Как понимать квантовую механику. Как пониматьквантовую механику
 Скачать 4.31 Mb.
|
|
Сферические координаты Операторы ˆ l α являются операторами производных вдоль векторных полей 1 l x = −i(0, −z, y), l y = −i(z, 0, −x), l z = −i(−y, x, 0). Эти векторные поля с точностью до множителя −i представляют собой по- ля скоростей при вращении вокруг соответствующих осей координат с еди- 1 В дифференциальной геометрии принято считать, что вектор и производная вдоль это- го вектора — один и тот же объект, т. к. между ними естественным образом устанавливается взаимно-однозначное соответствие: ∂ v = v a ∂ a . При этом операторы частной производной вдоль координат ∂ a = ∂ ∂x a выступают в роли базисных векторов (координатный базис). Та- кой базис в общем случае не является ни ортогональным, ни нормированным. Компоненты вектора, разложенного по координатному базису, при замене координат преобразуются по то- му же закону, что и бесконечномалый радиус-вектор с компонентами dx a , соединяющий две бесконечноблизкие точки. 15.2. П РЕДСТАВЛЕНИЯ ВРАЩЕНИЙ 423 ничной угловой скоростью. Экспоненты от операторов ˆ l α будут как раз соответствовать движению вдоль этих векторных полей il α При вращении вокруг координатных осей расстояние от точки до на- чала координат не меняется, поэтому может быть удобно выписать поля l α и операторы ˆ l α в сферических координатах. Следует ожидать, что в сфери- ческих координатах орбитальные моменты могут быть выражены с исполь- зованием только угловых координат, без использования координаты r. Сферические координаты — это расстояние до начала координат r, ши- рота θ (отсчитывается не от плоскости экватора, как в географии, а от оси z), долгота ϕ (отсчитывается от плоскости xz, направление отсч¨ета связано с направлением оси z правым винтом): x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ. Базисные векторы в сферических координатах можно легко предста- вить, определив как смещается точка при бесконечномалом изменении со- ответствующей координаты. Вектор смещения при изменении координа- ты x a на величину dx a будет равен e a · dx a (индексы подч¨еркнуты, ч тобы показать, что суммы по повторяющемуся индексу a в данной формуле нет). e r = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ), |e r | 2 = 1, e θ = (r cos θ cos ϕ, r cos θ sin ϕ, −r sin θ), |e θ | 2 = r 2 , e ϕ = ( −r sin θ sin ϕ, r sin θ cos ϕ, 0), |e ϕ | 2 = r 2 sin 2 θ. Матрица скалярных произведений векторов e a да¨ет метрический тензор, однако его проще определить через элемент длины, выраженный в новых координатах: dl 2 = dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 ) ⇔ g ab = ⎛ ⎝ 1 0 0 0 r 2 0 0 0 r 2 sin 2 θ ⎞ ⎠. (15.5) Компоненты полей l α по векторам нового базиса определяются как (l α ,e a ) e 2 a : ˆ l x = −i (− sin ϕ ∂ θ − ctg θ cos ϕ ∂ ϕ ), ˆ l y = −i (cos ϕ ∂ θ − ctg θ sin ϕ ∂ ϕ ), ˆ l z = −i ∂ ϕ 424 Г ЛАВА 15 Как и следовало ожидать, ¯ hˆ l z имеет стандартный вид импульса (гене- ратора сдвига) по координате ϕ (долготе). Оператор ˆ l 2 в сферических координатах с точностью до знака совпа- дает с оператором Бельтрами – Лапласа (обобщением лапласиана) на еди- ничной сфере: ˆ l 2 = − 1 sin 2 θ ∂ 2 ∂ϕ 2 + 1 sin θ ∂ ∂θ sin θ ∂ ∂θ = − θϕ 15.2.2. Спектр оператора ˆ j z Различные проекции момента импульса не коммутируют друг с дру- гом, поэтому в набор одновременно измеримых величин мы можем