Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
15.4.1. Вращения для спина 1 и для векторов Оператор поворота для спина 1, как и для любого другого момента, зада¨ется формулой R n (ϕ) = e iϕˆ s n Поскольку собственные числа ˆ s n равны +1, 0, −1, их третья степень, как и для σ-матриц, да¨ет исходную матрицу. Таким образом, s 3 n = s n ⇒ ∀n = 0, 1, 2, . . . , s 2n+2 n = s 2 n = s 0 n = E, s 2n+1 n = s n (15.16) Аналогичные соотношения мы получали ранее, для генераторов матриц по- ворота в тр¨ехмерном пространстве (15.2). В этом состоит специфика спи- на 1. Разлагая экспоненту в ряд, получаем: R n (ϕ) = e iϕˆ s n = ∞ n=0 (iϕˆ s n ) n n! = E + ˆ s n ∞ n=0 (iϕ) 2n+1 (2n + 1)! i sin ϕ +ˆ s 2 n ∞ n=1 (iϕ) 2n (2n)! (cos ϕ −1) , R n (ϕ) = E + ˆ s n i sin ϕ + ˆ s 2 n (cos ϕ − 1), ˆ s n = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ +n z n − √ 2 0 n + √ 2 0 n − √ 2 0 n + √ 2 −n z ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ , ˆ s 2 n = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 + n 2 z 2 n z n − √ 2 n − 2 2 n z n + √ 2 1 − n 2 z − n z n − √ 2 n + 2 2 − n z n + √ 2 1 + n 2 z 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Выше (см. 15.1.1 «Генераторы вращений (л)») мы уже получали тр¨ех- мерное неприводимое представление группы вращений с помощью обыч- ных ортогональных матриц поворотов. Вернулись ли мы к тому же самому представлению в иной форме, или получили что-то новое? 444 Г ЛАВА 15 Если мы следующим образом свяжем базис состояний {|1, m } +1 m= −1 с базисом единичных векторов вдоль декартовых осей координат {e α } 3 α=1 , то матрицы j α , генерирующие ортогональные матрицы поворотов перейдут, в матрицы компонент ˆ s α спина 1: |1, +1 = − e x − ie y √ 2 = − e + √ 2 , |1, 0 = e z , |1, −1 = e x − ie y √ 2 = e − √ 2 (15.17) e x = − |1, +1 + |1, −1 √ 2 , e y = i |1, +1 + i|1, −1 √ 2 , e z = |1, 0 . (15.18) Таким образом, представление группы вращений для спина 1 с точ- ностью до комплексной замены базиса совпадает с привычным нам из стереометрии и классической механики векторным представлением груп- пы вращений, когда повороты отождествляются с матрицами собственных вращений, действующими на векторы из R 3 15.4.2. Спин и поляризация фотона Фотон — квант электромагнитного поля. Как мы обсуждали в разде- ле 12.11 «Квантованные поля (ф*)», при квантовании электромагнитного поля в ящике с периодическими граничными условиями каждой моде коле- баний, характеризующейся волновым числом k и поляризацией σ, ставит- ся в соответствие гармонический осциллятор с частотой, равной частоте моды. Число заполнения данного осциллятора рассматривается как число фотонов с данными k и σ. Каков спин фотона? Этот вопрос эквивалентен вопросу о том, как пере- менная, характеризующая фотон, но не связанная с его движением (т. е. по- ляризация), преобразуются при вращениях. Поляризация σ электромагнитной волны описывается с помощью век- тора поляризации e σ . Как мы установили выше (15.17), (15.18), вектор преобразуется по представлению спина 1. То есть фотон — векторная ча- стица — частица со спином 1. Однако у частицы со спином 1 должно быть 3 поляризации, а у фото- на — только 2. Какая поляризация пропала? Рассмотрим одну конкретную моду колебаний. Пусть волновой век- тор k (и импульс ¯ hk) направлен по оси z. В соответствии с уравне- ниями (15.18) спиновые состояния соответствуют следующим поляриза- циям: 15.5. С ЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ * 445 • |1, +1 = −e x −ie y √ 2 — спин направлен вдоль импульса — правая кру- говая поляризация (вращение поля связано с направлением k правым винтом); • |1, −1 = e x −ie y √ 2 — спин направлен против импульса — левая круговая поляризация (вращение поля связано с направлением k левым винтом); • |1, 0 = e z — проекция спина на импульс равна нулю — продольная поляризация (поле колеблется вдоль импульса). Однако электромагнитная волна — поперечная волна и продольная по- ляризация для не¨е отсутствует. Если мы зада¨ем поляризацию электромаг- нитной волны направлением вектора E, то продольная поляризация отсут- ствует с самого начала, а если направлением векторного потенциала A, то вклад в поле продольной части A в точности компенсируется вкладом скалярного потенциала ϕ. Так и для квантованного электромагнитного по- ля (в зависимости от используемого формализма): продольная поляризация либо отсутствует с самого начала, либо нефизична (не да¨ет вклада). Такая ситуация является типичной для любых безмассовых (движу- щихся со скоростью света) частиц: вне зависимости от спина имеется две поляризации: по часовой стрелке (проекция спина на импульс +s) и против часовой стрелки (проекция спина на импульс −s). Это связано с тем, что мы не можем выбрать для такой частицы систему покоя, в любой системе отсч¨ета есть выделенное направление (вдоль импульса), и симметрия ока- зывается ниже, чем стандартная SU(2). Иногда для таких частиц избегают применять слово спин и говорят спиральность. 15.5. Сложение моментов* Пусть система состоит из двух подсистем, для каждой из которых определены операторы момента импульса j 1 и j 2 . Пусть также для каждой из подсистем определ¨ен квадрат момента импульса (j 1 (j 1 + 1) и j 2 (j 2 + + 1) соответственно). Для системы мы можем ввести базис, состоящий из состояний вида |m 1 |m 2 = |j 1 , m 1 |j 1 , m 2 (В обозначении |m 1 |m 2 мы опустили фиксированные квантовые числа j 1 и j 2 .) Таким образом, мы имеем базис собственных векторов для операторов ˆ j 2 1 , ˆ j 1z , ˆ j 2 2 , ˆ j 2z . Наша задача — построить базис собственных векторов для операторов суммарного момента ˆ J 2 = (j 1 + j 2 ) 2 и ˆ J z = ˆ j 1z + ˆ j 2z 446 Г ЛАВА 15 (*) С точки зрения теории представлений, мы имеем произведение двух неприводимых представлений группы SU(2), отвечающих момен- там j 1 и j 2 , и нам надо разложить произведение в сумму неприводимых представлений. Проще всего с оператором ˆ J z . Базисные состояния |m 1 |m 2 для него уже является собственными: ˆ J z |m 1 |m 2 = (ˆ j 1z + ˆ j 2z ) |m 1 |m 2 = (m 1 + m 2 ) M |m 1 |m 2 = M |m 1 |m 2 Если отложить по осям координат квантовые числа m 1 и m 2 , то новое квантовое число M надо будет откладывать по оси, направленной по диа- гонали (см. рис. 15.4). При этом, M пробегает с шагом 1 все значения от −(j 1 + j 2 ) до j 1 + j 2 . Кратность различных значений M (число точек, на тонких линиях попер¨ек оси M на рис. 15.4) меняется от 1 (при M = ±(j 1 + + j 2 )) до 2j 1 + 1, где j 1 — наименьший из двух моментов. 1 2 3 4 5 1 2 2 4 1 3 5 0 6 6 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -1 -2 -3 -4 -5 -6 m 2 M m m = + 1 2 j j 1 2 + j 1 j 2 m 1 –( ) j j 1 2 + Рис. 15.4. Связь M с m 1 и m 2 Начн¨ем с состояния с максимальным значением проекции момента. Такое состояние только одно: |j 1 |j 2 . Под действием оператора ˆ J + = ˆ j 1+ + + ˆ j 2+ оно обнуляется ˆ J + |j 1 |j 2 = (ˆ j 1+ + ˆ j 2+ ) |j 1 |j 2 = (ˆ j 1+ |j 1 ) 0 |j 2 + |j 1 (ˆ j 2+ |j 2 ) 0 = 0, 15.5. С ЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ * 447 значит в этом состоянии проекция момента достигает максимальной вели- чины и мы можем записать первый вектор нового базиса: | j 1 + j 2 J , j 1 + j 2 M = |j 1 |j 2 Действуя 2(j 1 +j 2 ) раз на состояния |j 1 +j 2 , j 1 +j 2 понижающим опе- ратором ˆ J − = ˆ j 1 − + ˆ j 2 , мы можем найти остальные состояния, для которых J = j 1 + j 2 , а M меняется от −J до +J с шагом 1. ((*) Тем