Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
7.2.3. Когерентные состояния Наводящие соображения* Исследуем, при каких условиях обобщ¨енное соотношение неопре- дел¨енностей (7.1) и обычное соотношение неопредел¨енностей (7.2) могут обращаться в равенства. Для того, чтобы обобщ¨енное соотношение неопредел¨енностей (7.1) стало равенством, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие ˆ A 0 ψ | ˆ A 0 ψ ˆ B 0 ψ | ˆ B 0 ψ = ˆ A 0 ψ | ˆ B 0 ψ 2 , что равносильно тому, что векторы ˆ A 0 |ψ и ˆ B 0 |ψ были пропорциональны друг другу. Таким образом, необходимое и достаточное условие обращения обоб- щ¨енного соотношения неопредел¨енностей в равенство: (α ˆ A 0 + β ˆ B 0 ) |ψ = 0 ⇔ (α ˆ A + β ˆ B) |ψ = Z|ψ Z ∈ C. (7.4) Состояния (7.4) мы будем называть обобщ¨енными когерентными состоя- ниями для пары операторов ˆ A, ˆ B. 7.2. С ООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛ ¨ ЕННОСТЕЙ 201 Для того, чтобы обычное соотношение неопредел¨енностей обратилось в равенство, в дополнение к (7.4) следует потребовать обнуления среднего от антикоммутатора: ψ |[ ˆ A 0 , ˆ B 0 ] + |ψ = 0, (α ˆ A 0 + β ˆ B 0 ) |ψ = 0 ⇒ (α ˆ A 0 + β ˆ B 0 ) 2 |ψ = 0 ⇒ ψ |α 2 ˆ A 2 0 + β 2 ˆ B 2 0 + αβ[ ˆ A 0 , ˆ B 0 ] + |ψ = 0. Получаем, что следующие выражения должны быть равны нулю: α 2 ˆ A 2 0 + β 2 ˆ B 2 0 = −αβ [ ˆ A 0 , ˆ B 0 ] + = 0. ˆ A 2 0 и ˆ B 2 0 неотрицательны, если они отличны от нуля, то α 2 β 2 = − ˆ B 2 0 ˆ A 2 0 Таким образом, отношение коэффициентов оказывается чисто мнимым: α β = iγ 0 = ±i ˆ B 2 0 ˆ A 2 0 , γ 0 ∈ R. Подставив в уравнение (7.4), получаем (дальше мы не будем использовать уравнение на γ 0 , нам лишь надо было угадать вид уравнения на ψ) (iγ 0 ˆ A 0 + ˆ B 0 ) |ψ = 0, γ 0 = ± ˆ B 2 0 ˆ A 2 0 (7.5) Уравнение когерентных состояний Рассмотрим произвольное состояние вида |χ = (iγ ˆ A 0 + ˆ B 0 ) |ψ , γ ∈ R. 0 χ |χ = ψ|(−iγ ˆ A 0 + ˆ B 0 )(iγ ˆ A 0 + ˆ B 0 ) |ψ = ψ|γ 2 ˆ A 2 0 −iγ[ ˆ A 0 , ˆ B 0 ]+ ˆ B 2 0 |ψ . 202 Г ЛАВА 7 Таким образом, для любого вещественного γ γ 2 ˆ A 2 0 + γ ˆ C + ˆ B 2 0 0. Квадратный тр¨ехчлен в левой части неравенства имеет следующие корни: γ 1,2 = − ˆ C ± ˆ C 2 − 4 ˆ A 2 0 ˆ A 2 B 2 ˆ A 2 0 Из того, что неравенство выполняется для всех вещественных γ, следует, что эти корни либо комплексные, либо совпадающие, условием чего являет- ся неположительность подкоренного выражения, т. е. соотношение неопре- дел¨енностей: ˆ C 2 − 4 ˆ A 2 0 ˆ A 2 B 0. Таким образом, мы ещ¨е раз вывели соотношение неопредел¨енностей. Если (iγ ˆ A 0 + ˆ B 0 ) |ψ = 0, то это автоматически означает, что γ = γ 1 = = γ 2 , 4 т. е. соотношение неопредел¨енностей обращается в равенство: (iγ ˆ A 0 + ˆ B 0 ) |ψ = 0 ⇔ (iγ ˆ A + ˆ B) |ψ = Z|ψ , Z ∈ C, γ ∈ R. (7.6) Состояния (7.6) мы будем называть когерентными состояниями для пары операторов ˆ A, ˆ B. Такие состояния оказываются собственными состояния- ми неэрмитовых операторов вида iγ ˆ A + ˆ B. Вопрос о существовании когерентных состояний для той или иной па- ры операторов мы оставляем открытым. Для пары операторов координата- импульс мы ещ¨е верн¨емся к нему, в процессе изучения гармонического осциллятора. 7.2.4. Соотношения неопредел¨енности время-энергия . . . время — это то, что измеряется часами. Г. Бонди, «Гипотезы и мифы в физической теории» С точки зрения преобразования Фурье, пара переменных время-часто- та должна вести себя так же, как пара переменных координата-волновое число. Или если умножить частоту и волновое число на постоянную План- ка, то пара время-энергия должна быть аналогична паре координата-им- пульс. 