Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
5.1.4. Уравнение Шр¨едингера и гамильтониан Как уже было получено (или, по существу, постулировано) в предыду- щем разделе, для замкнутой автономной системы мы можем записать ψ(t + τ ) = ˆ U τ ψ(t). (5.7) Если время может меняться непрерывно, т. е. t ∈ R, то, предполагая непре- рывность и дифференцируемость оператора эволюции по времени, мы мо- жем продифференцировать уравнение (5.7) по τ и, устремив τ → 0, запи- сать d dt ψ(t) = d ˆ U τ dτ τ =0 ψ(t). (5.8) Полученное уравнение (5.8) и есть уравнение Шр¨едингера (или временн´ое уравнение Шр¨едингера). Входящий в него оператор d ˆ U τ dτ τ =0 принято запи- сывать как ˆ H i¯ h Оператор ˆ H = i¯ h d ˆ U τ dτ τ =0 (5.9) называется оператором Гамильтона, или гамильтонианом 3 Можно провести следующую аналогию с обычными поворотами: • ˆ U τ — матрица поворота пространства состояний. • ˆ H i¯ h — матрица угловой скорости. Мы можем легко обобщить понятие гамильтониана и на случай неав- тономных систем, эволюция которых зависит от времени. В этом случае мы получаем оператор Гамильтона явно зависящий от времени: ψ(t + τ ) = ˆ U (t + τ, t)ψ(t), d dt ψ(t) = d ˆ U (t + τ, t) dτ τ =0 ψ(t) = 1 i¯ h ˆ H(t)ψ(t), ˆ H(t) = i¯ h d ˆ U (t + τ, t) dτ τ =0 3 Как однажды сказал французский физик русско-еврейского происхождения Анатоль Аб- рагам: «Гамильтониан — армянская фамилия». Сходство усугубляется тем, что в англоязычной литературе слово «Hamiltonian» всегда пишется с большой буквы. 5.1. К ВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ 131 Из унитарности оператора эволюции легко получить эрмитовость га- мильтониана: ˆ U † (t + dt, t) = ˆ 1 + dt ˆ H i¯ h + o(dt) † = ˆ 1 − dt ˆ H † i¯ h + o(dt), (5.10) ˆ U † (t + dt, t) = ˆ U −1 (t + dt, t) = = ˆ 1 + dt ˆ H i¯ h + o(dt) −1 = ˆ 1 − dt ˆ H i¯ h + o(dt) ⇒ ˆ H = ˆ H † Мы определили гамильтониан через оператор эволюции, но можно легко написать дифференциальное уравнение и начальное условие, для опе- ратора эволюции, через гамильтониан: d dt 1 ˆ U (t 1 , t 0 ) = 1 i¯ h ˆ H(t 1 ) ˆ U (t 1 , t 0 ), ˆ U (t 0 , t 0 ) = ˆ 1. (5.11) Для случая автономной системы, когда гамильтониан не зависит от времени, получаем выражение оператора эволюции через операторную экс- поненту ˆ U (t 1 , t 0 ) = ˆ U t 1 −t 0 = e − i ¯ h ˆ H ·(t 1 −t 0 ) (5.12) Автономная эволюция (с не зависящим от времени гамильтонианом) — вращение пространства состояний с постоянной угловой скоростью. Похожие экспоненты неоднократно встретятся нам в дальнейшем при рассмотрении различных симметрий. Как мы увидим ниже, оператор эво- люции для автономной системы можно рассматривать как оператор симмет- рии сдвига по времени, а гамильтониан — как генератор этой симметрии. Для многих простых систем квантовый гамильтониан может быть по- лучен из классической функции Гамильтона (т. е. энергии, выраженной через координаты и импульсы) пут¨ем «добавления шляпок», т. е. заме- ной классических координат и импульсов на соответствующие операторы. Обоснование такого соответствия приводится в разделе 5.2.7 «Скобка Пуас- сона и коммутатор*». Квантовые операторы координаты и импульса будут введены в разделе 11.3.2 «Обобщ¨енный импульс». 5.1.5. Уравнения Шр¨едингера, временн ´ ые и стационарные Временн´ое уравнение Шр¨едингера ˆ Hψ(t) = i¯ h d dt ψ(t) описывает временн´ую эволюцию волновой функции. 