конспект-метрология. Конспект лекций по дисциплине Метрология, стандартизация, сертификация Казань 2012

• Название: Конспект лекций по дисциплине Метрология, стандартизация, сертификация Казань 2012
• Анкор: конспект-метрология.doc
• Дата: 17.03.2018
• Размер: 2.75 Mb.
• Имя файла: конспект-метрология.doc
• Тип: Конспект лекций; #16824
• страница: 5 из 16

Погрешности измерений и способы их описания

с вероятностно-статистических позиций

В результате измерения получают значение измеряемой величины в виде числа в принятых единицах величины. Погрешность измерения тоже удобно выражать в виде числа. Однако погрешность измерения является случайной величиной, исчерпывающим описанием которой может быть только закон распределения. Из теории вероятностей известно, что закон распределения можно охарактеризовать числовыми характеристиками (неслучайными числами), которые и используются для количественной оценки погрешности.

Примечание: Ранее применялись различные обозначения, которые до сих пор встречаются в технической литературе по метрологии, поэтому они здесь и приводятся. В настоящее время существует ГОСТ Р 50779.10-2000 (ИСО 3534.1-93) «Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения».

Систематическая погрешность D_с - разность между математическим ожиданием результатов наблюдения измеряемой величины x и истинным значением :

,

где - математическое ожидание (различные обозначения одной и той же величины, встречающиеся в технической литературе по метрологии);

- функция распределения случайной величины x.

Случайная погрешность - разность между результатом единичного наблюдения и математическим ожиданием результата измерения:



Математическое ожидание погрешности равно математическому ожиданию систематической погрешности (составляющей), так как математическое ожидание случайной погрешности всегда равно нулю:

.

Промахом, или грубой погрешностью, называется погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда. Поскольку грубые погрешности относятся к случайным, для их выявления и исключения применяют методы теории вероятности и математической статистики.

Под интегральной функцией распределения результатов наблюдений понимается зависимость вероятности того, что результат наблюдения в i-м опыте окажется меньшим некоторого текущего значения х_i , от самой величины х:

.

Латинская буква Р является здесь символом вероятности события. Интегральная функция распределения результатов наблюдений является неубывающей функцией аргумента и определена в диапазоне

.

Обычно график интегральной функции распределения результатов наблюдений представляет собой непрерывную неубывающую кривую, начинающуюся от нуля на отрицательной бесконечности и асимптотически приближающуюся к единице при увеличении аргумента до плюс бесконечности.

Случайную погрешность Δ тоже следует рассматривать как случайную величину, принимающую в разных опытах различные значения Δ_i. Ее интегральную функцию распределения получаем переносом начала координат в точку х = Q, где Q – истинное значение измеряемой величины:

.

В некоторых случаях более удобным является описание свойств результатов наблюдений и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распределения вероятностей и обозначаемой черезf_х(х) или обозначается через f_Δ(Δ). Иногда используется обозначение p_х(х) или соответственно через p_Δ(Δ). Дифференциальная функция распределения является функцией, производной от интегральной по своему аргументу:

.

График дифференциальной функции распределения, который называют кривой распределения, чаще всего имеет колоколообразную форму и обладает максимумом при х = Qили соответственно Δ = 0.

От дифференциальной функции распределения легко перейти к интегральной путем интегрирования первой

. (1.7)

Поскольку , то справедливо следующее равенство:

.

Для интегральной функции распределения справедливо следующее утверждение: вероятность попадания результата наблюдений или случайной погрешности в заданный интервал равна разности значений функции распределения на границах этого интервала т. е..



Для погрешностей:



Функция распределения является самым универсальным способом описания поведения случайных погрешностей. Однако для определения функций распределения необходимо проведение весьма кропотливых научных исследований и обширных вычислительных работ. Поэтому к такому способу описания случайных погрешностей прибегают в исключительных случаях, а используют специальные величины.

Начальным моментом r-го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида

,

представляющий собой математическое ожидание степени . Откуда следует, что первый начальный момент совпадает с математическим ожиданием результатов наблюдений: .

Центральным моментом r-го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида

,

представляющий собой математическое ожидание величины ,т. е. r-й степени случайной погрешности .

Можно показать, что первый центральный момент результатов наблюдений тождественно равен нулю.

.

Начальные и центральные моменты случайных погрешностей совпадают между собой и с центральными моментами результатов наблюдений: , поскольку математическое ожидание случайных погрешностей равно нулю.

Вычислим второй центральный момент, называемый дисперсией результатов наблюдений и обозначаемый через :

,

где — символ математического ожидания погрешности;

— символ дисперсии.

Математическое ожидание погрешности измерений - есть неслучайная величина,¹ относительно которой рассеиваются другие значения погрешностей, при повторных измерениях

. (1.8)

Математическое ожидание погрешности характеризует систематическую составляющую погрешности измерения . Как числовая характеристика погрешности показывает на смещенность результатов измерения относительно истинного значения измеряемой величины.