вклю- чить только одну из них и суммарный квадрат момента импульса (оператор Казимира алгебры моментов). Традиционно из всех проекций момента им- пульса принято выбирать проекцию на ось z. Однако все выводы останутся справедливыми и при замене оси z на любое другое направление. Пусть m — собственное число оператора ˆ j z ˆ j z ψ m = mψ m Под действием оператора поворота на угол 2π собственная функция ψ m либо переходит в себя, либо меняет знак (15.1.2 «Квантовые вращения**»): e i2πˆ j z ψ m = e i2πm ψ m = ±ψ m Таким образом, m должно быть целым, или полуцелым m ∈ Z, или m + 1 2 ∈ Z. Прич¨ем собственные функции для целых и полуцелых m удобнее отнести к разным пространствам, т. к. иначе их линейная комбинация при повороте на 2π не умножалась бы на фиксированный множитель ±1. Для орбитального момента в роли ˆ j z выступает оператор ˆ l z . Экспонен- та от него зада¨ет сдвиг по углу ϕ (поворот): e iαˆ l z ψ(r, θ, ϕ) = ψ(r, θ, ϕ + α). С уч¨етом 2π-периодических условий по ϕ мы должны выбрать m ∈ Z, ψ m (r, θ, ϕ) = C m (r, θ) e imϕ 15.2. П РЕДСТАВЛЕНИЯ ВРАЩЕНИЙ 425 15.2.3. Операторы ˆ j ± Для дальнейшего исследования моментов импульса полезно ввести операторы ˆ j ± = ˆ j x ± iˆj y = ˆ j † ∓ Для орбитальных моментов получаем ˆ l ± = ˆ l x ± iˆl y = e ±iϕ ( ±∂ θ + i ctg θ ∂ ϕ ). Через операторы ˆ j ± удобно выражать ˆ j x и ˆ j y , так же, как через лест- ничные операторы ˆ a, ˆ a † удобно выражать ˆ P , ˆ Q для гармонического ос- циллятора (12.7). Для векторного оператора компоненты +, − и z часто оказываются более удобными, чем x, y и z. Подобно тому, как оператор номера уровня для гармонического осцил- лятора удобно выразить через ˆ a и ˆ a † , оператор ˆ j 2 удобно выразить через ˆ j ± и ˆ j z : ˆ j − ˆ j + = ˆ j 2 x + ˆ j 2 y + i[ˆ j x , ˆ j y ] = ˆ j 2 x + ˆ j 2 y − ˆj z , ˆ j + ˆ j − = ˆ j 2 x + ˆ j 2 y − i[ˆj x , ˆ j y ] = ˆ j 2 x + ˆ j 2 y + ˆ j z Отсюда легко видеть, что [ˆ j + , ˆ j − ] = 2ˆ j z , (15.6) ˆ j 2 = ˆ j − ˆ j + + ˆ j 2 z + ˆ j z = ˆ j + ˆ j − + ˆ j 2 z − ˆj z (15.7) Используя коммутационные соотношения (15.3) и (15.4), получаем [ˆ j z , ˆ j ± ] = ±ˆj ± , (15.8) [ˆ j 2 , ˆ j ± ] = 0. (15.9) Подобно тому, как операторы ˆ a и ˆ a † уменьшают и увеличивают чис- ла заполнения для гармонического осциллятора (12.13), ˆ j ± увеличивают и уменьшают значение проекции ˆ j z : ˆ j z (ˆ j ± ψ m ) = (ˆ j ± ˆ j z + [ˆ j z , ˆ j ± ])ψ m = (ˆ j ± m ± ˆj ± )ψ m = (m ± 1)(ˆj ± ψ m ). (15.10) Как и для гармонического осциллятора (12.13), мы можем сделать вывод, что выражение ˆ j ± ψ m либо обращается в нуль, либо оказывается собствен- ным вектором, отвечающим собственному числу (m ± 1). 426 Г ЛАВА 15 15.2.4. Собственные векторы операторов ˆ j z , ˆ j 2 Ранее мы обсуждали спектр собственных состояний оператора ˆ j z (15.2.2 «Спектр оператора ˆ j z »), не накладывая на состояния каких-либо дополнительных ограничений. Теперь мы потребуем, чтобы рассматри- ваемые состояния были одновременно собственными для оператора ˆ j 2 , коммутирующего с ˆ j z : ˆ j z ψ λm = m ψ λm , ˆ j 2 ψ λm = λ ψ λm Поскольку ˆ j 2 = ˆ j 2 x + ˆ j 2 y + ˆ j 2 z , мы сразу заключаем, что λ > |m| 2 . Таким образом, спектр разреш¨енных значений m при фиксированном λ ограничен сверху и снизу. Пусть j — максимальное значение m при данном λ, тогда (см. (15.10), (15.7)) ˆ j z ψ λj = j ψ λj , ˆ j + ψ λj = 0, ˆ j 2 ψ λj = (ˆ j − ˆ j + + ˆ j 2 z + ˆ j z )ψ λj = (0 + j 2 + j)ψ λj = λ ψ λj Таким образом, λ = j(j + 1). Аналогично, проверяется, что минимальное разреш¨енное значение m — это −j: ˆ j z ψ λ −j = −j ψ λ −j , ˆ j − ψ λ −j = 0, ˆ j 2 ψ λj = (ˆ j + ˆ j − + ˆ j 2 z − ˆj z )ψ λj = (0 + j 2 − (−j))ψ λ −j = λ ψ λ −j Поскольку j — неотрицательное целое или полуцелое число, то для нумерации состояний удобнее использовать не λ = j(j + 1), а само j. Ор- тонормированные состояния с определ¨енными значениями m и j принято обозначать как |j, m : ˆ j z |j, m = m|j, m , ˆ j 2 |j, m = j(j + 1)|j, m , j 1 , m 1 |j 2 , m 2 = δ j 1 j 2 δ m 1 m 2 , 2j ∈ N ∪ {0}, m ∈ {−j, −j + 1, . . . , +j}. Уравнение (15.10) да¨ет ˆ j ± |j, m = C ± |j, m ± 1 . 15.2. П РЕДСТАВЛЕНИЯ ВРАЩЕНИЙ 427 Для определения коэффициентов C ± воспользуемся соотношениями (15.7): ˆ j + |j, m = C + |j, m + 1 , j, m | ˆj − = j, m + 1 | C + ∗ , j, m | ˆj − ˆ j + |j, m = j, m + 1|C + ∗ C + |j, m + 1 = |C + | 2 , j, m | ˆj − ˆ j + |j, m = j, m| ˆj 2 − ˆj 2 z − ˆj z |j, m = j(j + 1) − m(m + 1). Мы определили, что |C + | = j(j + 1) − m(m + 1), но фазу этого ко- эффициента вычислить невозможно, т. к. условия нормировки позволяют умножать разные базисные состояния на разные фазовые множители, при этом будет меняться фаза и у C + . Раньше подобные рассуждения мы ис- пользовали для введения формулы (12.22) для гармонического осцилля- тора. Не имея возможности вычислить фазовые множители для C + , мы име- ем возможность выбрать их по своему произволу. Мы выберем все C + ве- щественными неотрицательными числами. Это зафиксирует большую часть произвола, теперь мы можем умножать наши векторы только на одинаковые фазовые множители, C + теперь — фиксированные числа. Определив фазу у множителей C +,j,m мы тем самым определили фазу и у множителей C −,j,m : ˆ j + |j, m = C +,j,m |j, m + 1 , j, m + 1 |ˆj + |j, m = C +,j,m , j, m + 1 |ˆj + |j, m ∗ = C ∗ +,j,m , j, m + 1 |ˆj + |j, m ∗ = j, m |ˆj − |j, m + 1 = C −,j,m+1 , C −,j,m+1 = C ∗ +,j,m Таким образом, все коэффициенты C ± оказываются вещественными неот- рицательными: ˆ j + |j, m = j(j + 1) − m(m + 1) |j, m + 1 = = (j − m)(j + m + 1) |j, m + 1 , ˆ j − |j, m = j(j + 1) − m(m − 1) |j, m − 1 = = (j + m)(j − m + 1) |j, m − 1 . Как и для лестничных операторов гармонического осциллятора, множите- ли обращаются в нуль при попытке вывести собственное число m из раз- реш¨енного диапазона. 428 Г ЛАВА 15 Матричные элементы операторов ˆ j ± для базисных векторов имеют вид j , m |ˆj + |j, m = (j − m)(j + m + 1) δ jj δ m,m −1 ⇔ ⇔ j, m |ˆj − |j , m = (j − m)(j + m + 1) δ jj δ m,m −1 Это позволяет представить операторы при фиксированном значении j в ви- де матриц (2j + 1) × (2j + 1): ˆ j + = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 (2j)1 0 0 0 0 0 (2j − 1)2 0 0 0 0 0 (2j − 2)3 . . . . .. 1(2j) 0 0 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ , ˆ j − = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 0 0 (2j)1 0 0 0 0 (2j − 1)2 0 0 0 0 (2j − 2)3 0 0 0 1(2j) 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Столбцы и строки нумеруются здесь целыми числами, начиная с +j до −j в порядке убывания. Отсюда находятся также матрицы ˆ j x = ˆ j + +ˆ j − 2 и ˆ j y = ˆ j + −ˆj − 2i Матрицы ˆ j z и ˆ j 2 , поскольку мы взяли их собственные векторы в каче- стве базиса, оказываются диагональными, прич¨ем матрица квадрата момен- та (оператора Казимира) оказывается пропорциональной единичной матри- це ˆ j 2 = j(j + 1) ˆ E. ˆ j z , при выбранной нумерации строк и столбцов, имеет вид: ˆ j z = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ j 0 . . . 