Контрольные вопросы для самоконтроля по усвоению теоретического материала, здесь же предлагается комплекс упражнений для самостоятельной работы
 Скачать 7.87 Mb.
|
|
Свойства операции умножения Имеют место следующие теоремы: (записаны в таком порядке, в каком их можно доказать). Для любых а, b, с изN: 1. (a + b) c = ab + ac (дистрибутивность справа относительно сложения) 1. а (b + с) = аb+ ас (дистрибутивность слева относительно сложения)
аb = ас => b = с; (сократимость)
11. (а,b)(n)nb >а. ___________________________________________________________________ Определение 5. Число а меньше числа b(а < b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b. ______________________________________________________________________________________________ При этих условиях говорят также, что число b больше а, и пишут: b > а. Символически это определение можно записать так: а < b (с )а + с = bили b > а (с )а + с = b. Например:
Задача 3. Доказать свойство ассоциативности операции сложения, т.е. (а,b,c)(а + b) + с = а + (b+ с). Решение. Будем пользоваться аксиомой индукции A4. Пусть натуральные числа а и bвыбраны произвольно, а с принимает различные натуральные значения (индукция по с). Обозначим через М множество всех тех и только тех натуральных чисел с, для которых равенство (а + b) + с = а + (b + с) верно. M = {с\сN, (а + b) + с = а + (b+ с)}; т.к. с N , то М N. 1. Докажем сначала, что 1 M, т.е. убедимся в справедливости равенства (а + b) + 1 = а + (b + 1). Действительно, по определению сложения, имеем (а + b) + 1  (а + b)'  а + b' a + (b + 1), что и требовалось доказать (ч.т.д.) => 1 M.2. Докажем теперь, что если сM=> с'M . Пусть с M (это предположение индукции – П.И.), т.е. равенство (a + b) + c= а + (b + с) верно, докажем, что с'M, т.е. равенство (а +b) + с' = а + (b+ с') верно. Верность числовых равенств можно доказать одним из следующих приемов:
Будем преобразовывать левую часть равенства. (а + b) + с' ((а + b) + с)'  (а + (b + с)) ' а + (b + с)' а +(b + с') ч.т.д. => с' M.Итак, мы показали, что MN (1M(с Mс'M)) => М = N, т. е. равенство (а + b) + с = а + (b + с) истинно для любого натурального числа с, а т.к. а и bвыбирались произвольно, то оно справедливо для любых натуральных чисел а и b, что и требовалось доказать. Задача 4. Доказать дистрибутивность слева умножения относительно сложения, т.е. (а,b,с N) а(b + с) = аb + ас. Доказательство: Пусть натуральные числа а и bвыбраны произвольно, а с принимает различные натуральные значения (индукция по с). Обозначим через М множество всех тех и только тех натуральных чисел с, для которых равенство а(b+ с) = аb + ас верно, т.е. М = {ссN, а(b + с) = аb + ас}, т.к. с N, то М N, I. Докажем, что 1 М, т.е. а (b + 1) = аb + а 1.  ab',а b + а 1  а b + а  аb',получили аb' = аb' – истинно, => 1 М. II. Докажем, что с М => с' М Пусть с М, т.е. а(b + с) = аb +ас. Докажем, что с' М, т.е. а(b + с') = аb + ас'. Преобразуем левую часть равенства к правой части этого равенства. а(b + с') а(b + с)'  a(b + с) + а (аb + ас) + а  аb + (ас + а) аb + ас'ч.т.д., => с' М, тогда М N(1 M (с М => с' М)) => M = N, т.е. равенство а(b + с) = аb+ас истинно для любого натурального числа с, а также для любых натуральных чисел а и b, т.к. они были выбраны произвольно. Доказательство свойств операций сложения и умножения проводилось на основе аксиомы индукции Пеано (аксиома 4). Его можно применять для доказательства других утверждений о натуральных числах, опираясь на следующую теорему. Теорема 5. (Принцип математической индукции). Если утверждение А(n) с натуральной переменой n истинно – для n = 1, т.е. А(1) – истинно и из того, что оно истинно для n = к, т.е. А(к) – истинно (к – произвольное натуральное число), следует что оно истинно для следующего числа n=к1, то утверждение А(n)истинно для любого натурального числа n. (к1= к+1) Доказательство методом математической индукции состоит из двух частей:
А(к) А(к1) истинное высказывание. Если А(1) (А(к) А(к1)) – истинное высказывание, то делают вывод об истинности утверждения А(n) для n. Задача 6. Доказать, что для любого натурального числа n, сумма n первых чисел натурального ряда S(n) =  т.е. 1 + 2 + 3 + … + n = - S(n).Решение.
