Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
12.1. Обезразмеривание Для упрощения выкладок полезно обезразмерить гамильтониан, пред- ставив его в виде: (число с размерностью энергии) × (безразмерный опера- тор). «Число с размерностью энергии» удобно взять не случайным образом, а естественным, т. е. скомбинировать константу с размерностью энергии из параметров задачи. Из унаследованных от классического осциллятора параметров m и ω составить константу с размерностью энергии («естест- венную единицу энергии») для гармонического осциллятора невозможно, однако в квантовой задаче у нас появляется ещ¨е один масштаб — пос- тоянная Планка ¯ h, имеющая размерность действия. Эта размерность мо- жет быть представлена как (действие) = (масса) × (длина) 2 /(время) = = (энергия) × (время) = (импульс) × (длина). Произведение ¯hω имеет как раз размерность энергии, вынося его за скобку, получаем ˆ H = ¯ hω ˆ p 2 2¯ hωm + mω ˆ x 2 2¯ h (12.2) От постоянных множителей в скобках мы можем избавиться, выбрав подхо- дящие единицы измерения координаты и импульса. Поскольку выражение в скобках безразмерно, новые координата ˆ Q и импульс ˆ P оказываются без- размерными: ˆ H = ¯ hω ˆ P 2 2 + ˆ Q 2 2 , (12.3) ˆ P = ˆ p √ ¯ hωm = ˆ p p 0 , ˆ Q = ˆ x mω ¯ h = ˆ x x 0 , (12.4) p 0 = √ ¯ hωm, x 0 = ¯ h mω , p 0 x 0 = ¯ h (12.5) — осцилляторные единицы импульса, координаты и действия (последняя, естественно, совпадает с постоянной Планка ¯ h). До сих пор все наши вык- ладки можно было один к одному повторить для классического осцилля- тора, стерев шляпки над буквами и считая ¯ h просто некоторой константой с размерностью действия. Поскольку коммутатор координаты и импульса [ˆ x, ˆ p] = i¯ h имеет в квантовой механике фундаментальное значение, перепишем его в обез- размеренных операторах (числовые множители можно выносить из-под 330 Г ЛАВА 12 коммутатора): [ ˆ Q, ˆ P ] = ˆ x mω ¯ h , ˆ p √ ¯ hωm = mω ¯ h 1 √ ¯ hωm [ˆ x, ˆ p] = [ˆ x, ˆ p] ¯ h = i. [ ˆ Q, ˆ P ] = i. (12.6) В классической механике роль, аналогичную коммутатору, играет скобка Пуассона, и в точности те же выкладки можно проделать для не¨е, используя соответствие [ ·, ·]/(i¯h) −→ {·, ·}. 12.2. Представление чисел заполнения 12.2.1. Лестничные операторы В переменных Q, P эволюция классического осциллятора сводится к вращению точки на фазовой плоскости вокруг начала координат с посто- янной угловой скоростью ω. Рис. 12.1. Эволюция классического осциллятора сводится к вращению точки на фазовой плоскости (Q, P ). Вращение с постоянной угловой скоростью удобно описывается с по- мощь комплексной переменной z = const · (Q + iP ). Вращение зада¨ется умножением на фазовый множитель: z(t) = e −iωt z(0). 