Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
Интегралы движения Определив полную производную от оператора по времени, мы можем обратиться к вопросу об интегралах движения. Чтобы оператор ˆ A задавал интеграл движения достаточно, чтобы оператор явно не зависел от времени и коммутировал с гамильтонианом ∂ ˆ A ∂t = 0, [ ˆ H, ˆ A] = 0 ⇒ d ˆ A dt = 0. Такой эрмитов оператор порождает соответствующую однопараметричес- кую группу симметрий (унитарных операторов) вида e ia ˆ A . Это соответству- ет выводам раздела 11.3 «Непрерывные симметрии и законы сохранения». Правило Лейбница и коммутатор* Правило Лейбница для полной производной по времени d ˆ A ˆ B dt = ˆ A d ˆ B dt + d ˆ A dt ˆ B следует из тождества: [ ˆ A ˆ B, ˆ C] = [ ˆ A, ˆ C] ˆ B + ˆ A[ ˆ B, ˆ C]. (5.21) Эту формулу легко проверить, расписав коммутаторы в левой и правой час- тях равенства как разности произведений операторов. Эту формулу можно назвать правилом Лейбница для коммутатора, относительно операторно- го умножения. Для операторов есть ещ¨е одно естественное умножение — сам комму- татор. Два раза применив формулу (5.21), мы получаем уже правило Лейб- ница для коммутатора, относительно коммутатора 6 [[ ˆ A, ˆ B], ˆ C] = [ ˆ A ˆ B, ˆ C] − [ ˆ B ˆ A, ˆ C] = [[ ˆ A, ˆ C], ˆ B] + [ ˆ A, [ ˆ B, ˆ C]]. (5.22) 6 Обратите внимание, здесь коммутатор выступает сразу в двух ипостасях: как производная и как произведение. 140 Г ЛАВА 5 Отсюда следует: d[ ˆ A, ˆ B] dt = ˆ A, d ˆ B dt + d ˆ A dt , ˆ B . С уч¨етом антисимметрии коммутатора формула (5.22) может быть пе- реписана как тождество Якоби для коммутатора: [[ ˆ A, ˆ B], ˆ C] + [[ ˆ B, ˆ C], ˆ A] + [[ ˆ C, ˆ A], ˆ B] = 0. (5.23) Антисимметрия, линейность и наличие тождества Якоби позволяет рассматривать коммутатор как скобку Ли, задействуя в квантовой механике мощный математический аппарат теории алгебр Ли. Возможность рассмот- рения коммутатора как скобки Ли будет важна и для установления соот- ветствия с теоретической механикой, где аналогичную роль играет скобка Пуассона. Пример: эволюция волнового пакета для свободной частицы Гамильтониан для свободной частицы получается из классического на- деванием шляпок на H и p (в координатном представлении, когда волновые функции представлены как функции от координат, ˆ p = −i ∂ ∂x ) в формуле для классической функции Гамильтона (в выражении энергии через координа- ты и импульсы): ˆ H = ˆ p 2 2m Используя его, мы можем написать полные производные по времени от операторов координаты и импульса (координата и импульс не зависят от времени явно, так что частная производная по времени вклада не да¨ет): dˆ p dt = i ¯ h ˆ p 2 2m , ˆ p = 0, dˆ x dt = i ¯ h ˆ p 2 2m , ˆ x = i 2m¯ h (ˆ p [ˆ p, ˆ x] −i¯h + [ˆ p, ˆ x] −i¯h ˆ p) = ˆ p m . Мы воспользовались здесь тождеством (5.21). Формулы совпадают с классическими «с точностью до шляпок». В представлении Гайзенберга мы получаем: dˆ p г dt = 0, ˆ p г (0) = ˆ p ш ; dˆ x г dt = ˆ p г m , ˆ x г (0) = ˆ x ш 5.2. Р АЗНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ 141 Система легко интегрируется: ˆ p г (t) = ˆ p ш = ˆ p г (0); ˆ x г (t) = ˆ x ш + t ˆ p ш m = ˆ x г (0) + t ˆ p г (0) m . При усреднении по произвольной волновой функции (которая в гайзенбер- говском представлении не зависит от времени) получаем, что в среднем волновой