4 Мы избавились от отдельного условия на γ 0 7.2. С ООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛ ¨ ЕННОСТЕЙ 203 Эту же аналогию можно ожидать исходя из специальной теории от- носительности, в которой время — дополнительная координата, энергия — компонента 4-мерного импульса по времени, частота — компонента 4-мер- ного волнового вектора по времени. Однако рассматриваемая нами (гамильтонова) формулировка кванто- вой механики предполагает выделение времени из числа пространственно- временных координат. В рассматриваемом формализме время, в отличие от пространственных координат, — не наблюдаемая (эрмитов оператор), а некоторый числовой параметр. Пространственные координаты прокван- товались (стали операторами), а время осталось классическим (числовым параметром). Описание времени как числового параметра не позволяет описать про- цесс его измерения. «Время — это то, что измеряется часами» (см. эпиграф к данному разделу). То есть измерение времени — это измерение состояния часов, а соответствующая наблюдаемая («физическое время»), например, — координата стрелки часов. Оператор «физического времени» ˆ τ должен удовлетворять условию 5 dˆ τ dt = 1 ⇔ [ˆτ, ˆ H] = i¯ h. (7.7) Соотношение (7.7) можно заменить более слабым соотношением, представ- ляющим его ограничение на интересующее нас подпространство состоя- ний: d ˆ τ dt = 1 ⇔ [ˆ τ , ˆ H] = i¯ h. (7.8) 5 Данное замечание предназначено исключительно тем читателям, которые знакомы с ко- вариантными и контравариантными векторами применительно к специальной теории относи- тельности. Векторы и ковекторы в данном случае следует понимать по отношению к линей- ным преобразованиям координат. Если «сократить» уравнение Шр¨едингера ˆ Hψ = i¯ h ∂ ∂t ψ на волновую функцию, то мы получим для гамильтониана выражение, аналогичное выражению для импульса с противо- положным знаком: ˆ H = i¯ h ∂ ∂t . Формальное вычисление коммутатора [t, i¯ h ∂ ∂t ] = −i¯h да¨ет противоположный (по сравнению с коммутатором координата-импульс) знак. Как это совмес- тить с [ˆ τ , ˆ H] = +i¯ h? Дело в том, что канонические коммутационные соотношения пишутся для обобщ¨енных координат и импульсов. Обобщ¨енные импульсы в теоретической механике p α = ∂L ∂ ˙ q α следует считать компонентами ковариантного вектора. Однако 4-вектор энергии- импульса с компонентами p i = (E, p x , p y , p z ) — это контравариантный вектор. Таким обра- зом, соответствие коммутатора время-энергия коммутатору координата-импульс должно иметь место только после того, как у всех компонентов импульса (включая энергию) будут с помо- щью метрики Минковского опущены индексы: p i = (E, −p x , −p y , −p z ) = i¯ h ∇ i . Действи- тельно, компоненты оператора набла образуют ковариантный вектор. 204 Г ЛАВА 7 Соотношение неопредел¨енностей для пары операторов ˆ τ - ˆ H записыва- ется стандартным образом (7.2): (δτ ) 2 (δE) 2 ¯ h 2 4 (7.9) Как и другие соотношения неопредел¨енности, соотношение время- энергия может интерпретироваться по-разному. Так что же мы посчитали? (ф) Введя оператор «физического времени», мы, тем самым, предположи- ли, что рассматриваемая квантовая система содержит в сво¨ем составе часы. Можно было бы обсудить допустимость включения микро- и макро- часов в состав квантовой системы с точки зрения различных интерпретаций квантовой механики (такое обсуждение было бы практически тождествен- но обсуждению возможности включения в квантовую систему