Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
4.8. Матрица плотности* Рис. 4.4. Лев Давыдович Ландау (1908–1968). До сих пор мы описывали состояния с по- мощью векторов состояния (волновых функций), однако существует другой, более общий способ описания состояния квантовой системы — матри- ца плотности. Матрица плотности была введена Л. Д. Лан- дау и И. фон Нейманом в 1927 году. Наибольшее, что мы в принципе можем знать о состоянии квантовой системы, — вектор состоя- ния |ψ (волновая функция ψ(x)) с точностью до произвольного фазового множителя (если фикси- ровать нормировку). Поэтому вектор состояния называют ещ¨е чистым состоянием. Такое состоя- ние может быть описано матрицей плотности (на самом деле не матрицей, а оператором) ˆ ρ 1 = |ψ ψ|, ψ |ψ = 1. (4.58) Если мы не знаем в каком чистом состоянии находится система, но зна- ем с какой вероятностью p k какой вектор состояния |ψ k ей соответствует, то нам известно смешанное состояние. Такое состояние может быть опи- сано матрицей плотности ˆ ρ = k |ψ k p k ψ k |, ψ k |ψ k = 1. (4.59) Состояния |ψ k нормированы, но не обязательно ортогональны. В общем случае матрица плотности — неотрицательно определ¨енный эрмитов оператор с единичным следом, т. е. ˆ ρ = ˆ ρ † , ψ |ˆρ|ψ 0, ∀ψ ∈ H, tr ˆ ρ = 1. (4.60) Смысл этих условий: вещественность и неотрицательность вероятности, нормировка суммарной вероятности на единицу. От условия единичного следа матрицы плотности можно отказаться, приняв, что матрица плотнос- ти определена с точностью до вещественного положительного множителя. Тогда значение следа зада¨ет нормировку матрицы плотности. Нормированная на единицу матрица плотности однозначно определя- ется состоянием системы и содержит всю информацию, необходимую для 110 Г ЛАВА 4 описания системы, т. е. позволяет вычислять временную эволюцию сис- темы (про эволюцию на языке матрицы плотности см. ниже в главе 5 «Принципы квантовой механики») любые вероятности, получаемые при из- мерениях, и средние любых наблюдаемых. Вычисление среднего значение зада¨ется следующим образом: ˆ A ρ = tr( ˆ Aˆ ρ). (4.61) Используя линейность следа, возможность циклически переставлять сомножители (включая бра- и кет-векторы) под следом (4.52), убедимся на примере матриц плотности (4.58) и (4.59), что вычисляемое по фор- муле (4.61) соответствует принятым нами ранее для волновых функций правилам: ˆ A ρ 1 = tr( ˆ A ˆ ρ 1 ) = tr( ˆ A |ψ ψ|) = tr( ψ| ˆ A |ψ ) = ψ| ˆ A |ψ = ˆ A ψ , ˆ A ρ = tr( ˆ A ˆ ρ) = tr ˆ A k |ψ k p k ψ k | = k p k tr( ˆ A |ψ k ψ k |) = = k p k ψ k | ˆ A |ψ k = k p k ˆ A ψ k Таким образом, в одном случае мы получили то же самое среднее, что и для волновой функции, а в другом — среднее взвешенное с весами p k от средних значений оператора по чистым состояниям ψ k Вероятность обнаружения системы, описываемой матрицей плотности, в состоянии, принадлежащем некоторому подпространству, как и для слу- чая исходного чистого состояния (4.29), зада¨ется как среднее от ортого- нального проектора ˆ P на соответствующее подпространство p = ˆ P ρ = tr( ˆ P ˆ ρ). (4.62) Вычисление вероятностей и изменение матрицы плотности при измерении будет обсуждено ниже в главе 5 «Принципы квантовой механики». 