Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
13.5.4. Квазиклассическое квантование В квазиклассическом приближении волновые функции выписываются через функцию p(x), описывающую соответствующую классическую тра- екторию (а также через мнимое продолжение функции p(x) на классически запрещ¨енную область). Мы знаем, как поведение потенциала на бесконеч- ности позволяет выделить непрерывный спектр. Теперь мы хотим по клас- сическому движению частицы определить дискретный спектр. Пусть частица движется в потенциальной яме, прич¨ем классически разреш¨енная область представляет собой отрезок [a, b]. Интеграл 1 ¯ h b a p(X) dX да¨ет приращение фазы между точками a и b. В случае бесконечновысоких стенок в точках a и b набег фазы должен быть кратен числу π (целое чис- ло полуволн). Если потенциал вблизи точек поворота близок к линейному, то, как мы определили ранее, ширина ямы с каждой стороны эффективно увеличивается на четверть полуволны и мы получаем 1 ¯ h b a p(X) dX + π 2 = n, n = 1, 2, 3, . . . . Повторим те же рассуждения, более аккуратно выписывая промежу- точные формулы. В классически разреш¨енной области мы можем записать волновую функцию двумя разными способами, которые должны быть сог- ласованы: ψ(x) = C a p(x) sin ⎛ ⎝ 1 ¯ h x a p(X) dX + π 4 ⎞ ⎠ = 384 Г ЛАВА 13 = C b p(x) sin ⎛ ⎝ 1 ¯ h x b p(X) dX − π 4 ⎞ ⎠ = = C a p(x) sin ⎛ ⎝ 1 ¯ h b a p(X) dX + 1 ¯ h x b p(X)dX + π 4 ⎞ ⎠. (13.37) Согласованность возможна при C a = ±C b , если разность аргументов синуса составляет целое число полупериодов: 1 ¯ h b a p(X) dX + π 2 = π(n + 1), n = 0, 1, 2, . . . . На фазовой плоскости (x, p) интеграл от a до b представляет собой интеграл по полупериоду — половину площади траектории, ограниченной кривой (x(t), p(t)). Пройдя из a в b частице, чтобы замкнуть период, надо ещ¨е вернуться обратно, при этом импульс будет принимать те же значения с противоположным знаком −p(x). Поэтому правило квантования обычно пишут через интеграл по периоду p(X) dX = 2π¯ h(n + 1 2 ), n = 0, 1, 2, . . . (13.38) Это правило называют правилом (квазиклассического) квантования Бора – Зоммерфельда. Исторически оно предшествовало созданию последователь- ной квантовой теории и было одним из основных положений так называе- мой старой квантовой механики. Мы можем обобщить правило Бора – Зоммерфельда, записав p(X) dX = ¯ h(2πn + 2[π − ϕ a − ϕ b ]), n = 0, 1, 2, . . . (13.39) Здесь ϕ a и ϕ b — фазы волновой функции вблизи точек поворота (ϕ 0 в урав- нении (13.31)). 13.5.5. Спектральная плотность квазиклассического спектра Оценим интервал между соседними уровнями энергии при усло- вии применимости правила квазиклассического квантования Бора – Зоммер- фельда. 13.5. К ВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 385 С уч¨етом параллельности dx и p вдоль траектории запишем правило Бора – Зоммерфельда J [E, x(l)] = Γ pdx = Γ |p|·|dx| dl = Γ 2m(E − U(x)) |p| dl = 2π¯ h n + 1 2 , здесь J [E, x(l)] — адиабатический инвариант, как функция энергии и тра- ектории в конфигурационном пространстве. Проварьируем это равенство: δJ [E, x(l)] = δJ δE δE + Γ δJ δx(l) δx(l) dl =0 на классич. x(l) = 2π¯ h δn. Вариация по траектории для решений классических уравнений движения да¨ет нуль. Оста¨ется δJ [E, x(l)] = δJ δE δE = δE Γ ∂ ∂E 2m(E − U(x)) dl = = δE Γ m 2m(E − U(x)) m |p| = 1 v dl. Здесь v = |p| m = dl dt — скорость. δJ [E, x(l)] = δE Γ dl v = δE Γ dt = δE · T = 2π¯hδn, T = 2π ω — период классического