наблюдате- ля), однако такие рассуждения лишь уводят в сторону от главного вопроса: «Неопредел¨енность какой именно энергии мы обсуждаем?» Если часы входят в квантовую систему в качестве отдельной подсис- темы, слабо взаимодействующей с остальными степенями свободы, то мы может выделить из суммарного гамильтониана ˆ H гамильтониан часов ˆ H ч , гамильтониан оставшейся части ˆ H 0 и их взаимодействие ˆ V : ˆ H = ˆ H ч + ˆ H 0 + ˆ V , [ˆ τ , ˆ H ч ] = i¯ h, [ˆ τ , ˆ H 0 ] = 0, [ˆ τ , ˆ V ] = 0. Таким образом, неопредел¨енность энергии системы оказывается на самом деле неопредел¨енностью энергии часов. Таким образом, соотношение неопредел¨енностей время-энергия (7.9) применимо не просто к системе, включающей часы, а к системе, которая сама является часами. Если система не является часами (ф) Если квантовая система не является часами, то вместо «часовой стрел- ки» можно использовать любые зависящие от времени процессы. На малых временах любая несохраняющаяся наблюдаемая может выступать в роли «физического времени». Для не зависящей явно от времени наблюдаемой ˆ A имеем d ˆ A dt = 1 i¯ h [ ˆ A, ˆ H], (δA) 2 (δE) 2 1 4 i[ ˆ A, ˆ H] 2 = ¯ h 2 4 d ˆ A dt 2 . (7.10) 7.2. С ООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛ ¨ ЕННОСТЕЙ 205 Если теперь учесть скорость хода «часов» d ˆ A dt , то получаем (δt) 2 (δA)2 d ˆ A dt 2 (δE) 2 ¯ h 2 4 (7.11) Полученное соотношение может быть интерпретировано как связь ха- рактерного времени эволюции системы с неопредел¨енностью е¨е энергии. Время жизни и ширина уровня (ф) Важный случай применения соотношения неопредел¨енностей время- энергия (7.9) — связь времени жизни и ширины энергетического уровня для квазистационарного состояния. Квазистационарное состояние на малых временах вед¨ет себя как ста- ционарное состояние, но его амплитуда экспоненциально уменьшается со временем (см. 13.5.6 «Квазистационарные состояния в квазиклассике»). Примеры квазистационарных состояний: ядро радиоактивного атома (со временем распадается), атом в возбужд¨енном состоянии (со временем из- лучает фотон и переходит в состояние с меньшей энергией) и т. п. Закон радиоактивного распада имеет вид ˆ n = n 0 e − t τ 0 , (7.12) где ˆ n — оператор числа нераспавшихся квазистационарных систем, а τ 0 — время жизни. Начальное число нераспавшихся систем n 0 = 1. Среднее время жизни квазистационарного состояния и средний квад- рат времени жизни вычисляются исходя из (7.12): t 0 = 1 τ 0 ∞ 0 t e − t τ 0 dt = τ 0 , t 2 0 = 1 τ 0 ∞ 0 t 2 e − t τ 0 dt = 2τ 2 0 Таким образом, δt 2 0 = t 2 0 − t 0 2 = τ 2 0 ⇒ δE 2 ¯ h 2 4τ 2 0 = ¯ h 2τ 0 2 Минимальную неопредел¨енность энергии ¯ h 2τ 0 в этом случае следует трак- товать как ширину уровня энергии δE 0 = ¯ h 2τ 0 (7.13) 206 Г ЛАВА 7 Действительно, колебание с экспоненциально затухающей амплитудой не может иметь строго определ¨енную частоту. Квазистационарное состояние — это очень интересный пример, т. к. в н¨ем система является часами: время может измеряться по тому, какая доля ансамбля систем в квазистационарных состояниях распалась. Простейшие (и грубейшие) часы такого типа определяют распалась ли единственная система, или ещ¨е нет. Конечно, такие «часы» дают нам лишь два возможных «положения стрелки». Естественно откалибровать эти часы следующим образом: ˆ n = 1, τ = 0; ˆ n = 0, τ = τ 0 Тогда среднее время, показываемое часами, — ˆ τ = τ 0 (1 − e − t τ 0 ). Мы видим, что d ˆ τ dt = e − t τ 0 , т. е. часы удовлетворяют условию (7.8) только в точке 0, с характерным временем