Главная страница
Навигация по странице:

  • 15.5. Сложение моментов*

  • 15.5.1. Сложение спинов

  • 15.5.2. Ч¨етность при сложении двух одинаковых спинов

  • Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику


    Скачать 4.31 Mb.
    НазваниеКак пониматьквантовую механику
    АнкорКак понимать квантовую механику.pdf
    Дата06.03.2018
    Размер4.31 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаКак понимать квантовую механику.pdf
    ТипКнига
    #16313
    страница48 из 52
    1   ...   44   45   46   47   48   49   50   51   52
    15.4.1. Вращения для спина 1 и для векторов
    Оператор поворота для спина 1, как и для любого другого момента,
    зада¨ется формулой
    R
    n
    (ϕ) = e iϕˆ
    s n
    Поскольку собственные числа ˆ
    s n
    равны +1, 0,
    −1, их третья степень, как и для σ-матриц, да¨ет исходную матрицу. Таким образом,
    s
    3
    n
    = s n
    ⇒ ∀n = 0, 1, 2, . . . , s
    2n+2
    n
    = s
    2
    n
    = s
    0
    n
    = E,
    s
    2n+1
    n
    = s n
    (15.16)
    Аналогичные соотношения мы получали ранее, для генераторов матриц по- ворота в тр¨ехмерном пространстве (15.2). В этом состоит специфика спи- на 1.
    Разлагая экспоненту в ряд, получаем:
    R
    n
    (ϕ) = e iϕˆ
    s n
    =

    n=0
    (iϕˆ
    s n
    )
    n n!
    = E + ˆ
    s n

    n=0
    (iϕ)
    2n+1
    (2n + 1)!
    i sin ϕ

    s
    2
    n

    n=1
    (iϕ)
    2n
    (2n)!
    (cos ϕ
    −1)
    ,
    R
    n
    (ϕ) = E + ˆ
    s n
    i sin ϕ + ˆ
    s
    2
    n
    (cos ϕ
    − 1),
    ˆ
    s n
    =







    +n z
    n


    2 0
    n
    +

    2 0
    n


    2 0
    n
    +

    2
    −n z







    ,
    ˆ
    s
    2
    n
    =








    1 + n
    2
    z
    2
    n z
    n


    2
    n

    2 2
    n z
    n
    +

    2 1
    − n
    2
    z
    − n z
    n


    2
    n
    +
    2 2
    − n z
    n
    +

    2 1 + n
    2
    z
    2








    Выше (см. 15.1.1 «Генераторы вращений (л)») мы уже получали тр¨ех- мерное неприводимое представление группы вращений с помощью обыч- ных ортогональных матриц поворотов. Вернулись ли мы к тому же самому представлению в иной форме, или получили что-то новое?

    444
    Г
    ЛАВА
    15
    Если мы следующим образом свяжем базис состояний
    {|1, m }
    +1
    m=
    −1
    с базисом единичных векторов вдоль декартовых осей координат
    {e
    α
    }
    3
    α=1
    ,
    то матрицы j
    α
    , генерирующие ортогональные матрицы поворотов перейдут,
    в матрицы компонент ˆ
    s
    α
    спина 1:
    |1, +1 =
    − e x
    − ie y

