре- тической механике он отличается отсутствием времени.
    16
    Стационарные точки функционала дают все стационарные состояния, а не только основ- ное! Однако минимум достигается только на основном состоянии, а прочие дают седловые точки, при условии, что спектр неограничен сверху. Если спектр ограничен сверху, то кроме минимума появится ещ¨е и максимум, достигаемый на состоянии и наибольшей энергией.

    4.11. В
    АРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП
    123
    Мы можем получить и нестационарное уравнение Шр¨едингера, если введ¨ем функционал действия
    S[ ψ(t)|, |ψ(t) ] =
    t
    1
    t
    0
    ψ(t)
    | ˆ
    H
    |ψ(t) − ψ(t)|i¯h

    ∂t
    |ψ(t)
    dt.
    В интегральном виде для того же стандартного гамильтониана
    S[ψ

    (x), ψ(x)] =
    ¯
    h
    2 2m
    (
    ∇ψ

    ) (
    ∇ψ) + U(x) ψ

    ψ
    − ψ


    h

    ∂t
    ψ
    dx dt.
    (4.67)
    Варьируя по ψ
    | и |ψ , получаем
    δ
    S =
    t
    1
    t
    0
    δψ(t)
    | ˆ
    H
    |ψ(t) − i¯h

    ∂t
    |ψ(t)
    ур. Шр¨едингера
    +
    ψ(t)
    | ˆ
    H + i¯
    h

    ∂t
    ψ(t)
    |
    сопр. ур. Шр¨едингера
    |δψ(t) dt.
    Таким образом, мы можем получить уравнение Шр¨едингера из действия,
    как уравнение теории поля в расширенном (с добавлением времени, как дополнительной координаты) конфигурационном пространстве.
    4.11.2. Вариационный принцип и основное состояние
    В некоторых случаях может быть удобно искать точную или при- ближ¨енную волновую функцию основного состояния, минимизируя сред- нюю энергию (4.65).
    Мы можем искать минимум среди волновых функций ψ(λ) опре- дел¨енного вида, параметризуемых конечным числом параметров λ, тогда задача становится задачей поиска минимума функции нескольких перемен- ных. Если вид волновых функций, среди которых ищется минимум, удачно угадан, то полученная волновая функция может оказаться хорошим приб- лижением к реальной волновой функции основного состояния:
    E
    0
    ≈ min
    λ
    ψ(λ)
    | ˆ
    H
    |ψ(λ)
    ψ(λ)
    |ψ(λ)
    Также иногда может быть полезен тот факт, что средняя энергия по любому состоянию да¨ет оценку сверху на энергию основного состояния:
    E
    0
    ψ
    | ˆ
    H

    ψ

    (4.68)

    124
    Г
    ЛАВА
    4
    Например, чтобы доказать наличие отрицательных собственных значений,
    достаточно предъявить одно состояние (не обязательно собственное!), сред- няя энергия в котором отрицательна.
    4.11.3. Вариационный принцип и возбужд¨енные состояния*
    Точно так же как при поиске основного состояния, мы можем искать первое возбужд¨енное состояние и оценивать его энергию, если ограничим поиск минимума подпространством, ортогональным основному состоянию:
    E
    1
    =
    min
    ψ=0, ψ
    0
    |ψ =0
    ψ
    | ˆ
    H

    ψ

    (4.69)
    Аналогично можно искать и последующие состояния:
    E
    n
    =
    min
    ψ=0, ψ
    k
    |ψ |
    k=0
    ψ
    | ˆ
    H

    ψ

    (4.70)
    Однако, если основное и последующие состояния определены не точ- но, то такой метод да¨ет дополнительные ошибки, за сч¨ет того, что в резуль- тате подпространство, выделенное условием
    ˜
    ψ
    k
    |ψ |
    k= 0,
    где ˜
    ψ
    k
    — приближ¨енные собственные состояния, окажется не ортогонально настоящим собственным состояниям ψ
    k