12.2. П РЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ 331 Поскольку в квантовой механике комплексные числа и фазовые мно- жители вида e −iωt являются неотъемлемой частью математического аппа- рата, представляется естественным попробовать ввести аналогичные вели- чины для описания квантового осциллятора: ˆ a = ˆ Q + i ˆ P √ 2 , ˆ a † = ˆ Q − i ˆ P √ 2 (12.7) В отличие от ˆ Q и ˆ P операторы ˆ a и ˆ a † не являются эрмитовыми. Вычислим коммутатор введ¨енных операторов (коммутатор можно рас- сматривать как разновидность умножения, и раскрывать скобки обычным образом, с уч¨етом порядка сомножителей, т. е. операция взятия коммута- тора дистрибутивна относительно сложения): [ˆ a, ˆ a † ] = ˆ Q + i ˆ P √ 2 , ˆ Q − i ˆ P √ 2 = 1 2 [ ˆ Q, ˆ Q] − i[ ˆ Q, ˆ P ] + i[ ˆ P , ˆ Q] + [ ˆ P , ˆ P ] = = 1 2 (0 − i · i + i(−i) + 0) = 1. [ˆ a, ˆ a † ] = 1 ⇔ ˆ aˆ a † = ˆ a † ˆ a + 1. (12.8) Если бы операторы ˆ a и ˆ a † коммутировали, то в соответствии с форму- лой 1 (A − B)(A + B) = A 2 − B 2 их произведение дало бы обезразмерен- ный гамильтониан ˆ H ω¯ h = 1 2 ( ˆ Q 2 + ˆ P 2 ). Однако с уч¨етом некоммутативности операторов получаем: ˆ a † ˆ a = ˆ Q − i ˆ P √ 2 ˆ Q + i ˆ P √ 2 = 1 2 ˆ Q · ˆ Q + i ˆ Q · ˆ P − i ˆ P · ˆ Q + ˆ P · ˆ P = = 1 2 ˆ Q 2 + i[ ˆ Q, ˆ P ] + ˆ P 2 Введ¨ем теперь оператор ˆ N : ˆ N = ˆ a † ˆ a = 1 2 ˆ Q 2 − 1 + ˆ P 2 , (12.9) через который и выразим гамильтониан: ˆ H = ¯ hω ˆ a † ˆ a + 1 2 = ¯ hω ˆ N + 1 2 (12.10) 1 Эта формула справедлива тогда и только тогда, когда [A, B] = AB − BA = 0, поскольку (A − B)(A + B) = A 2 − B 2 + AB − BA = A 2 − B 2 + [A, B]. 332 Г ЛАВА 12 Задача исследования гамильтониана свелась к задаче исследования эрмито- вого 2 оператора числа квантов ˆ N = ˆ a † ˆ a. Мы видим, что в данных выражениях отличие квантовых формул от классических состоит в появлении константы 1 2 . В классическом пределе, когда операторы ˆ Q и ˆ P могут быть заменены большими (по сравнению с единицей) числами, этой добавкой можно пренебречь. Операторы ˆ a и ˆ a † называют лестничными операторами. Смысл этого термина мы сейчас раскроем, для этого вычислим их коммутаторы с опера- тором ˆ N (воспользовавшись формулой [ ˆ A ˆ B, ˆ C] = ˆ A[ ˆ B, ˆ C] + [ ˆ A, ˆ C] ˆ B и фор- мулой [A, B] † = [B † , A † ]): [ ˆ N , ˆ a] = [ˆ a † ˆ a, ˆ a] = ˆ a † [ˆ a, ˆ a] + [ˆ a † , ˆ a]ˆ a = −ˆa, [ ˆ N , ˆ a] † = [ˆ a † , ˆ N ] = −ˆa † Таким образом мы можем записать коммутационные соотношения в едино- образном виде: [ ˆ N , ˆ a ± ] = ±ˆa ± , ˆ a + = ˆ a † , ˆ a − = ˆ a. (12.11) Пусть |ψ n — некоторое собственное состояние оператора ˆ N : ˆ N |ψ n = n |ψ n (12.12) Исследуем как вед¨ет себя состояние |ψ n под действием операторов ˆ a и ˆ a † , подействовав на получившиеся состояния ˆ a |ψ n и ˆ a † |ψ n оператором ˆ N : ˆ N ˆ a |ψ n = (ˆ a ˆ N + [ ˆ N , ˆ a]) |ψ n = (ˆ a ˆ N − ˆa)|ψ n = = ˆ a( ˆ N − 1)|ψ n = ˆ a(n − 1)|ψ n , ˆ N ˆ a † |ψ n = (ˆ a † ˆ N + [ ˆ N , ˆ a † ]) |ψ n = (ˆ a † ˆ N + ˆ a † ) |ψ n = = ˆ a † ( ˆ N + 1) |ψ n = ˆ a † (n + 1) |ψ n , ˆ N (ˆ a ± |ψ n ) = (n ± 1)(ˆa ± |ψ n ). (12.13) Формула (12.13) означает, что для произвольного состояния |ψ n , удовлет- воряющего условию (12.12), состояния a ± |ψ n либо являются собственны- ми, с собственными числами n ± 1, либо являются нулевыми векторами. Поэтому оператор a + = a † называется повышающим оператором, а a − = = a — понижающим оператором. 2 Эрмитовость оператора ˆ N легко проверяется: ˆ N † = (ˆ a † ˆ a) † = ˆ a † ˆ a †† = ˆ a † ˆ a = ˆ N . 