Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
Пример: задержка волновых пакетов, рассеянных ступенькой* Верн¨емся к рассмотренному ранее процессу рассеяния волнового па- кета на ступеньке. Амплитуды прохождения и отражения имеют вид (6.17) d = 2k k + k , r = k − k k + k , E > V, k, k ∈ R. Для энергии выше высоты ступеньки обе амплитуды вещественны, т. е. про- шедший и отраж¨енный волновые пакеты выходят из начала координат без задержки. Для энергии ниже высоты ступеньки d надо положить равным нулю, а амплитуды r можно получить аналитическим продолжением: d = 0, r = k − k k + k = k − iκ k + iκ , E < V, k, κ ∈ R, k = 1 ¯ h √ 2mE, κ = 1 ¯ h 2m(V − E) = 2mV ¯ h 2 − k 2 = κ 2 1 − k 2 , 190 Г ЛАВА 6 r(k) = k − i κ 2 1 − k 2 k + i κ 2 1 − k 2 , r ∗ = 1 r , κ 2 1 = 2mV ¯ h 2 , α 1 (k) = Im 1 r ∗ dr dk = Im r dr dk = 2 κ 4 1 + 4κ 2 1 k 2 − 4k 4 κ 4 1 κ 50 40 30 20 10 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Рис. 6.6. α 1 (k) — длина задержки для волны, отраж¨енной от ступеньки. Единица измерения длины — 1 κ 1 Для высокой ступеньки (κ 1 k) получаем α 1 (k) ≈ 2κ. То есть задержка отраж¨енного волнового пакета соответствует глубине про- никновения волны в потенциальный барьер. Пример: задержка волновых пакетов, рассеянных δ-ямой* Верн¨емся к рассмотренному ранее процессу рассеяния волнового па- кета на δ-яме. Амплитуды прохождения и отражения имеют вид (6.18) d = k k − iκ 0 , r = iκ 0 k − iκ 0 α 1 = κ 0 κ 2 0 − 3k 2 (k 2 + κ 2 0 ) 2 , β 1 = −κ 0 k 2 − 3κ 2 0 (k 2 + κ 2 0 ) 2 6.3. О ДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ 191 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 1 2 3 4 5 k Рис. 6.7. Длина задержки для волны, отраж¨енной (нижний график) и прошедшей (верхний график) через δ-яму. Единица измерения длины — 1 κ 0 В пределе низкой энергии ( |κ 0 | k) задержки определяются длиной зату- хания волновой функции в связанном состоянии δ-ямы: α 1 ≈ 1 κ 0 , β 1 ≈ 3 κ 0 В пределе высокой энергии ( |κ 0 | k) мы получаем уже не задержки, а опе- режения: α 1 ≈ −3 κ 0 k 2 , β 1 ≈ − κ 0 k 2 6.3.7. Резонансное рассеяние* Процесс рассеяния на потенциале можно рассматривать как интер- ференцию падающей волны и волн, отраж¨енных (возможно многократно) от неоднородностей потенциала. При этом в зависимости от соотношения длин волн и расстояний между неоднородностями (характерных длин по- тенциала) интерференция может усиливать или ослаблять отраж¨енную или прошедшую волну. В результате коэффициенты отражения и прохождения могут осциллировать при изменении энергии (и волнового числа) падаю- щей волны. Проще всего анализировать подобную ситуацию для случая кусочно- постоянного потенциала, когда все неоднородности являются точечными: представляют собой скачки потенциала. Пусть при данной энергии E волновое число в области (x 0 , x 0 + + a) длины a с локально постоянным потенциалом U a составляет k = = 1 ¯ h 2m(E − U a ). Решение стационарного уравнения Шр¨едингера в дан- 192 Г ЛАВА 6 ной области записывается в виде ψ a (x) = A cos(kx) + B sin(kx). Если в рассматриваемой области укладывается целое число волн, то вне зависимости от A и B значения волновой функции и е¨е первой производной на концах интервала совпадают: ka = 2πn, n ∈ Z, ψ a (x 0 ) = ψ a (x 0 + a), ψ a (x 0 ) = ψ a (x 0 + a). Если мы