    Г
    ЛАВА
    5
    Принципы квантовой механики
    5.1. Квантовая механика замкнутой системы
    Эволюция замкнутой системы в квантовой механике (2.3.1 «Когда наб- людатель отвернулся . . . ») — самая простая для понимания часть теории.
    Здесь нет никаких непонятностей и вероятностей: эволюция системы оди- наково хорошо предсказуема как впер¨ед, так и назад по времени.
    Эволюция замкнутой системы — вращение пространства состояний.
    В отличие от привычного нам двумерного или тр¨ехмерного вращения, вра- щение пространства состояний (которое, как правило, бесконечномерно)
    может быть задано как поворот в плоскости только для бесконечномалых врем¨ен (на этом основана 7.4.2 «Теорема Халфина»). В общем случае (для независящего от времени гамильтониана) мы можем представить наше про- странство состояний как сумму одномерных комплексных (т. е. двумерных вещественных) подпространств и в каждом таком пространстве эволюция будет описываться как обычное вращение в плоскости с определ¨енной уг- ловой скоростью.
    Эволюция замкнутой системы может рассматриваться как симмет- рия — сдвиг по времени, порождаемый оператором энергии (гамильтониа- ном). Далее в главе 11 «Симметрии-1 (теорема Н¨етер)» мы проделаем по- хожие выкладки для сдвига по координате и оператора импульса.
    5.1.1. Унитарная эволюция и сохранение вероятности
    Когда квантовая система свободно эволюционирует, не подвергаясь внешним воздействиям, в момент времени t
    1
    е¨е состояние (волновая функ- ция) ψ(t
    1
    ) должно выражаться через состояние ψ(t
    0
    ) в предшествующий момент времени t
    0
    . При этом суммарная вероятность должна сохраняться,
    т. е., вспоминая смысл скалярного квадрата волновой функции,
    ψ(t
    0
    )
    |ψ(t
    0
    ) = ψ(t
    1
    )
    |ψ(t
    1
    ) = 1.
    (5.1)

    126
    Г
    ЛАВА
    5
    Предположим, что для свободной эволюции квантовой системы вы- полняется принцип суперпозиции, т. е. если χ(t
    0
    ) = αψ(t
    0
    ) + βϕ(t
    0
    ), то
    χ(t
    1
    ) = αψ(t
    1
    ) + βϕ(t
    1
    ) с теми же коэффициентами α и β. Это означает,
    что волновая функция, описывающая систему в момент времени t
    1
    , полу- чается из волновой функции, описывающей систему в момент времени t
    0
    ,
    с помощью некоторого линейного оператора ˆ
    U (t
    1
    , t
    0
    ), называемого опера- тором эволюции:
    ψ(t
    1
    ) = ˆ
    U (t
    1
    , t
    0
    )ψ(t
    0
    ),
    ϕ(t
    1
    ) = ˆ
    U (t
    1
    , t
    0
    )ϕ(t
    0
    )
    и т. д.
    Операторы эволюции должны образовывать семейство, удовлетворяющее следующим условиям:
    ˆ
    U (t
    0
    , t
    0
    ) = ˆ
    1,
    ˆ
    U (t
    2
    , t
    1
    ) ˆ
    U (t
    1
    , t
    0
    ) = ˆ
    U (t
    2
    , t
    0
    ),
    t
    2
    t
    1
    t
    0
    Условие (5.1) да¨ет
    ψ(t
    1
    )
    |ψ(t
    1
    ) = ψ(t
    0
    )
    | ˆ
    U

    (t
    1
    , t
    0
    ) ˆ
    U (t
    1
    , t
    0
    )
    |ψ(t
    0
    ) = 1.
    (5.2)
    Поскольку (5.2) должно выполняться для всякого состояния ψ(t
    0
    ), это мо- жет быть записано как условие на оператор эволюции
    ˆ
    U

    (t
    1
    , t
    0
    ) ˆ
    U (t
    1
    , t
    0
    ) = ˆ
    1.
    (5.3)
    Условие (5.3) очень похоже на условие унитарности, но это ещ¨е не оно.
    Это условие необходимо для унитарности, но достаточно только в конеч- номерном случае
    1
    Чтобы получить для оператора эволюции унитарность для бесконеч- номерного пространства состояний, можно добавить одно из следующих дополнительных условий:
    1
    В бесконечномерном случае легко построить оператор ˆ
    A, для которого ˆ
    A