12.2. П РЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ 333 Оператор ˆ N имеет только неотрицательные средние: ψ | ˆ N |ψ = ψ|ˆa † ˆ a |ψ = ˆaψ|ˆaψ 0. (12.14) Для собственного состояния имеем ψ n | ˆ N |ψ n = ψ n | n число |ψ n = n ψ n |ψ n 0 ⇒ n 0. (12.15) Возьм¨ем теперь произвольное собственное состояние и начн¨ем на него много раз действовать понижающим оператором: ˆ a |ψ n , ˆ a 2 |ψ n , · · · , ˆa k |ψ n , · · · . Каждый раз оператор ˆ a либо понижает собственное число оператора ˆ N на единицу, либо обнуляет состояние. Поскольку, как мы показали только что, собственные числа оператора ˆ N неотрицательны, рано или поздно очеред- ное состояние |ψ n 0 = const · ˆa k |ψ n (12.16) обнулится под действием ˆ a: ˆ a |ψ n 0 = 0 ⇒ ˆa † ˆ a |ψ n 0 = ˆ N |ψ n 0 = n 0 |ψ n 0 = 0 ⇒ n 0 = 0. Мы видим, что это состояние — собственное для оператора ˆ N с нулевым собственным числом: ˆ a |ψ 0 = 0. (12.17) Оно отвечает минимальной возможной энергии гармонического осцилля- тора E 0 = ¯ hω 2 , а потому называется основным состоянием гармонического осциллятора. Легко видеть, что ненулевое состояние |ψ никогда не обнулится под действием повышающего оператора ˆ a † : ˆ a † ψ |ˆa † ψ = ψ |ˆaˆa † |ψ = ψ| ˆ N + 1 |ψ ψ |ψ > 0. (12.18) Таким образом, начиная с основного состояния |ψ 0 и действуя на него раз за разом повышающим оператором ˆ a † , мы получаем лестницу состоя- ний, нумеруемых целыми неотрицательными числами. Однако надо уточ- нить следующие вопросы: • Сколько может быть линейно независимых состояний |ψ 0i , удовлет- воряющих уравнению (12.17)? Сколько угодно. До сих пор мы не вво- дили никаких условий, которые как бы то ни было ограничивали это число. Мы ещ¨е верн¨емся к этому вопросу. 334 Г ЛАВА 12 • Все ли собственные состояния оператора ˆ N будут получены из |ψ 0i с помощью повышающего оператора ˆ a † ? Все (см. объяснения ниже). – Могут ли быть у оператора ˆ N нецелые собственные числа? Нет. Пусть |ψ n — собственное состояние, отвечающее произвольному числу n, нач н¨ем действовать на него раз за разом понижающим оператором. Рано или поздно (как мы уже упоминали) мы полу- чим (12.16), ч то ˆ a k |ψ n = 0, но ˆ a k+1 |ψ n = 0, это означает, что состояние ˆ a k |ψ n — собственное для оператора ˆ N , с собственным числом 0 = n − k, т. е. n = k — целое неотрицательное число. – Могут ли быть у оператора ˆ N собственные состояния, которые н е получаются из |ψ 0i с помощью повышающего оператора? Нет. Начн¨ем строить собственные состояния оператора ˆ N в виде |ψ ni = c n (ˆ a † ) n |ψ 0i . Предположим, ч то |φ n ∗ — собственное сос- тояние, линейно независимое от |ψ ni и отвечающее собственно- му числу n ∗ . При этом n ∗ > 0, т. к. инач е |φ n ∗ — просто ещ¨е одно состояние из набора {|ψ 0i } i . Выберем минимальное значение n ∗ Подействовав на |φ n ∗ оператором ˆ a, получаем собственное сос- тояние |φ n ∗ −1 = 1 n ∗ · ˆa|φ n ∗ (где ˆ a |φ n ∗ = 0, т. к. n ∗ > 0). Мы видим, что ˆ a † |φ n ∗ −1 = 1 n ∗ · ˆa † ˆ a |φ n ∗ = 1 n ∗ · ˆ N |φ n ∗ = |φ n ∗ . То есть состояние |φ n ∗ получается из состояния |φ n ∗ −1 с помощью оператора ˆ a † . Если |φ n ∗ −1 линейно независимо от |ψ (n ∗ −1)i , то выбранное нами n ∗ не минимально, а если зависимо, то |φ n ∗ представимо через |ψ n ∗ i • Сколько