движения по траектории Γ. Пусть δn = 1, что соответствует изменению номера уровня на один, тогда δE — расстояние между уровнями: δE · T = δE 2π ω = 2π¯ h ⇔ δE = ¯ hω. 386 Г ЛАВА 13 Спектральная плотность — число уровней на единичный интервал энергии — величина, обратная к δE: ρ(E) = 1 δE = 1 ¯ hω δE соответствует также энергии фотона, который должна излучить частица, чтобы перейти на уровень ниже, а ω — частота этого фотона, кото- рая оказывается равна частоте обращения частицы. Это равенство частоты обращения частицы и частоты излучаемой электромагнитной волны есте- ственно в классической электродинамике, но в квантовой механике частота фотона связана исключительно с его энергией. В квазиклассическом преде- ле эти частоты совпали, т. е. предсказания квантовой механики переходят в предсказания классической теории, как и должно быть согласно принципу соответствия. 13.5.6. Квазистационарные состояния в квазиклассике Применяя правило квантования Бора – Зоммерфельда (13.38) или (13.39), мы можем получить «лишние» состояния дискретного спек- тра, которых с точки зрения квантовой механики быть не должно. Эти состояния соответствуют классическому периодическому движению с энер- гией, для которой возможно также убегание частицы на бесконечность (см. рис. 13.5). U x E ( ), x Рис. 13.5. Стационарные (сплошные) и квазистационарные (пунктирные) уровни. Эти «лишные» уровни — квазистационарные состояния. В соответ- ствии с классической теорией помещ¨енная в квазистационарное состоя- ние система может на протяжении длительного времени оставаться в этом состоянии, однако на больших временах проявляются квантовые свойства, и система может протуннелировать через потенциальный барьер и уйти на бесконечность. 13.5. К ВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 387 Время жизни квазистационарного состояния мы можем оценить, зная вероятность туннелирования (D, мы оцениваем е¨е в разделе 13.5.7 «Ква- зиклассическая вероятность туннелирования») и классический период ко- лебаний системы (T ). Если частица может убежать через обе стенки с ве- роятностями D 1 1 и D 2 1, то за период T вероятность убегания составляет D = D 1 + D 2 . Таким образом, вероятность убегания в единицу времени (обратная времени жизни состояния τ 0 ) 1 τ 0 = D T ⇒ τ 0 = T D T. Благодаря соотношению неопредел¨енности (7.9), квазистационарный уровень имеет ширину (7.13) δE 0 = ¯ h 2τ 0 Зависимость от времени квазистационарного состояния включает, помимо обычной комплексной экспоненты, ещ¨е и вещественную экспоненту, обес- печивающую экспоненциальное затухание (распад) уровня с характерным временем τ 0 : 3 ψ(t) = ψ 0 e − i ¯ h E 0 t e − t 2τ 0 = ψ 0 e − i ¯ h (E 0 −i ¯ h 2τ 0 )t Мы видим, что для временной эволюции квазистационарного состояния энергия получает мнимую добавку: E = E 0 − i ¯ h 2τ 0 = E 0 − i δE 0 Встречающиеся в физике квазистационарные состояния могут иметь времена жизни от исчезающемалых до очень больших (превышающих воз- раст Вселенной). Все нестабильные частицы и радиоактивные ядра следует рассматривать как квазистационарные состояния. Современные физики не уверены даже в протоне: является ли протон стационарными или только квазистационарным состоянием с большим временем жизни. Таким обра- зом, нахождение квазистационарных состояний (хотя эта задача труднее формализуется математически) может быть не менее важно, чем нахожде- ние настоящих стационарных состояний. При распаде квазистационарных 