    ˆ
    A = ˆ
    1, но
    ˆ
    A ˆ
    A

    = ˆ
    1. Пусть состояния ψ
    n
    , n = 0, 1, 2, . . . , образуют базис в пространстве состояний.
    Определим оператор ˆ
    A условием ˆ
    A

    n
    =

    n+1
    . Базисные матричные элементы оператора
    ˆ
    A имеют вид A
    m,n
    = ψ
    m
    | ˆ
    A

    n
    = δ
    m,n+1
    . Ненулевые матричные элементы оператора
    ˆ
    A

    получаются комплексным сопряжением и транспонированием: A

    n,m
    = ψ
    n
    | ˆ
    A


    m
    =
    = δ
    n+1,m
    = A

    m,n
    . Это позволяет записать действие оператора ˆ
    A

    на базисные векторы:
    ˆ
    A


    n
    =

    n
    −1
    , n = 1, 2, . . . , и ˆ
    A


    0
    = 0. Действуя операторами ˆ
    A

    ˆ
    A и ˆ
    A ˆ
    A

    на базисные векторы, получаем ˆ
    A

    ˆ
    A

    n
    =

    n
    , как и полагается единичному оператору. Но
    ˆ
    A ˆ
    A


    n
    =

    n только для n = 0, тогда как ˆ
    A ˆ
    A

    ψ
    0
    = 0, т. е. ˆ
    A ˆ
    A

    = ˆ
    1
    − |ψ
    0
    ψ
    0
    |.

    5.1. К
    ВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ
    127
    • Просто потребовать унитарности операторов ˆ
    U (t
    1
    , t
    0
    ). Это условие самое сильное, даже избыточное, оно предполагает одновременно
    ˆ
    U

    ˆ
    U = ˆ
    1 и ˆ
    U ˆ
    U

    = ˆ
    1. Но первое из этих условий уже было пред- положено ранее.
    • Потребовать дополнительно ˆ
    U ˆ
    U

    = ˆ
    1.
    • Потребовать существования обратного оператора ˆ
    U
    −1
    . Тогда из ранее выведенного условия ˆ
    U

    ˆ
    U = ˆ
    1 получаем ˆ
    U
    −1
    = ˆ
    U

    • Потребовать, чтобы любое конечное состояние в момент времени t
    1
    могло быть получено с помощью оператора ˆ
    U (t
    1
    , t
    0
    ) из какого-то на- чального состояния в момент времени t
    0
    (на самом деле это предыду- щее условие, сформулированное другими словами).
    • Потребовать, чтобы временная эволюция квантовой системы была об- ратима по времени.
    Таким образом, мы можем сказать, что унитарность свободной эво- люции квантовой системы следует из тр¨ех фундаментальных положений квантовой теории: линейность, сохранение вероятности, обратимость
    времени. Унитарная эволюция при таком подходе оказывается более фун- даментальным положением, чем уравнение Шр¨едингера.
    Обеспечив унитарность оператора эволюции при помощи одного из вышеперечисленных условий, мы можем отказаться от условия t
    1
    t
    0
    и на равных основаниях рассматривать эволюцию впер¨ед и назад по времени.
    Теперь
    ˆ
    U (t
    0
    , t
    1
    ) = ˆ
    U
    −1
    (t
    1
    , t
    0
    ) = ˆ
    U

    (t
    1
    , t
    0
    ),
    а условие
    ˆ
    U (t
    2
    , t
    1
    ) ˆ
    U (t
    1
    , t
    0
    ) = ˆ
    U (t
    2
    , t
    0
    )
    выполняется для любых моментов времени t
    0
    , t
    1
    , t
    2
    Для автономных систем, т. е. для систем, поведение которых не зависит от времени явно, мы можем произвольно сдвигать начальный и конечный моменты времени на одинаковую величину, т. е. оператор эволюции зависит только от разности врем¨ен:
    ˆ
    U (t
    1
    , t
    0
    ) = ˆ
    U
    t
    1
    −t
    0
    Для таких систем операторы эволюции образуют однопараметрическую группу с параметром времени t. Для этой группы умножение/обраще- ние/единица для операторов соответствуют сложению/изменению

    128
    Г
    ЛАВА
    5
    знака/нулю параметра:
    ˆ
    U
    t
    1
    ˆ
    U
    t
    2
    = ˆ
    U
    t
    1
    +t
    2
    ,
    (5.4)
    ˆ
    U
    −1
    t
    = ˆ
    U
    −t
    ,
    (5.5)
    ˆ
    U
    0
    = ˆ
    1.
    (5.6)
    Для такой однопараметрической группы операторов эволюции мы мо- жем брать как непрерывное время, t
    ∈ R, так и дискретное
    2
    t/τ
    ∈ Z.
    5.1.2. Унитарная эволюция матрицы плотности*
    Эволюция замкнутой системы может быть описана на языке матрицы плотности. Согласно (4.59) матрица плотности может быть представлена в виде
    ˆ
    ρ =
    k

    k p
    k
    ψ
    k
    |.
    С уч¨етом того, что

    k
    (t
    1
    ) = ˆ
    U (t
    1
    , t
    0
    )

    k
    (t
    0
    ) ,
    ψ
    k
    (t
    1
    )
    | = ψ
    k
    (t
    0
    )
    | ˆ
    U