может быть линейно независимых состояний |ψ ni , отвечаю- щих произвольному собственному числу n оператора ˆ N ? (То есть как зависит от n кратность вырождения?) Ровно столько же, сколько для n = 0 (см. первый вопрос), т. е. для всех n непременно поров- ну. Пусть n > 0. Состояния ˆ a |ψ ni ненулевые (т. к. n > 0) и линейно независимые (т. к. если они линейно зависимы, т. е. i c i ˆ a |ψ ni = 0, то 0 = ˆ a † 0 = ˆ a † i c i ˆ a |ψ ni = i c i ˆ a † ˆ a |ψ ni = i c i n |ψ ni , т. е. ли- нейно зависимы исходные состояния). Следовательно, кратность вы- рождения не может увеличиваться с ростом n. Аналогично для любого целого неотрицательного n состояния ˆ a † |ψ ni ненулевые и линейно независимые (т. к. если они линейно зависимы, т. е. i c i ˆ a † |ψ ni = 0, то 0 = ˆ a0 = ˆ a i c i ˆ a † |ψ ni = i c i ˆ aˆ a † |ψ ni = i c i (n + 1) |ψ ni , т. е. линейно зависимы исходные состояния). Следовательно, кратность вы- рождения не может уменьшаться с ростом n. 12.2. П РЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ 335 12.2.2. Базис собственных функций Пусть кратность вырождения равна единице, тогда собственные функ- ции оператора ˆ N нумеруются одним числом n. Эти собственные функции, будучи собственными функциями эрмитова оператора, образуют базис, для элементов которого удобно ввести следующие обозначения: |ψ n = |n . (12.19) Базис является ортогональным, т. к. собственные векторы, отвечающие раз- ным собственным числам, ортогональны. Базисные векторы отнормируем на единицу (поскольку спектр дискретный, это возможно), таким образом k |n = δ kn (12.20) Под действием понижающего оператора базисные векторы ведут себя следующим образом: ˆ a |0 = 0, (12.21) ˆ a |n = c n |n − 1 , c n ∈ C, n > 0. Что мы можем сказать о константах c n ? Сопрягая последнее уравнение и умножая исходное уравнение слева на сопряж¨енное, получаем: n |ˆa † = n − 1|c ∗ n , ⇒ n|ˆa † ˆ a |n = n − 1|c ∗ n c n |n − 1 , n |ˆa † ˆ a |n = n| ˆ N |n = n|n|n = n n|n = n, n − 1|c ∗ n c n |n − 1 = c ∗ n c n n − 1|n − 1 = c ∗ n c n = |c n | 2 |c n | 2 = n ⇔ c n = e iϕ n √ n. Таким образом, используя ортонормированность базиса, мы вычисли- ли c n с точностью до фазовых множителей. Вычислить эти фазовые мно- жители невозможно. Это связано с тем, что условие ортонормируемости зафиксировало наш базис только с точностью до умножения базисных век- торов на произвольные различные фазовые множители: |n = e iφ n |n , c n = e i(φ n −φ n −1 ) c n Не имея возможности вычислить фазовые множители для c n , мы име- ем возможность выбрать их по своему произволу. Мы выберем все c n ве- щественными неотрицательными числами. Это зафиксирует большую часть 336 Г ЛАВА 12 произвола, теперь мы можем умножать наши векторы только на одинаковые фазовые множители ( |n = e iφ 0 |n , а c n = √ n теперь — фиксированные числа): ˆ a |n = √ n |n − 1 . (12.22) Запишем матричные элементы оператора ˆ a для базисных векторов. Мат- ричные элементы оператора ˆ a † получаются эрмитовым сопряжением: k |ˆa|n = √ n δ k,n −1 ⇔ n |ˆa † |k = √ n δ k,n −1 = √ k + 1 δ k+1,n (12.23) Это позволяет представить лестничные операторы в виде матриц ˆ a = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 1 0 0 . . . 