132 Г ЛАВА 5 Стационарное уравнение Шр¨едингера имеет вид ˆ Hψ E = Eψ E Это просто уравнение на собственные функции и собственные числа для оператора Гамильтона. Если подставить решение стационарного уравнения Шр¨едингера во временное, то получается i¯ h d dt ψ E (t) = ˆ Hψ E (t) = Eψ E (t), ψ E (t) = e − i ¯ h E ·t ψ E (0). Временная эволюция стационарного состояния сводится к вращению с уг- ловой скоростью ω E = E ¯ h фазового множителя e − i ¯ h E ·t Все средние для стационарного состояния имеют вид A t = ψ E (t) | ˆ A |ψ E (t) = e − i ¯ h E ·t ψ E (0) | ˆ A |e − i ¯ h E ·t ψ E (0) = = ψ E (0) |e + i ¯ h E ·t ˆ Ae − i ¯ h E ·t |ψ E (0) = ψ E (0) | ˆ A |ψ E (0) = A 0 Таким образом, среднее от любого оператора по стационарному состоянию не зависит от времени. Это и да¨ет основание называть такое состояние ста- ционарным. При этом следует иметь в виду, что состояние оста¨ется неиз- менным только до тех пор, пока над ним не совершаются измерения, или другие внешние возмущения 4 . Если мы переопределим гамильтониан, вве- дя ˆ H = ˆ H + E 0 ˆ 1, (5.13) то для нового гамильтониана ˆ H стационарные состояния останутся стаци- онарными, но их уровни энергии сдвинутся на E 0 . Таким образом мы мо- жем сдвинуть любой уровень энергии в нуль, после чего соответствующее стационарное состояние перестанет зависеть от времени. Такое переопре- деление гамильтониана не изменит средних значений и матричных элемен- тов каких бы то ни было физических величин. Это означает, что нулевой 4 Если мы попробуем измерить в стационарном состоянии физическую величину, отвечаю- щую какому-то оператору, чь¨е значение в данном состоянии не определено (другими слова- ми, если измеряемая величина не сохраняется в данной системе), то это измерение может с разными вероятностями дать разные значения величины, кроме того, при этом оно изменит состояние так, что оно перестанет быть стационарным, и тогда следующее измерение той же величины спустя некоторое время может дать уже другое значение. 5.2. Р АЗНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ 133 уровень энергии в квантовой механике определяется столь же произвольно, сколь и в классической 5 Собственные функции гамильтониана, также как и любого эрмитового оператора, образуют базис. Таким образом, любая волновая функция мо- жет быть разложена по стационарным состояниям. Суперпозиция стацио- нарных состояний, отвечающих разным уровням энергии, уже не является стационарным состоянием. Такое состояние зависит от времени нетриви- альным образом: αψ 1 (t) + βψ 2 (t) = αψ 1 (0)e − i ¯ h E 1 t + βψ 2 (0)e − i ¯ h E 2 t = = e − i ¯ h E 1 t (αψ 1 (0) + βψ 2 (0)e i ¯ h (E 1 −E 2 )t ). Существенная часть временной эволюции (влияющая на средние и мат- ричные элементы) зависит только от разности энергий, поскольку общий фазовый множитель e − i ¯ h E 1 t не нес¨ет физического смысла (и может быть измен¨ен сдвигом нулевого уровня энергии). 5.2. Разные представления временной (унитарной) эволюции квантовой системы Временная (унитарная) эволюция системы в отсутствие измерения описывается семейством унитарных преобразований ˆ U (t 1 , t 0 ) (см. раз- дел 5.1.1). Опираясь на материал главы 11 «Симметрии-1 (теорема Н¨етер)» мы можем сказать, что унитарная эволюция представляет собой преобразо- вание симметрии, порожд¨енное оператором энергии (гамильтонианом). 