Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
Понятийные основы квантовой теории За что ставятся оценки: 5 — знает и понимает, 4 — знает, но не понимает, 3 — не знает и не понимает, 2 — не знает, не понимает, да ещ¨е и раздражает. Преподавательский фольклор Нетерпеливый читатель может пропустить и эту главу, как и предыду- щие главы. Здесь вс¨е ещ¨е нет последовательного изложения квантовой ме- ханики. Будут лишь даны некоторые ключевые идеи, следствиями которых можно пользоваться по-обезьяньи без понимания. Однако, если квантовая теория и в самом деле нужна читателю, то лучше запоминать не столько формулы, сколько идеи. Если же вы хотите не просто считать, а ещ¨е и по- нимать, то лучше с этими идеями не только ознакомиться, но и обдумать их ещ¨е раз, уже познакомившись с аппаратом квантовой теории. 3.1. Вероятности и амплитуды вероятности Квантовая механика принципиально отличается от классической. Это различие состоит вовсе не в наличии в квантовой механике вероятностей, поскольку и классическая механика может быть переформулирована так, что вероятности там появятся. Мы можем описывать поведение классичес- кой системы как эволюцию облака вероятностей в фазовом пространстве (в пространстве координат и импульсов), прич¨ем для неустойчивых систем на больших временах на более подробное описание мы рассчитывать не можем. На взгляд автора, главным отличием квантовой теории является то, что помимо вероятностей p в ней появляются амплитуды вероятности A — 48 Г ЛАВА 3 комплексные числа, квадрат модуля которых зада¨ет вероятность (или плот- ность вероятности) p = |A| 2 = (ReA) 2 + (ImA) 2 = A ∗ A. (3.1) Таким образом, вероятность взаимнооднозначно определяется модулем амплитуды вероятности, тогда как фаза амплитуды вероятности оказы- вается тем существенным элементом квантовой теории, который полностью теряется в классике. j Re A | | A A A = | |e ij Im A Рис. 3.1. |A| 2 — то, что было в классике, ϕ — квантовые эффекты. Волновая функция да¨ет максимально полное описание квантовой сис- темы, но она зада¨ет только лишь амплитуды вероятностей для всевозмож- ных результатов измерений. Мы можем считать, что аргументами волновой функции являются всевозможные результаты измерений некоторого набора величин (полного набора независимых наблюдаемых), а значения функции задают соответствующие амплитуды. Прич¨ем нет необходимости помещать в аргументы функции все возможные величины, надо ограничиться лишь теми, которые одновременно измеримы, т. е. такими, что измерение одной величины из набора не влияет на все остальные, но набор таких величин должен быть полным, т. е. таким, чтобы любая физическая величина, изме- римая одновременно с аргументами волновой функции, выражалась через них 1 . Таким образом, понятие волновой функции сводится к понятию амп- литуды вероятности. 1 Мы ещ¨е верн¨емся далее к обсуждению волновой функции. 3.1. В ЕРОЯТНОСТИ И АМПЛИТУДЫ ВЕРОЯТНОСТИ 49 Вероятности в классической механике обусловлены нашим незнанием точного состояния системы. В квантовой механике невозможно знать о сис- теме больше, чем е¨е волновая функция. Тем не менее, многое в поведении амплитуд вероятности можно понять по аналогии с поведением вероятнос- тей. В ряде случаев, когда в классике мы складывали или умножали веро- ятности, в квантовой механике надо аналогично складывать или умножать амплитуды вероятности. Волновая функция аналогична распределению вероятностей, и подоб- но ему зада¨ет вероятность всех возможных исходов измерения некоторого набора величин, полностью задающего состояние системы. То есть если все эти величины определены, то состояние системы определяется одно- значно. В классической механике других состояний систем и не бывает. В квантовой механике такие состояния образуют лишь базис в линейном пространстве состояний. 