S(1)= 1, в правой  2. П.И. (предположение индукции). Пусть при n = к S(к) – истинно, т.е. 1 + 2 + 3 + … + к =  . Докажем, что А(к) А(к+1) – истинно.Действительно, S(к+1)= 1 + 2 + … + к + (к + 1) = S(к)+(к + 1). По предположению S(к)= , значит, S(к+1)=+(к+1)= =  Таким образом, А(к) А(к1) – истинно.Следовательно, на основании принципа М.И. данное утверждение S(n) – истинно для любого натурального n. Задача. Докажем методом М.И., что утверждение (6n – 1)  5 n.
1 способ. Рассмотрим разность (6к+1–1)–(6к–1). После преобразований получаем: 6к+1 – 1 – 6к + 1 = 6к (6 - 1) = 6к 5. Произведение (6к 5) 5, т.к. 55, а (6к-1)5 (по предположению). Получаем 6к+1 –1 = (6к – 1) + 6к 5, т.к. каждое слагаемое делится на пять, то по теореме о делимости суммы (6к+1 – 1) 5.2 способ. Преобразуем выражение 6к+1 – 1 = 6к 6 – 1. Прибавим и вычтем число 6, получим 6к+1 – 1 = 6к 6 – 6 + 6 – 1 = 6(6к – 1) + 5. В полученном выражении (6к – 1) 5 по предположению, а т.к. второе слагаемое 5, то (6(6к – 1) + 5) 5, а это значит (6к+1 – 1) 5.На основании доказанного и теоремы индукции утверждение (6n– 1) 5 при любом натуральном n.Контрольные вопросы
а) 3 + 2; б) 3 + 3; в) 3 + 4;
6 + 3 = 6 +(2 + 1) = (6+ 2)+1 = 8+1 = 9.
а) 3 2; б) 3 3; в) 3 4.
а) отношение «меньше»; б) отношение «больше»; в) отношение «непосредственно следовать за»является отношением порядка?
Упражнения 289.Доказать коммутативный закон сложения натуральных чисел. 290. Составить таблицу прибавления 3 со всеми теоретическими обоснованиями. 291. Доказать, что для любых натуральных чисел а иbверны утверждения: a)а +b b б)а +b a a + b b 292. Доказать, что для любых натуральных чисел а, bи с верны утверждения: a) а= b => а + с = b + с; б) а + b= а + с => b = с; в) а = b=> ас = bс; г) ас = bс => а = b; д) аb = ас => b = с. 293. Составить таблицу прибавления 4 со всеми теоретическими обоснованиями. 294. Докажите, что для любых натуральных чисел а, bи с верны утверждения: а) а< b => а + с < b + с; б) а + с < b+ с => а < b; в) а + b < а + с => b < с; г) а > b => а + с > b + с; д) а + с > b + с => а > b; е) а + b > a + с => b > c. 295. Составить таблицу прибавления 5 и 6 со всеми теоретическими обоснованиями. 296. Составить таблицу прибавления 7,8 и 9 со всеми теоретическими обоснованиями. 297. Применяя законы сложения вычислить результат; каждый случай применения законов объяснить: а) 57689+ 48997+ 42311; б)73562 + 3463 + 26438; в) 3186+ 48763+ 6814; г) 6747+17896+ 3253; д) 42879+ (37999+ 57121). 298. Доказать дистрибутивность справа умножения относительно сложения. 299. Докажите, что для любых натуральных чисел а, bи с верны утверждения: а) а < b=> ас < bс; б) ас < bс => а < b; в) аb < ас => b < с; г) а > b=> ас > bс; д) ас > bс => а > b; е) аb > ас => b > с. 300. Доказать, что каждое из ниже указанных отношений, заданных на множестве натуральных чисел, является отношением порядка: а) отношение «меньше»; б) отношение «больше». 