ЛекцПРиА. Конспект лекций по дисциплине "Процессы и аппараты биотехнологии"

• Название: Конспект лекций по дисциплине "Процессы и аппараты биотехнологии"
• Дата: 30.03.2022
• Размер: 1.06 Mb.
• Имя файла: ЛекцПРиА.docx
• Тип: Конспект; #429098
• страница: 10 из 14

2.9 ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ
УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ

Основным практическими приложениями уравнения Бернулли являются определение скоростей и расходов жидкостей, а также расчёт времени истечения жидкостей из резервуаров. Для определения величин применяют U-образные трубки (рис. 2.5), а также дроссельные приборы, включающие мерные диафрагмы, сопла и трубы Вентури
(рис. 2.15), которые вставляются в разрез трубопровода.

Мерная диафрагма – это тонкий диск с отверстием круглого сечения, приходящимся на ось трубы. Мерное сопло представляет собой насадок, отверстие которого имеет плавный вход и цилиндрический выход. Труба Вентури имеет постепенно сужающееся сечение, которое затем расширяется до исходного размера. Для непосредственного измерения обычно U-образные трубки не используют. Их применяют в сочетании с дроссельными устройствами, самым тонким из которых является диафрагма. Метод определения скорости и расхода основан на том, что при искусственном сужении сечения потока дросселирующим устройством происходит возрастание скорости и кинетической энергии потока, соответственно, снижается потенциальная энергия давления. Следовательно, возникает разность (перепад) давления между точками до устройства и после него.

В трубах Вентури и соплах площадь сечения сжатой струи
равна площади самого отверстия . Площадь сечения потока жидкости в трубопроводе составляет .

В диафрагме площадь сечения сжатой струи, выходящей из отверстия, меньше площади отверстия .





Рис. 2.15. Дроссельные устройства на трубопроводах:

а-диафрагма, б - сопло, в - труба Вентури.
Запишем уравнение Бернулли для точек 1 и 2 в центре сечения горизонтального трубопровода и центре сжатой струи.

(2.149)

Откуда разность давлений h, измеряемая U–образной трубкой равна

(2.150)

Чтобы определить среднюю скорость потока и объемный расход, воспользуемся уравнением сплошности потока и выразим :

(2.151)

Подставим это выражение в (2.150) и выразим скорость сжатой струи

(2.152)

Зная величину по формуле (2.151) можно найти значение , а затем и расход, учитывая, что .Таким образом рассчитывают расход для сопел и труб Вентури. Для диафрагм , поэтому

,

(2.153)

где α – поправочный коэффициент меньше единицы, учитывающий, что скорость сжатой струи больше скорости в отверстии, поскольку .

Коэффициент α называется коэффициентом расхода дроссельного прибора. Он зависит от режима движения жидкости и от соотношения диаметров отверстия и трубопровода, т. е.

Поскольку величина больше диаметра отверстия в 3-4 раза, то их отношением в последнем выражении можно пренебречь. Следовательно

(2.154)

а среднюю скорость вычислить через расход упустив индекс «1»

(2.155)

При работе с упругими жидкостями используют два последних выражения, вводя еще один поправочный коэффициент, учитывающий изменение плотности при сжатии. Его значения, также как и значение , табулированы. Кроме того, с помощью уравнения Бернулли можно рассчитывать процессы истечения жидкостей из резервуаров через отверстия в тонком днище, тонкой боковой стенке или через насадки. Рассчитать процесс истечения – это определить скорость и время опорожнения резервуара. Отверстие в тонком днище или в тонкой стенке означает, что толщина днища или стенки более чем в 2 раза меньше диаметра отверстия. Насадками называют короткие патрубки (куски трубы) различной формы, присоединенные к отверстию в тонкой стенке. Длина насадок составляет примерно 3-4 диаметра трубы. Насадки бывают (рис. 2.16) внешними и внутренними, коническими расходящимися и коническими сходящимися, а также коноидальными.