самым мы вы- деляем первое неприводимое представление, отвечающее моменту j 1 + j 2 .) В частности однократное применение понижающего оператора да¨ет: ˆ J − |j 1 + j 2 , j 1 + j 2 = 2(j 1 + j 2 ) |j 1 + j 2 , j 1 + j 2 − 1 = = (ˆ j 1 − + ˆ j 2 − ) |j 1 |j 2 = (ˆ j 1 − |j 1 ) |j 2 + |j 1 (ˆ j 2 − |j 2 ) = = 2j 1 |j 1 − 1 |j 2 + 2j 2 |j 1 |j 2 − 1 , | j 1 + j 2 J , j 1 + j 2 − 1 M = √ j 1 |j 1 − 1 |j 2 + √ j 2 |j 1 |j 2 − 1 √ j 1 + j 2 У нас имеется два линейно независимых состояния, для которых M = = j 1 + j 2 − 1 (см. рис. 15.4). Если из тех же состояний составить комбина- цию, ортогональную состоянию |j 1 + j 2 , j 1 + j 2 − 1 , то мы получ им | j 1 + j 2 − 1 J , j 1 + j 2 − 1 M = √ j 2 |j 1 − 1 |j 2 − √ j 1 |j 1 |j 2 − 1 √ j 1 + j 2 То, что в данном состоянии J = M , проверяется с помощью повышающего оператора: ˆ J + ( j 2 |j 1 −1 |j 2 − j 1 |j 1 |j 2 −1 ) = 2j 1 j 2 |j 1 |j 2 j 1+ | . . . − 2j 1 j 2 |j 1 |j 2 j 2+ | . . . = 0. Из состояния |j 1 + j 2 − 1, j 1 + j 2 − 1 с помощью понижающего оператора ˆ J − мы получаем остальные состояния с J = j 1 + j 2 − 1 и другими M. Таким образом, мы из соображений ортогональности находим все сос- тояния вида |J, J при J = j 1 + j 2 , j 1 + j 2 − 1, . . . , |j 1 − j 2 |. С помощью оператора ˆ J − мы получаем все состояния |J, M , для которых M < J. 448 Г ЛАВА 15 Общее число состояний нового базиса такое же, как у старого: j 1 +j 2 J = |j 1 −j 2 | (2J + 1) = (j 1 + j 2 − |j 1 − j 2 | + 1) число слагаемых (j 1 + j 2 + |j 1 − j 2 | + 1) среднее слагаемое = = (2j 1 + 1)(2j 2 + 1). (*) Таким образом, мы разлагаем произведение неприводимых пред- ставлений группы вращений, отвечающих моментам j 1 и j 2 , в сумму непри- водимых представлений, отвечающих моментам j 1 +j 2 , j 1 +j 2 −1, . . . , |j 1 − − j 2 |. Коэффициенты разложения векторов нового базиса по старому m 1 , m 2 |J, M называются коэффициентами векторного сложения или коэффициентами Клебша – Гордана, они образуют унитарную матрицу, т. к. описывают орто- нормированную замену координат. Как и всякие скалярные произведения ортонормированных волновых функций, коэффициенты Клебша – Гордана задают амплитуды перехода между соответствующими состояниями. 15.5.1. Сложение спинов 1 2 + 1 2 Проиллюстрируем процедуру сложения моментов импульса на прос- тейшем случае двух спинов 1 2 В соответствии с общей схемой, начн¨ем с состояния с максимальной проекцией момента: |1, 1 = |+ |+ , ˆ S − |1, 1 = √ 2 |1, 0 = (ˆs 1 − + ˆ s 2 − ) |+ |+ = = (ˆ s 1 − |+ ) |− |+ + |+ (ˆs 2 − |+ ) |− = |− |+ + |+ |− , |1, 0 = |− |+ + |+ |− √ 2 , ˆ S − |1, 0 = √ 2 |1, −1 = (ˆs 1 − + ˆ s 2 − ) |− |+ + |+ |− √ 2 = = |− (ˆs 2 − |+ ) + (ˆs 1 − |+ )|− √ 2 15.5. С ЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ * 449 |1, −1 = |− |− . Состояние |0, 0 получаем как линейную комбинацию состояний |+ |− и |− |+ (состояния с нулевой проекцией спина), ортогональную состоя- нию |1, 0 : |0, 0 = |− |+ − |+ |− √ 2 Все состояния с суммарным спином 1 оказались ч¨етными, относитель- но перестановки спинов, а состояние с суммарным спином 0 — неч¨етным. Если спины относятся с двум тождественным частицам (фермионам, т. к. спин 1 2 ), то волновая функция должна быть неч¨етной (менять знак) относительно перестановки двух частиц: ψ(r 1 , σ 1 ; r 2 , σ 2 ) = −ψ(r 2 , σ 2 ; r 1 , σ 1 ). Мы можем отделить спиновую волновую функцию от координатной, если волновая функция факторизуется: ψ(r 1 , σ 1 ; r 2 , σ 2 ) = φ(r 1 , r 2 ) · χ(σ 1 , σ 2 ). Условие неч¨етности принимает вид φ(r 1 , r 2 ) · χ(σ 1 , σ 2 ) = −φ(r 2 , r 1 ) · χ(σ 2 , σ 1 ). Таким образом, если χ(σ 1 , σ 2 ) = ±χ(σ 2 , σ 1 ) («+» для спина 1, « −» для спина 0), то φ(r 1 , r 2 ) = ∓φ(r 2 , r 1 ). То есть