0 0 j − 1 . . . 0 0 0 −j ⎞ ⎟ ⎟ ⎠. (*) Мы описали неприводимое (2j + 1)-мерное представление группы вращений. Если j целое, то это представление групп SO(3) и SU(2) од- новременно, а если j полуцелое, то это представление относится только к группе SU(2). 15.2. П РЕДСТАВЛЕНИЯ ВРАЩЕНИЙ 429 15.2.5. Орбитальные и спиновые моменты Введ¨енные выше операторы орбитального момента одной частицы ˆ l aα (a — номер частицы) действуют только на координаты этой частицы. В част- ности, операторы поворота e iαˆ l an поворачивают вокруг начала координат только эту частицу, оставляя другие частицы на месте. Если мы хотим по- вернуть все частицы, то необходимо каждую из них повернуть на один и тот же угол. Поскольку орбитальные моменты разных частиц действуют на разные координаты, то они коммутируют друг с другом и мы можем определить суммарный орбитальный момент ˆ L α (генератор одновремен- ного поворота координат всех частиц) как сумму орбитальных моментов отдельных частиц e iαˆ l 1n e iαˆ l 2n . . . e iαˆ l N n = e iα a ˆ l an = e iα ˆ L n , ˆ L n = N a=1 ˆ l an Очевидно, что, т. к. моменты разных частиц коммутируют между собой, для суммарного орбитального момента справедливы те же коммутацион- ные соотношения (15.3), что и для орбитальных моментов отдельных час- тиц [ ˆ L α , ˆ L β ] = i e αβγ ˆ L γ Обратите внимание, что мы пишем суммарный орбитальный момент, а не суммарный момент импульса. Это связано с тем, что помимо орбиталь- ного момента частиц, связанного с движением частиц как целого, существу- ет ещ¨е спиновый (внутренний) момент импульса ˆ s α — спин. Классическим аналогом спина был бы момент импульса, связанный с вращением частицы вокруг своей оси, однако для элементарных частиц такая наивная интерпре- тация не работает, т. к. скорости вращения должны были бы быть слишком велики (больше скорости света), а кроме того, спин имеется у частиц, для которых не наблюдается никаких признаков внутренней структуры. Спин принято считать некоторым внутренним невыводимым свой- ством частиц. Для частиц определ¨енного сорта величина квадрата спина ˆ s 2 = ˆ s 2 x + ˆ s 2 y + ˆ s 2 z определена и равна s(s + 1), где s — целое или полуце- лое неотрицательное число. Для описания спина волновая функция кроме обычных переменных, описывающих движение каждой частицы как це- лого, имеет также дискретные спиновые переменные, которые пробегают значения от −s до +s с шагом 1. Подобно тому, как операторы орбитального момента действуют толь- ко на координаты частиц, операторы спина действуют только на спиновые переменные. Поскольку спиновые переменные дискретны, спиновые опе- раторы представляют собой матрицы. Спиновые операторы для частицы со спином s — матрицы (2s + 1) × (2s + 1). 