    2
    =

    e
    +

    2
    ,
    |1, 0 = e z
    ,
    |1, −1 =
    e x
    − ie y

    2
    =
    e


    2
    (15.17)
    e x
    =
    − |1, +1 + |1, −1

    2
    ,
    e y
    =
    i
    |1, +1 + i|1, −1

    2
    ,
    e z
    =
    |1, 0 .
    (15.18)
    Таким образом, представление группы вращений для спина 1 с точ- ностью до комплексной замены базиса совпадает с привычным нам из стереометрии и классической механики векторным представлением груп- пы вращений, когда повороты отождествляются с матрицами собственных вращений, действующими на векторы из
    R
    3
    15.4.2. Спин и поляризация фотона
    Фотон — квант электромагнитного поля. Как мы обсуждали в разде- ле 12.11 «Квантованные поля (ф*)», при квантовании электромагнитного поля в ящике с периодическими граничными условиями каждой моде коле- баний, характеризующейся волновым числом k и поляризацией σ, ставит- ся в соответствие гармонический осциллятор с частотой, равной частоте моды. Число заполнения данного осциллятора рассматривается как число фотонов с данными k и σ.
    Каков спин фотона? Этот вопрос эквивалентен вопросу о том, как пере- менная, характеризующая фотон, но не связанная с его движением (т. е. по- ляризация), преобразуются при вращениях.
    Поляризация σ электромагнитной волны описывается с помощью век- тора поляризации e
    σ
    . Как мы установили выше (15.17), (15.18), вектор преобразуется по представлению спина 1. То есть фотон — векторная ча- стица — частица со спином 1.
    Однако у частицы со спином 1 должно быть 3 поляризации, а у фото- на — только 2. Какая поляризация пропала?
    Рассмотрим одну конкретную моду колебаний. Пусть волновой век- тор k (и импульс ¯
    hk) направлен по оси z. В соответствии с уравне- ниями (15.18) спиновые состояния соответствуют следующим поляриза- циям:

    15.5. С
    ЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ
    *
    445
    • |1, +1 =
    −e x
    −ie y

    2
    — спин направлен вдоль импульса — правая кру- говая поляризация (вращение поля связано с направлением k правым винтом);
    • |1, −1 =
    e x
    −ie y

    2
    — спин направлен против импульса — левая круговая поляризация (вращение поля связано с направлением k левым винтом);
    • |1, 0 = e z
    — проекция спина на импульс равна нулю — продольная поляризация (поле колеблется вдоль импульса).
    Однако электромагнитная волна — поперечная волна и продольная по- ляризация для не¨е отсутствует. Если мы зада¨ем поляризацию электромаг- нитной волны направлением вектора E, то продольная поляризация отсут- ствует с самого начала, а если направлением векторного потенциала A,
    то вклад в поле продольной части A в точности компенсируется вкладом скалярного потенциала ϕ. Так и для квантованного электромагнитного по- ля (в зависимости от используемого формализма): продольная поляризация либо отсутствует с самого начала, либо нефизична (не да¨ет вклада).
    Такая ситуация является типичной для любых безмассовых (движу- щихся со скоростью света) частиц: вне зависимости от спина имеется две поляризации: по часовой стрелке (проекция спина на импульс +s) и против часовой стрелки (проекция спина на импульс
    −s). Это связано с тем, что мы не можем выбрать для такой частицы систему покоя, в любой системе отсч¨ета есть выделенное направление (вдоль импульса), и симметрия ока- зывается ниже, чем стандартная SU(2). Иногда для таких частиц избегают применять слово спин и говорят спиральность.
    15.5. Сложение моментов*
    Пусть система состоит из двух подсистем, для каждой из которых определены операторы момента импульса j
    1
    и j
    2
    . Пусть также для каждой из подсистем определ¨ен квадрат момента импульса (j
    1
    (j
    1
    + 1) и j
    2
    (j
    2
    +
    + 1) соответственно). Для системы мы можем ввести базис, состоящий из состояний вида
    |m
    1
    |m
    2
    =
    |j
    1
    , m
    1
    |j
    1
    , m
    2
    (В обозначении
    |m
    1
    |m
    2
    мы опустили фиксированные квантовые числа j
    1
    и j
    2
    .)
    Таким образом, мы имеем базис собственных векторов для операторов
    ˆ
    j
    2 1
    , ˆ
    j
    1z
    , ˆ
    j
    2 2
    , ˆ
    j
    2z
    . Наша задача — построить базис собственных векторов для операторов суммарного момента ˆ
    J
    2
    = (j
    1
    + j
    2
    )
    2
    и ˆ
    J
    z
    = ˆ
    j
    1z
    + ˆ
    j
    2z

