Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
7.5. Квантовая (не)локальность Квантовая механика в некотором смысле нелокальна, поскольку она допускает мгновенное воздействие на состояние системы на расстоянии. Однако это воздействие устроено так, что обнаружить его можно не рань- ше, чем удастся переговорить с его организатором. Таким образом, кванто- вая механика в некотором смысле локальна. И эта локальность позволяет состыковать квантовую механику со специальной теорией относительно- сти, в которой постулируется максимальная скорость распространения вза- имодействия. 7.5.1. Запутанные состояния (ф*) Пусть (сложная) квантовая система состоит из двух подсистем. Тогда волновая функция системы ψ может быть записана как функция от двух наборов аргументов: наблюдаемые первой подсистемы x 1 и наблюдаемые второй подсистемы x 2 ψ(x 1 , x 2 ), ψ ∈ H 1 ⊗ H 2 Для смешанного состояния аналогично записывается матрица плотности: ρ(x 1 , x 2 ; x 1 , x 2 ), ˆ ρ ∈ H 1 ⊗ H 2 ⊗ H ∗ 1 ⊗ H ∗ 2 Запутанными состояниями сложной квантовой системы называются состояния, которые не могут быть представлены как произведение состоя- ний подсистем. То есть для чистого состояния ψ(x 1 , x 2 ) = ψ 1 (x 1 ) · ψ 2 (x 2 ), а для смешанного состояния ρ(x 1 , x 2 ; x 1 , x 2 ) = ρ 1 (x 1 ; x 1 ) · ρ 2 (x 2 ; x 2 ). В русской литературе существует разнобой в терминах, обозначающих запутанные состояния. Такие состояния могут называть: запутанные сос- тояния, перепутанные состояния, зацепленные состояния. В английском языке используется один термин entangled states. Также незапутанное состояние может называться факторизуемым сос- тоянием (т. е. разложимым на множители), а запутанное — нефакторизуе- мым состоянием. В данной книге эти выражения используются в следующем смысле: • запутанное состояние — состояние сложной системы, которое не представимо как произведение состояний при данном разбиении на подсистемы; 7.5. К ВАНТОВАЯ ( НЕ ) ЛОКАЛЬНОСТЬ 219 • нефакторизуемое состояние — состояние сложной системы, кото- рое не представимо как произведение состояний при произвольном разбиении на подсистемы; • зацепленное состояние — состояние подсистемы, входящей в сложную систему в запутанном (при выделении данной подсистемы) состоянии. Является ли данное состояние запутанным зависит от того, как слож- ная система разбита на подсистемы. Для системы в запутанном состоянии состояния подсистем зацепле- ны (квантово коррелированы) друг с другом. В этом случае мы не можем определить состояния подсистем через волновые функции или матрицы плотности так, чтобы по состояниям подсистем можно было восстановить состояние сложной системы (см. 4.8.2 «Матрица плотности для подсисте- мы*»). Если в запутанном состоянии зацеплены состояния подсистем, кото- рые удалены друг от друга в пространстве, то такие запутанные состояния называются нелокальными состояниями. 7.5.2. Зацепленные состояния при селективном измерении (ф*) Если измерению подвергается подсистема, входящая в некоторую сложную систему, то оператор ˆ A 1 ∈ H 1 ⊗ H ∗ 1 , действующий на состоя- ние подсистемы, следует заменить на оператор ˆ A 1+2 = ˆ A 1 ⊗ ˆ1 2 , где ˆ 1 2 ∈ H 2 ⊗ H ∗ 2 — единичный оператор, действующий на остальную часть сложной системы. Аналогичный вид имеют и проекторы, переводящие сос- тояние до измерения, в состояние после измерения при определ¨енном ис- ходе: ˆ P 1+2 = ˆ P 1 ⊗ ˆ1 2 Если