пакет движется с постоянной скоростью: ˆ p t = ˆ p 0 ; ˆ x t = ˆ x 0 + t ˆ p 0 m . (5.24) Для вычисления среднеквадратичных отклонений нам понадобятся опера- торы ˆ x 2 г и ˆ p 2 г : ˆ p 2 г (t) = ˆ p 2 ш ; ˆ x 2 г (t) = ˆ x ш + t ˆ p ш m 2 = ˆ x 2 ш + t 2 ˆ p 2 ш m 2 + t m (ˆ p ш ˆ x ш + ˆ x ш ˆ p ш ). Для среднеквадратичных отклонений получаем: δp 2 t = ˆ p 2 t − ˆp 2 t = δp 2 0 ; (5.25) δx 2 t = ˆ x 2 t − ˆx 2 t = t 2 m 2 δp 2 0 + t m ( ˆ pˆ x + ˆ xˆ p 0 − 2 ˆx 0 ˆ p 0 ) + δx 2 0 Линейный по времени член в δx 2 t можно обнулить выбором нулевого момента времени, однако для любого t выполняется соотношение неопре- дел¨енностей δx 2 t δp 2 t ¯ h 2 4 . При больших положительных или отрица- тельных временах размер волнового пакета неограниченно расплывается, что однозначно говорит нам, что размер волнового пакета действительно никак не связан с размером самой частицы. 5.2.7. Скобка Пуассона и коммутатор* В теоретической механике наблюдаемые представляются не эрмитовы- ми операторами, как в квантовой механике, а функциями от канонических переменных (координат и импульсов), т. е. классическая наблюдаемая имеет вид F (Q, P, t). (5.26) Полная производная от классической наблюдаемой (с уч¨етом динамической эволюции системы) имеет вид dF dt = ∂F ∂t + a ∂F ∂Q a dQ a dt + ∂F ∂P a dP a dt 142 Г ЛАВА 5 Производные по времени от координат и импульсов в классической меха- нике выражаются с помощью уравнений Гамильтона: dQ a dt = ∂H ∂P a , dP a dt = − ∂H ∂Q a Где H(Q, P ) — функция Гамильтона, т. е. энергия, выраженная через коор- динаты и импульсы. Функция Гамильтона — тоже наблюдаемая, классиче- ский аналог квантового гамильтониана. Используя уравнения Гамильтона, мы можем переписать полную про- изводную от F : dF dt = ∂F ∂t + a ∂F ∂Q a ∂H ∂P a − ∂F ∂P a ∂H ∂Q a {F,H} = ∂F ∂t + {F, H}. Здесь мы обозначили сумму по a через скобку Пуассона {F, H}. Сравнивая получившееся уравнение с уравнением Гайзенберга (5.20), мы видим, что классическая скобка Пуассона соответствует коммутатору: dF dt = ∂F ∂t + {F, H} ∼ d ˆ A dt = ∂ ˆ A ∂t + 1 i¯ h [ ˆ A, ˆ H], {·, ·} ∼ 1 i¯ h [ ·, ·]. Помимо формул для полных производных от наблюдаемых величин очень важную роль играют канонические коммутационные соотношения, для которых также есть классический теоретикомеханический аналог: 1 i¯ h [ˆ q a , ˆ p b ] = δ ab , {Q a , P a } = δ ab Благодаря соответствию между коммутатором и скобкой Пуассона некоторые выкладки могут переноситься из теоретической механики и об- ратно с помощью простого изменения обозначений. Например, как бу- дет продемонстрировано ниже, гармонический осциллятор в представле- нии Гайзенберга колеблется как классический осциллятор «с точностью до шляпок» (т. е. с точностью до замены квантовых наблюдаемых классичес- кими). Похожее соответствие мы наблюдали и выше в разделе 5.2.6 «При- мер: Эволюция волнового пакета для свободной частицы», когда изучали 5.2. Р АЗНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ 143 расплывание волнового пакета свободной частицы в представлении Гай- зенберга. Однако для более сложных гамильтонианов соответствие уже не является столь точным. Связь между коммутатором и скобкой Пуассона была открыта Полем Дираком в октябре 1925 года вскоре после того, как Гайзенберг вв¨ел неви- данные ранее в физике некоммутирующие переменные. 