4.8.1. Роль и смысл матрицы плотности* Исходя из привед¨енных выше формул для средних в состоянии, за- даваемом матрицей плотности, мы можем заключить, что если волновые функции (чистые состояния) учитывают только чисто квантовые неопре- дел¨енности наблюдаемых величин, то матрицы плотности (смешанные сос- тояния) учитывают как квантовые неопредел¨енности, так и наше клас- сическое незнание того, в каком именно квантовом состоянии находится система. 4.8. М АТРИЦА ПЛОТНОСТИ * 111 Заметим, что представление матрицы плотности через волновые функ- ции в виде (4.59) неоднозначно. Таким образом, разделение квантовых и классических вероятностей в матрице плотности в принципе невозможно. Задаваемое матрицей плотности смешанное состояние (4.59) можно рассматривать как среднее взвешенное от чистых состояний (4.58). Здесь имеется аналогия с классической механикой, где смешанное состояние, за- даваемое распределением вероятностей в фазовом пространстве (Q, P ), также может рассматриваться как среднее взвешенное от чистых состоя- ний ч (Q, P ) = δ(Q − Q 0 ) δ(P − P 0 ). Матрица плотности является естественным языком для описания сос- тояния квантовой системы в статистической физике. В частности, распре- деление Гиббса, при котором вероятность квантового состояния системы с энергией E пропорциональна e −E/T , где T — температура, выраженная в единицах энергии (kT , если ввести постоянную Больцмана k), зада¨ется следующей матрицей плотности нормированной на статсумму: ˆ ρ = e − ˆ H T , Z = tr ˆ ρ. Среди физиков нет единства в том, считать ли более фундаменталь- ным описание на языке матрицы плотности, или на языке волновой функ- ции. Матрица плотности предоставляет нам более общее описание, но при этом вносимые матрицей плотности вероятности можно объяснить просто незнанием точного состояния системы (волновой функции). Кроме того, принцип суперпозиции и явление интерференции более удобно описывать с использованием волновых функций, а не матриц плотности. 4.8.2. Матрица плотности для подсистемы* Целое больше, чем сумма частей. Аристотель, «Метафизика» Описание квантовой системы на языке матрицы плотности становит- ся необходимым, когда система является частью (подсистемой) некоторой большой системы. Чтобы перейти от системы к подсистеме, необходимо усреднить (взять частичный след) по переменным, описывающим то, что не попадает в выбранную подсистему: ˆ ρ 1 = tr 2 ˆ ρ, ρ 1 (x; x ) = ρ(x, y; x , y) dy. (4.63) 112 Г ЛАВА 4 При таком переходе от системы к подсистеме чистое состояние может перейти в смешанное. Возьм¨ем, например, следующее состояние большой системы |Ψ = A 1 |φ 1 |χ 1 + A 2 |φ 2 |χ 2 Здесь |φ 1 и |φ 2 — два ортонормированных состояния подсистемы, |χ 1 и |χ 2 — два ортонормированных состояния остатка системы (термостата), A 1 = e iα 1 √ p 1 и A 2 = e iα 2 √ p 2 (α 1 , α 2 , p 1 , p 2 ∈ R + , |A 1 | 2 + |A 2 | 2 = p 1 + + p 2 = 1) — комплексные амплитуды членов суперпозиции. Матрица плотности исходной системы имеет вид ˆ ρ = |Ψ Ψ| = A 1 A ∗ 1 |φ 1 |χ 1 χ 1 | φ 1 | + A 2 A ∗ 2 |φ 2 |χ 2 χ 2 | φ 2 | + + A 1 A ∗ 2 |φ 1 |χ 1 χ 2 | φ 2 | + A 2 A ∗ 1 |φ 2 |χ 2 χ 1 | φ 1 |. ˆ ρ уже не зависит от общего фазового множителя (который вс¨е равно яв- ляется нефизическим), а зависит только от вероятностей p 1 , p 2 и разности фаз (α 1 − α 2 ). Возьм¨ем теперь частичный след по переменным, описывающим тер- мостат, при этом мы можем циклически переставлять под tr 2 только мно- жители χ i , но не φ i : ˆ ρ 1 = tr 2 |Ψ Ψ| = A 1 A ∗ 1 tr 2 |φ 1 |χ 1 χ 1 | φ 1 | + A 2 A ∗ 2 tr 2 |φ 2 |χ 2 χ 2 | φ 2 | + + A 1 A ∗ 2 tr 2 |φ 1 |χ 1 χ 2 | φ 2 | + A 2 A ∗ 1 tr 2 |φ 2 |χ 2 χ 1 | φ 1 | = = A 1 A ∗ 1 tr 2 |φ 1 χ 1 |χ 1 φ 1 | + A 2 A ∗ 2 tr 2 |φ 2 χ 2 |χ 2 φ 2 | + + A 1 A ∗ 2 tr 2 |φ 1 χ 2 |χ 1 φ 2 | + A 2 A ∗ 1 tr 2 |φ 2 χ 1 |χ 2 φ 1 | = = p 1 |φ 1 φ 1 | + p 2 |φ 2 φ 2 |. Теперь мы полностью потеряли информацию о фазах α i Аналогично мы можем записать матрицу плотности для термостата, взяв частичный след по переменным подсистемы ˆ ρ 2 = tr 1 |Ψ Ψ| = p 1 |χ 1 χ 1 | + p 2 |χ 2 χ 2 |. Мы видим, что, поскольку матрицы плотности для обеих подсистем не со- держат какой-либо информации о фазах α i знание ˆ ρ 1 и ˆ ρ 2 не позволяет восстановить матрицу плотности всей системы ˆ ρ. В этом смысле, кванто- вой механике присущ некоторый холизм, т. е. описание сложной системы не сводится к описанию всех е¨е подсистем (см. эпиграф). Может показаться, что аналогичная ситуация имеет место в классичес- кой механике для смешанных состояний. Пусть (Q 1 , Q 2 , P 1 , P 2 ) — распре- 4.8. М АТРИЦА ПЛОТНОСТИ * 113 деление вероятностей для сложной системы, тогда распределение вероят- ностей для подсистем имеют вид 1 (Q 1 , P 1 ) = (Q 1 , Q 2 , P 1 , P 2 ) dQ 2 dP 2 , 2 (Q 2 , P 2 ) = (Q 1 , Q 2 , P 1 , P 2 ) dQ 1 dP 1 При этом общее распределение (Q 1 , Q 2 , P 1 , P 2 ) в случае общего поло- жения (когда не представимо в виде произведения функций от Q 1 , P 1 и Q 2 , P 2 ) не восстанавливается по распределениям 1 (Q 1 , P 1 ) и 2 (Q 2 , P 2 ), описывающим подсистемы. Однако в классической механике (точнее даже в классической теории вероятностей) это свойство имеет место только для смешанных состояний. Если классическое состояние сложной системы является чистым, то (Q 1 , Q 2 , P 1 , P 2 ) = δ(Q 1 − Q 0 1 )δ(Q 2 − Q 0 2 )δ(P 1 − P 0 1 )δ(P 2 − P 0 2 ), состояния подсистем также оказываются чистыми 1 (Q 1 , P 1 ) = δ(Q 1 − Q 0 1 )δ(P 1 − P 0 1 ), 2 (Q 2 , P 2 ) = δ(Q 2 − Q 0 2 )δ(P 2 − P 0 2 ), прич¨ем состояние сложной системы может быть восстановлено (Q 1 , Q 2 , P 1 , P 2 ) = 1 (Q 1 , P 1 ) 2 (Q 2 , P 2 ). В квантовом случае, как мы показали выше, чистое состояние сложной системы в общем случае не восстановимо по состояниям подсистем. Чистое состояние системы может дать смешанное для подсистемы. Возможна и обратная ситуация, когда смешанное состояние системы да¨ет чистое для подсистемы. Пусть ˆ ρ = ˆ ρ 1 ⊗ ˆρ 2 Тогда если ˆ ρ 1 = |ψ ψ| — чистое состояние подсистемы 1, а ˆρ 1 — смешан- ное состояние подсистемы 2, то состояние сложной системы ˆ ρ является смешанным. В данном случае ˆ ρ 1 = tr 2 ( ˆ ρ 1 ⊗ ˆρ 2 ) = ˆ ρ 1 (tr 2 ˆ ρ 2 ) =1 , ˆ ρ 2 = tr 1 ( ˆ ρ 1 ⊗ ˆρ 2 ) = (tr 1 ˆ ρ 1 ) =1 ˆ ρ 2 114 Г ЛАВА 4 4.9. Наблюдаемые* Наблюдаемые величины (наблюдаемые) в физике — величины, которые мы можем в принципе измерить на эксперименте. В классической механи- ке в полностью определ¨енном состоянии наблюдаемая — просто функция от состояния системы. Поэтому в классике вопрос о наблюдаемых часто обходится. В квантовой теории в одном и том же состоянии результаты измерения одной и той же наблюдаемой могут быть различны. 