3.1.1. Сложение вероятностей и амплитуд Если какое-то событие может произойти двумя различными способа- ми, и мы знаем вероятность каждого из этих способов, то классическая вероятность события вычисляется как сумма вероятностей этих способов. Если из начального состояния 1 классическая система попадает в ко- нечное состояние 3 через промежуточное состояние 2 или 2 , то мы можем записать: p (1 →2→3 или 1→2 →3) = p (1 →2→3) + p (1 →2 →3) (3.2) Если конечный результат чуть-чуть различается и классическая система в одном случае в итоге попадает в состояние 3, а в другом в чуть-чуть отличное состояние 3 , то вероятности по-прежнему складываются: p (1 →2→3 или 1→2 →3 ) = p (1 →2→3) + p (1 →2 →3 ) (3.3) Таким образом, в классике мы можем не различать похожие результаты 3 и 3 и произвольным образом огрублять конечный результат, т. к. на вы- числении вероятностей это не скажется. В квантовой механике формулу (3.2), для случая когда конечный ре- зультат в точности совпадает, необходимо заменить аналогичной фор- мулой для амплитуд A (1 →2→3 или 1→2 →3) = A (1 →2→3) + A (1 →2 →3) , (3.4) а формулу (3.3), для случая когда конечный результат хотя бы чуть-чуть отличается, следует оставить без изменений. 50 Г ЛАВА 3 Рис. 3.2. Сложение амплитуд вероятности. Возводя формулу (3.4) в квадрат, получаем (для упрощения записи здесь (1 → 2 → 3) обозначается как a, а (1 → 2 → 3) — как b) p (a или b) = |A (a или b) | 2 = = |A a | 2 + |A b | 2 + (A ∗ a A b + A a A ∗ b ) = = |A a | 2 + |A b | 2 + 2 |A a | |A b | cos(ϕ a − ϕ b ) = (3.5) = p a + p b + 2 √ p a p b cos(ϕ a − ϕ b ). Здесь ϕ a = arg A a , ϕ b = arg A b — фазы амплитуд вероятности. В третьей строчке формулы мы воспользовались теоремой косинусов. Формула (3.5) отличается от (3.2) лишним членом, который называет- ся интерференционным членом: (A ∗ a A b + A a A ∗ b ) = 2 |A a | |A b | cos(ϕ a − ϕ b ) = 2 √ p a p b cos(ϕ a − ϕ b ). (3.6) Интерференционный член, как правило, не является малой поправкой, он сравним по величине с классическими слагаемыми. В зависимости от раз- ности фаз между амплитудами интерференционный член может быть по- ложительным, отрицательным или нул¨ем. Так, если |A a | = |A b |, то кван- товая вероятность p (a или b) = 2 |A a | 2 (1 + cos(ϕ a − ϕ b )) может меняться от нуля до удвоенной классической вероятности 4 |A a | 2 Почему мы не видим интерференционного члена в классических опы- тах? Это может происходить по одной из двух причин. 1. В классических опытах мы не можем зафиксировать фазы амплитуд вероятности, которые случайно меняются от опыта к опыту. В результа- те происходит усреднение по фазе, и интерференционный член исчезает. 3.1. В ЕРОЯТНОСТИ И АМПЛИТУДЫ ВЕРОЯТНОСТИ 51 Если мы плохо различаем похожие, но не совпадающие состояния систе- мы (как в классике), то мы вместо реальной интерференционной картины наблюдаем усредн¨енную (сглаженную), а поскольку интерференционный член оказывается быстро осциллирующим, при усреднении по нескольким похожим результатам он может исчезнуть. 2. Другая причина исчезновения интерференционного члена — наблю- дение (неконтролируемое взаимодействие системы с окружением, возмож- но непроизвольное), которое в принципе позволяет определить как именно система прошла из начального состояния в конечное. Таким образом, попа- дание системы в одну точку разными путями будет различимым, поскольку информация о пути либо известна, либо «записана» в окружении. А для различимых событий мы должны складывать не амплитуды, а вероятности, т. е. интерференционный член исчезает. 