Рис. 2.16. Виды насадок: а – внешние; б – внутренние; в - конические расходящиеся; г - конические сходящиеся; д - коноидальные

Истечение жидкости может происходить в атмосферу или в слой жидкости при постоянном или переменном напоре. Рассмотрим истечение жидкости в тонком днище открытого сосуда, в котором поддерживается постоянный уровень H жидкости (рис. 2.17). Выбрав плоскость сравнения параллельно днищу сосуда, напишем уравнение Бернулли для сечений
1-1, соответствующего верхнему уровню жидкости в сосуде, и для сечения 2-2, плоскость которого проходит через самое узкое сечение вытекающей струи

(2.156)

Рис. 2.17. К истечению жидкости через отверстие в тонком дне

Для открытого сосуда . Кроме того, при постоянно уровне жидкости . Пренебрегая небольшим расстоянием от плоскости 2-2 до днища сосуда, можно принять, что . С учетом этих условий

(2.157)

Следовательно

(2.158)

При движении реальной жидкости часть напора H теряется на трение и на преодоление сопротивления, вызванного внезапным сужением потока в отверстии. Поэтому скорость реальной жидкости должна быть

(2.159)

где - это поправочный коэффициент ( ), учитывающий потери напора при истечении через отверстие, называемый коэффициентом скорости.

В целом площадь поперечного сечения струи в отверстии больше площади ее самого узкого сечения , поэтому скорость жидкости в отверстии должна быть меньше чем .

(2.160)

где – коэффициент сжатия струи; - коэффициент расхода.

Сжатие струи в отверстии приводит к тому, что ее диаметр составляет около 80% от внутреннего диаметра отверстия. Уравнение (2.160) справедливо так же и для расчета скорости истечения жидкости через отверстие в тонкой боковой стенке, если считать H расстоянием от верхнего уровня жидкости до оси отверстия.

Объемный расход жидкости равен произведению ее скорости в отверстии на площадь сечения отверстия .

(2.161)

Из этого уравнения следует, что расход жидкости, вытекающей через отверстие в тонком днище (или стенке), зависит от высоты постоянного уровня жидкости над отверстием и от размера отверстия, но не зависит от формы сосуда.

Коэффициент определяют опытным путем. Его значение зависит от режима течения и свойств жидкости. В справочной литературе для различных жидкостей есть зависимости . Однако для жидкостей по вязкости не очень отличающихся от воды в первом приближении для отверстий можно принимать а для насадок .

Когда истечение жидкости происходит через отверстие в тонком днище при переменном уровне жидкости, скорость истечения снижается с уменьшением H, т. е. процесс имеет нестационарный характер.

За бесконечно малое время через отверстие или насадок вытечет объем жидкости

(2.162)

За это же время уровень жидкости в сосуде постоянного сечения S понижается на величину dH, то есть вытекаемый объем составит

(2.163)

Тогда согласно уравнению неразрывности потока

(2.164)

откуда

(2.165)

Время опорожнения ёмкости при постоянном уровне жидкости лишено физического смысла. Однако можно рассчитать время , за которое из емкости вытечет первоначальный объем жидкости

(2.166)

В уравнении (2.165) разделены переменные. Принимая неизменность площади поперечного сечения резервуара с высотой, можно проинтегрировать выражение (2.165) на интервалах и . В результате интегрирования получим:

(2.167)

В случае полного опорожнения резервуара , , и время опорожнения найдется по формуле

(2.168)

где V- объем жидкости в резервуаре.

Сравнивая (2.166) и (2.168) можно сделать вывод, что время опорожнения емкости при снижающемся напоре в два раза больше, чем . Таким образом, при постоянном напоре скорость движения жидкости в два раза выше, чем при снижающемся напоре. Выражение (2.167) справедливо лишь в случаях, когда поперечное сечение ёмкости не изменяется с высотой, т. е. при интегрировании (2.165) принимается, что .

Если емкость имеет цилиндрическую форму, но расположена горизонтально (танк), то и время опорожнения рассчитывают по формуле

(2.169)

где - радиус резервуара.

Выражение (2.169) справедливо при степени заполнения емкости равной 0,8.