будем сшивать волновую функцию слева и справа от рассматривае- мой области, то саму область (x 0 , x 0 + a) можно удалить, напрямую склеив области ( −∞, x 0 ) и (x 0 + a, + ∞). Волновая функция вне вырезанного ин- тервала при этом не изменится. В частности, не изменятся коэффициенты отражения и прохождения. Если в рассматриваемой области укладывается полуцелое число волн, то вне зависимости от A и B значения волновой функции и е¨е первой производной на концах интервала отличаются только знаком: ka = π(2n + 1), n ∈ Z, ψ a (x 0 ) = −ψ a (x 0 + a), ψ a (x 0 ) = −ψ a (x 0 + a). Если мы будем сшивать волновую функцию слева и справа от рассматри- ваемой области, то саму область (x 0 , x 0 + a) можно удалить, напрямую склеив области ( −∞, x 0 ) и (x 0 + a, + ∞), поменяв при этом знак волновой функции в одной из этих областей. Волновая функция с одной стороны вы- резанного интервала при этом не изменится, а с другой — поменяет знак. Коэффициенты отражения и прохождения снова не изменятся. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Рис. 6.8. R(E) для прямоугольной ямы при a = 30, ¯ h = m = V = 1. Таким образом, при рассмотрении одномерной задачи рассеяния в об- ласти постоянного потенциала можно убрать или добавить целое число полуволн без изменения коэффициентов отражения и прохождения. 6.3. О ДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ 193 В частности, это означает, что при рассеянии на симметричной прямо- угольной потенциальной яме (6.6) коэффициент отражения должен обра- щаться в нуль (при вырезании участка ( − a 2 , + a 2 ) яма как бы исчезает) при выполнении следующего условия: k a = a ¯ h 2m(E + V ) = πn, n ∈ N. Действительно, если проделать соответствующие выкладки 12 , то для такой ямы R = (k 2 − k 2 ) 2 sin 2 (k a) (2k k) 2 cos 2 (k a) + (k 2 + k 2 ) 2 sin 2 (k a) = = 2mV ¯ h 2 sin 2 (k a) (2k k) 2 cos 2 (k a) + (k 2 + k 2 ) 2 sin 2 (k a) При указанных (резонансных) условиях R = 0. При k a ≈ π(n + 1 2 ) также наблюдается резонанс, но не для прохожде- ния, а для отражения. При работе с кусочно-постоянными потенциалами наличие резонанс- ного рассеяния можно использовать для проверки полученного ответа. 12 Читатель может проделать это в качестве упражнения. Г ЛАВА 7 Эффекты теории измерений Если квантовая теория не потрясла тебя — ты е¨е ещ¨е не понял. Нильс Бор W 7.1. Классическая (колмогоровская) вероятность (л*) Рис. 7.1. Андрей Николаевич Колмогоров (1903–1987). W Предполагается, что читатель имеет неко- торое (на физическом уровне строгости) пред- ставление о теории вероятностей. Однако, прежде чем обсуждать тонкие различия кван- товых и классических вероятностей, полезно строго сформулировать, что же такое класси- ческая вероятность. На протяжении столетий понятие вероят- ности формулировалось на полуинтуитивном уровне, как частота случайных событий, что отсылало нас к плохо определ¨енному поня- тию случайности. Многие математики пыта- лись формализовать это определение. На сегодняшний день мы имеем теорию вероятностей, основные поня- тия которой были сформулированы А. Н. Колмогоровым в 1933 году вообще без отсылок к случайности 1 , вместо этого вероятность рассматривается как мера (обобщение площади, объ¨ема, массы и вообще количества) на неко- тором вероятностном пространстве. 