    446
    Г
    ЛАВА
    15
    (*) С точки зрения теории представлений, мы имеем произведение двух неприводимых представлений группы SU(2), отвечающих момен- там j
    1
    и j
    2
    , и нам надо разложить произведение в сумму неприводимых представлений.
    Проще всего с оператором ˆ
    J
    z
    . Базисные состояния
    |m
    1
    |m
    2
    для него уже является собственными:
    ˆ
    J
    z
    |m
    1
    |m
    2
    = (ˆ
    j
    1z
    + ˆ
    j
    2z
    )
    |m
    1
    |m
    2
    = (m
    1
    + m
    2
    )
    M
    |m
    1
    |m
    2
    = M
    |m
    1
    |m
    2
    Если отложить по осям координат квантовые числа m
    1
    и m
    2
    , то новое квантовое число M надо будет откладывать по оси, направленной по диа- гонали (см. рис. 15.4). При этом, M пробегает с шагом 1 все значения от
    −(j
    1
    + j
    2
    ) до j
    1
    + j
    2
    . Кратность различных значений M (число точек, на тонких линиях попер¨ек оси M на рис. 15.4) меняется от 1 (при M =
    ±(j
    1
    +
    + j
    2
    )) до 2j
    1
    + 1, где j
    1
    — наименьший из двух моментов.
    1 2
    3 4 5 1
    2 2
    4 1
    3 5
    0 6
    6
    -1
    -2
    -3
    -4
    -1
    -2
    -1
    -2
    -3
    -4
    -5
    -6
    m
    2
    M
    m
    m
    =
    +
    1 2
    j
    j
    1 2
    +
    j
    1
    j
    2
    m
    1
    –(
    )
    j
    j
    1 2
    +
    Рис. 15.4. Связь M с m
    1
    и m
    2
    Начн¨ем с состояния с максимальным значением проекции момента.
    Такое состояние только одно:
    |j
    1
    |j
    2
    . Под действием оператора ˆ
    J
    +
    = ˆ
    j
    1+
    +
    + ˆ
    j
    2+
    оно обнуляется
    ˆ
    J
    +
    |j
    1
    |j
    2
    = (ˆ
    j
    1+
    + ˆ
    j
    2+
    )
    |j
    1
    |j
    2
    = (ˆ
    j
    1+
    |j
    1
    )
    0
    |j
    2
    +
    |j
    1

    j
    2+
    |j
    2
    )
    0
    = 0,

    15.5. С
    ЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ
    *
    447
    значит в этом состоянии проекция момента достигает максимальной вели- чины и мы можем записать первый вектор нового базиса:
    | j
    1
    + j
    2
    J
    , j
    1
    + j
    2
    M
    =
    |j
    1
    |j
    2
    Действуя 2(j
    1
    +j
    2
    ) раз на состояния
    |j
    1
    +j
    2
    , j
    1
    +j
    2
    понижающим опе- ратором ˆ
    J

    = ˆ
    j
    1

    + ˆ
    j
    2
    , мы можем найти остальные состояния, для которых
    J = j
    1
    + j
    2
    , а M меняется от
    −J до +J с шагом 1. ((*) Тем самым мы вы- деляем первое неприводимое представление, отвечающее моменту j
    1
    + j
    2
    .)
    В частности однократное применение понижающего оператора да¨ет:
    ˆ
    J

    |j
    1
    + j
    2
    , j
    1
    + j
    2
    =
    2(j
    1
    + j
    2
    )
    |j
    1
    + j
    2
    , j
    1
    + j
    2
    − 1 =
    = (ˆ
    j
    1