5.2.1. Унитарная эволюция: активная или пассивная* Как и любое преобразование симметрии, унитарная эволюция может быть представлена в двух естественных интерпретациях: • как активное преобразование, т. е. преобразование, меняющее векторы состояния в некотором фиксированном базисе; • как пассивное преобразование, т. е. преобразование, меняющее базис, но оставляющее сами векторы состояния неизменными. 5 В релятивистской квантовой теории (квантовой теории поля), как и в классической реля- тивистской теории, нулевой уровень энергии уже не может задаваться произвольно, поскольку преобразования Лоренца «перемешивают» энергию с импульсом. 134 Г ЛАВА 5 Базисные векторы мы нумеруем собственными числами некоторых эрми- товых или унитарных операторов. Таким образом, если мы хотим, чтобы базис собственных функций зависел от времени, то от времени должны зависеть операторы, с помощью которых мы определяем базис. 5.2.2. Пространство состояний в разные моменты времени* Гильбертово пространство состояний квантовой системы H в разные моменты времени t следует считать различными пространствами состояний H t , поскольку у нас нет естественного способа сопоставить друг другу состояния в разные моменты времени: • линейная комбинация векторов состояния в разные моменты времени не имеет физического смысла; • унитарная эволюция системы является естественным кандидатом на «способ отождествления состояний в разные моменты времени», но: – унитарная эволюция зависит от выбора гамильтониана; – даже нефизические преобразования (симметрии) гамильтониана могут менять эволюцию системы, например: ∗ переход в движущуюся систему координат не меняет физи- ческую эволюцию системы, но делает ранее независящее от времени состояние зависящим; ∗ сдвиг нулевого уровня энергии также делает ранее независя- щее от времени состояние зависящим; ∗ калибровочное (градиентное) преобразование электромаг- нитного поля, не меняя физического состояния системы, ме- няет е¨е описание в данный момент времени и описание е¨е эволюции. Таким образом, описание временной эволюции квантовой системы до- пускает произвол в выборе базиса в каждый момент времени. Если мы хотим сохранить непрерывность, то произвол можно описать одним произ- вольным унитарным оператором, непрерывно зависящим от времени. 5.2.3. Представления Шр¨едингера, Гайзенберга и взаимодействия Мы никогда не работаем непосредственно с векторами состояния кван- товых систем: все измеримые величины выражаются через матричные эле- менты тех или иных линейных операторов (скалярное произведение тоже 5.2. Р АЗНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ 135 можно рассматривать как матричный элемент единичного оператора). Если зависимость от времени волновой функции зада¨ется оператором эволюции, то матричный элемент оператора ˆ A(t) в момент времени t зада¨ется следую- щим образом: ϕ | ˆ A |ψ t = ϕ(t) | ˆ A(t) |ψ(t) = ϕ(0)| ˆ U † t ˆ A(t) ˆ U t |ψ(0) . (5.14) Для нас не важна временная эволюция векторов состояния или операторов самих по себе, но матричные элементы не должны зависеть от того, в каком представлении мы их вычисляем. Если динамика системы описывается как эволюция вектора состояния, а временная зависимость операторов A(t) никак не связана с динамикой системы, т. е. |ψ ш (t) = |ψ(t) = ˆ U t |ψ(0) ⇔ ˆ ρ ш (t) = ˆ U t ˆ ρ(0) ˆ U † t , ˆ A ш (t) = ˆ A(t) — это представление Шр¨едингера. Именно представлением