состояния подсистем незацеплены, то состояние системы представи- мо в виде произведения состояний подсистем |ψ = |ψ 1 |ψ 2 , и после из- мерения состояние второй подсистемы не изменяется: ( ˆ P 1 ⊗ ˆ1 2 ) |ψ 1 |ψ 2 = ( ˆ P 1 |ψ 1 )(ˆ 1 2 |ψ 2 ) = ( ˆ P 1 |ψ 1 ) |ψ 2 В этом случае, если производить измерения над второй подсистемой, то вероятности исходов не будут зависеть от того, что было ранее сделано с первой подсистемой. Однако, если состояния подсистем зацеплены, то результат измере- ния над второй подсистемой может зависеть от того, что ранее происхо- 220 Г ЛАВА 7 дило с первой. Пусть, например, исходное состояние имело вид |ψ 1 |ψ 2 + + |ψ 1 |ψ 2 , тогда ( ˆ P 1 ⊗ ˆ1 2 )( |ψ 1 |ψ 2 + |ψ 1 |ψ 2 ) = ( ˆ P 1 ⊗ ˆ1 2 ) |ψ 1 |ψ 2 + ( ˆ P 1 ⊗ ˆ1 2 ) |ψ 1 |ψ 2 = = ( ˆ P 1 |ψ 1 ) |ψ 2 + ( ˆ P 1 |ψ 1 ) |ψ 2 Если векторы ˆ P 1 |ψ 1 и ˆ P 1 |ψ 1 параллельны (например, если проектор ˆ P 1 является проектором на одномерное пространство ˆ P 1 = |φ 1 φ 1 |), то ˆ P 1 |ψ 1 = c |φ 1 , c = φ 1 |ψ 1 , ˆ P 1 |ψ 1 = c |φ 1 , c = φ 1 |ψ 1 В этом случае после измерения состояние «распутывается»: ( ˆ P 1 ⊗ ˆ1 2 )( |ψ 1 |ψ 2 + |ψ 1 |ψ 2 ) = |φ 1 (c |ψ 2 + c |ψ 2 ). Амплитуды c и c , с которыми состояния |ψ 2 и |ψ 2 входят в суперпози- цию, зависят от того, в каком состоянии |φ 1 оказалась после измерения подсистема-1. Состояние |φ 1 является собственным состоянием операто- ра наблюдаемой, которая измерялась для подсистемы-1. И хотя наблюда- тель-1 не может влиять на квантовые вероятности исходов данного конкрет- ного измерения, он может выбрать какую именно наблюдаемую мерить. Результат его выбора после измерения мгновенно отразится на состоянии подсистемы-2. В этом состоит нелокальность квантовой механики. Рис. 7.8. Кадры из фильма «Высокий блондин в ч¨ерном ботинке» (второй кадр дан в зеркальном отражении, для соответствия мысленному эксперименту). Например, если мы имеем перепутанное состояние двух спинов, отве- чающее суммарному спину 0: | ↑ | ↓ − | ↓ | ↑ 2 = | → | ← − | ← | → 2 , 7.5. К ВАНТОВАЯ ( НЕ ) ЛОКАЛЬНОСТЬ 221 где | → = | ↑ + | ↓ √ 2 , | ← = | ↓ − | ↑ √ 2 , (7.14) то обнаружение 1-й частицы в состоянии спин вверх | ↑ или спин вниз | ↓ , спин вправо | → или спин влево | ← автоматически переводит 2-ю частицу в состояние с противоположным направлением спина. Наблюда- тель-1 может при этом выбрать будет ли он измерять проекцию спина на ось вверх-вниз (и обнаружит | ↑ или | ↓ ), или на ось вправо-влево (и об- наружит | → или | ← ), хотя и не может предрешить результат выбранного измерения. Если бы наблюдатель-1 вс¨е время измерял один и тот же оператор, то квантовая нелокальность была бы полностью эквивалентна классической «нелокальности», возникающей тогда, когда мы, обнаружив, что надели на правую ногу ч¨ерный ботинок, а на левую коричневый, мгновенно опреде- ляем, что дома остался левый ч¨ерный ботинок и правый коричневый (см. рис. 7.8). В классической физике мы не можем обнаружить ботинок в сос- тоянии ч¨ерный+коричневый √ 2 или коричневый −ч¨ерный √ 2 , но в квантовой физике спин электрона может быть направлен вверх+вниз √ 2 = вправо или вниз −вверх √ 2 = влево (см. (7.14)). Как мы увидим далее, квантовая нелокальность не может быть исполь- зована для передачи со сверхсветовой скоростью какой-либо информации. Чтобы эту нелокальность обнаружить, наблюдатели 1 и 2 должны провести серию измерений над запутанными состояниями и убедиться, что их ре- зультаты скоррелированы между собой. Однако результаты каждого наблю- дателя в отдельности никаких странностей не проявляют. (См. следующие разделы.) 