430 Г ЛАВА 15 15.2.6. Коммутаторы моментов импульса Для того, чтобы определить, как коммутируют операторы момента им- пульса с каким-либо оператором, нам надо определить, как вед¨ет себя этот оператор при вращениях (11.2): d ˆ A пов¨ерн. dα α=0 = d dα e iαˆ j μ ˆ Ae −iαˆj μ α=0 = i[ˆ j μ , ˆ A]. Так что если мы знаем как оператор вед¨ет себя при вращениях, то мы знаем как он коммутирует с моментами импульса. Формулу мы записали для вращения оператора «вместе» с состоянием (для вращения «вместо» достаточно поменять знаки в показателях экспонент, см. 11.2 «Преобразо- вания операторов “вместе” и “вместо”»). Скаляры Сразу можно сделать вывод, что любой скалярный оператор (оператор, не меняющийся при поворотах) коммутирует со всеми компонентами ˆ j μ : [ˆ j μ , ˆ A] = 0 ⇔ ˆ A — скаляр. В частности скаляром оказывается оператор Казимира ˆ j 2 Векторы Для того, чтобы записать преобразование вектора при вращении, нам нет необходимости знать, что это за вектор. Само слово «вектор» подразу- мевает вполне определ¨енные трансформационные свойства. (Так что сейчас самое сложное — не запутаться в знаках, определяя что относительно чего вращается.) Нам достаточно записать бесконечномалый поворот вокруг e λ на угол α: ˆ A μ → ˆ A μ − α e λμν ˆ A ν + O(α 2 ). Мы рассматриваем поворот «вместе», так что он осуществляется в проти- воположном направлении, по сравнению с тем, как поворачиваются аргу- менты волновой функции в разделе 15.1.1 «Генераторы вращений (л)» 2 i[ˆ j λ , ˆ A μ ] = d ˆ A μ dα = −e λμν ˆ A ν 2 Для проверки знака, с уч¨етом того, что все векторы вращаются одинаково, можно, напри- мер, проверить коммутатор [ˆ x 1 , ˆ l 2 ] = iˆ x 3 15.2. П РЕДСТАВЛЕНИЯ ВРАЩЕНИЙ 431 Таким образом, компонента произвольного векторного оператора коммути- рует с компонентой момента импульса по следующему закону: [ˆ j λ , ˆ A μ ] = [ ˆ A λ , ˆ j μ ] = i e λμν ˆ A ν (15.11) Эта формула обобщает коммутационное соотношение (15.3), которое вос- производится, если подставить вместо ˆ A λ компоненту момента импуль- са ˆ j λ . Это означает, что компоненты момента импульса, как и в класси- ческой механике, образуют вектор. Из формулы (15.11) следуют такие полезные коммутаторы: [ ˆ A z , ˆ j ± ] = [ˆ j z , ˆ A ± ] = ± ˆ A ± , (15.12) [ ˆ A + , ˆ j − ] = [ˆ j + , ˆ A − ] = 2 ˆ A z (15.13) Обратите внимание, что коммутатор [ˆ j z , ˆ A ± ] = ± ˆ A ± (15.12) означает, что под действием оператора ˆ A ± проекция момента импульса на ось z изменяется на ±1 (сравни с (15.10)), так же как под действием ˆj ± . Однако [ ˆ A λ , ˆ j 2 ] = i e λμν (ˆ j μ ˆ A ν + ˆ A ν ˆ j μ ), [ ˆ A ± , ˆ j 2 ] = ±( ˆ A z ˆ j ± + ˆ j ± ˆ A z − ˆ A ± ˆ j z − ˆj z ˆ A ± ). Если ˆ A ± не коммутируют с ˆ j 2 , то они не только сдвигают m на ±1, но также «портят» квантовое число j. Также могут «портится» другие кван- товые числа, например состояния с определ¨енным орбитальным моментом (заданы собственные числа для ˆ l 2 и ˆ l z ) под действием ˆ l ± меняют только угловую зависимость при фиксированном ˆ l 2 , а под действием ˆ x ± изменит- ся не только ˆ l z , но также состояние перестанет быть собственным для ˆ l 2 , и изменится зависимость волновой функции от радиальной переменной. Вместо операторов суммарного момента импульса ˆ j α мы можем брать операторы момента импульса подсистемы при условии, что данный вектор вращается при поворотах этой подсистемы, т. е. что операторы ˆ A α действу- ют на переменные, описывающие данную подсистему, и только на них, на- пример орбитальный момент поворачивает импульс и мы имеем [ˆ p α , ˆ l β ] = = [ˆ l α , ˆ p β ] = ie αβγ ˆ p γ . Если же оператор действует на переменные другой подсистемы, то он коммутирует с моментом импульса данной подсисте- мы, например спин не поворачивает орбитальный момент и координаты [ˆ s α , ˆ l β ] = [ˆ s α , ˆ x β ] = 0. |