5.2.8. Чистые и смешанные состояния в теоретической механике* Для того чтобы ясно увидеть аналоги представлений Шр¨едингера и Гайзенберга в классической механике, удобно перейти от рассмотрения чистых классических состояний, задаваемых точными значениями коорди- нат и импульсов, к смешанным классическим состояниям, задаваемым рас- пределением вероятности по координатам и импульсам. Таким образом, помимо наблюдаемых, как функций на фазовом про- странстве (5.26), мы вводим состояния (Q, P, t), (Q, P, t) > 0, dQ dP (Q, P, t) = 1, (5.27) которые также задаются как функции на фазовом пространстве. Последнее условие зада¨ет нормировку состояния на единицу. Иногда, например при рассмотрении измерения, удобно от этого условия отказаться. Среднее от наблюдаемой по состоянию зада¨ется интегралом вида , F = dQ dP F (Q, P, t) (Q, P, t), (5.28) в частности, нормировка состояния зада¨ет среднее от единицы. Мы преднамеренно не уточнили к каким классам функций относятся наблюдаемые и состояния, т. к. выбор соответствующих функциональных пространств зависит от задачи. Сейчас нам удобно выбрать для наблю- даемых и состояний пространства основных и обобщ¨енных функций по Шварцу F ∈ S = {F ∈ C ∞ |∀n, m ∈ N, x n F (m) −→ 0, x → ±∞}, ∈ S = { |∀F ∈ S : F → , F непрерывно и линейно}. Таким образом, как в квантовой механике, так и в классической мы имеем линейные (если отказаться от нормировки состояний на единицу) пространства наблюдаемых и смешанных состояний, а также линейную по обоим аргументам операцию усреднения наблюдаемой по состоянию. 144 Г ЛАВА 5 Среди всех состояний можно выделить чистые: Q 0 P 0 (Q, P ) = δ(Q − Q 0 ) · δ(P − P 0 ), Q 0 P 0 , F = F (Q 0 , P 0 ). Как и в квантовой механике, чистое состояние зада¨ется значениями максимального набора независимых наблюдаемых. Однако имеется прин- ципиальное различие. В классике все наблюдаемые совместимы (комму- тируют, одновременно измеримы), и все максимальные наборы независи- мых наблюдаемых описывают одни и те же семейства чистых состояний. Из-за этого в классической механике может возникнуть путаница (отож- дествление) между понятиями «чистое состояние» и «максимальный набор независимых наблюдаемых». В квантовой механике не все наблюдаемые совместимы, и разные максимальные наборы независимых наблюдаемых описывают различные семейства чистых состояний. 5.2.9. Представления Гамильтона и Лиувилля в теоретической механике** Рис. 5.1. Уильям Роуан Га- мильтон (1805–1865). W Как и в квантовой механике, эволюцию системы можно описывать как эволюцию сос- тояния при неизменных наблюдаемых (пред- ставление Лиувилля), либо как эволюцию на- блюдаемых при неизменном состоянии (пред- ставление Гамильтона): 7 d л dt = −{ л , H }, dF л dt = ∂F л ∂t , d г dt = 0, dF г dt = ∂F г ∂t + {F г , H }. Обратите внимание, что состояние в представлении Лиувилля и наблю- даемая в представлении Гамильтона эволюционируют «в разные стороны» (разный знак перед скобкой Пуассона). Данные уравнения при замене скоб- ки Пуассона на коммутатор {·, ·} → 1 i¯ h [ ·, ·] переходят в квантовые урав- нения для операторов и матриц плотности в представлениях Шр¨едингера и Гайзенберга соответственно. 