301. Доказать, что для любых натуральных чисел а иbсуществует такое натуральное число п, что пb > а. Привести примеры. 302. Используя определения отношений «меньше», «больше», докажите истинность следующих утверждений: а) 5 < 7; б) 6 > 3. 303. Используя теоретические положения, объясните истинности следующих утверждений: а) 3 + 7 > 3 + 6; б) 5 + 4 < 9 + 4; в) 4 ∙ 7 > 4 ∙ 5; г) 3 ∙ 6 < 5 ∙ 6; д) 5 ∙ 7 < 7 ∙ 9; е) 5 + 4>4 + 3; ж) 7 ∙ 4 > 4 ∙ 3; з) 3 + 6 < 6 + 5. 304. Какие теоретические положения неявно используют учащиеся при выполнении задания: а) заполни пропуски так, чтобы получились верные равенства и неравенства: 9 ∙ 6 = 6 ∙ □; 8 ∙ 3 > 8 ∙ □; 78 + 18 < 78 + □. б) верны ли следующие записи: 32 + 40 < 32; 27 + 30 > 27? в) >; < ? 70 + 15 70 + 18; 14 + 46 12 + 46. 305.Какие свойства умножения могут быть использованы при нахождении значения выражения: а) 5 ∙ (10 + 6); б)125 ∙ 14 ∙ 5; в) (8 ∙ 137) ∙ 125; г) 48 ∙ 125? 306. Известно, что 37 ∙ 3 = 111. Используя это равенство, вычислите: а) 37 ∙ 21; б) 185 ∙ 18. 307. Опираясь на коммутативные законы умножения и сложения, напишите выражения, равные (т + п) ∙ а. 308. Составить со всеми теоретическими обоснованиями таблицы умножения на числа: а) 3; б) 4; в) 5; г) 6 и 7; д) 8 и 9. 309. Применяя законы умножения, вычислите результат: а) 4 ∙ 5 ∙ 2 ∙ 25 ∙ 17; б) 8 ∙ 7252 ∙ 125; в) 7546 ∙ 5 ∙ 25 ∙ 4 ∙ 2; г) 2 ∙ 3246 ∙ 5 ∙ 250 ∙ 4; д) 4 ∙ 6524 ∙ 25. 310.Какие свойства умножения будут использовать учащиеся начальных классов, выполняя следующие задания: 1) Можно ли, не вычисляя, сказать, значения каких выражений будут одинаковы: а) 2 ∙ 5 + 2 ∙ 3; б) 5 ∙ (3 + 2); в) (5 + 3) ∙ 2. 2) Верны ли равенства: а) 19 ∙ 5 ∙ 2 = 19 ∙ (5 ∙ 2); в) 3 ∙ 5 + 8 ∙ 5 = (3 + 8) ∙ 5; б) (4 ∙ 10) ∙ 13 ∙ 4 ∙ 10 ∙ 31; г) 7 ∙ (6 + 8) = 7 ∙ 6 + 8 ∙ 7. 3) Можно ли, не выполняя вычислений, сравнить значения выражений: а) 60 ∙ 42 + 3 ∙ 42…63 ∙ 40 + 63 ∙ 2; б) 59 ∙ 90 + 59 ∙ 5…50 ∙ 95 + 9 ∙ 95. 311. Не выполняя вычисления, вместо звездочки поставьте знак = или <, чтобы получилось истинное высказывание: а) 354 + 246 354 + 246; б) 273 + 475 237 + 456; в) 271 + 543 271+ 537; г) 237 + 425 273 + 425; д) 546 ∙34 546-31; е) 329 ∙ 78 329 ∙ 84; ж) 513 ∙73 513 ∙ 73; з) 275 ∙ 94 257 ∙ 94; и) 25 ∙41 + 4 ∙ 41 20 ∙ 41 + 9 ∙ 41; к) 73 ∙ 28 + 5 ∙ 29 20 ∙ 78 + 9 ∙ 78; л) 53 ∙ 38 + 4 ∙ 38 30 ∙ 59 + 8 ∙ 59; м) 32 ∙ 52 + 5 ∙ 52 50 ∙ 32 + 2 ∙ 32. Доказать методом М.И. следующие предложения:
Дать теоретическое обоснование вашему выбору. 312. Сформулировать и дать теоретическое обоснование правил: а) прибавления числа к сумме; б) прибавления суммы к числу; в) прибавления суммы к сумме. Проиллюстрировать примерами. |