4.9.1. Квантовые наблюдаемые* В стандартной терминологии квантовой механики наблюдаемые вели- чины, или просто наблюдаемые, отождествляются с эрмитовыми операто- рами. Спектр наблюдаемой, который мы уже упоминали как набор значений, которые она может принимать, отождествляется со спектром оператора — набором его собственных чисел. Состояния, для которых значение наблю- даемой определено и равно некоторому собственному числу, оказывают- ся собственными состояниями соответствующего оператора, отвечающими данному собственному числу. Каждой наблюдаемой ˆ A мы можем сопоставить е¨е спектральное раз- ложение: разбиение пространства чистых состояний H на подпространства H α = ˆ P α H, в которых значение данной наблюдаемой определено и равно некоторому вещественному числу α. (В данном случае мы обсуждаем слу- чай дискретного спектра.) Оператор ˆ A в этом случае удобно представить через собственные числа α и соответствующие проекторы ˆ P α : ˆ A = ˆ A † = α α ˆ P α , α ∈ V ⊂ R, α ˆ P α = ˆ 1, ˆ P † α = ˆ P α , ˆ P α ˆ P β = δ αβ ˆ P α Через спектральное разложение мы можем легко определить действие оператора наблюдаемой на состояние ˆ A |ψ = α α ˆ P α |ψ и среднее значение наблюдаемой в данном состоянии ˆ A = ψ | ˆ A |ψ = α α ψ | ˆ P α |ψ = α α p α , 4.9. Н АБЛЮДАЕМЫЕ * 115 где p α = ψ | ˆ P α |ψ — вероятность того, что измеренное значение наблюдаемой ˆ A совпад¨ет с α. Для непрерывного спектра суммы по α следует заменить на интегралы по проекторнозначной мере (см. 5.3.1 «Проекторнозначная мера**»). На множестве наблюдаемых возможны следующие операции, резуль- татом которых снова являются наблюдаемые: • c ˆ A — умножение на вещественное число c ∈ R; • ˆ A + ˆ B — сложение наблюдаемых ˆ A и ˆ B; • ˆ A • ˆ B = ˆ A ˆ B + ˆ B ˆ A 2 — симметризованное умножение наблюдаемых; • { ˆ A, ˆ B } q = 1 i¯ h [ ˆ A, ˆ B] — квантовая скобка Пуассона. Квантовая скобка Пуассона, как и коммутатор, является скобкой Ли, т. е. линейна по обоим аргументам, антисимметрична и удовлетворяет тож- деству Якоби: { ˆ A, { ˆ B, ˆ C } q } q + { ˆ B, { ˆ C, ˆ A } q } q + { ˆ C, { ˆ A, ˆ B } q } q = 0. Таким образом, пространство наблюдаемых оказывается веществен- ным линейным пространством с двумя операциями умножения (симмет- ризованное умножение и скобка Пуассона), одна из которых симметрична, а вторая — скобка Ли. Пространство наблюдаемых с перечисленными выше операциями на- зывается алгеброй наблюдаемых. Интересно, что состояние системы, задаваемое как матрица плотности, также оказывается элементом алгебры наблюдаемых. На самом деле не всякий элемент алгебры наблюдаемых может быть и в самом деле измерен, но с точки зрения математического языка теории это пока 15 не важно. 4.9.2. Классические наблюдаемые** В теоретической механике наблюдаемыми (классическими наблюдаемы- ми) оказываются вещественные функции на фазовом пространстве F (Q, P ). 15 Из принципиальной неизмеримости некоторых наблюдаемых мы ещ¨е извлеч¨ем понятие калибровочной симметрии. 116 Г ЛАВА 4 Для наблюдаемой F для каждого состояния, заданного определ¨енными значениями координат и импульсов (Q 0 , P 0 ) (классическое чистое состоя- ние), задано определ¨енное значение наблюдаемой F (Q 0 , P 0 ). Для состояния, задаваемого плотностью вероятности (Q, P ) (класси- ческое смешанное состояние), определено среднее значение F = dQ dP (Q, P ) · F (Q, P ). На множестве классических наблюдаемых возможны операции, анало- гичные введ¨енным выше для квантовых наблюдаемых: • cF — умножение на вещественное число c ∈ R; • F + G — поточечное сложение наблюдаемых F и G; • F •G = F (Q, P )·G(Q, P ) — обычное поточечное умножение функций; • {F, G} = k ∂F ∂Q k ∂G ∂P k − ∂G ∂Q k ∂F ∂P k — классическая скобка Пуассона. Классическая скобка Пуассона также является скобкой Ли. Таким образом, мы получаем алгебру классических наблюдаемых, на которой заданы операции, аналогичные операциям, введ¨енным выше для квантовых наблюдаемых. Интересно, что состояние классической системы, задаваемое как рас- пределение вероятностей (Q, P ), также оказывается элементом алгебры классических наблюдаемых. 