    + ˆ
    j
    2

    )
    |j
    1
    |j
    2
    = (ˆ
    j
    1

    |j
    1
    )
    |j
    2
    +
    |j
    1

    j
    2

    |j
    2
    ) =
    =
    2j
    1
    |j
    1
    − 1 |j
    2
    +
    2j
    2
    |j
    1
    |j
    2
    − 1 ,
    | j
    1
    + j
    2
    J
    , j
    1
    + j
    2
    − 1
    M
    =

    j
    1
    |j
    1
    − 1 |j
    2
    +

    j
    2
    |j
    1
    |j
    2
    − 1

    j
    1
    + j
    2
    У нас имеется два линейно независимых состояния, для которых M =
    = j
    1
    + j
    2
    − 1 (см. рис. 15.4). Если из тех же состояний составить комбина- цию, ортогональную состоянию
    |j
    1
    + j
    2
    , j
    1
    + j
    2
    − 1 , то мы получ им
    | j
    1
    + j
    2
    − 1
    J
    , j
    1
    + j
    2
    − 1
    M
    =

    j
    2
    |j
    1
    − 1 |j
    2


    j
    1
    |j
    1
    |j
    2
    − 1

    j
    1
    + j
    2
    То, что в данном состоянии J = M , проверяется с помощью повышающего оператора:
    ˆ
    J
    +
    (
    j
    2
    |j
    1
    −1 |j
    2
    − j
    1
    |j
    1
    |j
    2
    −1 ) = 2j
    1
    j
    2
    |j
    1
    |j
    2
    j
    1+
    | . . .
    − 2j
    1
    j
    2
    |j
    1
    |j
    2
    j
    2+
    | . . .
    = 0.
    Из состояния
    |j
    1
    + j
    2
    − 1, j
    1
    + j
    2
    − 1 с помощью понижающего оператора
    ˆ
    J

    мы получаем остальные состояния с J = j
    1
    + j
    2
    − 1 и другими M.
    Таким образом, мы из соображений ортогональности находим все сос- тояния вида
    |J, J при J = j
    1
    + j
    2
    , j
    1
    + j
    2
    − 1, . . . , |j
    1
    − j
    2
    |. С помощью оператора ˆ
    J

    мы получаем все состояния
    |J, M , для которых M < J.

    448
    Г
    ЛАВА
    15
    Общее число состояний нового базиса такое же, как у старого:
    j
    1
    +j
    2
    J =
    |j
    1
    −j
    2
    |
    (2J + 1) = (j
    1
    + j
    2
    − |j
    1
    − j
    2
    | + 1)
    число слагаемых
    (j
    1
    + j
    2
    +
    |j
    1
    − j
    2
    | + 1)
    среднее слагаемое
    =
    = (2j
    1
    + 1)(2j
    2
    + 1).
    (*) Таким образом, мы разлагаем произведение неприводимых пред- ставлений группы вращений, отвечающих моментам j
    1
    и j
    2
    , в сумму непри- водимых представлений, отвечающих моментам j
    1
    +j
    2
    , j
    1
    +j
    2
    −1, . . . , |j
    1

    − j
    2
    |.
    Коэффициенты разложения векторов нового базиса по старому m
    1
    , m
    2
    |J, M
    называются коэффициентами векторного сложения или коэффициентами
    Клебша – Гордана, они образуют унитарную матрицу, т. к. описывают орто- нормированную замену координат. Как и всякие скалярные произведения ортонормированных волновых функций, коэффициенты Клебша – Гордана задают амплитуды перехода между соответствующими состояниями.
    15.5.1. Сложение спинов
    1 2
    +
    1 2
    Проиллюстрируем процедуру сложения моментов импульса на прос- тейшем случае двух спинов
    1 2
    В соответствии с общей схемой, начн¨ем с состояния с максимальной проекцией момента:
    |1, 1 = |+ |+ ,
    ˆ
    S