1 Интересно, что уже после создания аксиоматики теории вероятностей, А. Н. Колмогоров исследовал возможность формализации понятия случайности, действуя в русле старой, докол- могоровской теории вероятностей. При этом были получены интересные результаты, но задача так и не была полностью решена. 7.1. К ЛАССИЧЕСКАЯ ( КОЛМОГОРОВСКАЯ ) ВЕРОЯТНОСТЬ ( Л *) 195 Интересно, что к моменту создания квантовой теории у математи- ков ещ¨е не было математически последовательной аксиоматической тео- рии вероятностей. Лишь после возникновения квантовой теории, для ко- торой понятие вероятности является центральным, была создана классиче- ская аксиоматика теории вероятности. При этом классическое понимание вероятности полезно, но в некоторых случаях недостаточно для квантовой теории 2 7.1.1. Определение вероятностного пространства** Вероятностное пространство — это тройка (Λ, Σ, P ), состоящая из непустого множества Λ — пространство элементарных со- бытий, некоторой сигма-алгебры Σ, состоящей из подмножеств множе- ства Λ — множество событий, Λ, ∅ ∈ Σ; ∀A, B ∈ Σ : A ∩ B, A ∪ B ∈ Σ, ∀A k ∈ Σ, k ∈ N : k ∈ N A k ∈ Σ; и вероятностной меры (вероятности) P : P : Σ → [0, 1], P (Λ) = 1, P ( ∅) = 0. ∀A, B ∈ Σ, A ∩ B = ∅ : P (A ∪ B) = P (A) + P (B), ∀A k ∈ Σ, k ∈ N, k = k ∈ N, A k ∩A k = ∅ : P ⎛ ⎝ k ∈ N A k ⎞ ⎠ = k ∈ N P (A k ). 7.1.2. Смысл вероятностного пространства* Обсудим смысл введ¨енных выше понятий. Мы имеем пространство элементарных событий Λ, однако может оказаться, что некоторые из этих событий имеют нулевую вероятность, но конечная вероятность может быть приписана некоторым диапазонам пространства Λ. Это типичная ситуация для непрерывного распределения вероятностей. 2 К сожалению, гуманитарная культура в понимании вероятности и случайности в массе своей застряла в наивном классическом детерминизме, не усвоив даже классической вероят- ности. См. 2.5.2 «Ересь аналитического детерминизма и теория возмущений (ф)». 196 Г ЛАВА 7 По этой причине, помимо пространства элементарных событий Λ, вво- дится множество событий Σ, для которых определено значение вероятнос- ти. События можно совмещать (пересекать, на языке теории множеств) и объединять. Прич¨ем объединять можно как конечные, так и сч¨етные на- боры событий. Допустимость таких операций заложена в определение Σ. Мера P — это и есть вероятность. Она ставит в соответствие событиям ч исла от 0 до 1, прич ¨ем при объединении (конечном или сч¨етном) непересе- кающихся (взаимно исключающих) событий их вероятности складываются. 7.1.3. Усреднение (интегрирование) по мере* Функция на вероятностном пространстве называется случайной вели- чиной A : Λ → R. С помощью вероятностной меры P мы можем определить интеграл по пространству Λ, который зада¨ет среднее соответствующей случайной величины: A = Λ A(λ) P (dλ). При этом мы можем понимать это выражение как предел интегральных сумм (интеграл Лебега), в которых P (dλ) — мера («длина») бесконечно короткого интервала: P (dλ) = P (λ, λ + dλ] . Такой интеграл (если мы умеем брать обычные интегралы по Λ) может быть записан как сумма по элементарным событиям с ненулевой вероятнос- тью и интеграл с некоторым весом (λ) по непрерывной части распределе- ния вероятностей: Λ A(λ) P (dλ) = λ ∈Λ 1 A(λ) P ( {λ}) + Λ 2 A(λ) (λ) dλ. Читатель, уже знакомый с