4.9.3. Вещественность наблюдаемых*** Как квантовая, так и классическая алгебра наблюдаемых устроены так, что значения наблюдаемых величин непременно должны быть веществен- ными. Однако значения измеряемых на эксперименте наблюдаемых величин вовсе не обязаны быть вещественными. Понятно, что с помощью нормаль- ных операторов мы можем легко ввести комплексные наблюдаемые, но та- кое обобщение малоинтересно, т. к. такая комплексная наблюдаемая будет просто сводиться к двум коммутирующим вещественным наблюдаемым. Так что в этом разделе мы обсудим более общий случай. 4.9. Н АБЛЮДАЕМЫЕ * 117 Рис. 4.5. Окрас кота — то- же наблюдаемая величина, но мы чаще описываем е¨е слова- ми, чем числами. Пусть, например, в городе живут коты разного цвета. Наблюдатель ловит случайным образом одного из котов и определяет, что с равной вероятностью 1 3 он может быть ры- жим, ч¨ерным или полосатым. Конечно, мы можем договориться и про- нумеровать окрасы тем или иным способом, например так: ч¨ерный = 1, рыжий = 2, полосатый = 3. После этого мы посчитаем среднее значение кошачьего окраса и вычислим (поскольку все три окраса равновероятны), что «средний кот» у нас имеет окрас номер 2 (рыжий). Смысла это утвер- ждение не имеет практически никакого, т. к. перенумерацией цветов мы можем сделать «средним» любой цвет из тр¨ех. Конечно, мы можем попытаться как-то «обнаучить» нумерацию котов и приписать каждой масти физически осмысленное число, например, аль- бедо (коэффициент отражения) кошачьей шерсти, но такое «обнаучивание» имеет смысл отнюдь не всегда. Поэтому, вместо того, чтобы нумеровать кошачьи расцветки, можно честно признать, что некоторые наблюдаемые величины естественно опи- сывать не числами из R, а элементами какого-либо другого множества. На этом множестве операции умножения на вещественное число, операции умножения элементов множества друг на друга, операция взятия средне- го и операция взятия скобки Пуассона могут быть не определены, и в этой неопредел¨енности нет ничего страшного. Для предсказания результата измерения нам на самом деле нужна только одна операция — операция вычисления вероятности того или иного исхода измерения в данном состоянии. В классическом случае такая наблюдаемая по-прежнему зада¨ется функцией F (Q, P ), но значения функции F уже не обязаны быть веще- ственными, а могут принадлежать произвольному множеству V : F : (Q, P ) → F (Q, P ) ∈ V. Ни одна из операция необходимых для алгебры наблюдаемых, не является при этом обязательной. В квантовом случае нам достаточно задать разбиение пространства на ортогональные подпространства для дискретного спектра (или проектор- 118 Г ЛАВА 4 нозначную меру для непрерывного спектра): { ˆ P α } α ∈V , α ˆ P α = ˆ 1, ˆ P † α = ˆ P α , ˆ P α ˆ P β = δ αβ ˆ P α Этого достаточно, чтобы определить вероятность любого исхода измере- ния α: p α = ψ | ˆ P α |ψ . Умножать волновую функцию