    |1, 1 =

    2
    |1, 0 = (ˆs
    1

    + ˆ
    s
    2

    )
    |+ |+ =
    = (ˆ
    s
    1

    |+ )
    |−
    |+ + |+ (ˆs
    2

    |+ )
    |−
    =
    |− |+ + |+ |− ,
    |1, 0 =
    |− |+ + |+ |−

    2
    ,
    ˆ
    S

    |1, 0 =

    2
    |1, −1 = (ˆs
    1

    + ˆ
    s
    2

    )
    |− |+ + |+ |−

    2
    =
    =
    |− (ˆs
    2

    |+ ) + (ˆs
    1

    |+ )|−

    2

    15.5. С
    ЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ
    *
    449
    |1, −1 = |− |− .
    Состояние
    |0, 0 получаем как линейную комбинацию состояний |+ |−
    и
    |− |+ (состояния с нулевой проекцией спина), ортогональную состоя- нию
    |1, 0 :
    |0, 0 =
    |− |+ − |+ |−

    2
    Все состояния с суммарным спином 1 оказались ч¨етными, относитель- но перестановки спинов, а состояние с суммарным спином 0 — неч¨етным.
    Если спины относятся с двум тождественным частицам (фермионам,
    т. к. спин
    1 2
    ), то волновая функция должна быть неч¨етной (менять знак)
    относительно перестановки двух частиц:
    ψ(r
    1
    , σ
    1
    ; r
    2
    , σ
    2
    ) =
    −ψ(r
    2
    , σ
    2
    ; r
    1
    , σ
    1
    ).
    Мы можем отделить спиновую волновую функцию от координатной, если волновая функция факторизуется:
    ψ(r
    1
    , σ
    1
    ; r
    2
    , σ
    2
    ) = φ(r
    1
    , r
    2
    )
    · χ(σ
    1
    , σ
    2
    ).
    Условие неч¨етности принимает вид
    φ(r
    1
    , r
    2
    )
    · χ(σ
    1
    , σ
    2
    ) =
    −φ(r
    2
    , r
    1
    )
    · χ(σ
    2
    , σ
    1
    ).
    Таким образом, если
    χ(σ
    1
    , σ
    2
    ) =
    ±χ(σ
    2
    , σ
    1
    )
    («+» для спина 1, «
    −» для спина 0), то
    φ(r
    1
    , r
    2
    ) =
    ∓φ(r
    2
    , r
    1
    ).
    То есть в данном случае ч¨етность координатной части волновой функ- ции двух тождественных частиц соответствует ч¨етности суммарного спина
    («+» для спина 0, «
    −» для спина 1). Подробнее этот вопрос разобран в сле- дующем разделе
    15.5.2. Ч¨етность при сложении двух одинаковых спинов
    Пусть складываются два одинаковых момента импульса s
    1
    = s
    2
    = s.
    Введ¨ем оператор перестановки спинов ˆ
    P
    s
    :
    ˆ
    P
    s
    |m
    1
    |m
    2
    =
    |m
    2
    |m
    1

    450
    Г
    ЛАВА
    15
    Оператор обратим и сохраняет скалярное произведение, т. е. он унитарен
    ˆ
    P

    s
    = ˆ
    P
    −1
    s
    . Кроме того, оператор совпадает со своим обратным ˆ
    P
    s
    = ˆ
    P
    −1
    s
    ,
    следовательно, он одновременно эрмитов. Унитарный эрмитов оператор мо- жет иметь собственные числа только
    ±1.
    Состояние с максимальной проекцией момента оказывается ч¨етным,
    относительно их перестановки:
    |2s, 2s = |s |s .
    Оператор ˆ
    S

    = ˆ
    s
    1

    + ˆ
    s
    2

    переводит ч¨етные состояния снова в ч¨етные,
    а неч¨етные — в неч¨етные, т. е. ˆ
    S

    сохраняет ч¨етность:
    [ ˆ
    S

    , ˆ
    P
    s
    ] = 0.
    Таким образом, все состояния с максимальным спином
    |2s, M ,
    M =
    −s, . . . , +s оказываются ч¨етными.
    Состояние с суммарным спином 2s
    − 1 строится как ортогональное к состоянию
    |2s, 2s − 1 =
    |s − 1 |s + |s |s − 1