Шр¨едингера мы пользовались выше в разде- лах 5.1.1 и 5.1.4, когда писали уравнение Шр¨едингера для зависящей от времени волновой функции. Если динамика системы описывается как эволюция оператора, а вектор состояния (или матрица плотности) никак не зависит от времени, т. е. |ψ г = |ψ(0) = |ψ ш (0) ( ⇔ ˆ ρ г = ˆ ρ(0) = ˆ ρ ш (0)), ˆ A г (t) = ˆ U † t ˆ A(t) ˆ U t = ˆ U † t ˆ A ш (t) ˆ U t — это представление Гайзенберга. Хотя состояния и операторы в представлениях Гайзенберга и Шр¨един- гера эволюционируют по-разному, в нулевой момент времени они совпада- ют, а матричные элементы совпадают во все моменты времени: ϕ ш (t) | ˆ A ш (t) |ψ ш (t) = ( ϕ(0) | ˆ U † t ) ˆ A(t)( ˆ U t |ψ(0) ) = = ϕ(0) |( ˆ U † t ˆ A(t) ˆ U t ) |ψ(0) = ϕ г | ˆ A г (t) |ψ г Мы видим, что два выражения для матричных элементов, расписанных с помощью оператора эволюции, различаются лишь расстановкой скобок. Мы можем ввести также некоторое представление, промежуточное между представлениями Шр¨едингера и Гайзенберга и обобщающее оба 136 Г ЛАВА 5 этих представления — представление взаимодействия (представление Дирака): |ψ в (t) = ˆ U (0) † t |ψ ш = ˆ U (0) † t ˆ U t |ψ г , (5.15) ˆ ρ в (t) = ˆ U (0) † t ˆ ρ ш (t) ˆ U (0) t = ˆ U (0) † t ˆ U t ˆ ρ г ˆ U † t ˆ U (0) t , [ ∗] (5.16) ˆ A в (t) = ˆ U (0) † t ˆ A ш (t) ˆ U (0) t = ˆ U (0) † t ˆ U t ˆ A г (t) ˆ U † t ˆ U (0) t (5.17) В случ ае ˆ U (0) = ˆ 1 представление взаимодействия совпадает с представле- нием Гайзенберга, а в случае ˆ U (0) = ˆ U — с представление Шр¨едингера. Название «представление взаимодействия» связано с наиболее рас- простран¨енным способом его использования, когда в качестве операто- ра ˆ U (0) t берут оператор эволюции, для гамильтониана без уч¨ета взаимодей- ствия, каких-либо подсистем — «невозмущ¨енный гамильтониан» ˆ H 0 . Пол- ный («возмущ¨енный») гамильтониан, порождающий эволюцию ˆ U t , пред- ставляют как сумму невозмущ¨енного гамильтониана ˆ H 0 и некоторой до- бавки ˆ V , описывающей взаимодействие: ˆ H = ˆ H 0 + ˆ V . Операторы в представлении взаимодействия совпадают с операторами в гайзенберговском представлении для невозмущ¨енного гамильтониана, но появляется зависимость волновой функции от времени, связанная с возму- щением (взаимодействием). В тех случаях, когда представление явно не указано, мы будем подра- зумевать представление Шр¨едингера. Аналогично указание на представле- ние может отсутствовать, когда формулы одинаково записываются в разных представлениях (см. следующий раздел). 5.2.4. Функции от операторов в разных представлениях Переход между различными представлениями операторов в фиксиро- ванный момент времени осуществляется с помощью унитарного преобра- зования: ˆ A → ˆ U † ˆ A ˆ U . Новый оператор при этом можно рассматривать как представление старого оператора в новом базисе. Функция от операторов, определяемая с помо- щью операций сложения, умножения на число и умножения операторов между собой, не зависит от базиса. Поэтому смена базиса (переход к но- вому представлению) может с равным успехом осуществляться как до, так 5.2. Р АЗНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ 137 и после вычисления функции, например: ( ˆ A + b ˆ B) г = ˆ U † t ( ˆ A + b ˆ B) ˆ U t = ˆ U † t ˆ A ˆ U t + b ˆ U † t ˆ B ˆ U t = ˆ A г + b ˆ B г , ( ˆ A ˆ B) г = ˆ U † t ( ˆ A ˆ B) ˆ U t = ( ˆ U † t ˆ A ˆ U t )( ˆ U † t ˆ B ˆ U t ) = ˆ A