на элемент множества V ⊂ C мы не можем, так что такой наблюдаемой нельзя сопоставить оператор. Соответственно, нельзя вычислить и среднее значение. Понятно, что мы можем вручную перенумеровать элементы V веще- ственными числами и вс¨е-таки определить оператор наблюдаемой величи- ны, но после этого не следует удивляться тому, что получившийся искус- ственный оператор вед¨ет себя неестественным образом. Привед¨ем пример такого неестественного оператора. Угол поворота вокруг какой-либо оси мы можем задавать веществен- ным числом. При этом сложение таких углов, умножение их на веществен- ные числа и усреднение будет иметь хороший геометрический смысл. Од- нако угловая координата (для определ¨енности возьм¨ем угол ϕ в цилиндри- ческих координатах) такого хорошего смысла уже не имеет. Нулевое зна- чение угловой координаты, в отличие от нулевого значения угла поворота, никак не выделено, это лишает смысла операции сложения угловых коор- динат, их умножения на число и усреднения. Операция вычитания угловых координат, тем не менее, имеет смысл. Чтобы увидеть это, достаточно по- вернуть систему координат вокруг оси z на некоторый угол δϕ, при этом преобразовании исходные величины и результаты «нехороших» действий преобразуются по разным законом: ϕ 1 → ϕ 1 + δϕ, ϕ 1 + δϕ < 2π, ϕ 1 → ϕ 1 + δϕ − 2π, ϕ 1 + δϕ 2π, ϕ 2 → ϕ 2 + δϕ, ϕ 2 + δϕ < 2π, ϕ 2 → ϕ 2 + δϕ − 2π, ϕ 2 + δϕ 2π, (ϕ 1 + ϕ 2 ) → (ϕ 1 + ϕ 2 ) + 2δϕ, (ϕ 1 + ϕ 2 ) + 2δϕ < 2π, (ϕ 1 + ϕ 2 ) → (ϕ 1 + ϕ 2 ) + 2δϕ − 2π, 4π > (ϕ 1 + ϕ 2 ) + 2δϕ 2π, (ϕ 1 + ϕ 2 ) → (ϕ 1 + ϕ 2 ) + 2δϕ − 4π, 6π > (ϕ 1 + ϕ 2 ) + 2δϕ 4π, (ϕ 1 + ϕ 2 ) → (ϕ 1 + ϕ 2 ) + 2δϕ − 6π, (ϕ 1 + ϕ 2 ) + 2δϕ 6π. 4.10. О ПЕРАТОРЫ КООРДИНАТЫ И ИМПУЛЬСА 119 Одно из следствий этого — невозможность (в общем случае) определе- ния «среднего направления» пут¨ем усреднения оператора угловой коорди- наты. А так ли нам нужны операции алгебры наблюдаемых, если мы можем считать вероятности и без их помощи? На самом деле нам нужна скобка Пуассона, чтобы записать уравнения временной эволюции. (Здесь мы за- бегаем впер¨ед, обращаясь к материалу раздела 5.2 «Разные представления временной (унитарной) эволюции квантовой системы».) Если мы описываем временную эволюцию через состояния (представ- ление Лиувилля в классике или представление Шр¨едингера в квантовом случае), то мы должны иметь возможность подставить в скобку Пуассона: • состояние (распределение вероятностей в классике или матрицу плот- ности в квантовом случае); • гамильтониан (функцию Гамильтона в классике или оператор Гамиль- тона в квантовом случае). Если мы описываем временную эволюцию через наблюдаемые (пред- ставление Гамильтона в классике или представление Гайзенберга в кванто- вом случае), то мы должны иметь возможность подставить в скобку Пуас- сона: • наблюдаемую; • гамильтониан (функцию Гамильтона в классике или оператор Гамиль- тона в квантовом случае). Впрочем, если мы задали наблюдаемую величину не оператором, а набо- ром проекторов { ˆ P α } α ∈V и соответствующих им разреш¨енных значений α из произвольного множества V , то мы можем с помощью скобки Пуассо- на записать уравнение эволюции не для оператора наблюдаемой (который попросту отсутствует), а для проекторов ˆ P α (хороших эрмитовых операто- ров). Единственная наблюдаемая, вещественность (эрмитовость) которой для нас принципиально важна, — гамильтониан. |