    2
    ,
    т. е.
    |2s − 1, 2s − 1 =
    |s − 1 |s − |s |s − 1

    2
    Таким образом, состояние
    |2s − 1, 2s − 1 оказалось неч¨етным. Поскольку
    ˆ
    S

    сохраняет ч¨етность, все состояния
    |2s − 1, M ,
    M =
    −s + 1, . . . , +s − 1,
    оказываются неч¨етными.
    Вообще, из того, что ˆ
    S

    сохраняет ч¨етность, следует, что все состо- яния с одинаковым суммарным спином имеют одинаковую ч¨етность (если ч¨етность определена).
    Покажем по индукции, что и далее ч¨етные и неч¨етные состояния будут чередоваться по мере уменьшения суммарного спина.
    Предположим, что для наибольших K значений спина (2s до 2s
    − K +
    + 1) ч¨етность чередуется (для K = 1 мы это уже доказали)
    ˆ
    P
    s
    |2s − k, M = (−1)
    k
    |2s − k, M , k = 0, . . . , K − 1.

    15.5. С
    ЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ
    *
    451
    Обозначим
    H
    K
    (K = 0, . . . , 2s) — (K + 1)-мерное подпространство состояний, для которых M = 2s
    − K.
    Состояние
    |2s − K, 2s − K находится из условия ортогональности состояниям
    |S, 2s − K (S = 2s, . . . , 0).
    1. Покажем, что состояние
    |2s − K, 2s − K должно иметь опре- дел¨енную ч¨етность:
    S, 2s
    − K| ˆ
    P
    s
    |2s − K, 2s − K = ± S, 2s − K|2s − K, 2s − K = 0,
    S = 2s, . . . , 2s
    − K + 1.
    Состояние ˆ
    P
    s
    |2s−K, 2s−K ортогонально K базисным векторам из K +1,
    таким образом оно обязано быть пропорционально оставшемуся базисному вектору
    |2s − K, 2s − K , т. е. оно имеет определ¨енную ч¨етность.
    2. Вычислим размерность подпространства ч¨етных состояний
    H
    +
    K

    ⊂ H
    K
    . В подпространстве
    H
    K
    имеется K + 1 базисное независимое сос- тояние вида
    |m
    1
    |m
    2
    (m
    1
    + m
    2
    = M = 2s
    − K). Линейно независимые состояния вида
    |m
    1
    |m
    2
    + ˆ
    P
    s
    |m
    1
    |m
    2
    =
    |m
    1
    |m
    2
    +
    |m
    2
    |m
    1
    образуют базис в подпространстве ч¨етных состояний. Состояния, отличаю- щиеся перестановкой m
    1
    и m
    2
    , попарно совпадают, так что dim
    H
    +
    K
    =
    K
    2
    + 1,
    где квадратные скобки обозначают взятие целой части.
    Для подпространства неч¨етных состояний
    H

    K
    ⊂ H
    K
    dim
    H

    K
    = K
    − K
    2 3. Покажем, что ч¨етность состояния
    |2s − K, 2s − K будет (−1)
    K
    У нас уже имеется
    K
    −1 2
    + 1 ч¨етных и K
    − 1 −
    K
    −1 2
    неч¨етных состо- яний, полученных с помощью понижающего оператора ˆ
    S

    из состояний
    H
    ±
    K
    −1
    . Чтобы получить правильные размерности пространств
    H
    ±
    K
    , нам на- до, чтобы состояние
    |2s − K, 2s − K имело подходящую ч¨етность. Если K
    неч¨етно, то нам надо добавить одно неч¨етное состояние. Если K ч¨етно, то надо добавить одно ч¨етное состояние.
    С уч¨етом того, что оператор ˆ
    S

    сохраняет ч¨етность, получаем, что ч¨етность состояния
    |2s − K, M равна (−1)
    K

    452
    Г
    ЛАВА
    15
    1   ...   44   45   46   47   48   49   50   51   52


    написать администратору сайта