г ˆ B г Аналогичные формулы можно получить и для более сложных объектов, таких как коммутатор и матричная экспонента (достаточно расписать эти операции через сложение/вычитание и умножение): [ ˆ A, ˆ B] г = ( ˆ A ˆ B − ˆ B ˆ A) г = ˆ A г ˆ B г − ˆ B г ˆ A г = [ ˆ A г , ˆ B г ], (e ˆ A ) г = ˆ U † t e ˆ A ˆ U t = e ˆ U † t ˆ A ˆ U t = e ˆ A г 5.2.5. Гамильтониан в представлении Гайзенберга Когда мы определяли представление Гайзенберга, мы не делали ни- каких специальных предположений о виде гамильтониана, т. е. в общем случае гамильтониан — некоторый зависящий от времени эрмитов опера- тор ˆ H(t). Однако для большинства задачгамильтониан от времени не за- висит, в этом случае ˆ U t = e − i ¯ h ˆ H t и оператор эволюции коммутирует с га- мильтонианом: [ ˆ H, ˆ U t ] = 0. Таким образом, для автономных систем (когда гамильтониан не зависит от времени) получаем: ˆ H г = e i ¯ h ˆ H t ˆ He − i ¯ h ˆ H t = e i ¯ h ˆ H t e − i ¯ h ˆ H t ˆ H = ˆ H ш 5.2.6. Уравнение Гайзенберга Для того, чтобы задать дифференциальное уравнение, описывающее временную эволюцию гайзенберговских операторов, продифференцируем по времени гайзенберговский оператор, выраженный через шр¨едингеровс- кий оператор и оператор эволюции: ˆ A г = ˆ U † t ˆ A ш ˆ U t , d ˆ A г dt = d ˆ U † t dt ˆ A ш ˆ U t + ˆ U † t ˆ A ш d ˆ U t dt + ˆ U † t d ˆ A ш dt ˆ U t 138 Г ЛАВА 5 Используя уравнение (5.11), мы получаем: d ˆ U t dt = − i ¯ h ˆ H ˆ U t , d ˆ U † t dt = i ¯ h ˆ U † t ˆ H, d ˆ A г dt = i ¯ h ˆ U † t [ ˆ H, ˆ A ш ] ˆ U t + ˆ U † t d ˆ A ш dt ˆ U t = i ¯ h [ ˆ H г , ˆ A г ] + d ˆ A ш dt г (5.18) Полные и частные производные от операторов по времени В формуле Гайзенберга (5.18) фигурируют две разные производные от оператора по времени: d ˆ A г dt , d ˆ A ш dt г Первая формула — «просто производная по времени» в представлении Гайзенберга, вторая — «просто производная по времени» в представлении Шр¨едингера (которую потом выразили в представлении Гайзенберга). При этом производная d ˆ A ш dt никак не зависит от гамильтониана, т. е. на ней никак не сказывается временная эволюция системы. Введ¨ем следующее определение: полная производная от оператора ˆ A по времени — оператор, среднее от которого по любому состоянию равно производной по времени от среднего по этому же состоянию: d ˆ A dt = d dt ˆ A . (5.19) Удобнее всего вычислять полную производную по времени в пред- ставлении Гайзенберга, поскольку в этом случае от времени зависят только операторы (не не волновые функции), и полная производная от оператора оказывается «просто производной по времени». Определим также частную производную по времени от оператора ˆ A, как полную производную при замороженной эволюции системы, т. е. в слу- чае ˆ H ≡ 0 (т. е. ˆ U ≡ ˆ1). Частная производная по времени совпадает с «прос- то производной» в представлении Шр¨едингера. Таким образом мы перенесли из классической теоретической механики в квантовую механику понятия частной и полной производной по времени от наблюдаемой величины. d ˆ A dt г = d ˆ A г dt , ∂ ˆ A ∂t ш = d ˆ A ш dt 5.2. Р АЗНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ 139 Теперь мы можем переписать формулы Гайзенберга следующим обра- зом: d ˆ A dt = ∂ ˆ A ∂t + i ¯ h [ ˆ H, ˆ A]. (5.20) Эта формула применима в любом представлении, поэтому мы убрали ука- зание на то, в каком представлении берутся входящие в не¨е операторы. |