в данном случае ч¨етность координатной части волновой функ- ции двух тождественных частиц соответствует ч¨етности суммарного спина («+» для спина 0, « −» для спина 1). Подробнее этот вопрос разобран в сле- дующем разделе 15.5.2. Ч¨етность при сложении двух одинаковых спинов Пусть складываются два одинаковых момента импульса s 1 = s 2 = s. Введ¨ем оператор перестановки спинов ˆ P s : ˆ P s |m 1 |m 2 = |m 2 |m 1 450 Г ЛАВА 15 Оператор обратим и сохраняет скалярное произведение, т. е. он унитарен ˆ P † s = ˆ P −1 s . Кроме того, оператор совпадает со своим обратным ˆ P s = ˆ P −1 s , следовательно, он одновременно эрмитов. Унитарный эрмитов оператор мо- жет иметь собственные числа только ±1. Состояние с максимальной проекцией момента оказывается ч¨етным, относительно их перестановки: |2s, 2s = |s |s . Оператор ˆ S − = ˆ s 1 − + ˆ s 2 − переводит ч¨етные состояния снова в ч¨етные, а неч¨етные — в неч¨етные, т. е. ˆ S − сохраняет ч¨етность: [ ˆ S − , ˆ P s ] = 0. Таким образом, все состояния с максимальным спином |2s, M , M = −s, . . . , +s оказываются ч¨етными. Состояние с суммарным спином 2s − 1 строится как ортогональное к состоянию |2s, 2s − 1 = |s − 1 |s + |s |s − 1 √ 2 , т. е. |2s − 1, 2s − 1 = |s − 1 |s − |s |s − 1 √ 2 Таким образом, состояние |2s − 1, 2s − 1 оказалось неч¨етным. Поскольку ˆ S − сохраняет ч¨етность, все состояния |2s − 1, M , M = −s + 1, . . . , +s − 1, оказываются неч¨етными. Вообще, из того, что ˆ S − сохраняет ч¨етность, следует, что все состо- яния с одинаковым суммарным спином имеют одинаковую ч¨етность (если ч¨етность определена). Покажем по индукции, что и далее ч¨етные и неч¨етные состояния будут чередоваться по мере уменьшения суммарного спина. Предположим, что для наибольших K значений спина (2s до 2s − K + + 1) ч¨етность чередуется (для K = 1 мы это уже доказали) ˆ P s |2s − k, M = (−1) k |2s − k, M , k = 0, . . . , K − 1. 15.5. С ЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ * 451 Обозначим H K (K = 0, . . . , 2s) — (K + 1)-мерное подпространство состояний, для которых M = 2s − K. Состояние |2s − K, 2s − K находится из условия ортогональности состояниям |S, 2s − K (S = 2s, . . . , 0). 1. Покажем, что состояние |2s − K, 2s − K должно иметь опре- дел¨енную ч¨етность: S, 2s − K| ˆ P s |2s − K, 2s − K = ± S, 2s − K|2s − K, 2s − K = 0, S = 2s, . . . , 2s − K + 1. Состояние ˆ P s |2s−K, 2s−K ортогонально K базисным векторам из K +1, таким образом оно обязано быть пропорционально оставшемуся базисному вектору |2s − K, 2s − K , т. е. оно имеет определ¨енную ч¨етность. 2. Вычислим размерность подпространства ч¨етных состояний H + K ⊂ ⊂ H K . В подпространстве H K имеется K + 1 базисное независимое сос- тояние вида |m 1 |m 2 (m 1 + m 2 = M = 2s − K). Линейно независимые состояния вида |m 1 |m 2 + ˆ P s |m 1 |m 2 = |m 1 |m 2 + |m 2 |m 1 образуют базис в подпространстве ч¨етных состояний. Состояния, отличаю- щиеся перестановкой m 1 и m 2 , попарно совпадают, так что dim H + K = K 2 + 1, где квадратные скобки обозначают взятие целой части. Для подпространства неч¨етных состояний H − K ⊂ H K dim H − K = K − K 2 3. Покажем, что ч¨етность состояния |2s − K, 2s − K будет (−1) K У нас уже имеется K −1 2 + 1 ч¨етных и K − 1 − K −1 2 неч¨етных состо- яний, полученных с помощью понижающего оператора ˆ S − из состояний H ± K −1 . Чтобы получить правильные размерности пространств H ± K , нам на- до, чтобы состояние |2s − K, 2s − K имело подходящую ч¨етность. Если K неч¨етно, то нам надо добавить одно неч¨етное состояние. Если K ч¨етно, то надо добавить одно ч¨етное состояние. С уч¨етом того, что оператор ˆ S − сохраняет ч¨етность, получаем, что ч¨етность состояния |2s − K, M равна (−1) K |