ухода τ 0 Мы можем построить более точ ные ч асы из n 0 систем в квазистацио- нарых состояниях. Поскольку спектр оператора числа систем ˆ n вс¨е равно будет ограничен (собственные числа от 0 до n 0 с шагом 1), такие часы по- прежнему смогут измерять только ограниченные интервалы времени, но длина шкалы будет расти как ln n 0 Длительность измерения и точность определения энергии (ф) Наиболее употребимая интерпретация соотношения неопредел¨енностей время-энергия — связь длительности измерения энергии и его точности. Привед¨енные выше рассуждения рассматривали идеальное мгновен- ное квантовомеханическое измерение. Моделирование реального процесса квантового наблюдения будет также обсуждаться ниже в разделе 8.2 «Мо- делирование измерительного прибора*». (фф*) Пусть измеряемая квантовая система («микросистема») описы- вается гамильтонианом ˆ H 0 , а измерение состоит во взаимодействии систе- мы с часами, описывающимися гамильтонианом ˆ H ч . До начала измерения обе подсистемы (микросистема и часы) имеют определ¨енную энергию и не взаимодействуют. В некоторый момент времени t 0 часы включают взаимо- действие ˆ V 0 с микросистемой. Соответствующая добавка к гамильтониану ˆ V = ˆ V 0 δ(ˆ τ − t 0 ). 7.3. И ЗМЕРЕНИЕ БЕЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ * 207 Неопредел¨енность времени взаимодействия составляет δt. После оконча- ния измерения неопредел¨енность энергии часов — δE. Поскольку начальные энергии часов и микросистемы имели опреде- ленные значения, неопредел¨енность энергии микросистемы также состав- ляет δE. В качестве длительности взаимодействия часов и микросистемы следует взять δt. Если начальные неопредел¨енности энергий микросистемы и часов от- личны от нуля, то конечная неопредел¨енность энергии возраст¨ет. Также за сч¨ет неидеальности часов может возрасти неопредел¨енность длительности взаимодействия. Таким образом, мы показали, что соотношение неопредел¨енностей время-энергия (7.9) может интерпретироваться как связь длительности и точности для измерения энергии, при условии, что измерительный при- бор (мы включили его в часы) вместе с микросистемой может быть описан квантовой механикой. В данном разделе мы описывали незамкнутую квантовую систему, пут¨ем расширения е¨е до замкнутой. При этом следует отметить, что опи- сание незамкнутых квантовых систем — сложная проблема, которую мно- гие физики вообще выводят за пределы стандартной квантовой механики (см. 9.3.2 «“Новая копенгагенская” интерпретация (ф)»). 7.3. Измерение без взаимодействия* Познание начинается с удивления. Аристотель W Измерение в квантовой механике происходит не только тогда, когда датчик щ¨елкнул, обнаружив частицу, но и тогда, когда датчик не щ¨елкнул (отрицательный результат измерения). Частица при этом беспрепятствен- но пролетела мимо датчика, но измерение вс¨е равно произошло и волно- вая функция частицы изменилась. Это уже отмечалось в разделе 3.1.4 (см. рис. 3.4). Таким образом, мы получаем, что измерение может менять состояние (состояние — другое имя волновой функции) частицы даже если частица, не взаимодействовала с прибором. Здесь важно, что хотя частица не про- взаимодействовала с прибором, она потенциально могла это сделать. То есть не произошедшие, но потенциально возможные события оказывают влияние на развитие системы 6 6 Если когда-нибудь будет создана такая наука, как квантовая история, то расхожая фраза «История не имеет сослагательного наклонения» должна оказаться грубо неверной, потому 208 Г ЛАВА 