7 Представление Гамильтона обозначено индексом «г», точно так же как выше обозначали представление Гайзенберга. Поскольку одно представление переходит в другое в классичес- ком пределе, то это не должно вызвать путаницы, а наоборот, это да¨ет нам мнемоническое правило как классические представления временной эволюции соотносятся с классическими: Гайзенберг и Гамильтон начинаются на одну букву и у обоих эволюция описывается через наблюдаемые. 5.2. Р АЗНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ 145 Интегралы, задающие средние наблюдаемой F в момент времени t связаны друг с другом заменой переменных интегрирования: , F t = dQ dP F л (Q, P, t) л (Q, P, t) = = dQ dP F л (Q(Q 0 , P 0 , t), P (Q 0 , P 0 , t), t) F г (Q 0 ,P 0 ,t) × × л (Q(Q 0 , P 0 , t), P (Q 0 , P 0 , t), t) г (Q 0 ,P 0 ) = = dQ 0 dP 0 ∂(Q, P ) ∂(Q 0 , P 0 ) =1 F г (Q 0 , P 0 , t) г (Q 0 , P 0 ) = = dQ dP F г (Q, P, t) г (Q, P ). Рис. 5.2. Жозеф Лиувилль (1809–1882). W Здесь Q(Q 0 , P 0 , t) и P (Q 0 , P 0 , t) — координаты и импульсы в момент t как функции от началь- ных значений Q 0 , P 0 и времени t: Q(Q 0 , P 0 , 0) = Q 0 , P (Q 0 , P 0 , 0) = P 0 Тождество на якобиан J = ∂(Q, P ) ∂(Q 0 , P 0 ) = 1 — теорема Лиувилля о сохранении фазового объ¨ема. Его физический смысл — сохранение вероятности, в этом оно ана- логично условию унитарности квантовой эволюции. Докажем теорему Лиувилля. Для этого достаточно показать, что dJ dt = 0 в начальный момент времени. Q i (δt) = Q i 0 + ∂H ∂P i · δt + o(δt), P i (δt) = P i 0 − ∂H ∂Q i · δt + o(δt), ∂(Q(δt), P (δt)) ∂(Q 0 , P 0 ) = det ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ δ i j + ∂ 2 H ∂P i ∂Q j · δt ∂ 2 H ∂P i ∂P j · δt − ∂ 2 H ∂Q i ∂Q j · δt δ i j − ∂ 2 H ∂Q i ∂P j · δt ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ + o(δt) = 146 Г ЛАВА 5 = 1 + tr ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ∂ 2 H ∂P i ∂Q j ∂ 2 H ∂P i ∂P j − ∂ 2 H ∂Q i ∂Q j − ∂ 2 H ∂Q i ∂P j ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ · δt + o(δt) = = 1 + i ∂ 2 H ∂P i ∂Q i − ∂ 2 H ∂Q i ∂P i + o(δt) = 1 + o(δt). Таким образом, J (0) = 1, dJ dt = 0 ⇒ J ≡ 1. 5.2.10. Уравнения в представлении взаимодействия* Дифференциальное уравнение для оператора в представлении взаимо- действия мы можем получить дифференцированием выражения (5.17) ˆ A в = = ˆ U (0) † t ˆ A ш ˆ U (0) t , но результат можно написать сразу, он совпадает с уравне- ниями Гайзенберга для невозмущ¨енного гамильтониана (5.18): d ˆ A в dt = i ¯ h [ ˆ H (0) в , ˆ A в ] + d ˆ A ш dt в (5.29) Волновая функция (5.15) |ψ в (t) = ˆ U (0) † t |ψ ш (t) при дифференцировании по времени да¨ет d dt |ψ в (t) = d ˆ U (0) † t dt |ψ ш + ˆ U (0) † t d dt |ψ ш = = i ¯ h U (0) † t ˆ H (0) |ψ ш + ˆ U (0) † t −i ¯ h ˆ H ( ˆ H (0) + ˆ V ) |ψ ш = = − i ¯ h ˆ U (0) † t ˆ V |ψ ш ˆ U (0) t |ψ в = − i ¯ h ˆ U (0) † t ˆ V ˆ U (0) t ˆ V в |ψ в = − i ¯ h ˆ V в |ψ в Таким образом, временная эволюция волновой функции в представле- нии взаимодействия описывается уравнением Шр¨едингера, в котором вмес- то гамильтониана используется оператор возмущения, записанный в пред- ставлении взаимодействия: i¯ h d dt |ψ в (t) = ˆ V в |ψ в (5.30) 5.3. И ЗМЕРЕНИЕ 147 Эволюцию волновой функции в представлении взаимодействия мы мо- жем описать как действие на исходную волновую функцию специального оператора эволюции |ψ в (t) = ˆ U (0) † t |ψ ш (t) = ˆ U (0) † t ˆ U t ˆ U в t |ψ(0) = ˆ U в t |ψ(0) . Глядя на (5.30), мы можем записать уравнение Шр¨едингера для оператора эволюции ˆ U в t = ˆ U (0) † t ˆ U t i¯ h d dt ˆ U в t = ˆ V в ˆ U в t , ˆ U в 0 = ˆ 1. (5.31) При этом, оператор ˆ V в может зависеть от времени, даже если гамиль- тонианы ˆ H (0) и ˆ H = ˆ H (0) + ˆ V от времени не зависели. Это возможно в том случае, если [ ˆ H (0) , ˆ V ] = 0. 