квантовой механикой, может легко узнать здесь дискретный спектр Λ 1 и непрерывный спектр Λ 2 . Множества, состоящие из одной точки имеют ненулевую вероятность, если эта точка принадле- жит Λ 1 7.1.4. Вероятностные пространства в квантовой механике (ф*) В квантовой механике вероятностное пространство сопоставляется каждому процессу измерения. При этом оно зависит не только от теку- щего состояния системы (волновой функции ψ или матрицы плотности ˆ ρ), но и от измеряемой наблюдаемой ˆ A. 7.2. С ООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛ ¨ ЕННОСТЕЙ 197 Для каждой наблюдаемой мы можем решить спектральную задачу и получить набор собственных чисел Λ, который является пространством элементарных событий, при измерении данной наблюдаемой. Простран- ство Σ порождается (получается с помощью пересечения и сч¨етного объе- динения) из всевозможных открытых и замкнутых интервалов на Λ ⊂ R. Также при решении спектральной задачи мы получаем набор проек- торов на собственные подпространства, соответствующие каждому из соб- ственных чисел λ. Точнее (особенно при наличии непрерывного спектра) говорить не о наборе проекторов, а о проекторнозначной мере ˆ P (см. раз- дел 5.3.1), которая сопоставляет каждому «хорошему» подмножеству L ∈ Σ проектор на объединение собственных пространств для всех λ ∈ L. Вероятностная мера P (уже без шляпки!) получается усреднением ˆ P по квантовому состоянию (ψ или ρ): P (L) = ψ | ˆ P (L) |ψ или P (L) = tr( ˆ P (L) ˆ ρ). Среднее (совпадающее с квантовым средним) определяется как интег- рал от собственного числа по этой вероятностной мере: ψ | ˆ A |ψ = Λ λ P (dλ) = Λ λ ψ | ˆ P (dλ) |ψ , ˆ A ρ = tr( ˆ A ˆ ρ) = Λ λ P (dλ) = Λ λ tr( ˆ P (dλ) ˆ ρ). Принципиально важно, что вероятностные пространства, возникаю- щие в квантовой механике, зависят от измеряемой величины. Как следует из нарушения неравенства Белла, определить вероятностное пространство без использования измеряемой величины в рамках локальной теории невоз- можно. 7.2. Соотношения неопредел¨енностей 7.2.1. Соотношения неопредел¨енностей и (анти)коммутаторы Для пары величин, описывающихся некоммутирующими эрмитовыми операторами ˆ A и ˆ B, невозможно задать общий базис собственных функций, т. е. базис состояний, в каждом из которых обе величины однозначно опре- делены. Это накладывает принципиальные ограничения на одновременную измеримость ˆ A и ˆ B. 198 Г ЛАВА 7 Соотношение неопредел¨енностей позволяет охарактеризовать эти огра- ничения количественно через среднеквадратичные отклонения. Исследуем величину следующего вида: X = (δA) 2 (δB) 2 = ( ˆ A − ˆ A ) 2 ( ˆ B − ˆ B ) 2 Пусть |ψ — некоторое произвольное нормированное на единицу со- стояние. Определим для данного |ψ смещ¨енные операторы: ˆ A 0 = ˆ A − ψ| ˆ A |ψ , ˆ B 0 = ˆ B − ψ| ˆ B |ψ . Для коммутаторов ([ ·, ·]) и антикоммутаторов ([·, ·] + ) мы можем написать следующие очевидные соотношения: [ ˆ A, ˆ B] = i ˆ C = 0, ˆ C = ˆ C † , [ ˆ A 0 , ˆ B 0 ] = ˆ A 0 ˆ B 0 − ˆ B 0 ˆ A 0 = [ ˆ A, ˆ B] = i ˆ C, [ ˆ A 0 , ˆ B 0 ] + = ˆ A 0 ˆ B 0 + ˆ B 0 ˆ A 0 = ˆ D 0 , [ ˆ A, ˆ B] + = ˆ A ˆ B + ˆ B ˆ A = ˆ D, ψ | ˆ D 0 |ψ = ψ| ˆ D |ψ − 2 ψ| ˆ A |ψ ψ| ˆ B |ψ . Теперь X расписывается как произведение скалярных квадратов, для кото- рого существует оценка снизу через скалярное произведение: 3 X = ψ | ˆ A 2 0 |ψ ψ| ˆ B 2 0 |ψ = ˆ A 0 ψ | ˆ A 0 ψ ˆ B 0 ψ | ˆ B 0 ψ | ˆ A 0 ψ | ˆ B 0 ψ | 2 = | ψ| ˆ A 0 ˆ B 0 |ψ | 2 Произведение операторов расписывается через коммутатор и антикоммута- тор: ˆ A 0 ˆ B 0 = 1 2 ([ ˆ A 0 , ˆ B 0 ] + [ ˆ A 0 ˆ B 0 ] + ) = 1 2 ( ˆ D 0 + i ˆ C), ψ | ˆ A 0 ˆ B 0 |ψ = ψ| 1 2 ( ˆ D 0 + i ˆ C) |ψ = 1 2 ψ | ˆ D 0 |ψ + i ψ| ˆ C |ψ . Поскольку операторы ˆ C и ˆ D 0 эрмитовы, средние от них вещественны: X | ψ| ˆ A 0 ˆ B 0 |ψ | 2 = 1 4 ψ | ˆ D 0 |ψ + i ψ| ˆ C |ψ 2 = = 1 4 ψ | ˆ D 0 |ψ 2 + ψ | ˆ C |ψ 2 3 Мы применяем неравенство Коши – Буняковского, согласно которому | ψ|φ | ψ · φ , прич¨ем неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда ψ и φ коллинеарны. 7.2. С ООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛ ¨ ЕННОСТЕЙ 199 Соотношение X 1 4 ψ | ˆ D 0 |ψ 2 + ψ | ˆ C |ψ 2 , т. е. (δA) 2 (δB) 2 1 4 [ ˆ A 0 , ˆ B 0 ] + 2 + 1 4 i[ ˆ A, ˆ B] 2 , (7.1) мы будем называть обобщ¨енным соотношением неопредел¨енностей. Обычно используют более слабое соотношение неопредел¨енностей X 1 4 ψ | ˆ C |ψ 2 , т. е. (δA) 2 (δB) 2 1 4 i[ ˆ A, ˆ B] 2 (7.2) Для пары из оператора координаты и соответствующей компоненты им- пульса [ˆ x, ˆ p] = i¯ h, и мы получаем (δx) 2 (δp) 2 1 4 ¯ h 2 Обобщ¨енное соотношение неопредел¨енностей (7.1) обычно переписы- вается через коэффициент корреляции r = 1 2 [A 0 , B 0 ] + (δA) 2 (δB) 2 = 1 2 [A, B] + − A B (δA) 2 (δB) 2 Перенеся антикоммутатор в левую часть неравенства и выразив его че- рез r, выводим обобщ¨енное соотношение неопредел¨енностей в виде, пер- воначально полученном Робертсоном и Шр¨едингером в 1930 году: (δA) 2 (δB) 2 1 4 i[ ˆ A, ˆ B] 2 1 − r 2 (7.3) 7.2.2. Так что же мы посчитали? (ф) Так что же мы посчитали? Каков физический смысл полученных соот- ношений неопредел¨енностей? Во-первых, мы более аккуратно, с уч¨етом всех числовых констант, уточнили и обобщили выводы раздела 2.7.3 «Преобразование Фурье и со- отношения неопредел¨енностей». То есть связали между собой среднеквад- ратичную ширину волновых пакетов по переменным ˆ A и ˆ B. Тем самым мы получили ограничение на то, какие вообще бывают состояния, без рассмот- рения какого-либо измерения. 200 Г ЛАВА 7 Во-вторых, мы ответили на вопрос об экспериментальных неопре- дел¨енностях, но эти неопредел¨енности соответствуют иному случаю, чем случай микроскопа Гайзенберга. Рассматривая микроскоп Гайзенберга, мы исследовали случай последо- вательного измерения координаты и импульса для одной и той же системы и оценивали разброс результатов. То есть мы рассматривали ансамбль оди- наковых систем в одинаковом начальном состоянии, над каждой из которых выполняется последовательно измерение координаты и импульса. Здесь мы оцениваем квантовомеханический разброс (среднеквадратич- ные отклонения) наблюдаемых ˆ A и ˆ B для одного и того же состояния. Это соответствует тому, что мы рассматриваем ансамбль одинаковых систем в одинаковом начальном состоянии, над каждой из которых выполняется измерение ˆ A или ˆ B (например, измерение координаты или импульса). То есть над каждой системой выполняется измерение только одной из двух некоммутирующих величин, и одно измерение «не мешает» (не изменя- ет состояние) для другого, поскольку другое измерение производится над другой (или заново приготовленной) системой. |