    (t
    1
    , t
    0
    ),
    получаем
    ˆ
    ρ(t
    1
    ) = ˆ
    U (t
    1
    , t
    0
    ) ˆ
    ρ(t
    0
    ) ˆ
    U

    (t
    1
    , t
    0
    ).
    Это преобразование не нарушает требуемых свойств матрицы плотности,
    в частности нормировка матрицы плотности сохраняется:
    tr ˆ
    ρ(t
    1
    ) = tr[ ˆ
    U (t
    1
    , t
    0
    ) ˆ
    ρ(t
    0
    ) ˆ
    U

    (t
    1
    , t
    0
    )] = tr[ˆ
    ρ(t
    0
    ) ˆ
    U

    (t
    1
    , t
    0
    ) ˆ
    U (t
    1
    , t
    0
    )
    ˆ
    1
    ] = tr ˆ
    ρ(t
    0
    ).
    5.1.3. (Не)унитарная эволюция*****
    На самом деле мы можем отказаться от условия обратимости кванто- вой эволюции и рассматривать квантовую эволюцию, ограничившись усло- вием сохранения вероятности (5.3) (изометричность). Мы можем сделать это благодаря тому, что пространства состояний в разные моменты време- ни можно считать различными пространствами, не все состояния в которых имеют физический смысл.
    2
    Дискретное время может быть полезно при численных квантовомеханических расч¨етах.
    При этом вместо того, чтобы переходить к разностному аналогу временного уравнения
    Шр¨едингера и следить за сохранением вероятности, более правильно стартовать с унитарной эволюции с дискретным временем, как с понятия более фундаментального.

    5.1. К
    ВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ
    129
    Рассмотрение пространства состояний в разные моменты времени как разных пространств естественно всегда, когда мы рассматриваем завися- щую от времени замену базиса, связанную, например, со сдвигом нуле- вого уровня энергии, калибровочными преобразованиями или с перехо- дом между представлениями Шр¨едингера, Гайзенберга и Дирака. Одна- ко обычно пространства состояния в разные моменты времени связыва- ют друг с другом с помощью унитарных отображений, мы же в дан- ном разделе воспользуемся тем, что бесконечномерное пространство всег- да может быть отображено один к одному на некоторое сво¨е подпрост- ранство.
    Зафиксируем некоторый начальный момент времени t = 0 и будем сч и- тать, что при t = 0 все векторы пространства состояний
    H имеют физичес- кий смысл. В момент времени t физический смысл имеют только векторы,
    которые получаются из векторов в начальный момент времени с помощью оператора эволюции ˆ
    U
    t
    , т. е. принадлежат к подпространству
    H
    t
    = ˆ
    U
    t
    H
    0
    ⊂ H
    0
    =
    H.
    Однако такие подпространства в разные моменты времени изоморфны
    H
    t
    H
    0
    , т. е. между ними можно установить взаимно-однозначное со- ответствие
    ˆ
    A
    t
    H
    t
    =
    H.
    С помощью оператора ˆ
    A
    t мы можем переписать нашу неунитарную эволю- цию в эквивалентной унитарной форме, отбросив все нефизические сос- тояния. Новый оператор эволюции ˜
    U
    t уже унитарен
    ˜
    U
    t
    = ˆ
    A
    t
    ˆ
    U
    t
    Ясно, что мы можем, используя этот при¨ем, не только сделать из любо- го изометричного оператора эволюции унитарный, но и из любого унитар- ного оператора изометричный, добавив в пространства состояний в разные моменты времени некоторое количество «нефизических» измерений.
    Таким образом, мы можем рассматривать условие обратимости кван- товой эволюции как чисто техническое условие, оставив вместо него более слабое и более физичное условие изометричности (сохранения вероятнос- ти). При рассмотрении эволюции замкнутой системы новый подход не поз- воляет получить каких-либо новых результатов, однако он может оказаться полезен для обобщений, описывающих процессы с незамкнутыми система- ми (например, измерения).

    130
    Г
    ЛАВА
    5
    1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   ...   52


    написать администратору сайта