0 0 √ 2 0 . . . 0 0 0 √ 3 . . . 0 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ , ˆ a † = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 0 0 . . . 1 0 0 0 . . . 0 √ 2 0 0 . . . 0 0 √ 3 0 . . . ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (12.24) Столбцы и строки нумеруются здесь целыми числами, начиная с нуля. Таким образом, мы получили действие ˆ a † на базисные векторы ˆ a † |n = √ n + 1 |n + 1 . (12.25) На основе (12.25) мы можем выразить состояние |n через основное состо- яние |0 : |n = (ˆ a † ) n √ n! |0 . (12.26) Обратите внимание, формулы (12.22) и (12.25) мы получали по- разному. Это связано с тем, что вывод формулы (12.22) предполагал про- извольную фиксацию фазовых множителей. Выводя формулу (12.25), мы уже не могли фиксировать фазовые множители произвольно, а должны были воспользоваться соглашениями, принятыми ранее, поэтому форму- ла (12.25) была выведена через формулу (12.22). Мы нашли собственные числа оператора ˆ N , используя (12.10) мы мо- жем записать разреш¨енные уровни энергии гармонического осциллятора: E n = ¯ hω n + 1 2 , n = 0, 1, 2, 3, . . . . (12.27) 12.3. П ЕРЕХОД К КООРДИНАТНОМУ ПРЕДСТАВЛЕНИЮ 337 Целое число n можно трактовать как число фиксированных кван- тов энергии ¯ hω, сообщ¨енных осциллятору сверх энергии нулевых коле- баний 1 2 ¯ hω. По этой причине n называют числом заполнения, а разложение волновой функции по базису {|n } ∞ n=0 — представлением чисел заполнения. 12.3. Переход к координатному представлению До сих пор мы не установили кратность вырождения уровней для гармонического осциллятора. Кроме того, выбрав стационарные состояния в качестве базисных, мы ничего не сказали про их вид в координатном представлении. Впрочем, можно просто постулировать нужную кратность вырождения, а все вычисления проводить в представлении чисел заполне- ния. В координатном представлении ˆ x = x, ˆ p = −i¯h ∂ ∂x , ψ(x) = x |ψ . Переходя к обезразмеренным операторам получаем: ˆ Q = Q, ˆ P = −i¯h ∂ ∂(Qx 0 ) 1 p 0 = −i ∂ ∂Q , ψ(Q) = Q |ψ = √ x 0 ψ(x) | x=Q ·x 0 (12.28) Корень √ x 0 возникает как нормировочный множитель, чтобы обеспечить нормировку на единицу для волновой функции, как функции Q: |ψ(Q)| 2 dQ = |ψ(x = Q · x 0 ) | 2 d(x 0 Q) = |ψ(x)| 2 dx = 1. В координатном представлении лестничные операторы принимают вид дифференциальных операторов: ˆ a = Q + ∂ ∂Q √ 2 , ˆ a † = Q − ∂ ∂Q √ 2 (12.29) Если теперь записать уравнение (12.21), то оно превратится в дифферен- циальное уравнение ˆ a |0 = 0 ⇒ Q + ∂ ∂Q √ 2 ψ 0 (Q) = 0. (12.30) 338 Г ЛАВА 12 Мы получили обыкновенное (поскольку у нас одна независимая перемен- ная Q, «круглые» дифференциалы можно заменить на «прямые»), линей- ное, однородное дифференциальное уравнение первого порядка, а значит, решение этого уравнения единственно с точностью до постоянного множи- теля (нормировочной константы). Это уравнение с разделяющимися пере- менными, так что оно без труда решается явно: Qψ 0 + dψ 0 dQ = 0 ⇒ ⇒ dψ 0 ψ 0 = −Q dQ ⇒ ln ψ 0 = − Q 2 2 + const ⇒ ψ 0 = const · e − Q 2 2 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 –4 –2 0 2 4 