3.1.2. Умножение вероятностей и амплитуд Если событие происходит «в два при¨ема», т. е. если нас интересует ве- роятность того, что система из состояния 1 перейд¨ет сначала в состояние 2, а потом в состояние 3, то в классической теории вероятности нам надо умножить вероятность перехода 1 → 2 на вероятность перехода 2 → 3: p (1 →2→3) = p (1 →2) p (2 →3) (3.7) В квантовой теории данная формула переносится на амплитуды веро- ятности A (1 →2→3) = A (1 →2) A (2 →3) (3.8) Подобно тому, как вероятность p (1 →2) того, что после 1 произойд¨ет 2, называют условной вероятностью, амплитуду A (1 →2) естественно назвать условной амплитудой вероятности. Взяв абсолютные величины от левой и правой частей формулы (3.8) и возведя их в квадрат, мы получим в точности формулу (3.7). Поэтому мо- жет возникнуть вопрос о том, получили ли мы что-нибудь новое при замене формулы для вероятности на формулу для амплитуд. Однако вероятности не содержат информации о фазах, поэтому разница между умножением ве- роятностей и амплитуд станет важной, если амплитуду, полученную как произведение, нам прид¨ется складывать с какой-то другой амплитудой. 3.1.3. Объединение независимых подсистем Ещ¨е один случай умножения вероятностей — объединение независи- мых подсистем. Пусть одна подсистема описывается распределением 1 (x), 52 Г ЛАВА 3 а вторая — 2 (y), тогда совместное распределение зада¨ется их произведе- нием. Такое произведение называется тензорным произведением: (x, y) = ρ 1 (x) · ρ 2 (y) ⇔ = 1 ⊗ 2 Аналогично если одна подсистема описывается волновой функцией ψ 1 (x), а вторая — ψ 2 (y), то совместная волновая функция зада¨ется их тензорным произведением: ψ(x, y) = ψ 1 (x) · ψ 2 (y) ⇔ ψ = ψ 1 ⊗ ψ 2 Ниже мы ещ¨е верн¨емся к обсуждению описания состояния сложной систе- мы и е¨е подсистем. 3.1.4. Распределения вероятностей и волновые функции при измерении Сейчас мы привед¨ем правила изменения распределения вероятностей при классическом измерении и волновой функции при квантовом. В обоих случаях в результате измерения из плотности вероятности (как функции измеряемых величин) или волновой функции (амплитуды вероят- ности, как функции измеряемых величин) вырезается кусок, который соот- ветствует результату измерения. Описания обоих процедур вед¨ется почти одинаковыми словами. Раз- личия в описаниях выделяются жирным шрифтом. Классический случай Пусть классическая система находится в одном из состояний, ну- меруемых параметром x, и нам задано распределение вероятностей, т. е. если x дискретно, то мы знаем вероятность p x каждого значения x, а ес- ли x непрерывно, то мы знаем плотность вероятности (x), как функцию от x. При этом суммарная вероятность, получаемая суммированием (интег- рированием) вероятности (плотности вероятности) по всем значениям x, равняется 1: 2 + ∞ −∞ (x) dx = 1. 2 В этом разделе мы будем считать, что переменная x непрерывна, т. е. для любого кон- кретного значения x его вероятность равна нулю, хотя плотность вероятности может от нуля отличаться. Если есть некоторый дискретный набор W значений x, для которых вероятности конечны, то к соответствующим интегралам прид¨ется добавлять суммы. Теперь суммарная 3.1. В ЕРОЯТНОСТИ И АМПЛИТУДЫ ВЕРОЯТНОСТИ 53 И пусть мы провели над этой классической системой измерение, ко- торое установило, что x принадлежит определ¨енному отрезку x ∈ [a, b]. Ве- роятность, что измерение даст такой результат, составляет p [a,b] = b a (x) dx. Сразу после такого измерения вероятность (плотность вероятнос- ти) любого значения x вне заданного отрезка обратилась в нуль. Для то- чек внутри отрезка отношения вероятностей не изменились. Таким обра- вероятность будет задаваться так: + ∞ −∞ (x) dx + x ∈W p x = 1. Мы можем упростить формулы для классических вероятностей, избавившись от сумм, ес- ли воспользуемся δ-функцией Дирака. δ(x) — бесконечно узкий и бесконечно высокий пик, сидящий в нуле, такой, что интеграл от него равен 1. δ-функция — не настоящая функция, а обобщ¨енная. Значение какой-либо обобщ¨енной функции f (x) в точ ке x 0 может быть не определено, но зато для всякой «достаточно хорошей» функции ϕ(x) определ¨ен интеграл + ∞ −∞ f (x)ϕ(x)dx. Определением δ-функции является соотношение: + ∞ −∞ δ(x)ϕ(x)dx = ϕ(0). Мы можем модифицировать распределение вероятностей так, чтобы оно также описывало вероятности дискретных событий: м (x) = (x) + x 0 ∈W p x 0 · δ(x − x 0 ). Теперь мы можем написать суммарную вероятность так: + ∞ −∞ м (x) dx = 1. Следует заметить, что данный способ избавления от сумм не сработает для амплитуд вероят- ностей, т. к. для этого пришлось бы извлекать из δ-функций квадратный корень, а извлечение корня из обобщ¨енных функций не определено. 54 Г ЛАВА 3 a b r( ) x x a b r( ) x x a b r( ) x x Рис. 3.3. Изменение распределения вероятностей при положительном и отрицатель- ном результатах измерения. зом, из первоначального распределения вероятностей «вырезается» отре- зок [a, b], все вероятности вне его обнуляются, а все вероятности на этом отрезке делятся на p [a,b] , чтобы суммарная вероятность нового распределе- ния снова оказалась единицей. Квантовый случай Пусть квантовая система находится в суперпозиции состояний, нуме- руемых параметром x, и нам заданы амплитуды вероятностей, т. е. если x дискретно, то возведение амплитуды по модулю в квадрат да¨ет вероят- ность каждого значения x, а если x непрерывно, то возведение амплитуды по модулю в квадрат да¨ет плотность вероятности как функцию от x. При этом суммарная вероятность, получаемая суммированием (интегрировани- ем) вероятности (плотности вероятности) по всем значениям x, равняется 1. И пусть мы провели над этой квантовой системой измерение, которое установило, что x принадлежит определ¨енному отрезку x ∈ [a, b]. Вероят- ность, что измерение даст такой результат, составляет p [a,b] = b a |ψ(x)| 2 dx. 3.1. В ЕРОЯТНОСТИ И АМПЛИТУДЫ ВЕРОЯТНОСТИ 55 a b Y( ) x x a b Y( ) x x a b Y( ) x x Рис. 3.4. Изменение волновой функции при положительном и отрицательном ре- зультатах измерения. Сразу после такого измерения амплитуда вероятности любого значения x вне заданного отрезка обратилась в нуль. Для точек внутри отрезка отно- шения амплитуд вероятностей не изменились. Таким образом, из перво- начальной волновой функции «вырезается» отрезок [a, b], все амплитуды вне его обнуляются, а все амплитуды на этом отрезке делятся на √p [a,b] , чтобы суммарная вероятность нового распределения снова оказалась еди- ницей. Измерение и проектор Операцию вырезания отрезка [a, b] из волновой функции мы можем описать с помощью линейного оператора ˆ P [a,b] : ˆ P [a,b] ψ(x) = I [a,b] (x)ψ(x), (3.9) где I W — характеристическая функция множества W I W (x) = 1, x ∈ W, 0, x ∈ W. (3.10) 56 Г ЛАВА 3 Оператор ˆ P [a,b] является проектором (т. е. он проецирует все волновые функции на некоторое линейное подпространство волновых функций), что означает, что двухкратное действие этого оператора да¨ет тот же результат, что и однократное ˆ P [a,b] ˆ P [a,b] ψ(x) = I 2 [a,b] (x)ψ(x) = I [a,b] (x)ψ(x) = ˆ P [a,b] ψ(x). (3.11) Определяя произведение операторов как оператор, действие которого на произвольную волновую функцию да¨ет тот же результат, что и последова- тельное действие (справа налево) всех сомножителей, мы можем записать определение проектора следующим образом: ˆ P 2 = ˆ P . (3.12) В дальнейшем мы будем иметь дело и с другими линейными операторами, действующими на волновые функции, при этом очень многие физически осмысленные операторы окажутся связаны с проекторами. 