Дисперсия погрешности характеризует степень рассеивания (разброса) отдельных значений погрешности относительно математического ожидания. Так как рассеивание происходит за счет случайной составляющей погрешности то . Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс, тем точнее выполнены измерения. Следовательно, дисперсия может служить характеристикой точности проведенных измерений. Однако размерность дисперсии выражается в единицах величины в квадрате. Поэтому в качестве числовой характеристики точности измерений используют стандартное отклонение (среднеквадратическое отклонение СКО, среднеквадратическая погрешность, СКП)



с положительным знаком и выражаемое в единицах погрешности (и, естественно, совпадающей с единицей измеряемой физической величины).

Обычно при проведении измерений стремятся получить результат измерения с погрешностью, не превышающей допускаемое значение. Знание только стандартного отклонения не позволяет найти максимальную погрешность, которая может встретиться при измерениях, что свидетельствует об ограниченных возможностях такой числовой характеристики погрешности, как . Более того, при разных условиях измерений, когда законы распределения погрешностей могут отличаться друг от друга, погрешность с меньшей дисперсией может принимать большие значения.

Максимальные значения погрешности зависят не только от , но и от вида закона распределения. Когда распределение погрешности теоретически неограниченно, например, при нормальном законе распределения, погрешность может быть любой по значению. В этом случае можно лишь говорить об интервале, за границы которого погрешность не выйдет с некоторой вероятностью. Этот интервал называют доверительным интервалом, характеризующую его вероятность — доверительной вероятностью, а границы этого интервала — доверительными значениями погрешности.

В практике измерений применяют различные значения доверительной вероятности, например: 0,90; 0,95; 0,98; 0,99; 0,9973, 0,999 и даже выше, когда связано с безопасностью и здоровьем людей. Доверительный интервал и доверительную вероятность выбирают в зависимости от конкретных условий измерений.

В настоящее время в нормативных документах, если нет веских оснований, рекомендовано принимать значения доверительной вероятности, равным 0,95 для обычной практики измерений и 0,99 для точных измерений или в случае, когда измерения нельзя повторить.

Доверительный интервал является одной из основных характеристик точности измерений. Одна из форм представления результата измерения устанавливается в следующем виде:

х ; х от до *; Р,

где х — результат измерения в единицах измеряемой величины; , и — соответственно погрешность измерения с нижней и верхней ее границами в тех же единицах ( и должны быть указаны со своими знаками. В общем случае может быть не равна .); Р — вероятность, с которой погрешность измерения находится в этих границах.

Если границы погрешности симметричны, т. е. , то результат измерения может быть записан так:



Допускаются и другие формы представления результата измерения, отличающиеся от приведенной формы тем, что в них указывают раздельно характеристики систематической и случайной составляющих погрешности измерения. При этом для систематической погрешности указывают ее вероятностные характеристики.

Ранее уже отмечалось, что иногда систематическую погрешность приходится оценивать с вероятностных позиций. В этом случае основными характеристиками систематической погрешности являются , и ее доверительный интервал.

Выделение систематической и случайной составляющих погрешности целесообразно, если результат измерения будет использован при дальнейшей обработке данных, например при определении результата косвенных измерений и оценке его точности, при суммировании погрешностей и т. п.

Любая из форм представления результата измерения должна содержать необходимые данные, на основании которых может быть определен доверительный интервал для погрешности результата измерения. В общем случае доверительный интервал может быть установлен, если известен вид закона распределения погрешности и основные числовые характеристики этого закона.

На рис. 1.1 графически изображены погрешности измерений.



Рис. 1.1. Погрешности измерений
Причины возникновения погрешностей измерения
Имеется ряд слагаемых погрешностей, которые являются доминирующими в общей погрешности измерения. К ним относятся:

1. Погрешности, зависящие от средств измерения. Нормируемую допустимую погрешность измерительного средства следует рассматривать как погрешность измерения при одном из возможных вариантов использования этого измерительного средства, поскольку проверка точности данных приборов заключается чаще всего в измерении им эталона.

2. Погрешности, зависящие от установочных мер. Установочные меры могут быть универсальными (концевые меры) и специальными (изготовленными по виду измеряемой детали). Погрешность измерения будет меньше, если установочная мера будет максимально подобна измеряемой детали по конструкции, массе, материалу, его физическим свойствам, способу базирования и т.д. Погрешности от концевых мер длины возникают из-за погрешности изготовления (классы) или погрешности аттестации (разряды), а также из-за погрешности их притирки.

3. Погрешности, зависящие от измерительного усилия. При оценке влияния измерительного усилия на погрешность измерения необходимо выделить упругие деформации установочного узла и деформации в зоне контакта измерительного наконечника с деталью.

4. Погрешности, происходящие от температурных деформаций (температурные погрешности). Погрешности возникают из-за разности температур объекта измерения и измерительного средства. Существуют два основных источника, обуславливающих погрешность от температурных деформаций: отклонение температуры воздуха от 20^о С и кратковременные колебания температуры воздуха в процессе измерения.

Максимальное влияние отклонений температуры на погрешность измерения l_t можно рассчитать по формуле

l_t1 = lt₁(_п - _д)_max ,

где t₁ - отклонение температуры от 20 ^оС;

_п , _д - коэффициенты линейных расширений прибора и детали.

Максимальное влияние кратковременных колебаний температуры среды на погрешность измерения будет иметь место в том случае, если колебания температуры воздуха не вызывают изменений температуры измерительного средства, а температура объекта измерения близко следует за температурой воздуха (или наоборот):

l_t2 = lt₂_max ,

где t₂ - кратковременные колебания температуры воздуха в процессе измерения;

_max - наибольшее значение коэффициента линейного расширения (материала прибора или измеряемой детали).

Общая деформация по двум случайным составляющим t₁ и t₂ выразится формулой

.

Могут возникнуть и дополнительные деформации при использовании накладных приборов.

5. Погрешности, зависящие от оператора (субъективные погрешности). Возможны четыре вида субъективных погрешностей:

погрешность отсчитывания (особенно важна, когда обеспечивается погрешность измерения, не превышающая цену деления); погрешность присутствия (проявляется в виде влияния теплоизлучения оператора на температуру окружающей среды, а тем самым и на измерительное средство); погрешность действия (вносится оператором при настройке прибора); профессиональные погрешности (связаны с квалификацией оператора, с отношением его к процессу измерения).

6. Погрешности при отклонениях от правильной геометрической формы. При измерении деталей с целью учёта возможной погрешности формы рекомендуется:

- измерение производить в нескольких точках (как правило в шести);

- у установочных деталей перед аттестацией измерить отклонение от геометрической формы;

- на образцовой детали с отклонениями формы выделить и маркировать участок, аттестовать его и по нему производить настройку;

- при выяснении "действующих" размеров деталей следует стремиться использовать измерительные наконечники по конфигурации, идентичные сопрягаемой детали ("действующий" размер - это размер, который будет действовать в машине и выполнять своё служебное назначение).

7. Дополнительные погрешности при измерении внутренних размеров. К специфическим погрешностям измерения отверстий относятся:

погрешности, возникающие при смещении линии измерения относительно контролируемого диаметра как в плоскости, перпендикулярной к оси контролируемого отверстия, так и в осевой плоскости;

погрешности, вызванные шероховатостью поверхности отверстия, особенно при использовании ручных приборов;

погрешности, обусловленные динамикой процесса совмещения линии измерения одновременно в двух плоскостях;

погрешности от настойки прибора на размер.
Критерии качества измерений
Качество измерений характеризуется точностью, достоверностью, правильностью, сходимостью и воспроизводимостью измерений, а также размером допустимых погрешностей.

Точность - это качество измерений, отражающее близость их результатов к истинному значению измеряемой величины. Высокая точность измерений соответствует малым погрешностям как систематическим, так и случайным.

Точность количественно оценивают обратной величиной модуля относительной погрешности. Например, если погрешность измерений равна 10^-6, то точность равна 10⁶.

Достоверность измерений характеризует степень доверия к резуль-татам измерений. Достоверность оценки погрешностей определяют на основе законов теории вероятностей и математической статистики. Это даёт возможность для каждого конкретного случая выбирать средства и методы измерений, обеспечивающие получение результата, погрешности которого не превышают заданных границ с необходимой достоверностью.

Под правильностью измерений понимают качество измерений, отражающее близость к нулю систематических погрешностей в результатах измерений.

Сходимость - это качество измерений, отражающее близость друг к другу результатов измерений, выполняемых в одинаковых условиях. Схо-димость измерений отражает влияние случайных погрешностей.

Воспроизводимость - это такое качество измерений, которое отра-жает близость друг к другу результатов измерений, выполняемых в различ-ных условиях (в различное время, в различных местах, различными мето-дами и средствами).
Планирование измерений
В простейшем случае планирование измерений сводится к нахождению оптимального числа измерений n набора величин X₁,...X_n, а затем статистических характеристик:

среднего арифметического ,

где - среднее арифметическое выборки; - его доверительный интервал;

среднего квадратического выборки S_n  _n (n).

Доверительный интервал, на величину которого истинное значение может отличаться от выборочного ,

,

где t_n-1 - табличный коэффициент Стьюдента, зависящий от доверительной вероятности Р и числа измерений (n-1). На практике выбирают: Р  0,68, что соответствует 1; Р  0,95 соответствует 2; Р  0,997 соответствует 3.

Наибольшее число требуемых испытаний

,

где m - число предварительных экспериментов, заведомо меньшее, чем требуемое.

Таким образом, исходными, предварительно выбранными величинами при планировании измерений, являются: X - максимальное допустимое отклонение среднего арифметического; Р - доверительная вероятность; m - число предварительных испытаний.