5.3. Измерение Процедура измерения — единственное место в стандартной квантовой механике, которое вносит в теорию вероятности и необратимость. При унитарной эволюции переход от начального состояния к конечному опи- сывается обратимыми операторами, а значит всегда можно восстановить по конечному состоянию начальное. При измерении иначе: состояние пос- ле измерения всегда получается из состояния до измерения с помощью необратимого оператора (проектора), случайным образом выбираемого из некоторого набора. Влияние измерения на состояние системы неизбежно в квантовой механике. Это накладывает принципиальные ограничения на точность при одновременном измерении различных величин (соотношения неопре- дел¨енностей). Влияние измерения на состояние системы носит существен- но неклассический характер, с чем связан ряд интересных эффектов и па- радоксов, которые мы также обсудим ниже. Процедура измерения не выводится из уравнений, описывающих по- ведение изолированных систем. 5.3.1. Проекционный постулат Обсуждая вероятностный смысл волновой функции, мы уже затрагива- ли процедуру измерения (см. 3.1.4 «Распределение вероятностей и волно- 148 Г ЛАВА 5 вые функции при измерении», 3.1.5 «Амплитуда при измерении и скаляр- ное произведение», 4.5.1 «Нормировка волновых функций на единицу»). Наряду с формулами для волновых функций здесь приводятся соот- ветствующие формулы для матриц плотности, которые при первом чтении можно пропускать. Как мы уже знаем, в результате измерения, дающего ответ «да», вол- новая функция ψ до проецируется с помощью ортогонального проектора ˆ P да = ˆ P † да = ˆ P да ˆ P да на некоторое подпространство H да пространства H. Нормированная на ве- роятность волновая функция (матрица плотности*) сразу после измерения имеет вид: |ψ да = ˆ P да |ψ до ∈ H да ˆ ρ да = ˆ P да ˆ ρ до ˆ P да ∈ H да ⊗ H ∗ да , ˆ ρ до ∈ H ⊗ H ∗ [ ∗] При этом вероятность того, что измерение даст ответ «да», выражается следующими способами: p да = ˆ P да = ψ до | ˆ P да |ψ до = ψ да |ψ до = ψ да |ψ да p да = ˆ P да = tr( ˆ ρ до ˆ P да ) = tr( ˆ ρ до ˆ P 2 да ) = tr( ˆ P да ˆ ρ до ˆ P да ) = tr( ˆ ρ да ). [ ∗] Процесс измерения в стандартной квантовой механике считается мгновенным, а результат измерения абсолютно непредсказуемым (можно определить лишь вероятности). Если задан проектор ˆ P да , то можно определить проектор ˆ P нет = ˆ 1 − ˆ P да , описывающий неполучение ответа «да» (получение ответа «нет»). Подпро- странство H нет состоит из векторов, ортогональных всем векторам из H да Любой вектор из H однозначно разлагается по этим подпространствам: |ψ = ˆ1|ψ = ( ˆ P да + ˆ P нет ) |ψ = ˆ P да |ψ + ˆ P нет |ψ = |ψ да + |ψ нет Свойства проектора ˆ P нет и его использования полностью аналогичны свой- ствам ˆ P да . Во всех рассуждениях мы можем сделать замену «да» ↔«нет». В следующих подразделах мы рассматриваем вопрос о построении проекторов для различных вопросов/измерений и их свойствах. |