3 При вычислении вероятности амплитуда возводится в квадрат, так что показатели экспо- ненты для амплитуды и для вероятности отличаются в два раза. 388 Г ЛАВА 13 состояний продукты распада обычно вылетают с энергиями, недостаточны- ми для преодоления потенциального барьера, т. е. они вылетают благодаря туннельному эффекту. Правило Бора – Зоммерфельда также требует поправок, если потенци- альная яма разделена барьером, через который частица может туннелиро- вать туда-сюда. Ниже такая ситуация упоминается в разделе 13.5.8 «Не- сколько слов об инстантонах**». 13.5.7. Квазиклассическая вероятность туннелирования Рассмотрим в квазиклассическом приближении одномерную задачу рассеяния. Прежде всего отметим, что в классически разреш¨енной области квазиклассическая волновая функция (S(x) с точностью до второго члена по ¯ h) (13.23) ψ(x) ≈ C p(x) exp ± i ¯ h p(x) dx описывает частицу, которая по всей оси движется в одну сторону с посто- янной плотностью потока вероятности. Таким образом, надбарьерное отражение (E > U (x)) квазиклассичес- ким приближением (S(x) с точность до второго члена по ¯ h) не описывается. Если высота потенциального барьера больше E, то мы можем восполь- зоваться квазиклассическим приближением. Мы рассмотрим случай широкого потенциального барьера, с точками входа и выхода a и b (E = U (a) = U (b)). При этом естественный масштаб ширины барьера — длина затухания волновой функции внутри него: l(x) = ¯ h |p(x)| Поскольку масштаб l(x) внутри барьера, как правило, переменный, крите- рий ширины записывается через набегающую внутри барьера фазу (мни- мую) волновой функции: L = b a dX l(X) мера dX = 1 ¯ h b a |p(X)| dX 1. L — интервал от a до b, измеренный линейкой переменной длины l(x) (в длинах затухания). 13.5. К ВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 389 Для широкого барьера мы имеем коэффициент отражения, близкий к 1, т. е. суперпозиция падающей и отраж¨енной волн приблизительно зада¨ется через sin, как у границы потенциальной ямы (13.33). При этом внутри ба- рьера, как и ранее при рассмотрении потенциальной ямы, преобладает за- тухающая экспонента. Величина экспоненты внутри барьера снижается в e −L раз. Поскольку эта величина связана с амплитудой вероятности, то соответствующий вклад в коэффициент прохождения составляет D 0 = e −2L Однако мы пока не учли вклад в коэффициент прохождения предэкспо- ненциального множителя 1 √ p(x) и условий сшивки в точках входа и выхода. Как мы уже обсуждали ранее (13.5.1 «Как угадать и запомнить ква- зиклассическую волновую функцию»), предэкспоненциальный множитель учитывает переменную скорость частицы, летящей в переменном потенциа- ле, тогда как экспонента зада¨ет поток частиц. Таким образом, изменение предэкспоненциального множителя не да¨ет вклада в поток и коэффициент прохождения. Условия сшивки волновой функции в точках входа и выхода могут дать дополнительные множители порядка 1: D = D 0 · D a · D b , D a , D b ∼ 1. Если точки входа и выхода «устроены одинаково», и в окрестностях обоих потенциал может быть приближен линейной функцией, то, в силу симметрии входа в барьер и выхода из него, D b = 1 D a В этом случ ае D = D 0 = e −2L = exp ⎛ ⎝− 2 ¯ h b a |p(X)| dX ⎞ ⎠. (13.40) Заметим, что формулу (13.40) мы не столько вывели, сколько угадали. Строгий вывод требует более аккуратного рассмотрения условий сшивки в точках входа и выхода, и в частности доказательства возможности прене- бречь внутри барьера возрастающим членом волновой функции. 