7.5.3. Зацепленные состояния при неселективном измерении (ф*) Выше мы увидели, что измерение, совершаемое наблюдателем-1 над одной подсистемой запутанной системы, может мгновенно влиять на сос- тояние другой подсистемы. Мы рассматривали это измерение как селектив- ное, т. е. предполагали, что его результат известен наблюдателю-2, который экспериментирует со второй частью системы. Однако наблюдатель-2 не мо- жет знать волновую функцию своей собственной подсистемы-2, до тех пор пока ему не сообщили результаты измерения наблюдателя-1, а до тех пор он может говорить лишь о вероятности той или иной волновой функции подсистемы-2. 222 Г ЛАВА 7 Таким образом, если экспериментаторы вместе с подсистемами удале- ны друг от друга, то результаты наблюдателя-1 сразу после измерения не известны наблюдателю-2, а значит измерение над подсистемой-1 с точки зрения наблюдателя-2 следует рассматривать как неселективное и описы- вать состояния подсистем в помощью матриц плотности: ˆ ρ 1 = tr 2 ˆ ρ, ρ 1 (x 1 ; x 2 ) = dy ρ(x 1 , y; x 2 , y). При вычислении частичного следа на результат влияют только диагональ- ные по переменным интегрирования y компоненты матрицы полной матри- цы плотности. При неселективном измерении наблюдаемой величины a(y) (комму- тирующей (одновременно измеримой) с y и описывающей подсистему-2) в матрице плотности обнуляются все компоненты ρ(x 1 , y 1 ; x 2 , y 2 ), для ко- торых a(y 1 ) = a(y 2 ): ρ после (x 1 , y 1 ; x 2 , y 2 ) = ρ(x 1 , y 1 ; x 2 , y 2 ) · δ a(y 1 ),a(y 2 ) Диагональные по y компоненты матрицы плотности при этом не меняются, поэтому не меняется матрица плотности для подсистемы-1. Какую бы наблюдаемую ˆ A для подсистемы-2 мы не измеряли, мы можем выбрать в качестве y набор наблюдаемых, коммутирующих с ˆ A, и представить наблюдаемую в виде функции a(y). Таким образом, никакое неселективное наблюдение, выполненное над подсистемой-2, не может изменить состояния (матрицу плотности) подсистемы-1 и наоборот. В этом состоит локальность квантовой меха- ники. Как мы только что убедились, описанная выше нелокальность кванто- вой механики проявляется только для селективных измерений, а значит она не может привести к мгновенной передаче информации на расстоянии и не противоречит специальной теории относительности. 7.5.4. Классические измерения (ф*) Почти все результаты, которые были получены для селективных и неселективных измерений выше, можно повторить и для классических измерений. Состояния классической системы, состоящей из двух подсистем, мы можем описать совместным распределением вероятностей (x, y), где на- боры наблюдаемых x и y описывают первую и вторую подсистемы соот- ветственно. 7.5. К ВАНТОВАЯ ( НЕ ) ЛОКАЛЬНОСТЬ 223 Состояние является коррелированным (аналог запутанного), если оно не может быть представлено как произведение распределений для от- дельных подсистем: (x, y) = 1 (x) · 2 (y). Если над подсистемой-2 совершается селективное измерение и в ре- зультате установлено, что y ∈ W (W — область с ненулевым объ¨емом), то состояние системы в целом умножится на характеристическую функцию (см. (3.10)) множества W : после (x, y) = (x, y) · I W (y). При точном измерении y, показавшем, что y = y 0 , распределение надо