7 К числу таких явлений относится дифракция в оптике, если учиты- вать, что электромагнитная волна переносится дискретными фотонами. При дифракции на каком-либо препятствии дифракционная картина образуется теми фотонами, которые пролетели мимо препятствия и никак с ним не взаимодействовали. То, что при этом вместо обычной тени образуется диф- ракционная картина (в частности, внесение препятствия усиливает яркость некоторых областей, например пятна Пуассона), означает, что фотоны, не поглощ¨енные препятствием, ведут себя иначе, чем в его отсутствие. Многие эксперименты, демонстрирующие эффекты измерения без вза- имодействия, можно ставить со светом. При этом отличие от обычных опы- тов на дифракцию и интерференцию будет состоять в следующем: • вместо обычных источников света используются источники, испускаю- щие отдельные фотоны; • интерпретация не в терминах амплитуд полей и потоков энергии, а в терминах амплитуд вероятности и потоков частиц. Следует отметить, что все обычные источники света достаточно слабы, что- бы можно было пренебречь нелинейными эффектами, т. е. чтобы фотоны взаимодействовали с установкой по одному. Поэтому обычные эксперимен- ты по волновой оптике при взгляде с квантовой точки зрения могут выгля- деть весьма загадочно и поучительно. Однако ослабление источника света может быть полезно, чтобы наглядно прояснить одночастичную природу оптических эффектов 7 что в квантовой теории не произошедшие события («в сослагательном наклонении») обнуля- ют в волновой функции кусок, отвечающий за возможность такого события. Можно привести такую грубую гуманитарную аналогию: если вопрос был поставлен на голосование (измере- ние) перед людьми, не имеющими ч¨еткой позиции (чь¨е решение вероятностно), и предложе- ние провалилось, то сразу обнулилась вероятность проваленного решения, при немедленном повторном голосовании. Другими словами, если человека, не имеющего ч¨еткой точки зрения по какому-либо вопросу (находящегося в суперпозиции различных точек зрения), заставить высказаться (провести измерение его точки зрения), то сразу после измерения у него будет точка зрения, соответствующая тому, что он высказал, однако со временем эта точка зрения будет эволюционировать. В качестве развития аналогии можно попытаться найти также гума- нитарный аналог фазы, например воздействия, действующие на мнение человека одинаково по отдельности, совместно могут как усиливать друг друга, так и взаимно гасить, в зависимос- ти от разности фаз. (Метод гашения идей пут¨ем вложения их в гнилые уста специально для этой цели выращенных деятелей достаточно распростран¨ен в современной политике.) Данную аналогию, как почти все аналогии, не следует воспринимать слишком серь¨езно. 7 Само по себе ослабление источника до уровня, когда в импульсе окажется менее одного фотона, недостаточно для создания однофотонного источника. Простое ослабление светового импульса светофильтрами даст нам состояние, точное число фотонов в котором не определено, прич¨ем не определено в квантовом смысле, а не в классическом: импульс описывается как суперпозиция состояний с разным числом фотонов. 7.3. И ЗМЕРЕНИЕ БЕЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ * 209 Последующие разделы 7.3.1 «Эксперимент Пенроуза с бомбами (ф*)», 7.4 «Квантовый эффект Зенона (парадокст незакипающего чайника)**» описывают невозможные с классической точки эффекты измерения без вза- имодействия, которые могут быть реализованы на эксперименте как опти- ческие эффекты. |