390 Г ЛАВА 13 13.5.8. Несколько слов об инстантонах** Внимательно рассмотрим показатель экспоненты в формуле для квази- классического коэффициента прохождения через барьер: 2 ¯ h b a |p(x)| dx = −i 2 ¯ h b a 2m(E − U(x)) dx = 2 ¯ h b a 2m( −E + U(x)) dx. Последнее выражение может быть переписано как 1 ¯ h умножить на действие по периоду для колебания между точками a и b с зависимостью импульса от координаты p − (x) = ± 2m(−E + U(x)): 1 ¯ h p − (x) dx = 2 1 ¯ h b a p − (x) dx. Такая зависимость p − (x) может быть получена из обычной изменением знака энергии: E → −E, U (x) → −U(x). Мнимое действие (интеграл от мнимого импульса) можно также опи- сать как движение с мнимой скоростью. А поскольку перемещение между точками a и b вещественно, такая скорость соответствует мнимому измене- нию времени. Если вспомнить, что амплитуда вероятности, соответствующая движе- нию с действием S, зада¨ется как (3.17) e i ¯ h S , то мы получаем возможность рассматривать туннелирование через барьер, не суммируя обычные (классически запрещ¨енные) траектории (вклад ко- торых практически компенсируется, в результате чего формула сходится очень медленно), а беря одну классически разреш¨енную траекторию с мни- мым временем движения: D = e i ¯ h S 2 , S = 2 ¯ h b a 2m(E − U(x)) dx. Движение через потенциальный барьер с мнимым временем называют инстантонным движением. 13.6. С ОХРАНЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ И УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ 391 Если мы имеем потенциальную яму, раздел¨енную барьером на две по- ловины, то туннелирование через барьер приводит к тому, что система, помещ¨енная в одну половину ямы, начинает колебаться, поочер¨едно тунне- лируя туда-сюда. Такое состояние называют инстантоном. Инстантоны возникают в различных задачах теории конденсированно- го состояния и квантовой теории поля, они, в частности, могут возникать при спонтанном нарушении симметрии как колебания вакуумного поля. 13.6. Сохранение вероятности и уравнение непрерывности Как мы уже писали ранее (5.1.1 «Унитарная эволюция и сохранение вероятности»), сохранение полной вероятности является одним из фунда- ментальных принципов квантовой теории. При этом сохранение полной вероятности (вместе с линейностью и обратимостью) приводит к унитар- ности эволюции замкнутой системы. Однако полная вероятность может быть записана как интеграл от плот- ности вероятности в конфигурационном пространстве. В силу непрерывнос- ти уравнений квантовой механики представляется интересным переписать условие сохранения вероятности в дифференциальной форме, как уравне- ние непрерывности для плотности вероятности. Таким образом, мы имеем вектор состояния, заданный как волновая функция ψ(Q) на конфигурационном пространстве. Здесь Q — совокуп- ность обобщ¨енных координат Q n (координат в конфигурационном про- странстве). Мы знаем, что (Q) = |ψ(Q)| 2 , (Q) dQ = 1 = const — плотность вероятности в конфигурационном пространстве. Уравнение непрерывности должно иметь вид ∂ ∂t + div j = 0, (13.41) где div j = n ∂j n ∂Q n — дивергенция в конфигурационном пространстве от вещественного векторного поля j, которое зада¨ет плотность потока веро- ятности. Стоящая перед нами задача — выразить j через ψ и показать, что най- денное выражение удовлетворяет уравнению непрерывности (13.41). 