аналогично умножить на δ-функцию: после (x, y) = (x, y) · δ(y − y 0 ). При таком измерении новое распределение уже оказывается некоррелиро- ванным (т. е. представляется как произведение независимых распределений для подсистемы-1 (x, y 0 ) и подсистемы-2 δ(y − y 0 )). Распределение для подсистемы-1 получается интегрированием по пе- ременным подсистемы-2. Таким образом, до измерения мы имеем 1 (x) = dy (x, y), (7.15) а после селективного измерения 1после (x) = (x, y 0 ) или 1после (x) = W dy (x, y). Таким образом, селективное измерение, выполненное над подсистемой-2, мгновенно изменило распределение вероятностей для подсистемы-1. Если же измерение над подсистемой-1 является неселективным, то распределение вероятностей для подсистемы-2 неизвестно, и мы должны усреднить это распределение по всем возможным y, что снова, как и до измерения, да¨ет (7.15). То есть неселективное измерение, выполненное над одной подсистемой, в классической теории не может изменить распределе- ние вероятностей для другой подсистемы. 224 Г ЛАВА 7 Таким образом, все рассуждения о селективных и неселективных изме- рениях систем в запутанных состояниях переносятся из квантовой теории в классическую за одним принципиальным исключением: в классической теории любые наблюдаемые считаются одновременно измеримыми (вспом- ним ещ¨е раз ботинок Пьера Ришара, рис. 7.8). Все мгновенные изменения классических состояний могут интерпретироваться как изменение нашего знания о системе. 7.5.5. Относительные состояния (ф*) Корреляции между состояниями подсистем возможны не только в кван- товой теории, но и в классической теории вероятностей, там для описания корреляций могут использоваться условные вероятности: вероятности из- мерения для одной подсистемы, при условии, что измерение для другой подсистемы дало определ¨енный результат. Таким образом, состояние (рас- пределение вероятностей) для сложной системы описывается совместным распределением вероятностей (x, y), где x и y нумеруют возможные чистые состояния подсистемы-1 и под- системы-2. Условное ненормированное распределение вероятностей для подсистемы-1, при условии, что измерение для подсистемы-2 дало y = y 0 , получается фиксированием значения второго аргумента: y 0 (x) = (x, y 0 ). (7.16) Аналогично условному распределению вероятности, для квантовых подсистем в зацепленном состоянии Х. Эверетт III вв¨ел относительное сос- тояние — состояние, в котором оказывается подсистема-1, при условии, что подсистема-2 была найдена в определ¨енном состоянии. Чистое состоя- ние сложной системы описывается заданием совместной волновой функции (совместных амплитуд вероятности) ψ(x, y), где x и y (полные наборы независимых наблюдаемых для подсистем 1 и 2) нумеруют базисные чистые состояния подсистемы-1 и подсистемы-2. Относительная ненормированная волновая функция (относительное состояние) зада¨ет условные амплитуды вероятности для подсистемы-1, при условии, что измерение для подсистемы-2 дало y = y 0 . Относительное состояние получается фиксированием значения второго аргумента: ψ y 0 (x) = ψ(x, y 0 ). (7.17) 7.5. К ВАНТОВАЯ ( НЕ ) ЛОКАЛЬНОСТЬ 225 Оно зада¨ет состояние подсистемы-1, при условии, что над подсистемой-2 было проведено измерение, которое дало определ¨енный результат y = y 0 В выражении относительное состояние слово относительное упот- ребляется в смысле, отчасти аналогичным используемому в теории отно- сительности: состояние подсистемы-1, относительно состояния y = y 0 подсистемы-2. Если подсистема-2 выступает в роли наблюдателя, то мы получаем состояние системы относительно состояния наблюдателя (т. е. задание состояния наблюдателя аналогично заданию системы отсч¨ета в спе- циальной теории относительности 16 ). В частности, если известна унитар- ная эволюция сложной системы ψ(x, y; t), и мы задали определ¨енную вре- менную эволюцию y = y 0 (t) состояния наблюдателя (подсистемы-2), то можно записать соответствующую ей временную эволюцию относительно- го состояния подсистемы-1: ψ y 0 (t) (x; t) = ψ(x, y 0 (t); t). Если бы наблюдатель (подсистема-2) мог задавать свою собственную эволюцию произвольным образом, или/т. е. если бы он мог производить сам над самими собой измерения с желаемым произвольно заданным ис- ходом, то он мог бы тем самым управлять эволюцией квантовой системы (подсистема-1), с которой он взаимодействует (см. 9.3.9 «Активное созна- ние (фф*)»). Мы можем записать относительное состояние (7.17) с помощью опе- ратора проекции на подпространство y = y 0 для подсистемы-2: ˆ P y 0 = ˆ 1 1 ⊗ |y 0 y 0 |. (7.18) Здесь ˆ 1 1 — единичный оператор для подсистемы-1, а |y 0 y 0 | — проектор на состояние y = y 0 для подсистемы-2: |ψ y 0 ⊗ |y 0 = ˆ P y 0 |ψ ⇒ |ψ y 0 подсистема-1 = y 0 подсистема-2 | ψ система 1+2 (7.19) Обратите внимание, что, поскольку |y 0 описывает подсистему-2, а |ψ — сложную систему из подсистем 1 и 2, скобка y 0 |ψ да¨ет не число, а состоя- ние подсистемы-1. 16 В некоторых русских переводах статьи “Relative State” Formulation of Quantum Mechanics, Hygh Everett, III, Reviews of Modern Physics, Vol. 29, N. 3, 1957 относительные состояния пе- реводятся как соотнес¨енные. Такой перевод следует считать неправильным, т. к. он не демон- стрирует той идейной связи с теорией относительности, которая послужила основой работы и которую Эверетт стремился отразить в заголовке. 226 Г ЛАВА 7 Формула (7.19) уже по существу не использует разложение рассмат- риваемого состояния |ψ по базису, т. е. того, какие именно наборы наблю- даемых мы выбрали в качестве аргументов волновой функции. Мы мо- жем переписать (7.19) как геометрическую (не зависящую от выбора ба- зиса) формулу для состояния относительно произвольного состояния |φ подсистемы-2: |ψ φ 0 ⊗ |φ 0 = (ˆ 1 1 ⊗ |φ 0 φ 0 |) ˆ P φ0 |ψ ⇒ |ψ φ 0 = φ 0 |ψ . (7.20) Зная относительные состояния |ψ φ 0 подсистемы-1, относительно всех возможных состояний |φ 0 подсистемы-2 мы можем восстановить состоя- ние |ψ сложной системы. При этом мы можем забыть о редукции волно- вой функции при измерении, если мы включили наблюдателя в сложную систему в духе многомировой интерпретации (9.3.7 «Многомировая интер- претация Эверетта (фф)»). Использование относительных состояний также полезно для понима- ния при моделировании измерительного прибора с точки зрения квантовой механики (8.2 «Моделирование измерительного прибора*»). Относительные состояния были введены Эвереттом для того, что- бы обосновать возможность применения квантовой механики к Вселенной в целом, как к замкнутой квантовой системе. Это прямо связано с проб- лемой квантования общей теории относительности (созданием квантовой теории гравитации). При этом наблюдаемое нами состояние Вселенной ин- терпретируется как относительное состояние для данного состояния наблю- дателя (одно из многих возможных=сосуществующих). |