3.1.5. Амплитуда при измерении и скалярное произведение Пусть волновая функция Ψ(n) зада¨ет амплитуду вероятности обнару- жить систему во взаимоисключающих состояниях φ n , нумеруемых дис- кретным параметром n. Состояния φ n образуют максимальный набор взаи- моисключающих состояний, т. е. если система находится в состоянии φ n , то она не может быть найдена в состоянии φ k (k = n), прич¨ем набор не может быть расширен. Поскольку суммарная вероятность единица, следует положить условие нормировки на единицу: Ψ 2 = Ψ |Ψ = n |Ψ(n)| 2 = 1. Таким образом, у нас есть естественная операция взятия скалярного квад- рата волновой функции. Имея операцию взятия скалярного квадрата, мы можем ввести операцию взятия скалярного произведения: Φ |Ψ = n Φ ∗ (n) Ψ(n). Компонента волновой функции Ψ(n) может быть записана как скаляр- ное произведение функции Ψ на базисную функцию φ n (φ n (k) = δ nk ), 3.1. В ЕРОЯТНОСТИ И АМПЛИТУДЫ ВЕРОЯТНОСТИ 57 которая также нормирована на единицу: Ψ(n) = φ n |Ψ = Ψ|φ n ∗ , φ n |φ k = δ nk = 1, n = k, 0, n = k. Мы уже знаем физический смысл компоненты Ψ(n) волновой функ- ции, как амплитуды вероятности того, что система, находящаяся в состоя- нии Ψ, будет обнаружена в состоянии φ n , и это позволяет нам установить физический смысл скалярного произведения двух нормированных на еди- ницу волновых функций. Аргументы скалярного произведения равноправ- ны (с точностью до комплексного сопряжения), так что Ψ ∗ (n) = Ψ |φ n — амплитуда вероятности обратного процесса, т. е. амплитуда того, что систе- ма, находившаяся в состоянии φ n , будет найдена в состоянии Ψ. Мы можем физически интерпретировать формулу для скалярного умножения волновых функций в терминах умножения и сложения амплитуд вероятности. Пусть Ψ определяет начальное состояние системы, а Φ — конеч ное ( Ψ 2 = Φ 2 = 1). Мы рассматриваем измерение, которое должно отве- тить на вопрос «Находится ли система в состоянии Φ?» Прыжок в состоя- ние Φ мы будем рассматривать как «благоприятный» результат измерения. Можно считать, что переход из состояния Ψ в состояние Φ осуществ- ляется через любое промежуточное состояние φ n , прич¨ем определить через какое именно из состояний φ n прошла система в принципе невозможно. Амплитуда перехода из Ψ в Φ через φ n зада¨ется как произведение амплитуд перехода из Ψ в φ n и из φ n в Φ: A Φ ←φ n ←Ψ = Φ ∗ (n) Φ ←φ n Ψ(n) φ n ←Ψ Суммарная амплитуда перехода зада¨ется суммой (интегралом, в случае непрерывного спектра по n) по всем промежуточным состояниям φ n : A Φ ←Ψ = n Φ ∗ (n) Ψ(n) Φ ←φ n ←Ψ (3.13) Вычисление амплитуды перехода может быть представлено рис. 3.5, который по существу является другой записью формулы (3.13). Таким образом, оказывается, что для волновых функций имеется физи- чески осмысленное скалярное произведение, дающее для нормированных на единицу волновых функций амплитуду вероятности перехода из одного 58 Г ЛАВА 3 F F*(2) F*(1) F*(...) Y(1) Y(2) Y(...) n = 1 n = 2 n = ... Y Рис. 3.5. Переход от Ψ к Φ совершается через все возможные взаимоисключающие состояния n по стрелкам с соответствующими амплитудами согласно (3.13). состояния в другое при измерении. Сама структура формулы скалярного произведения имеет физический смысл, показывая, что переход осуществ- ляется через все возможные взаимоисключающие промежуточные состоя- ния. Наборы амплитуд Ψ(n) и Φ(n) можно рассматривать как компоненты комплексных векторов. Тогда замена базиса будет соответствовать замене набора взаимоисключающих состояний φ k (базиса) новым набором состоя- ний (базисом) φ k , который состоит из суперпозиций (линейных комбинаций) состояний старого базиса. Разложение по новому базису будет ничуть не хуже, чем разложение по старому, если новый базис также будет ортонор- мированным, т. е. если скалярное произведение (3.13) будет в н¨ем задавать- ся прежней формулой. Оказывается естественным смотреть на волновые функции как на ком- плексные векторы (возможно, бесконечномерные). Аргументы волновых функций при этом нумеруют компоненты вектора в конкретном базисе, а значение волновой функции в точке выступает как компонента вектора. |