392 Г ЛАВА 13 13.6.1. Как угадать и запомнить плотность потока вероятности Прежде чем приступать к строгим выкладкам, угадаем ответ. Для классического распределения частиц j(Q) = (Q) v(Q), где v(Q) — скорость частиц в данной точке. Для волны де Бройля ˆ pψ = pψ = mv ψ. Эта же формула приближ¨енно справедлива для квазиклассической волно- вой функции, но теперь v уже является функцией от координат: ˆ pψ(Q) ≈ mv(Q) ψ(Q). Умножая полученную формулу на ψ ∗ (Q), получаем ψ ∗ (Q) ˆ pψ(Q) ≈ mv ψ(Q) ψ ∗ (Q) = mv ρ(Q). Таким образом, для волн де Бройля мы можем написать j(Q) = ρ(Q) v(Q) = 1 m ψ ∗ (Q) ˆ pψ(Q). Эта же формула должна быть по крайней мере приближ¨енно справедли- ва для квазиклассических волновых функций, но выражение ψ ∗ (Q)ˆ pψ(Q) в общем случае является комплексным. Поэтому возьм¨ем от получившего- ся выражения вещественную часть. Новая гипотеза такова: j(Q) = 1 m Re ψ ∗ (Q)ˆ pψ(Q) = 1 2m (ψ ∗ (Q) ˆ pψ(Q) + ψ(Q)(ˆ pψ(Q)) ∗ ). Как мы убедимся далее, это и есть искомая формула для гамильтониана вида ˆ H = ˆ p 2 2m + U (Q). В учебниках по квантовой механике, с уч¨етом ˆ p = = −i¯h∇, е¨е обычно записывают в следующем виде: j = i¯ h 2m ( −ψ ∗ ∇ψ + ψ∇ψ ∗ ). (13.42) Если параметризовать волновую функцию через плотность вероятнос- ти ρ(x) = |ψ(x) 2 | и фазу ϕ(x) = arg ψ(x), то ψ(x) = ρ(x) e iϕ(x) ⇒ j = ρ(x) ¯ h m ∇ϕ(x) скорость , (13.43) 13.6. С ОХРАНЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ И УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ 393 это соответствует тому, что плотность потока вероятности оказывается рав- на плотности вероятности ρ(x), умноженной на скорость ¯ h m ∇ϕ(x), которая выражается через градиент фазы ∇ϕ(x). Это позволяет придать физичес- кий смысл фазе волновой функции, записанной в координатном представ- лении. 13.6.2. Многочастичный случай Рассмотрим гамильтониан следующего вида: ˆ H = 1 2 (M −1 ) nk ˆ p n ˆ p k + U (Q) = −¯h 2 2 (M −1 ) nk ∇ n ∇ k + U (Q). (13.44) Здесь мы ввели симметричную матрицу обратной массы (M −1 ) nk . По пов- торяющимся индексам n и k подразумевается суммирование 4 ∂ρ ∂t = ∂(ψ ∗ ψ) ∂t = ∂ψ ∗ ∂t ψ + ψ ∗ ∂ψ ∂t = ψ ˆ Hψ i¯ h ∗ + ψ ∗ ˆ Hψ i¯ h = = ψ 1 − i¯h −¯h 2 2 (M −1 ) nk ∇ n ∇ k + U (Q) ψ ∗ + + ψ ∗ 1 i¯ h −¯h 2 2 (M −1 ) nk ∇ n ∇ k + U (Q) ψ = = ψ 1 − i¯h −¯h 2 2 (M −1 ) nk ∇ n ∇ k ψ ∗ + ψ ∗ 1 i¯ h −¯h 2 2 (M −1 ) nk ∇ n ∇ k ψ = = −i¯h 2 (M −1 ) nk (ψ ∇ n ∇ k ψ ∗ − ψ ∗ ∇ n ∇ k ψ) = = −∇ n i¯ h 2 (M −1 ) nk (ψ ∇ k ψ ∗ − ψ ∗ ∇ k ψ) = −∇ n j n Таким образом, (13.41) выполняется для плотности потока вероятнос- ти, компоненты которой задаются так: j n = i¯ h 2 (M −1 ) nk (ψ ∇ k ψ ∗ − ψ ∗ ∇ k ψ) = 1 2 (M −1 ) nk (ψ (ˆ p k ψ) ∗ + ψ ∗ ˆ p k ψ). (13.45) 4 Сделаем специальное замечание для тех, кто хорошо знаком с тензорами. Матрица (M −1 ) nk и обратная к ней матрица M nk выступают в роли обратной и прямой метрики. Ком- поненты импульса ˆ p n — компоненты ковектора, компоненты скорости ˆ v k = ˆ p n (M −1 ) nk — компоненты вектора, получающегося из импульса подниманием индекса с помощью обратной метрики (M −1 ) nk . Кинетическая энергия ˆ T = 1 2 (M −1 ) nk ˆ p n ˆ p k = 1 2 M nk ˆ v n ˆ v k — половина скалярного квадрата от вектора ˆ v, или ковектора ˆ p. 394 Г ЛАВА 13 Если ввести оператор скорости как ˆ v n = d ˆ Q n dt = (M −1 ) nk ˆ p k , то выра- жение упрощается, прич¨ем, как и раньше, оно может быть записано через плотность вероятности ρ = |ψ| 2 и фазу ϕ = arg ψ: j n = 1 2 (ψ (ˆ v n ψ) ∗ + ψ ∗ ˆ v n ψ) = Re(ψ ∗ ˆ v n ψ) = ρ (iˆ v n ϕ) скорость (13.46) |