Рис. 12.2. Основное состояние гармонического осциллятора и его квадрат: ψ 0 (Q) и |ψ 0 (Q) | 2 . Две вертикальные черты обозначают границы классически разреш¨енной области. С точностью до фазы множитель определяется из условия нормировки. Если выбрать фазу так, чтобы функция ψ 0 (Q) была вещественной и поло- жительной, то ψ 0 (Q) = 1 4 √ π · e − Q 2 2 (12.31) Основное состояние единственно, с точностью до множителя, т. е. крат- ность вырождения — единица. Мы можем получить и другие кратности вырождения, если доба- вим волновой функции дополнительные аргументы, например, рассмотрим 12.3. П ЕРЕХОД К КООРДИНАТНОМУ ПРЕДСТАВЛЕНИЮ 339 0.6 0.4 0.2 0 –0.2 –0.4 –0.6 –4 –2 0 2 4 Q Рис. 12.3. Первое возбужд¨енное состояние гармонического осциллятора: ψ 1 (Q) и |ψ 1 (Q) | 2 осциллятор с волновыми функциями вида ψ(Q, m), где Q — непрерывная координата, а m — дискретная переменная, пробегающая K значений (на- пример, проекция спина, тогда K = 2s + 1), даст K-кратно вырожденный спектр. (Собственные функции, отвечающие одинаковой энергии, будут ну- мероваться ещ¨е и значением переменной m.) 0.6 0.4 0.2 0 –0.2 –0.4 –4 –2 0 2 4 Q Рис. 12.4. Второе возбужд¨енное состояние гармонического осциллятора: ψ 2 (Q) и |ψ 2 (Q) | 2 Возбужд¨енные состояния получаются из основного состояния (12.31) с помощью повышающего оператора ˆ a † по формуле (12.26). Но теперь по- 340 Г ЛАВА 12 вышающий оператор оказывается дифференциальным оператором, в соот- ветствии с формулой (12.29): ψ n (Q) = (ˆ a † ) n √ n! ψ 0 (Q) = = 1 √ n! ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ Q − ∂ ∂Q √ 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ n 1 4 √ π · e − Q 2 2 = = ( √ π2 n n!) −1/2 Q − ∂ ∂Q n e − Q 2 2 Поскольку ∂ ∂Q e − Q 2 2 = −Q e − Q 2 2 , из предыдущей формулы легко ви- деть, что волновая функция n-го возбужд¨енного состояния имеет вид ψ n (Q) = ( √ π2 n n!) −1/2 H n (Q) e − Q 2 2 , где H n (Q) — полином степени n, который называется полиномом Че- быш¨ева – Эрмита. Обратите внимание, что как дифференцирование по Q, так и умноже- ние на Q меняют ч¨етность волновой функции, таким образом, под действи- ем операторов ˆ a и ˆ a † ч¨етные волновые функции превращаются в неч¨етные и наоборот. Поскольку ψ 0 (Q) — ч¨етная функция, ч¨етности ψ n (Q) и поли- нома Эрмита H n (Q) соответствуют ч¨етности n. Привед¨ем первые 6 полиномов Эрмита: H 0 = 1, H 1 = 2Q, H 2 = 4Q 2 − 2, H 3 = 8Q 3 − 12Q, H 4 = 16Q 4 − 48Q 2 + 12, H 5 = 32Q 5 − 160Q 3 + 120Q. Мы можем записать формулу для n-го полинома в виде H n (Q) = e Q 2 2 Q − ∂ ∂Q n e − Q 2 2 Данную формулу легко упростить, вставив перед скобками выражение e Q2 2 e − Q2 2 и «пронеся» e − Q2 2 направо через все производные с помощью 12.3. П ЕРЕХОД К КООРДИНАТНОМУ ПРЕДСТАВЛЕНИЮ 341 0.6 0 –0.2 –0.4 –0.6 –4 –2 0 2 4 Q 0.4 0.2 Рис. 12.5. Третье возбужд¨енное состояние: ψ 3 (Q) и |ψ 3 (Q) | 2 очевидной формулы: e − Q 2 2 Q − ∂ ∂Q F (Q) = − ∂ ∂Q e − Q 2 2 F (Q). В результате получаем стандартную «формулу из учебника»: H n (Q) = e Q 2 − ∂ ∂Q n e −Q 2 –10 –5 0 5 10 0.4 0.2 0 –0.2 Q Рис. 12.6. 50-е возбужд¨енное состояние гармонического осциллятора: ψ 50 (Q) и |ψ 50 (Q) | 2 |